郝高峰 王永濤 童燕

【摘 要】基于計(jì)數(shù)單位的一致性視角，當(dāng)前分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算教學(xué)表現(xiàn)出鮮明的階段性和個(gè)性化特征。文章結(jié)合對(duì)一致性和階段性關(guān)系的討論，以現(xiàn)行北師大版數(shù)學(xué)教材“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”教學(xué)為例，在尊重教材的基礎(chǔ)上創(chuàng)新教學(xué)實(shí)踐，理順多樣化算法與通用算法之間的關(guān)系，堅(jiān)守直觀輔助教學(xué)、通用算法優(yōu)先等有效經(jīng)驗(yàn)，適時(shí)分階段引入形式化推理、演繹推理等，構(gòu)建長(zhǎng)程學(xué)習(xí)路徑，實(shí)現(xiàn)突圍，以期達(dá)成一致性與階段性的有效統(tǒng)一。

【關(guān)鍵詞】分?jǐn)?shù)除法；一致性；階段性；計(jì)數(shù)單位；堅(jiān)守與突圍

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）的頒布，在全國(guó)基礎(chǔ)教育界掀起了一輪又一輪學(xué)習(xí)和踐行新課標(biāo)理念的浪潮。具體到小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，關(guān)于一致性，尤其是數(shù)與運(yùn)算一致性的討論高潮迭起，基于計(jì)數(shù)單位視角重構(gòu)數(shù)與運(yùn)算教學(xué)已成為大家的共識(shí)。然而，在落實(shí)新課標(biāo)理念的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)用計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)除法的教學(xué)實(shí)踐，特別是分?jǐn)?shù)除法的教學(xué)則稍顯力不從心，新的“不一致”悄然出現(xiàn)。

一、問(wèn)題與現(xiàn)狀

基于計(jì)數(shù)單位視角理解加法、減法運(yùn)算的算理順理成章，即不論是整數(shù)、小數(shù)，還是分?jǐn)?shù)的加減法都是對(duì)相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行累加或遞減運(yùn)算。比如異分母分?jǐn)?shù)加減法先通分，就是為了轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，也就是計(jì)數(shù)單位相同的分?jǐn)?shù)后，再對(duì)其個(gè)數(shù)進(jìn)行相應(yīng)運(yùn)算。在實(shí)際教學(xué)中，教師只要基于以前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)強(qiáng)化計(jì)數(shù)單位即可。即便是第二級(jí)運(yùn)算中的乘法，因脫胎于加法運(yùn)算，其一致性表現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位相乘得到新的計(jì)數(shù)單位，個(gè)數(shù)相乘得到新的個(gè)數(shù)。教學(xué)中亦可與原有教學(xué)雙線并行，相得益彰。比如，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)時(shí)，分子相乘的積做分子，實(shí)際算的就是積中計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)；而分母相乘的積做分母，實(shí)則確定的是積的計(jì)數(shù)單位。于是，加、減、乘法都可統(tǒng)一為兩步，即定單位和算個(gè)數(shù)。實(shí)際計(jì)算中，也常常表現(xiàn)為先算個(gè)數(shù)，再定單位。整體來(lái)看，加、減、乘法在運(yùn)算上表現(xiàn)得比較一致。對(duì)于除法，整數(shù)和小數(shù)除法的算理要基于計(jì)數(shù)單位去解釋并開(kāi)展教學(xué)也并非難事，即單位相除確定新的單位，個(gè)數(shù)相除得到新的個(gè)數(shù)，或統(tǒng)一單位后個(gè)數(shù)間進(jìn)行除法運(yùn)算。但分?jǐn)?shù)除法因其現(xiàn)行通用算法為“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”，與基于計(jì)數(shù)單位一致性的算理解釋出入較大，表現(xiàn)出極強(qiáng)的個(gè)性化特征。再加上分?jǐn)?shù)除法算理的解釋呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)，一方面造成對(duì)運(yùn)算一致性建構(gòu)的直接干擾；另一方面，也使得教師教學(xué)難免顧此失彼，給教學(xué)實(shí)踐中具體方法的選擇和取舍帶來(lái)一定困擾。

二、分析與思考

（一）現(xiàn)行教材對(duì)分?jǐn)?shù)除法算理教學(xué)的實(shí)踐

（二）基于演繹推理的除法算理一致性建構(gòu)

