方一鳴， 石照耀

（北京工業(yè)大學(xué) 北京市精密測(cè)控技術(shù)與儀器工程技術(shù)研究中心，北京 100124）

1 引 言

小模數(shù)齒輪的生產(chǎn)柔性化程度高，以注塑齒輪為例，單條產(chǎn)線多臺(tái)注塑機(jī)通常同時(shí)生產(chǎn)多種不同參數(shù)的注塑齒輪，通過(guò)機(jī)械手放在同一條傳送帶上。然而，迄今為止還沒有成熟的齒輪測(cè)量?jī)x器能夠同時(shí)對(duì)多種型號(hào)齒輪實(shí)現(xiàn)混合在線全檢，仍主要依靠人工抽檢［1］。

齒輪測(cè)量涉及到齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、變位系數(shù)等一系列參數(shù)，單一的測(cè)量工具或者齒輪量?jī)x難以完成全部參數(shù)的測(cè)量，且測(cè)量過(guò)程復(fù)雜、效率低。中低精度等級(jí)齒輪的測(cè)量需要借助卡尺、千分表、千分尺、通止規(guī)和深度尺等多種工具，對(duì)操作人員的專業(yè)性要求高、測(cè)量技術(shù)門檻高。對(duì)于某些特殊奇數(shù)齒數(shù)，或者齒頂很尖的齒輪而言，也是難以用常規(guī)工具進(jìn)行測(cè)量的。齒輪測(cè)量中心、雙嚙儀等齒輪量?jī)x在測(cè)量時(shí)都需要輸入模數(shù)、齒數(shù)、壓力角和變位系數(shù)等參數(shù)，不能實(shí)現(xiàn)未知參數(shù)齒輪的測(cè)量［1-2］。特別地，由于小模數(shù)齒輪（模數(shù)≤1 mm）的尺寸小、齒槽間隙小，傳統(tǒng)的接觸式測(cè)頭難以進(jìn)入齒槽間隙進(jìn)行測(cè)量，而且裝夾困難［3］，因此傳統(tǒng)的接觸式測(cè)量方法難以完成對(duì)小模數(shù)齒輪的測(cè)量。

相對(duì)于接觸式測(cè)量，視覺測(cè)量技術(shù)具有測(cè)量效率高、獲取信息全、穩(wěn)定性好和非接觸等優(yōu)點(diǎn)，在齒輪測(cè)量領(lǐng)域開始得到應(yīng)用［4］。文獻(xiàn)［5］依據(jù)齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)ISO 1328-1［6］，給出了齒距偏差和齒廓偏差的視覺測(cè)量和評(píng)定方法，對(duì)模數(shù)為0.5 mm的8級(jí)精度直齒輪，測(cè)得的齒距偏差、齒廓偏差與齒輪測(cè)量中心的測(cè)量結(jié)果的最大差值為4 μm。近幾十年，在基于經(jīng)典微分算子的邊緣檢測(cè)算法的基礎(chǔ)上，發(fā)展了基于矩方法、插值法和擬合法的亞像素邊緣定位算法［7-8］，突破了像素級(jí)分辨率的限制。文獻(xiàn)［9］開發(fā)了一套齒輪測(cè)量應(yīng)用程序，基于亞像素邊緣檢測(cè)算子提取出直齒輪齒廓，并設(shè)定條件剔除假邊緣，最終得到齒頂圓直徑等參數(shù)。文獻(xiàn)［10］探究了運(yùn)用極坐標(biāo)變換算法對(duì)齒輪的齒數(shù)、公法線變動(dòng)量等參數(shù)的視覺測(cè)量方法。

雖然基于視覺的齒輪測(cè)量技術(shù)目前得到了一定的發(fā)展，但測(cè)量對(duì)象往往都是單一齒輪，沒有對(duì)多種型號(hào)齒輪的混合測(cè)量方法的研究；齒輪測(cè)量項(xiàng)目也比較單一，通常只對(duì)齒輪尺寸和單項(xiàng)誤差的其中一項(xiàng)或幾項(xiàng)進(jìn)行測(cè)量，缺乏對(duì)齒輪完整參數(shù)測(cè)量方法的研究，而且測(cè)量前需要已知模數(shù)和壓力角才能完成測(cè)量。

本文針對(duì)直齒圓柱齒輪，結(jié)合圖像處理方法和齒輪設(shè)計(jì)理論，開發(fā)了十多種齒輪關(guān)鍵參數(shù)的視覺測(cè)量方法，并對(duì)圖像處理方法中涉及到的多目標(biāo)分割、亞像素邊緣檢測(cè)、輪廓擬合、圓與齒廓的交點(diǎn)定位和輪廓分割等問題進(jìn)行了探究，總結(jié)了一套適用于小模數(shù)齒輪產(chǎn)線的、多種型號(hào)齒輪免參數(shù)快速測(cè)量方法。

