李國(guó)良

“面積的認(rèn)識(shí)”是“圖形與幾何”領(lǐng)域一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，它作為“面積”單元的起始內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)平面圖形的面積計(jì)算奠定了知識(shí)基礎(chǔ)。教學(xué)這一內(nèi)容，教師需要從學(xué)生身邊熟悉的情境入手，引導(dǎo)學(xué)生借助身邊的事物、圖形等直觀感知“面”的概念和“面”的大小，形成面積概念。同時(shí)，要讓學(xué)生經(jīng)歷從定性認(rèn)識(shí)（直觀比較“面”的大小）到定量認(rèn)識(shí)（度量）的過(guò)程，逐步學(xué)會(huì)用度量的方法刻畫(huà)“面”的大小，從而促進(jìn)其空間觀念從一維的線的長(zhǎng)度（周長(zhǎng)）發(fā)展到二維的面的大?。娣e）。本文嘗試通過(guò)對(duì)現(xiàn)行不同版本教材的比較分析和學(xué)生前概念的認(rèn)知調(diào)查，探索一條基于度量的統(tǒng)一性來(lái)深度理解面積意義的學(xué)習(xí)路徑。

一、分析教材，把握教學(xué)關(guān)鍵

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》（以下簡(jiǎn)稱“2022 年版課標(biāo)”）指出：“圖形的面積教學(xué)要讓學(xué)生在熟悉的情境中，直觀感知面積的概念，經(jīng)歷選擇面積單位進(jìn)行測(cè)量的過(guò)程，理解面積的意義，形成量感?！睘楦玫匕盐彰娣e概念，筆者對(duì)人教版、北師大版和蘇教版三個(gè)版本教材進(jìn)行了比較，發(fā)現(xiàn)它們均將“面積的認(rèn)識(shí)”這一內(nèi)容安排在三年級(jí)下冊(cè)，但在面積概念呈現(xiàn)、度量素材、比較方法和度量對(duì)象上存在一定差異（如表1）。

表1 人教版、北師大版、蘇教版教材對(duì)面積意義的編排比較

首先，在面積概念的表述上，人教版和蘇教版教材均使用具體物體表面（如黑板面、數(shù)學(xué)書(shū)封面）的大小進(jìn)行定義，北師大版教材則采用抽象的數(shù)學(xué)定義。三個(gè)版本教材都是以直觀形象的事物為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、操作、想象等活動(dòng)，描述物體（圖形）的面積，做到操作活動(dòng)與語(yǔ)言表達(dá)相結(jié)合，從而建立面積概念。

其次，三個(gè)版本教材均由比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小引入，激發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)面積單位的需求。但在選取度量素材時(shí)，人教版教材采用3種圖形（圓、正三角形、正方形）作為面積單位進(jìn)行測(cè)量，以使學(xué)生理解引入面積單位的必要性，包括為什么要有單位和用什么圖形作面積單位兩方面。北師大版和蘇教版教材則直接使用擺方塊或數(shù)方格的方法進(jìn)行度量。

再次，在比較方法的選擇上，三個(gè)版本教材都采用了觀察法、重疊法和度量法來(lái)比較兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積大小，以幫助學(xué)生從不同角度、不同層次把握面積的含義。

最后，在度量對(duì)象上，北師大版教材（4×4與3×5）與蘇教版教材（3×5與2×8）提供的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相差1 個(gè)單位面積，與人教版教材（2×5 與3×4）提供的兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積相差2個(gè)單位面積，學(xué)生用觀察法和重疊法都較難判斷出面積的大小，所以需要引導(dǎo)學(xué)生“選用一種圖形作單位來(lái)測(cè)量”，體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)面積單位的需求。

綜上所述，要讓學(xué)生理解面積意義，教師需要引導(dǎo)學(xué)生基于生活經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)化對(duì)物體、圖形等表面（包括正面、側(cè)面、曲面等）的理解，經(jīng)歷多個(gè)圖形表面的認(rèn)知過(guò)程，深化對(duì)面積的認(rèn)識(shí)，抽象出面積意義；采用多種方法比較圖形的面積大小，感受采用面積單位的必要性；在選用不同單位面積進(jìn)行度量的過(guò)程中，進(jìn)一步理解面積意義，形成豐富表象。

二、探知學(xué)情，確定教學(xué)基調(diào)