鞏子坤等學(xué)者從數(shù)的概念與運(yùn)算的本源性、一致性與整體性出發(fā)，統(tǒng)整核心概念、基本規(guī)

（三）一致性和階段性關(guān)系的討論

新課標(biāo)指出，核心素養(yǎng)具有整體性、一致性和階段性，在不同階段具有不同表現(xiàn)。［6］事實(shí)上，整體性、一致性和階段性是事物發(fā)展的普遍規(guī)律，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)然也不例外。整體性是基礎(chǔ)，它決定了數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯的一致性。又因?yàn)槭挛锸前l(fā)展變化的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也就必然會(huì)表現(xiàn)出一定的階段性。這樣，一致性和階段性統(tǒng)一于整體性之下，就構(gòu)成了事物發(fā)展的兩個(gè)辯證的維度，即共性和個(gè)性。而數(shù)學(xué)的無(wú)限發(fā)展正是在諸多對(duì)立面的辯證運(yùn)動(dòng)中得到實(shí)現(xiàn)的［7］。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)需要關(guān)注階段性和一致性，科學(xué)地處理局部知識(shí)與整體知識(shí)、階段發(fā)展與長(zhǎng)遠(yuǎn)發(fā)展的關(guān)系。［8］

基于這樣的認(rèn)識(shí)，數(shù)的概念與運(yùn)算整體上應(yīng)該基于計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行建構(gòu)，這體現(xiàn)了其內(nèi)在邏輯的一致性。由于四則運(yùn)算之間的衍生關(guān)系，第一級(jí)運(yùn)算加、減法集中表現(xiàn)出一致性的一面。而第二級(jí)運(yùn)算中的乘法在保持一致性的前提下已經(jīng)展露出一定的階段性。到除法運(yùn)算，尤其是分?jǐn)?shù)除法，階段性表現(xiàn)得更為突出，一致性反而有所內(nèi)斂。這也耦合了事物發(fā)展的一般規(guī)律。需要特別指出的是，一致性與階段性之間也是有層級(jí)的。在某一階段內(nèi)，往往會(huì)表現(xiàn)出新的一致性，新的一致性內(nèi)部又會(huì)產(chǎn)生階段性（如圖1）。

（四）新一致性視角下分?jǐn)?shù)除法教學(xué)的其他幾種可能

方法1：運(yùn)用商不變規(guī)律

生普遍容易理解。

方法2：“經(jīng)分”法

方法3：分子相除商做分子，分母相除商做分母

方法4：根據(jù)運(yùn)算的意義，借助直觀推理

三、實(shí)踐與建議

由上文分析不難發(fā)現(xiàn)，基于計(jì)數(shù)單位建構(gòu)數(shù)的概念與運(yùn)算一致性框架，從一致性視角審視數(shù)的運(yùn)算教學(xué)有著積極的現(xiàn)實(shí)意義，它是促進(jìn)學(xué)生數(shù)感、運(yùn)算能力、符號(hào)意識(shí)、推理意識(shí)、模型意識(shí)等諸多數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的關(guān)鍵。由于事物發(fā)展變化的普遍規(guī)律，一致性和階段性相伴相生。分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算在保持基于計(jì)數(shù)單位這一核心概念的基礎(chǔ)上，表現(xiàn)出了更多的階段特性，其算理和算法呈現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)。而基于計(jì)數(shù)單位進(jìn)行分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)，算理過(guò)于抽象，算法操作性不強(qiáng)，與小學(xué)生擅長(zhǎng)形象化思維的現(xiàn)實(shí)不符。因此，在分?jǐn)?shù)除法教學(xué)中，教師不能盲目冒進(jìn)。一方面，教師要堅(jiān)守已經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的好的做法；另一方面，教師要全面理解一致性，構(gòu)建長(zhǎng)程學(xué)習(xí)路徑，在合適的時(shí)機(jī)尋求突圍，最終實(shí)現(xiàn)二者的和諧共存。