2 涉及的圖像處理方法

本文提出的小模數(shù)直齒輪免參數(shù)快速測(cè)量方法基于機(jī)器視覺技術(shù)，運(yùn)用圖像處理方法獲取齒輪的一些關(guān)鍵特征，再結(jié)合齒輪設(shè)計(jì)理論測(cè)算出齒輪參數(shù)。涉及到的圖像處理方法包括：多目標(biāo)齒輪的分割、亞像素邊緣定位、齒輪輪廓擬合、圓與齒廓的交點(diǎn)定位和輪廓分割。

2.1 多目標(biāo)齒輪的分割

小模數(shù)齒輪尺寸小，采用視覺方法測(cè)量時(shí)，通常視野范圍內(nèi)可以容納多個(gè)目標(biāo)齒輪，因此可以實(shí)現(xiàn)多種型號(hào)齒輪并行測(cè)量。測(cè)量時(shí)，將齒輪擺放在水平載物臺(tái)上，采用投影法測(cè)量；投影法測(cè)量需要選擇背光光源［11］，測(cè)量時(shí)需要將每個(gè)目標(biāo)齒輪分割成獨(dú)立的區(qū)域。因?yàn)槔帽彻夤庠床杉凝X輪輪廓清晰、干擾噪聲較小，所以采取常用的閾值分割方法即可將不同目標(biāo)齒輪區(qū)分出來(lái)，分割效果如圖1所示，圖1（b）顯示了多種不同型號(hào)齒輪分割好后用最小外接圓包裹形成的獨(dú)立區(qū)域。

圖1 多目標(biāo)齒輪圖像的分割結(jié)果Fig.1 Segmentation results of multi-objective gear images

2.2 亞像素邊緣定位

齒輪的輪廓中包含齒輪幾何參數(shù)信息，需要進(jìn)行提取。本文提出一種基于Facet曲面模型的齒輪亞像素邊緣擬合算法，來(lái)定位齒輪的輪廓。

Facet模型［12］的概念由Robert M. Haralick率先提出，一幅圖像可以看成一個(gè)由眾多像素單元組成的矩陣，可以被劃分為若干個(gè)小的矩陣，每個(gè)小矩陣區(qū)域滿足一定的灰度分布，這樣的一個(gè)區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)Facet。每個(gè)Facet的灰度分布函數(shù)是其對(duì)應(yīng)區(qū)域內(nèi)像素點(diǎn)的多項(xiàng)式函數(shù)，它是以邊緣像素點(diǎn)為中心的鄰域中的灰度值擬合成的二元三次多項(xiàng)式：

此處的鄰域一般為3×3或5×5的像素矩陣，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，可先由Canny算子［13］提取出齒輪像素級(jí)邊緣，只需要計(jì)算像素級(jí)邊緣附近的過(guò)渡像素區(qū)域（鄰域）的灰度分布，根據(jù)該鄰域的灰度分布用最小二乘法擬合式（2），即可求得多項(xiàng)式各項(xiàng)系數(shù)a0~a9。

接下來(lái)，對(duì)通過(guò)多項(xiàng)式擬合的齒輪輪廓鄰域的灰度分布函數(shù)求偏導(dǎo)，解得齒輪輪廓的單位法向量(nx，ny)，對(duì)齒輪輪廓法向橫截面上的灰度分布函數(shù)用二階泰勒級(jí)數(shù)展開，則某一輪廓像素點(diǎn)(xi，yi)為中心的橫截面上的灰度可以表示為：

其中：H(x，y)是由二階偏導(dǎo)數(shù)組成的Hessian矩陣，t為待求的參數(shù)，rx，ry是Facet模型的二元三次多項(xiàng)式的一階偏導(dǎo)數(shù)：

要使灰度分布函數(shù)在梯度向量方向上取得極值，則令?f/?t=0，得到：

圖2是由Facet曲面模型擬合出的齒輪亞像素邊緣輪廓，在其中一個(gè)輪齒放大后的圖像中可以清晰看到每個(gè)亞像素坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的梯度幅值和方向（用藍(lán)色箭頭表示），為了突出表示效果，此處將表示梯度幅值的藍(lán)色箭頭長(zhǎng)度縮小了10倍，并且每3個(gè)亞像素邊緣點(diǎn)只顯示一個(gè)藍(lán)色箭頭）（彩圖見期刊電子版）。