為全面準(zhǔn)確地了解學(xué)生對(duì)面積意義的認(rèn)知水平，筆者對(duì)學(xué)生進(jìn)行了一次前概念的調(diào)查與分析。

（一）調(diào)查對(duì)象及方法

筆者在兩所城鎮(zhèn)小學(xué)各選取兩個(gè)三年級(jí)班級(jí)的學(xué)生為調(diào)查對(duì)象，以書(shū)面前測(cè)卷的形式展開(kāi)調(diào)查，要求學(xué)生在15 分鐘內(nèi)獨(dú)立完成。本次調(diào)查共發(fā)放并回收前測(cè)卷156份。

（二）調(diào)查內(nèi)容與剖析

本調(diào)查根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的重難點(diǎn)擬定了三個(gè)層次的題目，旨在了解學(xué)生目前對(duì)面積概念的認(rèn)知水平及對(duì)“量”的感知程度。

前測(cè)題1：你聽(tīng)說(shuō)過(guò)面積嗎？在哪里聽(tīng)說(shuō)過(guò)？請(qǐng)舉一些例子。

本題旨在調(diào)查學(xué)生對(duì)“面積”一詞的了解情況，考查學(xué)生對(duì)“面積”一詞的認(rèn)識(shí)來(lái)源，初步了解學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)。調(diào)查結(jié)果如表2所示。

表2 學(xué)生對(duì)“面積”一詞的了解情況

從表2中可以看出，近90%的學(xué)生在不同場(chǎng)合聽(tīng)說(shuō)過(guò)“面積”一詞。進(jìn)一步分析學(xué)生的答題情況，發(fā)現(xiàn)他們大多是略聞其詞、不解其意（如圖1）。

圖1

因此，教師教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、觸摸、比較等方法，感知身邊物體的表面的大小，幫助學(xué)生理解面積的含義，感受面積與生活的緊密聯(lián)系，發(fā)展形象思維。

前測(cè)題2：請(qǐng)用自己的話說(shuō)一說(shuō)什么是面積。

本題通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生用自己的話描述“面積”，調(diào)查他們對(duì)面積意義的表征情況，進(jìn)而了解他們對(duì)面積意義的理解程度。調(diào)查結(jié)果如表3所示。

表3 學(xué)生對(duì)面積意義的理解程度

從表3中可以看出，能較為準(zhǔn)確地定義面積意義，或用大小、面來(lái)描述面積的學(xué)生約占58.3%。而在學(xué)生存在的錯(cuò)誤認(rèn)知中，有25%的學(xué)生是把面積當(dāng)成了周長(zhǎng)。

因此，教師在教學(xué)時(shí)須注意引導(dǎo)學(xué)生將動(dòng)作表征與語(yǔ)言表征結(jié)合起來(lái)，一邊用手比畫(huà)，一邊用語(yǔ)言描述物體表面的面積，通過(guò)多樣化的動(dòng)手實(shí)踐活動(dòng)，增強(qiáng)對(duì)面積的直觀感知，避免與周長(zhǎng)概念產(chǎn)生混淆。

前測(cè)題3：用涂一涂的方法畫(huà)3個(gè)不同的圖形，使它們的大小均為6個(gè)小方格。

本題旨在調(diào)查學(xué)生對(duì)統(tǒng)一面積單位的表征能力，了解學(xué)生是否具備用多種方式表征大小為6個(gè)小方格的圖形的能力。調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)學(xué)生能表示大小為6個(gè)小方格的長(zhǎng)方形，只有少數(shù)學(xué)生能表示大小為6個(gè)小方格的其他圖形（如圖2）。

圖2

因此，教師教學(xué)時(shí)要充分借助度量的方法，讓學(xué)生在經(jīng)歷測(cè)量圖形面積的過(guò)程中感悟面的大小，學(xué)會(huì)用數(shù)值來(lái)刻畫(huà)面積的大小，體會(huì)面積單位的價(jià)值，感悟面積與面積單位之間的關(guān)系。

基于上述對(duì)教材和學(xué)情的分析可知，“面積的認(rèn)識(shí)”的學(xué)習(xí)須處理好三方面的問(wèn)題：一是量什么？即度量的對(duì)象（黑板面、課桌面、書(shū)本封面等）。二是用什么量？即對(duì)面積單位的選擇要經(jīng)歷從非標(biāo)準(zhǔn)單位到標(biāo)準(zhǔn)單位的過(guò)程。三是怎么量？即面積單位要鋪滿所度量的對(duì)象。

