李宏松

(懷寧縣星拱小學(xué) 安徽安慶 246100)

現(xiàn)代教育技術(shù)的革新給傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式帶來了巨大的沖擊,改變了教學(xué)內(nèi)容的單一呈現(xiàn)形式促進(jìn)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)方式方法的革新,形成了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)多元表征的客觀態(tài)勢?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2022年版)在課程理念中明確指出:要促進(jìn)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程融合。因此,在教學(xué)中我們要充分利用現(xiàn)代信息技術(shù),多樣化呈現(xiàn)學(xué)習(xí)對象,多元性建構(gòu)數(shù)學(xué)知識,注重學(xué)習(xí)對象內(nèi)在表征的多元聯(lián)系、多元外化,從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生。

一、數(shù)學(xué)多元表征的內(nèi)涵

表征是認(rèn)知心理學(xué)當(dāng)中的一個核心概念,是認(rèn)知對象在心理活動中的記載和表現(xiàn)方式。數(shù)學(xué)多元表征一般可分為外在表征和內(nèi)在表征。外在表征一般以言語化符號和圖形化符號為主要表現(xiàn)形式,如概念的陳述性語言描述、圖形的表象性語言描述、現(xiàn)實(shí)生活中的原型描述、抽象數(shù)學(xué)符號的描述、圖表形式的描述等。內(nèi)在表征是指存在于頭腦里無法直接觀察到的心理表征。內(nèi)在表征也有不同的形式,有些是個別的、外顯的,能根據(jù)規(guī)則加以組合,較為抽象;有些是非個別的、內(nèi)隱的,具有寬松的組合規(guī)則,較為具體。

二、多元表征與深度學(xué)習(xí)的關(guān)聯(lián)

所謂深度學(xué)習(xí),從學(xué)習(xí)情感來說,是學(xué)生積極地投入、參與學(xué)習(xí);從學(xué)習(xí)過程來說,是一種主動的、探究式的、有意義的學(xué)習(xí)過程;從學(xué)習(xí)結(jié)果來說,是指學(xué)生能深刻地理解和把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心與聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)知識的深層加工、深刻理解以及長久保持。數(shù)學(xué)多元表征的學(xué)習(xí)將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象多樣化呈現(xiàn),能提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;引導(dǎo)學(xué)生主動探究數(shù)學(xué)表征的多元聯(lián)系,實(shí)現(xiàn)知識的意義構(gòu)建;注重數(shù)學(xué)內(nèi)在表征的多元外化,實(shí)現(xiàn)對學(xué)習(xí)內(nèi)容的深刻理解和靈活運(yùn)用。

三、多元表征促進(jìn)對數(shù)學(xué)概念的構(gòu)建

學(xué)生數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建、核心素養(yǎng)的發(fā)展都離不開數(shù)學(xué)概念的支撐。數(shù)學(xué)概念既是學(xué)生建立數(shù)學(xué)認(rèn)知的起點(diǎn),又是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ),更關(guān)乎對知識的學(xué)習(xí)理解。為此,在教學(xué)中教師應(yīng)注重概念產(chǎn)生過程的合理性,使學(xué)生明晰概念的本質(zhì),喚起對概念的認(rèn)同。

如人教版三年級數(shù)學(xué)上冊“倍的認(rèn)識”一課,為了讓學(xué)生真正理解“倍”的意義,在教學(xué)中我引領(lǐng)學(xué)生開展了以下表征活動。

(一)多元表征溯其“源”,了解“倍”的來源

三年級的學(xué)生對“倍”的認(rèn)知并不是一片空白。一方面,他們在生活中經(jīng)常會遇到兩個量成倍數(shù)關(guān)系的現(xiàn)象;另一方面,學(xué)生了解了整數(shù)乘除法的意義,能熟練地求一個數(shù)里有幾個另一個數(shù),并且有豐富的比較兩個量多少的經(jīng)驗(yàn)。但“倍”反映的是兩個量之間的“倍比”關(guān)系,因而較之“差比”更加抽象,理解起來比較困難。在教學(xué)中我們要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn),順學(xué)而導(dǎo),以學(xué)定教。