圖2 基于Facet曲面模型的齒輪亞像素邊緣擬合Fig.2 Gear subpixel edge fitting based on Facet surface model

2.3 齒輪輪廓擬合

齒輪端面中心點(diǎn)是計(jì)算齒輪各項(xiàng)參數(shù)的基礎(chǔ)，所以在測(cè)量時(shí)需要先對(duì)齒輪中心進(jìn)行定位。齒輪中心可以通過(guò)齒頂圓、齒根圓或中孔圓擬合得到，但相比于齒頂和齒根，中孔通常作為配合孔要與輸出軸或軸承等裝配一體，中孔的尺寸公差、圓柱度影響的是齒輪的使用性能，而且只有中孔輪廓是連續(xù)的，故通過(guò)中孔輪廓來(lái)擬合齒輪中心點(diǎn)。

最常用的圓擬合方法為最小二乘法，但考慮到采用視覺方法擬合圓極易受到灰塵、毛刺等干擾，使提取的邊緣點(diǎn)出現(xiàn)離群值，而最小二乘法對(duì)于離群值是不夠可靠的，會(huì)產(chǎn)生較大的計(jì)算誤差。所以，本文采用基于迭代重加權(quán)最小二乘的方法來(lái)改進(jìn)圓擬合精度。首先，易知圓的坐標(biāo)公式：

其中，(x0，y0)和r分別為要擬合的中孔圓心和半徑，假設(shè)基于Facet的亞像素邊緣定位算法獲得的中孔邊緣點(diǎn)有n個(gè)，則其誤差平方的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)可以表示為：

式中，A，B，C為系數(shù)：

為每個(gè)亞像素輪廓坐標(biāo)(xi，yi)引入距離權(quán)重wi后，式（7）將改寫為：

迭代重加權(quán)最小二乘法的最終目標(biāo)是使目標(biāo)函數(shù)S取得極小值，這時(shí)只要對(duì)系數(shù)分別求偏導(dǎo)，即可算出A，B，C，但在沒有擬合出圓方程之前，并不能得出每個(gè)點(diǎn)到圓心的距離，也就無(wú)法分配權(quán)重，所以需要通過(guò)迭代法求解，在第一次迭代時(shí)采用標(biāo)準(zhǔn)的最小二乘法進(jìn)行擬合圓，即wi=1；在第2~n次迭代時(shí)，采用Huber提出的權(quán)重函數(shù)擬合圓：

其中：參數(shù)γ為削波函數(shù)，定義了哪些點(diǎn)為離群點(diǎn)；δ為函數(shù)的自變量，表示點(diǎn)到圓心的距離。將該式代入到式（9）即可計(jì)算出最佳擬合圓心和半徑，圖3顯示了采用迭代重加權(quán)最小二乘的方法擬合齒輪中心孔圓心和半徑的過(guò)程。

圖3 齒輪中心孔輪廓的圓擬合Fig.3 Circular fitting of gear center hole profile

2.4 圓與齒廓的交點(diǎn)定位

在圖像中，圓與齒廓的交點(diǎn)是測(cè)算齒輪參數(shù)的關(guān)鍵。通過(guò)分度圓與齒廓的交點(diǎn)可以求出齒數(shù)、齒厚和齒距等參數(shù)；通過(guò)基圓與齒廓的交點(diǎn)可以確定理論漸開線齒廓的起始位置。

齒廓與圓的交點(diǎn)可以通過(guò)兩幅圖像疊加來(lái)獲取。在image1中畫齒廓像素點(diǎn)，并把灰度值設(shè)為80；在image2中根據(jù)計(jì)算出的分度圓直徑和圓心畫分度圓輪廓像素點(diǎn)，并把灰度值設(shè)為80。此處有一個(gè)前提，image1和image2兩幅圖所畫輪廓都只能有單個(gè)像素寬度且連續(xù)，因此在進(jìn)行邊緣提取后一定要進(jìn)行細(xì)化操作使邊緣只有單個(gè)像素寬度，疊加后的圖如圖4所示，此時(shí)交點(diǎn)分為以下三種情況：

圖4 圓與齒廓交點(diǎn)的三種情況Fig.4 Three situations of intersection between circle and profile

第一種如圖4（a）所示，這種交點(diǎn)可直接搜尋圖中灰度值為160的像素點(diǎn)得到；第二種如圖4（b）所示，這種交點(diǎn)應(yīng)定位在相鄰4個(gè)灰度值為80的像素點(diǎn)組成的正方形區(qū)域的中心；第三種如圖4（c）所示，這種交點(diǎn)在兩個(gè)對(duì)角相連的、灰度值為160的像素點(diǎn)的連接中心處。