三、教學(xué)實(shí)踐，彰顯度量?jī)r(jià)值

2022 年版課標(biāo)指出，發(fā)展量感要明確度量的意義，能夠理解統(tǒng)一度量單位的必要性，會(huì)針對(duì)真實(shí)情境選擇合適的度量單位進(jìn)行度量。本內(nèi)容的教學(xué)應(yīng)著重體現(xiàn)以下目標(biāo)：通過(guò)實(shí)踐操作理解面積的意義，從多元視角全面感知度量方法，在親身體驗(yàn)中感受統(tǒng)一度量標(biāo)準(zhǔn)的必要性，從而全面提升量感素養(yǎng)。

（一）直觀感知，初步理解面積意義

教師出示兩本不同的數(shù)學(xué)書(shū)（如圖3），提問(wèn)：“仔細(xì)觀察這兩本不同時(shí)期的數(shù)學(xué)書(shū)，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)這兩本書(shū)的封面有大小。接著，組織學(xué)生尋找生活中的面（黑板表面、課桌表面、文具盒表面、長(zhǎng)方形紙片和正方形紙片，如圖4），引導(dǎo)他們通過(guò)觀察、觸摸、互相介紹等方法充分感知什么是面，并比較這些面的大小。在上述活動(dòng)的基礎(chǔ)上，揭示“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”這一面積的含義。

圖3

圖4

在上述教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和現(xiàn)有認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，利用直觀感知明確了兩本數(shù)學(xué)書(shū)的封面，懂得了什么是面，知道了面是有大小之分的。同時(shí)，通過(guò)看、摸、比生活中的面等活動(dòng)，初步建立面積概念，形成一定的量感。

（二）多重比較，深入研究面積意義

教師組織學(xué)生討論圖4中哪個(gè)面的面積最大，哪個(gè)面的面積最小。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，當(dāng)物體表面差異較大時(shí)，可以通過(guò)觀察直接得出誰(shuí)的面積大、誰(shuí)的面積小。接著，引導(dǎo)學(xué)生重點(diǎn)比較長(zhǎng)方形（5×3）與正方形（4×4）的面積大小。

【教學(xué)片段1】

生1：長(zhǎng)方形與正方形的面積大小不能通過(guò)觀察直接比較出來(lái)。

生2：可以把這兩個(gè)圖形疊起來(lái)進(jìn)行比較，看看哪個(gè)圖形的面積大。

師：現(xiàn)在請(qǐng)大家拿出學(xué)具，按生2 的方法進(jìn)行比較，看看是否能比較出大小。

（讓學(xué)生借助學(xué)具，用重疊的方法進(jìn)行操作活動(dòng)）

生3：我重疊這兩個(gè)圖形后，發(fā)現(xiàn)每個(gè)圖形都多出了一部分，還是不能比較出它們的面積大小。

生4：如果把多出來(lái)的部分剪下來(lái)繼續(xù)比較，是不是就能比較出它們的面積大小了？

最后，教師組織學(xué)生采用剪拼的方法比較兩個(gè)圖形的大小，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：通過(guò)兩次剪拼，可以得出正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大（如圖5）。

圖5

通過(guò)這一教學(xué)過(guò)程，學(xué)生認(rèn)識(shí)到在比較兩個(gè)面積相近的圖形時(shí)，可以采用觀察法、重疊法和剪拼法，但這些方法都存在一定的局限性。這激發(fā)了學(xué)生認(rèn)識(shí)面積單位的需求，也促使學(xué)生采用間接比較的方法，理解引入面積單位的必要性。

（三）基于統(tǒng)一，科學(xué)刻畫(huà)面積意義

上述教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生通過(guò)采用多種方法進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)它們存在局限性，這促使他們尋找一個(gè)更好的方法來(lái)比較面積的大小。經(jīng)過(guò)全班討論，學(xué)生提出可以借助其他圖形進(jìn)行度量，根據(jù)單位面積的多少來(lái)比較面積的大小。