師:請用自己的方式表示8里面有幾個4。

生1:8里面有2個4,用算式表示:8÷4=2。

生2:我是畫圖表示的,先畫8個三角形,每4個圈一份,圈了兩份。所以8里面有2個4。

生3:我是擺小棒表示的,把8根小棒分成兩組4根小棒。

師:比較兩個數(shù)量,除了比相差多少,還有另一種方法——倍?！氨丁焙臀覀儗W(xué)過的乘除法也有密切的聯(lián)系,今天我們就一起認(rèn)識“倍”。

學(xué)生通過畫一畫、圈一圈、寫一寫、說一說等實(shí)際操作活動,從操作表征、圖形表征、符號表征、語言表征來溯“源”,了解“倍”概念產(chǎn)生的來龍去脈,為理解“倍”的概念做好必要的鋪墊。

(二)多元表征究其“本”,明晰“倍”的本質(zhì)

“倍”是乘法和除法意義的進(jìn)一步發(fā)展,其本質(zhì)上由標(biāo)準(zhǔn)量、比較量、份數(shù)三要素組成。在日常的教學(xué)中,由于教師沒有引導(dǎo)學(xué)生多元建構(gòu)“倍”的概念,學(xué)生對“倍”概念的理解和認(rèn)識淺嘗輒止、浮于表面。在教學(xué)中我們可以借助現(xiàn)代信息技術(shù)手段,幫助學(xué)生建立概念的多元表征,從而實(shí)現(xiàn)對概念的真正理解。

活動一:情境實(shí)物表征,初步感知“倍”。

課件出示2根胡蘿卜和6根紅蘿卜。

師:如果把2根胡蘿卜看成一份(畫上集合圈),紅蘿卜有這樣的幾份呢?

生:有這樣的3份。(展示學(xué)生圈的過程)

師:為什么要2根2根地圈?

生:因?yàn)楹}卜有2根,我們就以2根為1份,紅蘿卜就要2根2根地圈。

師:是的,我們對兩個數(shù)量進(jìn)行比較時,首先要確定好比較的標(biāo)準(zhǔn)。我們把2根胡蘿卜作為比較標(biāo)準(zhǔn),看作1份。確定了1份的數(shù)量以后,再圈一圈紅蘿卜里面有幾個這樣1份的量,也就是3個2根,于是就找到了紅蘿卜的根數(shù)是胡蘿卜的3倍。

活動二:圖形符號表征,主動構(gòu)建“倍”。

課件出示3個三角形和9個圓。

師:圓的個數(shù)是三角形的幾倍?試著圈一圈,并完整地說一說比較的過程。

生:圓的個數(shù)是三角形的3倍。把3個三角形作為比較的標(biāo)準(zhǔn)看作1份,圓的個數(shù)里有3個3,圓的個數(shù)就是三角形的3倍。

改變圓的個數(shù),課件出示4個三角形。

師:現(xiàn)在三角形增加1個,變成4個,如果依舊使圓的個數(shù)是三角形的3倍,可以怎么辦?試著畫一畫,圈一圈。

師:你是怎么圈的?為什么要這樣圈?完整地說說比較的過程。

生:把4個三角形作為標(biāo)準(zhǔn),看作1份,圓的個數(shù)是三角形的3倍,圓的個數(shù)里有3個4,所以是12個。

師:不管它們分別是多少個,我們都是把三角形的個數(shù)作為比較的標(biāo)準(zhǔn),看作1份;圓的個數(shù)總是這樣的3份。所以圓的個數(shù)都是三角形的3倍。

厘清標(biāo)準(zhǔn)量、份數(shù)、比較量三要素之間的關(guān)系是理解“倍”概念的關(guān)鍵所在。為突破這一難點(diǎn),教師為學(xué)生進(jìn)行情境實(shí)物表征、圖形符號表征提供了充足的直觀材料,待學(xué)生獲得豐富的實(shí)踐操作體驗(yàn)后,再加以語言描述性表征,引發(fā)師生的深度對話。學(xué)生在畫一畫、圈一圈、比一比、說一說的學(xué)習(xí)活動中,經(jīng)歷比較、辨析、抽象的過程,在實(shí)物表征、圖形表征、語言表征、表象表征等不同的表征系統(tǒng)之間任意轉(zhuǎn)換,將數(shù)學(xué)概念多元外化,突顯“倍”的本質(zhì),從而實(shí)現(xiàn)對概念的真正理解。