2.5 輪廓分割

采用2.4節(jié)的方法，在圖像中確定齒輪輪廓與起評(píng)圓和終評(píng)圓的交點(diǎn)，以交點(diǎn)位置為分段點(diǎn)將輪廓分割成齒頂、齒廓和齒根（含過(guò)渡曲線）等部分，如圖5所示。起評(píng)圓和終評(píng)圓確定了評(píng)價(jià)段齒廓的區(qū)域，是齒輪精度標(biāo)準(zhǔn)［6］中的概念。

圖5 將輪廓分割成齒頂、齒廓和齒根Fig.5 Divide the profile into tooth tips， tooth profiles，and tooth roots

3 齒輪參數(shù)測(cè)算

3.1 模數(shù)

我國(guó)目前尚未制定專門的小模數(shù)齒輪模數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，只是參考GB/T 1357［14］從0.1~0.9 mm選擇了13種模數(shù)作為小模數(shù)漸開線圓柱齒輪的標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)：0.1，0.12，0.15，0.2，0.25，0.3，0.35，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9 mm。通過(guò)測(cè)算出來(lái)的模數(shù)均為標(biāo)準(zhǔn)化后的值，而并非直接測(cè)量的值，即取與計(jì)算值最接近的標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)值作為估算的模數(shù)。

模數(shù)是齒距P除以圓周率π的商，或分度圓直徑d除以齒數(shù)z所得的商。然而對(duì)于一個(gè)未知齒距P和分度圓直徑d參數(shù)的齒輪，則需要測(cè)量其他參數(shù)計(jì)算模數(shù)。齒輪高度變位時(shí)，若以齒頂圓直徑da來(lái)估算模數(shù)，則需考慮變位系數(shù)，若變位系數(shù)也未知，則無(wú)法計(jì)算；而無(wú)論是否變位，全齒高公式不變，只與模數(shù)有關(guān)。根據(jù)齒輪的這一特性，應(yīng)以全齒高度h估算模數(shù)，按照GB/T1356標(biāo)準(zhǔn)［15］規(guī)定，以齒頂高系數(shù)h*a=1，頂隙系數(shù)c*=0.25為例計(jì)算模數(shù)，可得公式（11）：

將上述計(jì)算得出的齒輪模數(shù)按照標(biāo)準(zhǔn)模數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，即得最終的模數(shù)。

3.2 齒數(shù)

本文提出兩種計(jì)算齒數(shù)的方法：交點(diǎn)法和正弦擬合法。

（1）交點(diǎn)法

齒輪圖像中的一個(gè)輪齒的左、右齒廓總是成對(duì)出現(xiàn)，且分度圓一定經(jīng)過(guò)左、右齒廓，所以可以通過(guò)分度圓與左、右齒廓的交點(diǎn)來(lái)計(jì)算齒數(shù)，確定圓與齒廓交點(diǎn)的方法已在2.4節(jié)介紹。若交點(diǎn)個(gè)數(shù)為n，則齒數(shù)z=n/2，如圖6所示。

圖6 根據(jù)齒廓與分度圓交點(diǎn)計(jì)算齒數(shù)Fig.6 Calculate the number of teeth based on the intersection of tooth profile and indexing circle

（2）正弦擬合法

交點(diǎn)法原理簡(jiǎn)單、計(jì)算速度快，適合齒廓清晰、無(wú)干擾的情況，但若齒廓存在毛刺、凹坑等缺陷時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)有可能出錯(cuò)，本文提出一種魯棒性更好的方法——正弦擬合法。

如圖7所示，齒輪輪廓經(jīng)過(guò)極坐標(biāo)變換后會(huì)呈現(xiàn)類似于正弦函數(shù)曲線的周期性變化趨勢(shì)，這里假設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：

對(duì)極坐標(biāo)變換后的齒輪輪廓進(jìn)行最小二乘法擬合，可以得到目標(biāo)函數(shù)的系數(shù)，最終算出齒數(shù)z（四舍五入取整）：

其中：T是齒廓極坐標(biāo)展開后橫坐標(biāo)的總長(zhǎng)，T0=2π/ω為擬合得到的正弦函數(shù)周期。圖7中原圖齒廓以齒輪中心點(diǎn)為圓心轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)(ρ，θ)，θ值再按原圖的寬度等比例轉(zhuǎn)化為θ′，即可在圖7右圖的圖像坐標(biāo)系中繪制出近似正弦曲線的散點(diǎn)圖，最終擬合得到正弦曲線。