教師組織學(xué)生以小組為單位，分別用樹(shù)葉、圓片、正三角形、小正方形對(duì)長(zhǎng)方形和正方形的面積進(jìn)行度量。

【教學(xué)片段2】

生：我們組采用相同大小的樹(shù)葉來(lái)擺放這兩個(gè)圖形，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形用了16片樹(shù)葉，擺滿長(zhǎng)方形用了15 片樹(shù)葉，可以得出正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大的結(jié)論。

生：我們組采用圓片進(jìn)行測(cè)量，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形、長(zhǎng)方形分別需要16個(gè)和15個(gè)圓片，可以得出正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大的結(jié)論。

生：我們組用正三角形來(lái)擺放，發(fā)現(xiàn)擺滿正方形用了28 個(gè)正三角形，擺滿長(zhǎng)方形用了27 個(gè)正三角形，也得出正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大的結(jié)論，但操作的時(shí)候很麻煩。

師：你們?cè)谟脴?shù)葉、圓片、正三角形擺放時(shí)發(fā)現(xiàn)了什么問(wèn)題？

生：用這三種圖形進(jìn)行測(cè)量均會(huì)出現(xiàn)空白部分，所以在比較兩個(gè)圖形的大小時(shí)，不僅要比較鋪的個(gè)數(shù)，還要考慮空白部分。

……

生：我們組采用小正方形來(lái)鋪這兩個(gè)圖形，鋪滿正方形、長(zhǎng)方形分別用了16個(gè)和15個(gè)小正方形，得出正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積大了1 個(gè)小正方形的結(jié)論。

（教師出示圖6 中的四幅度量圖，引導(dǎo)學(xué)生討論：用小正方形作為單位面積進(jìn)行度量的合理性和用其他單位面積進(jìn)行度量的可行性）

圖6

生：我發(fā)現(xiàn)當(dāng)用圓片去鋪這兩個(gè)圖形時(shí)，正方形的面積比長(zhǎng)方形的面積多了中間的1 個(gè)空白部分。

生：如果在前三幅圖中都畫(huà)上小正方形，就會(huì)發(fā)現(xiàn)每一個(gè)用來(lái)測(cè)量的圖形用小正方形鋪滿的樣子都是一樣的，它們都可以用于測(cè)量圖形，只是會(huì)麻煩一點(diǎn)。

師：是啊，用小正方形去鋪圖形就不會(huì)有縫隙，這樣的方法在數(shù)學(xué)上叫作密鋪，它能更直觀、方便地比較出兩個(gè)圖形的面積大小。

這一教學(xué)過(guò)程，教師為學(xué)生提供豐富的素材（樹(shù)葉、圓片、正三角形、小正方形）作為“面積尺”，讓學(xué)生通過(guò)用不同的單位面積進(jìn)行度量，感受度量對(duì)象的面積是由單位面積累加而成的；同時(shí)，在度量的過(guò)程中理解確定的相同材料都可以作為度量單位，但在實(shí)際度量時(shí)需要對(duì)度量單位進(jìn)行統(tǒng)一，從而深度刻畫(huà)面積的意義。

（四）回歸本源，統(tǒng)一面積單位的必要性

眾所周知，不同物體（圖形）表面的度量最終均統(tǒng)一采用“1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米”等面積單位。教師組織學(xué)生以小正方形（面積為1×1）為度量單位測(cè)量長(zhǎng)方形和正方形的面積，可以讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到，為了獲得統(tǒng)一的度量結(jié)果，需采用相同的度量工具和統(tǒng)一的面積單位。以小正方形作為單位面積，有助于學(xué)生體驗(yàn)面積單位的創(chuàng)造過(guò)程，理解“方出于矩”的道理，從而感悟面積單位的本質(zhì)意義，提升對(duì)“單位1”的認(rèn)知水平。

總之，一個(gè)概念的形成需要經(jīng)歷感知、理解、深化三個(gè)階段。筆者通過(guò)對(duì)教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)的深入剖析，結(jié)合對(duì)面積意義本質(zhì)的深入思考，充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和思維特征，以度量的統(tǒng)一性為核心，合理架構(gòu)教學(xué)框架，將面積的意義貫穿教學(xué)全過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用定量方法解決問(wèn)題的能力，形成抽象能力和應(yīng)用意識(shí)，并引導(dǎo)學(xué)生用“數(shù)”面積單位個(gè)數(shù)的方法定量刻畫(huà)圖形面積的大小，不斷提升學(xué)生的量感。