（一）堅(jiān)守直觀助力算理理解不動(dòng)搖，形式化推理突圍

現(xiàn)行教材多采用分物或速度等現(xiàn)實(shí)情境，借助面積圖、線段圖等直觀模型助力學(xué)生理解分?jǐn)?shù)除法算理，這種方式順應(yīng)了小學(xué)生的思維特點(diǎn)，經(jīng)受住了實(shí)踐的檢驗(yàn)，是需要教師堅(jiān)守的。但教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，這些現(xiàn)實(shí)情境對(duì)數(shù)據(jù)的要求比較嚴(yán)苛。因此，教材一般通過(guò)選取特殊數(shù)據(jù)，通過(guò)不完全歸納，甚至類比、猜想等方式，規(guī)避掉可能與實(shí)際不符的一般數(shù)據(jù)進(jìn)行說(shuō)理。這樣的處理方式，降低了學(xué)習(xí)的難度，有助于保護(hù)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。但也因?yàn)槠淙鄙俦容^嚴(yán)密的邏輯證明而顯得美中不足。以現(xiàn)行北師大版數(shù)學(xué)教材為例，教材借助分餅情境（如圖3）和長(zhǎng)方形的面積模型（如圖4），引導(dǎo)學(xué)生直觀理解一個(gè)整數(shù)除以單位分?jǐn)?shù)，可以轉(zhuǎn)化為乘這個(gè)單位分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。這種方式符合學(xué)生的實(shí)際，但以此就得出“除以一個(gè)不為零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”的結(jié)論還是略顯倉(cāng)促。

需要指出的是，有人認(rèn)為過(guò)多的形象化思維訓(xùn)練會(huì)阻礙學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展。事實(shí)上，抽象思維能力的培養(yǎng)不僅要靠抽象的邏輯推理活動(dòng)，也要有一定量的具象思維活動(dòng)的加持。即在抽象中可以培養(yǎng)抽象，在具象中也可以培養(yǎng)抽象。

（二）堅(jiān)守通用算法教學(xué)為主不動(dòng)搖，多樣化算法突圍

“甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)”是當(dāng)下分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的一個(gè)通用算法，它也適用于小數(shù)和整數(shù)除法。教學(xué)中，教師不能因?yàn)樗c基于計(jì)數(shù)單位建構(gòu)的數(shù)與運(yùn)算一致性表現(xiàn)得不一致而將其置之高閣，轉(zhuǎn)而另起爐灶追求表面的一致性，引導(dǎo)學(xué)生使用上文中提到的方法2——“經(jīng)分”法或操作性不強(qiáng)的“單位相除得到新單位，個(gè)數(shù)相除得到新個(gè)數(shù)”的方法。相反，教師一定要堅(jiān)守通用算法教學(xué)為主不動(dòng)搖，因?yàn)檫@是經(jīng)受住實(shí)踐檢驗(yàn)的具有普適性的算法，且符合求簡(jiǎn)的人性。但也不能將分?jǐn)?shù)除法簡(jiǎn)單地理解為算法的訓(xùn)練和掌握，而應(yīng)該將其放到解決問(wèn)題的大背景中，這樣的教學(xué)才會(huì)更加地開(kāi)放和靈動(dòng)，也才會(huì)成為培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的契機(jī)。

（三）堅(jiān)守短程凸顯階段性不動(dòng)搖，長(zhǎng)程實(shí)現(xiàn)一致性突圍

因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)除法運(yùn)算的特殊性，它可以承載更多的育人價(jià)值。如果跳出通用算法教學(xué)的羈絆，從一致性視角審視它時(shí)，會(huì)發(fā)現(xiàn)其表現(xiàn)出的階段內(nèi)通用算法與基于計(jì)數(shù)單位所建構(gòu)的數(shù)的運(yùn)算框架的不一致，恰恰促進(jìn)了人們對(duì)一致性的深度理解，即一致性也是有階段性的。因此，分?jǐn)?shù)除法教學(xué)不應(yīng)該被禁錮在一節(jié)課或一個(gè)單元以內(nèi)，而應(yīng)該構(gòu)建一個(gè)更加長(zhǎng)程的學(xué)習(xí)路徑。短程內(nèi)凸顯它的個(gè)性，正視階段性；長(zhǎng)程中揭示它的共性，關(guān)注一致性，在堅(jiān)守中逐步突圍。