交點(diǎn)法速度更快，適合在離線條件下測(cè)量齒數(shù)；正弦擬合法魯棒性更好，適合在環(huán)境干擾較多的生產(chǎn)現(xiàn)場(chǎng)使用。

3.3 壓力角

齒輪的壓力角通常指在分度圓上的壓力角值，國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定分度圓上的壓力角α=20°，某些場(chǎng)合也可采用14.5°，15°，22.5°及25°等［16］。分度圓壓力角在已知基圓半徑rb和分度圓半徑r的情況下可通過(guò)式（14）計(jì)算：

但如果齒輪參數(shù)未知，則需借助其他方法。本文提出了兩種方法來(lái)計(jì)算未知參數(shù)齒輪的壓力角：公式法和齒廓近似法。

（1）公式法

壓力角與分度圓齒厚有關(guān)，如圖8所示，可先通過(guò)圖像計(jì)算出齒輪分度圓平均齒厚（用s0表示），再計(jì)算壓力角。不過(guò)這里要區(qū)分齒輪正負(fù)變位的情況：

圖8 平均齒厚測(cè)量Fig.8 Measurement of average tooth thickness

正變位時(shí)：

負(fù)變位時(shí)：

這種方法比較適合測(cè)量中、大模數(shù)的齒輪，小模數(shù)齒輪齒厚尺寸小，壓力角的測(cè)算結(jié)果對(duì)齒厚的細(xì)微變化比較敏感，所以又提出了另一種齒廓近似法來(lái)計(jì)算小模數(shù)齒輪壓力角的方法。

（2）齒廓近似法

壓力角與齒形相關(guān)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，將壓力角范圍設(shè)定在14.5°~25°之間，以一定步長(zhǎng)將這一范圍內(nèi)的壓力角值帶入式（14）求出基圓半徑，再找到基圓與每條齒廓的交點(diǎn)，在每個(gè)交點(diǎn)處作出理論漸開線齒廓，依次過(guò)全部實(shí)際齒廓像素點(diǎn)作理論漸開線齒廓的垂線并計(jì)算出距離ei（計(jì)算方法見3.7節(jié)），求出距離ei的殘差平方和Rss，如式（17），找到使殘差平方和Rss最小的壓力角α，以此作為最終的壓力角數(shù)值。

相比公式法，齒廓近似法的計(jì)算時(shí)間要多4~6 ms，但穩(wěn)定性更好。

3.4 齒頂圓直徑、全齒高、齒寬等

通過(guò)第2節(jié)的方法，可以獲得齒頂圓直徑da、齒根圓直徑df、中孔圓直徑do、全齒高h(yuǎn)和齒寬b等幾何尺寸，圖9展示了在齒輪圖像中獲取的這幾項(xiàng)幾何尺寸。特別地，齒寬是從齒輪側(cè)面架設(shè)相機(jī)進(jìn)行拍照并提取相應(yīng)輪廓后進(jìn)行計(jì)算的。

圖9 圖像中齒輪一些基本尺寸的計(jì)算Fig.9 Calculation of some basic dimensions of gears in images

3.5 公法線長(zhǎng)度

公法線長(zhǎng)度的測(cè)量不受齒頂圓直接精度的限制，反映齒輪的運(yùn)動(dòng)偏心，是檢驗(yàn)齒厚的重要依據(jù)［16］。進(jìn)行公法線長(zhǎng)度測(cè)量之前，首先要知道跨測(cè)齒數(shù)，跨測(cè)齒數(shù)k定義如下（按四舍五入取整）：

對(duì)于非變位直齒輪，公法線長(zhǎng)度為：

對(duì)于變位直齒輪，公法線長(zhǎng)度為：

其中，invα是關(guān)于壓力角的漸開線函數(shù)。

如圖10所示，在提取的齒輪亞像素輪廓圖像中，先計(jì)算出分度圓跨k個(gè)齒與不同側(cè)齒廓相交的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，并算出這兩個(gè)交點(diǎn)組成的線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，假設(shè)為E(x0，y0)，設(shè)齒輪中心坐標(biāo)為O(a，b)，則齒輪中心點(diǎn)(a，b)與(x0，y0)組成的兩點(diǎn)式直線l1方程為：

圖10 齒輪圖像中的公法線長(zhǎng)度測(cè)量方法Fig.10 Measurement of base tangent length in gear images

