朱貴鳳 嚴睿 鄒楊 郁長清 趙學超 郭建

1（中國科學院上海應用物理研究所 上海 201800）

2（中國科學院大學 北京 100049）

反應堆周期反映了反應堆內核功率的變化速率和反應性狀態(tài)，是反應堆物理試驗和運行過程中需要監(jiān)測的重要物理量。反應堆通常設有周期保護系統(tǒng)［1-7］，當反應堆周期小于安全限值時，系統(tǒng)將觸發(fā)緊急落棒操作。

在反應堆中引入正的反應性時，由于瞬變項的影響，初始中子通量急劇上升，初始瞬時周期遠低于漸進周期［8］，將可能觸發(fā)短周期保護，導致一些非必要的停堆操作。目前一些核電廠采用濾波方法對周期計算進行處理［9-14］，盡可能過濾掉瞬時短周期效應。但同一算法很難在不同工況下具有普適性，而且濾波的本質是對不同時刻周期的平均，過濾加強會導致周期判斷的延時性。

反應性引入速率對瞬時短周期具有較大影響，限制控制棒的提升速率成為抑制瞬時短周期現(xiàn)象的一些常規(guī)手段。然而，反應堆運行工況復雜，瞬時短周期還受當前反應性狀態(tài)、緩發(fā)中子先驅核（Delayed Neutron Precursor，DNP）濃度等影響。從抑制短周期角度來講，目前還沒有一個約束反應性引入速率的一般方法。

本文基于點堆理論公式，推導反應性引入速率與瞬時短周期的關系，給出一個通用的、偏保守的反應性引入速率約束公式，為反應堆物理啟動過程中的控制棒提升速率設置提供理論參考。

1 瞬時短周期現(xiàn)象

反應堆周期T(t)定義堆內中子密度增長e倍所需要的時間，計算公式為：

式中：n(t)為堆內中子密度，在實際工程中為核探測器的探測信號值。為了使用的便利性，通常把中子密度增長一倍所需時間定義為倍周期，或者稱為倍周期，一般用Td表示：

在階躍擾動下，點堆方程n(t)的解為7個指數函數的線性組合［8］：

式中：n0為常數；ωj為反應性方程的7個根，也稱角頻率；Aj為待定常數。當引入正反應性時，ωj中只有一個為正值，其余為負值，且Aj與ωj同號。因此，在階躍正反應性引入初始時，由于有6組負的數值在迅速衰減，n(t)初始有一個瞬時增長過程。當達到一定時間后，該6組負值衰減殆盡，n(t)的增長由第一組正值貢獻，僅與ω1相關。由式（1）和式（3）可知，此時T(t)與1ω1基本接近，稱為反應堆漸進周期。

正反應性引入下的典型周期和中子密度變化趨勢曲線如圖1所示。本例反應性從-1×10-3階躍引入到1×10-3，反應堆周期首先陡降，達到最低值后，又迅速增長，逐漸穩(wěn)定在漸進周期。顯然，初始的瞬時周期要小于漸進周期，是任何正反應性引入下的正?，F(xiàn)象。瞬時短周期持續(xù)時間較短，對中子密度的增長推動有限，但因為其數值較小，有可能觸發(fā)周期保護，而造成非必要的停堆操作。

圖1 反應性從-1×10-3階躍引入到1×10-3下的中子密度和反應堆周期變化曲線Fig.1 Neutron density and reactor period curves during the step insertion of reactivity from -1×10-3 to 1×10-3

在相同反應性引入量下，引入速率對瞬時短周期有較顯著的影響。如圖2所示，同樣引入1×10-3反應性，引入速率越大，初始瞬時周期越小。并且在相同引入速率下，不同反應性狀態(tài)下的瞬時周期也存在較大不同。因此，如何控制不同工況下的反應性引入速率，確保瞬時短周期大于保護周期限值是反應堆運行過程中一項重要的工作。

圖2 不同引入速率下反應性從-5×10-4引入到5×10-4，5×10-4引入到1×10-3的反應堆周期變化曲線（彩圖見網絡版）Fig.2 Variation curves of reactor period under different insertion rates of reactivity from -5×10-4 to 5×10-4 and from 5×10-4 to 1×10-3 (color online)