以現(xiàn)行北師大版數(shù)學(xué)教材為例，筆者以為，分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)的教學(xué)大致可以分為以下幾個(gè)階段。（1）通用算法教學(xué)階段。五年級(jí)下學(xué)期新課教學(xué)時(shí)，結(jié)合具體情境，借助幾何直觀、不完全歸納、類比推理等初步理解算理算法，適時(shí)用商不變規(guī)律等做形式化證明，盡可能完善邏輯結(jié)構(gòu)，構(gòu)建相對(duì)完整的邏輯體系。這一過(guò)程可持續(xù)至整個(gè)教材單元的學(xué)習(xí)，重在學(xué)懂通用算法。（2）多樣化算法輔助階段。五年級(jí)下學(xué)期單元復(fù)習(xí)（也可提前至練習(xí)課）時(shí)，選擇合適的時(shí)機(jī)引導(dǎo)學(xué)生用上文中的多種方法（不建議過(guò)早介入一致性框架中提到的演繹推理）嘗試計(jì)算。這一階段可再細(xì)分為學(xué)生自主生成和教師刻意設(shè)計(jì)兩個(gè)層次。這一階段不以追求方法的“多”為目的，貴在適宜，強(qiáng)調(diào)學(xué)通方法。其間，教師需及時(shí)點(diǎn)明算法間的關(guān)聯(lián)，讓學(xué)生初步體會(huì)不同算法間的一致性。這個(gè)階段可持續(xù)至期末復(fù)習(xí)。（3）靈活應(yīng)用階段。主要指在具體的解決問(wèn)題及計(jì)算過(guò)程中，學(xué)生會(huì)熟練運(yùn)用通用算法，并靈活選擇不同的方法進(jìn)行計(jì)算。比如，面對(duì)同分母分?jǐn)?shù)相除時(shí)只除分子，分子和分母分別有倍數(shù)關(guān)系時(shí)用分子、分母分別相除，化小數(shù)方便計(jì)算時(shí)化小數(shù)計(jì)算等。學(xué)生在應(yīng)用的過(guò)程中反芻算理和算法，體悟其一致性。這一過(guò)程貫穿六年級(jí)上學(xué)期，可一直持續(xù)到后續(xù)學(xué)習(xí)中，重在一個(gè)“活”字。（4）總結(jié)提升階段。這個(gè)階段建議放至六年級(jí)下學(xué)期總復(fù)習(xí)，可適當(dāng)增加若干課時(shí)［9］，幫助學(xué)生總結(jié)提升，也可以根據(jù)情況適當(dāng)提前。教師可以引導(dǎo)學(xué)生嘗試基于運(yùn)算本源，借助運(yùn)算律及等式性質(zhì)進(jìn)行演繹推理，點(diǎn)透分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算基于計(jì)數(shù)單位的一致性，讓學(xué)生再次梳理已學(xué)的不同算法，初步感受一致性與階段性的辯證關(guān)系（如圖6）。

需要強(qiáng)調(diào)的是，分?jǐn)?shù)除法基于計(jì)數(shù)單位的一致性建構(gòu)需要經(jīng)歷一個(gè)循序漸進(jìn)、循環(huán)往復(fù)、逐步深化的過(guò)程。以上四個(gè)階段各有側(cè)重，但又沒(méi)有絕對(duì)的界限。它們之間可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況靈活調(diào)整。

四、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，一致性和階段性是事物發(fā)展所表現(xiàn)出來(lái)的普遍規(guī)律，它不是簡(jiǎn)單的整體一樣，固化標(biāo)準(zhǔn)。其實(shí)質(zhì)就是共性與個(gè)性的二元對(duì)立統(tǒng)一，即一致性中會(huì)展露階段性，一定階段內(nèi)又可能出現(xiàn)新的一致性。整體來(lái)看，本質(zhì)上又具有一致性。而一致性視角下分?jǐn)?shù)除法運(yùn)算的教學(xué)既不是因循守舊地故步自封，也不是全盤否定地推倒重來(lái)。它應(yīng)該以學(xué)生核心素養(yǎng)的形成為旨?xì)w，以解決問(wèn)題為抓手，基于學(xué)生實(shí)際，繼承以往教學(xué)中注重直觀、通用算法先行等可行經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步完善推理邏輯體系，豐富一致性框架的內(nèi)涵，重視課程內(nèi)容的連續(xù)性、整體性和遞進(jìn)性［10］，幫助學(xué)生深刻理解算理，掌握算法，在堅(jiān)守中逐步實(shí)現(xiàn)突圍。以上思考或許還不夠成熟，也可能過(guò)于膚淺甚至有失偏頗。之所以冒昧地提出來(lái)，是因?yàn)槟壳瓣P(guān)于這個(gè)話題的討論還不夠豐富和深刻，一線教師十分迷茫。希望經(jīng)過(guò)討論，能更好地促進(jìn)一致性框架在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中落地，從而有效推動(dòng)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。

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