算出基圓與直線l1在OE方向上的交點(diǎn)F，從F點(diǎn)作直線l1的垂線l2，則直線l2一定也與基圓相切，根據(jù)漸開線的性質(zhì)，基圓切線一定與與跨k個(gè)齒的異側(cè)齒廓的交點(diǎn)A和B的速度方向（齒廓的切線方向）相垂直。因此兩個(gè)交點(diǎn)AB的距離即為公法線長(zhǎng)度。

同樣的方法可以求出各個(gè)輪齒處的公法線長(zhǎng)度，公法線長(zhǎng)度的變動(dòng)量Fw等于公法線長(zhǎng)度Wk的最大值與最小值的差值：

3.6 變位系數(shù)

標(biāo)準(zhǔn)齒輪在實(shí)際應(yīng)用中存在一定的局限性，比如會(huì)產(chǎn)生根切現(xiàn)象，需要對(duì)齒輪進(jìn)行變位設(shè)計(jì)。

如圖11所示，在加工高度變位齒輪時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)刀具中線假設(shè)從分度圓外移，則齒根高變小，齒根圓變大；而假設(shè)要保證全齒高不變，則齒頂高變大，齒頂圓變大；因刀具外移，在齒輪分度圓處的刀具齒厚變小，即被加工出的齒槽變??；又因?yàn)榉侄葓A周節(jié)不變，齒厚變厚。變位系數(shù)可分別通過(guò)齒頂圓半徑ra或齒根圓半徑rf來(lái)計(jì)算［17］，公式如下：

圖11 不同變位系數(shù)的輪齒形狀Fig.11 Gear tooth shapes with different modification coefficients

非頂切加工胚料時(shí)齒頂比齒根加工精度更高，所以采用齒頂圓半徑作為參數(shù)計(jì)算變位系數(shù)的精度更高，即采用式（23）計(jì)算變位系數(shù)精度更高。

3.7 齒廓修形量

由于齒輪在實(shí)際運(yùn)行中，并不能達(dá)到理想漸開線齒輪那樣平穩(wěn)，嚙合沖擊產(chǎn)生的動(dòng)載荷影響著承載能力，所以在實(shí)際應(yīng)用中有大量的齒輪齒廓是經(jīng)過(guò)修形處理的。通過(guò)計(jì)算提取的實(shí)際齒廓與理論齒廓的偏差值可以分析齒廓修形量。

如圖12所示（彩圖見期刊電子版），將坐標(biāo)原點(diǎn)放在圓心處，A(xi，yi)為實(shí)際齒廓上一點(diǎn)，紅色的曲線為理論漸開線，實(shí)際齒廓上的A點(diǎn)向理論漸開線作垂線，垂足為P(x，y)，根據(jù)漸開線的性質(zhì)，PA的連線還與基圓相切于T點(diǎn)，設(shè)漸開線起始點(diǎn)與切點(diǎn)T的夾角為θ，OA的長(zhǎng)度為ρ，則：

圖12 齒廓偏差的計(jì)算Fig.12 Calculation of tooth profile deviation

將A點(diǎn)坐標(biāo)寫成極坐標(biāo)形式，即：

設(shè)漸開線初始位置的角度為0°，則：

AP的模長(zhǎng)即為實(shí)際齒廓上A點(diǎn)處的齒廓偏差絕對(duì)值。該值需要判斷正負(fù)，一般情況當(dāng)實(shí)際齒廓點(diǎn)位于理論左、右齒廓包圍的輪齒區(qū)域外部取正值，在內(nèi)部取負(fù)值。

3.8 形位誤差

形位誤差一般也叫幾何誤差，包括形狀誤差和位置誤差［18］，基于2D齒輪圖像可以獲取的齒輪形位誤差有：同軸度、真圓度和圓跳動(dòng)。

在測(cè)量齒輪形位誤差之前，要先建立基準(zhǔn)，本文以圖像采集到的齒輪端面為基準(zhǔn)端面，中心孔的圓心為基準(zhǔn)中心。齒頂圓對(duì)基準(zhǔn)軸線的同軸度是影響齒輪嚙合精度的關(guān)鍵參數(shù)，通過(guò)齒輪2D圖像無(wú)法直接測(cè)得該同軸度，而且齒輪本身軸線長(zhǎng)度就比較短，要評(píng)價(jià)其同軸度非常困難，常用同心度來(lái)代替。同心度是同軸度的特殊形式，當(dāng)被測(cè)要素為圓心（點(diǎn)）、薄型工件上的孔或軸的軸線時(shí)，可視被測(cè)軸線為被測(cè)點(diǎn)，故對(duì)齒輪同心度的測(cè)量可以通過(guò)投影法。