四、多元表征促進(jìn)對運(yùn)算規(guī)律的領(lǐng)悟

運(yùn)算規(guī)律是學(xué)生思維從具體到抽象的一次重大飛躍,也是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容。如何設(shè)計出符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)過程,讓學(xué)生在自主構(gòu)建規(guī)律模型中感悟數(shù)學(xué)思想方法,是值得我們深入思考的問題。而多元表征就是基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí)的有效學(xué)習(xí)方式。

如在學(xué)習(xí)“乘法分配律”一課時,我遵從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,關(guān)注多元表征,注重新知的學(xué)習(xí)過程和問題解決過程的設(shè)計,組織學(xué)生實(shí)現(xiàn)對乘法分配律的深度學(xué)習(xí)。

(一)圖文并茂,感知結(jié)構(gòu)特征

課件出示情境圖:

在學(xué)生獨(dú)立完成計算后,組織學(xué)生交流計算瓷磚塊數(shù)的方法并予以解釋。(課件配合演示4種不同的方法)

3×10+5×10 (3+5)×10 4×8+6×8 (4+6)×8

=30+50 =8×10 =32+48 =10×8

=80(塊) =80(塊) =80(塊) =80(塊)

對4種方法進(jìn)行分組比較,溝通不同方法之間的內(nèi)在聯(lián)系,找出相等關(guān)系,觀察算式的特點(diǎn)。

3×10+5×10=(3+5)×10

4×8+6×8=(4+6)×8

圖文并茂的情境引入,問題先行,引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用已有的知識經(jīng)驗(yàn)來解決問題。在解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)并提出新的問題:“相等的兩組算式有什么特點(diǎn)?”引發(fā)思考,將學(xué)生的注意力引向?qū)Y(jié)構(gòu)的觀察。學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩種方法分別是“先求和,再相乘”和“先分別乘,再求和”,初步感知乘法分配律的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)。

(二)溝通聯(lián)系,明晰本質(zhì)屬性

在學(xué)生初步感知乘法分配律的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)后引導(dǎo)學(xué)生思考:“這樣的相等關(guān)系是偶然現(xiàn)象還是必然現(xiàn)象?你能在下圖中找到乘法分配律嗎?”

師:你還能舉幾個生活中這樣的例子嗎?

學(xué)生回顧筆算“14×12”和長方形周長兩種計算方法,尋找乘法分配律的應(yīng)用,并解釋這樣計算的合理性,溝通了前后知識間的聯(lián)系。再讓學(xué)生列舉生活中這樣的例子,引導(dǎo)學(xué)生在情境中說理,在說理中感悟運(yùn)算律的本質(zhì)屬性。

(三)遷移引申,建構(gòu)深度理解

乘法分配律的本質(zhì)是乘法意義的拓展,是幾個幾的合與分的應(yīng)用,所以在教學(xué)中我們還要注意由合到分的情況。于是我利用希沃白板的拖拽功能設(shè)計了拆分方塊的環(huán)節(jié)。

課件出示10×8的方塊。

師:把10×8的方塊拆分成兩個大方塊,可以怎么分?請?jiān)谙Ｎ职装迳险故静鸬倪^程。

生:可以分成6×8和4×8。

生:可以分成10×5和10×3。

……

師:將這些分法分類,可以怎么分?