根據(jù)2.3節(jié)的中心定位方法可以精確定位中心孔的圓心（基準(zhǔn)中心），假設(shè)為O(x0，y0)；齒頂圓的圓心也可以用同樣的方法確定，假設(shè)為O′(x0′，y0′)；那么同心度ec可以表示為：

齒輪中心孔的圓度e的計(jì)算公式為：

其中：S表示中心孔的面積，L表示中心孔輪廓的周長(zhǎng)。

圓跳動(dòng)具體指齒輪中心孔的徑向跳動(dòng)，先測(cè)得中心孔每個(gè)亞像素輪廓點(diǎn)到圓心的半徑（假設(shè)為ri），則徑向跳動(dòng)er為最大測(cè)量半徑rmax與最小測(cè)量半徑rmin之差：

進(jìn)行舉例說(shuō)明：采集到的齒輪圖像如圖13所示，標(biāo)定得到的像素當(dāng)量λ=24.97 μm/pixel。圖中擬合定位的中心孔圓心坐標(biāo)為O(1 829.50，693.27)，齒頂圓圓心坐標(biāo)為O′(1 829.95，692.91)，中心孔面積S=33 932.00 pixel2，周長(zhǎng)L=692.24 pixel，最大測(cè)量半徑rmax=105.47 pixel，最小測(cè)量半徑rmin=102.06 pixel，則可計(jì)算出齒頂圓對(duì)基準(zhǔn)中心的同心度為：

圖13 齒輪形位誤差測(cè)量Fig.13 Measurement of gear geometric error

中心孔的圓度為：e=4π?S/L2=0.889；

中心孔的徑向跳動(dòng)為：er=(rmax-rmin)×λ=5.2 μm。

4 測(cè)量實(shí)驗(yàn)

4.1 實(shí)驗(yàn)條件

搭建齒輪視覺測(cè)量系統(tǒng)（Gear Visual Measuring System， GVMS），系統(tǒng)包含工業(yè)相機(jī)、工業(yè)鏡頭、光源、視覺支架和上位機(jī)，采用9×9圓點(diǎn)陣列標(biāo)定板（圓點(diǎn)直徑為0.5mm，相鄰兩點(diǎn)中心距為1.0mm，精度為0.9μm），標(biāo)定出GVMS的像素當(dāng)量為7.71 μm/pixel。

GVMS各硬件參數(shù)如表1所示。

表1 GVMS參數(shù)Tab.1 GVMS parameters

4.2 算法定位精度實(shí)驗(yàn)

選擇Technomax， Inc.的碼特齒輪（master gear，JIS B1751-M00級(jí)精度）來(lái)測(cè)試基于Facet的亞像素算法定位精度，如圖14（a）所示，碼特齒輪齒數(shù)為38，模數(shù)為1.0 mm，壓力角為20°，中心孔標(biāo)稱直徑為12.0 mm。通過(guò)提取該齒輪的中心孔來(lái)比較算法的定位精度。圖14（b）給出了兩種不同算法的定位誤差對(duì)比結(jié)果，圖中各點(diǎn)的誤差表示提取出的中孔輪廓各點(diǎn)到圓心的距離與標(biāo)稱半徑的差值。

圖14 Facet算法定位精度實(shí)驗(yàn)Fig.14 Facet algorithm positioning accuracy experiment

實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)了2 200個(gè)中孔輪廓點(diǎn)到圓心的距離與標(biāo)稱半徑的差值，采用Canny像素級(jí)算法的定位誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為28.77 μm，存在明顯的偏心問題；而采用基于Facet的亞像素算法得到的定位誤差的標(biāo)準(zhǔn)差為3.58 μm，轉(zhuǎn)換為像素精度為3.58/7.71=0.46 pixel，比采用像素級(jí)算法的定位精度提高了8倍。

4.3 不同型號(hào)齒輪混合測(cè)量實(shí)驗(yàn)

測(cè)量系統(tǒng)如圖15（a）所示；選取三款不同型號(hào)的直齒輪（兩款塑料齒輪和一款粉末冶金齒輪）作為測(cè)量對(duì)象，外觀如圖15（b）所示。

圖15 實(shí)驗(yàn)條件Fig.15 Experimental condition

三款齒輪的標(biāo)稱參數(shù)在表2中給出。

表2 三款待測(cè)齒輪的標(biāo)稱參數(shù)Tab.2 Nominal parameters of three gears to be tested

在不輸入任何齒輪參數(shù)的情況下，采用GVMS對(duì)上述三款齒輪（齒輪A、齒輪B和齒輪C）的各項(xiàng)參數(shù)測(cè)算；并在相同條件下進(jìn)行了20次重復(fù)測(cè)量實(shí)驗(yàn)，測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差小于0.8 μm，極差小于4μm，即重復(fù)性精度為4 μm。

采用德國(guó)Klingelnberg的齒輪測(cè)量中心（P26）加人工測(cè)量（運(yùn)用千分表和千分尺）的綜合測(cè)量結(jié)果作為GVMS測(cè)量結(jié)果的對(duì)照組，兩種方式的測(cè)量結(jié)果填入表3中，各項(xiàng)尺寸測(cè)量誤差均在8 μm內(nèi)。

表3 齒輪參數(shù)測(cè)量對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.3 Comparative experimental results of gear parameter measurement

選擇三款齒輪中模數(shù)最小的齒輪C作為測(cè)量對(duì)象，采用GVMS與P26兩種測(cè)量方式測(cè)量齒輪C的齒廓總偏差Fα、齒廓形狀偏差ffα和齒廓傾斜偏差fHα。兩種方式測(cè)得的四齒齒廓偏差結(jié)果如圖16和圖17所示，表4、表5和表6匯總了二者測(cè)量結(jié)果，對(duì)比后可以看出，兩種方式測(cè)得的齒廓總偏差最大相差4.5 μm，齒廓形狀偏差最大相差1.9 μm，齒廓傾斜偏差最大相差3.9 μm，評(píng)定結(jié)果基本一致。

表4 齒廓總偏差對(duì)比Tab.4 Comparison of total profile deviation

表5 齒廓形狀偏差對(duì)比Tab.5 Comparison of profile form deviation

表6 齒廓傾斜偏差對(duì)比Tab.6 Comparison of profile slope deviation

圖16 齒廓偏差（四齒，GVMS測(cè)量結(jié)果）Fig.16 Tooth profile deviation （four teeth， GVMS）

圖17 齒廓偏差（四齒，P26測(cè)量結(jié)果）Fig.17 Tooth profile deviation （four teeth， P26）

5 結(jié) 論

本文開發(fā)了基于視覺的小模數(shù)直齒輪免參數(shù)快速并行測(cè)量方法：（1）提出基于Facet模型的齒輪亞像素邊緣定位方法，定位精度為0.46 pixel，比像素級(jí)算法的定位精度提高了8倍；（2）建立基于迭代重加權(quán)最小二乘擬合齒輪中心點(diǎn)的方法，抑制了邊緣離群值對(duì)中心定位精度的影響；（3）提出通過(guò)圖像疊加定位圓與齒廓交點(diǎn)的方法，并用于計(jì)算齒數(shù)、齒厚和定位理論漸開線齒廓的起始點(diǎn)；（4）開發(fā)了正弦函數(shù)擬合測(cè)量齒數(shù)的方法，以及通過(guò)公式法、齒廓近似法測(cè)量壓力角的方法；（5）構(gòu)建了基于齒輪圖像的齒廓偏差計(jì)算方法。

本文提出的方法可以獲取齒數(shù)、模數(shù)、壓力角、齒頂圓直徑、齒根圓直徑、全齒高、齒寬、公法線變動(dòng)量和變位系數(shù)等尺寸參數(shù)，以及同心度、圓度和徑向跳動(dòng)等形位誤差，且可以通過(guò)測(cè)量齒廓偏差來(lái)分析齒廓修形量。

對(duì)于實(shí)驗(yàn)選用的三款小模數(shù)直齒輪，本文方法測(cè)得所有尺寸的標(biāo)準(zhǔn)差均小于0.8 μm，重復(fù)性精度為4 μm，與P26對(duì)比結(jié)果顯示誤差均在8 μm內(nèi)，與P26測(cè)得的齒廓總偏差、齒廓形狀偏差和齒廓傾斜偏差的最大差值分別為4.5 μm，1.9 μm和3.9 μm；造成測(cè)量誤差的眾多因素中有一個(gè)關(guān)鍵因素，即齒輪中軸線與光軸的不平行導(dǎo)致視場(chǎng)中多齒輪目標(biāo)圖像有不同程度的斜視（邊緣產(chǎn)生陰影），因此在后續(xù)的研究中需要考慮修正斜視產(chǎn)生的誤差。

相比傳統(tǒng)的接觸式測(cè)量方法，該方法無(wú)需輸入?yún)?shù)，無(wú)需裝夾，測(cè)量效率高，獲取的參數(shù)全，可以同時(shí)完成多種不同型號(hào)齒輪的免參數(shù)混合測(cè)量，因此具備在小模數(shù)齒輪產(chǎn)線上的應(yīng)用前景。