生:可以分為兩類,一類是拆10的,一類是拆8的。

師:請將你的分法用等式表示出來。

學(xué)生拆方塊并用算式表示分法,乘法分配律從淺層理解走向深度建構(gòu)。

五、多元表征促進(jìn)對計算算理的理解

運(yùn)算能力是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要表現(xiàn)。算法和算理是運(yùn)算能力的一體兩翼,兩者相輔相成,不可偏廢。而“重算法、輕算理”是目前計算教學(xué)中普遍存在的問題,這直接導(dǎo)致很多學(xué)生只知道“怎么算”,卻不明白“為什么這樣算”,讓算法失去了思維支撐。為此,在計算課教學(xué)中我們要搭建算法與算理互通的橋梁,讓學(xué)生經(jīng)歷從抽象算理到具體算法的演變過程,從而真正提高運(yùn)算能力。

如在學(xué)習(xí)“小數(shù)除以整數(shù)”一課時,我采取多元表征的教學(xué)方式,引導(dǎo)學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。

(一)多元表征,理解算理

課件出示:同款牛奶,甲商店買5包需要11.5元,乙商店買6包需12.6元。

師:同款牛奶,如果你去購買,你會去哪家商店?為什么?

師:怎樣計算甲商店的牛奶單價?大家可以試著畫一畫、寫一寫、算一算。

生1:把11.5元看成115角進(jìn)行計算,115角除以5得23角,也就是2.3元。

生2:把11.5元分成10元和1.5元,10元除以5得2元;把1.5元看成15角,15角除以5得3角,也就是0.3元。2元加0.3元得2.3元。

生3:畫12個完全一樣的正方形,把最后一個正方形平均分成10個小長方形,表示出11.5,再將11個正方形平均分成3份,每份2個,余1個,剩下的1個正方形不能繼續(xù)分了,換成10個小長方形,和原來的5個小長方形合在一起就是15個小長方形,就可以繼續(xù)分成5份了,每份3個小長方形,也就是0.3,兩次一共分得2.3。

生4:我是列豎式計算的。(展示豎式計算過程)

上述教學(xué)片段創(chuàng)設(shè)了學(xué)生熟悉的日常購物情境,并讓學(xué)生嘗試獨(dú)立解決“甲商店牛奶每包多少錢”的問題。在交流時學(xué)生展開了多元表征,用自己的方式詮釋“11.5÷5=2.3”,生成了豐富的教學(xué)資源。

(二)貫通算理,走向算法

師:你能用單位換算或畫圖的方法來解釋豎式11.5÷5中每一步計算的道理嗎?

生:豎式中整數(shù)部分11除以5,商2余1,余下的1和0.5加在一起是1.5,可以看成15角或者15個小長方形,也就是豎式中的15,除以5等于3,這里的3表示3角或者3個小長方形,也就是0.3,所以商是2+0.3=2.3。

師:你能借助計數(shù)單位來解釋豎式中每一步計算的道理嗎?

生:整數(shù)部分11除以5,商2余1,余下的1和0.5加在一起是1.5,1.5可以看成是15個0.1,就可以繼續(xù)除下去了,得到每份是3個0.1。

師:這個“3”在豎式上應(yīng)該寫在哪里?小數(shù)點(diǎn)寫在什么位置?

生:這里的“3”表示的是3個0.1,所以3要寫在小數(shù)點(diǎn)后面的十分位上,與被除數(shù)的十分位對齊,商的小數(shù)點(diǎn)就要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊。

此環(huán)節(jié)將算理的多種表征形式勾連,貫串直觀表征中的“分—換—再分”的過程與豎式中基于計數(shù)單位的“除—換—再除”的過程,數(shù)形結(jié)合表征,從“分錢”過渡到“分?jǐn)?shù)”,使學(xué)生感受到雖然方法多樣,但是算理相通。教師再借用課件展示,將“分錢”“分圖形”的直觀操作與抽象的除法豎式一一對應(yīng),并從計數(shù)單位的角度再次闡述豎式計算過程,從而在深刻理解算理的基礎(chǔ)上突破了“商的小數(shù)點(diǎn)要與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊”這一教學(xué)難點(diǎn)。

數(shù)學(xué)多元表征的學(xué)習(xí),將客觀的學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生心理認(rèn)知建立多元對應(yīng)關(guān)系,能有力地促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、規(guī)律、算理的本質(zhì)理解、意義建構(gòu),從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)素養(yǎng)的整體提升。