2 反應性引入速率與瞬時周期關系推導

本節(jié)將從點堆模型推導出反應堆瞬時周期與反應性引入速率的相關性。點堆公式如下：

式中：n為中子密度；ρ為反應性；Λ為中子平均代時間；βeff為總的緩發(fā)中子有效份額，βi為第i組緩發(fā)中子有效份額；Ci為第i組先驅核濃度；λi為第i組衰變常數；Q為反應堆外源中子源強。

對式（4）兩端除以n得到：

式（1）代入式（6）中有：

為了獲得反應性變化率，對式（7）兩邊進行時間求導，得到：

繼續(xù)對式（8）右邊第二項做適當簡化，消除Q。注意，同時根據式（7），得到，代入式（8），有：

式（9）初步建立了反應性變化率與反應堆周期的關系，但其中周期的變化率和先驅核的變化率難以觀測，受不同瞬時工況影響。本節(jié)將開展一些保守假設分析，對式（9）進行簡化處理。

首先將每一組先驅核濃度變化轉化成指數函數形式，根據式（5）有：

其中：ωc，i為假設的Ci含時角頻率，與該組緩發(fā)中子先驅核周期對應，則根據式（10）可得到：

將式（11）代入式（9）中，得到：

并簡化為：

在正反應性引入過程中，由于瞬變項的影響，通常中子密度的周期要小于先驅核濃度的周期，如圖3所示的周期下降段。因此，應大于任何一組ωc，i=1/Tc，i，進一步得到：

圖3 反應性從-1×10-3階躍引入到1×10-3下的反應堆周期和不同組先驅核濃度增長周期變化曲線（彩圖見網絡版）Fig.3 Variation curves of reactor period and rising periods of delayed neutron precursors during the step insertion of reactivity from -1×10-3 to 1×10-3 (color online)

將不等式（14）代入式（13）得到：

式（15）中最后兩項合并，得到：

根據式（2）可將式（17）中的周期換算成倍周期。中子代時間和緩發(fā)中子有效份額均為常數，通過式（17）可以得到目標反應性和目標最短倍周期下的反應性引入速率約束限值。在確定需要控制的最短目標周期情況下，可以根據式（17）獲得達到目標反應性需要約束的反應性引入速率。如假設最小倍周期分別為20 s、30 s、40 s、100 s，不同反應性狀態(tài)下的反應性引入速率約束曲線分別如圖4所示。

圖4 不同目標最短倍周期下的反應性狀態(tài)與反應性引入速率約束曲線Fig.4 Reactivity state and limit of reactivity insertion rate curve under different aims of shortest reactor double periods

在相同最短周期要求下，反應性引入速率約束值基本與目標反應性狀態(tài)呈負線性關系。通過觀察式（17）可以發(fā)現(xiàn)，該線性斜率為，截距為其中，T為目標最短周期。

當反應性引入速率為負值時，與式（14）和式（17）的近似假設不成立，因此無意義，即目標最短周期不能大于目標反應性對應的漸進周期。

當反應性為負值時，只要點堆方程中的外源價值Q、平均中子代時間和緩發(fā)中子有效份額不隨反應性狀態(tài)發(fā)生變化，上述推導公式依然成立。這表明，在次臨界下，允許更大的反應性引入速率，而不突破相同的最短目標周期值。

3 反應性引入速率與短周期關系驗證

為了驗證反應性約束公式（17）的合理性，本文選取幾個典型工況案例進行驗證說明。首先模擬假設目標最短倍周期為20 s，反應性從-9×10-3變化到1×10-3，分10次引入，每次增加1×10-3。其中每次引入反應性速率根據式（17）計算得到，依次為33.0×10-5s-1、29.5×10-5s-1、26.1×10-5s-1、22.6×10-5s-1、19.1×10-5s-1、15.7×10-5s-1、12.2×10-5s-1、8.7×10-5s-1、5.3×10-5s-1和1.8×10-5s-1。為了比較先驅核是否平衡對倍周期曲線的影響，在每次完成反應性引入之后，設置等待時間間隔分別為10 s和100 s。據此獲得兩條反應性含時曲線，將其代入點堆模型中獲得中子密度曲線及周期曲線。點堆模型采用python語言中的常微分方程組求解函數odeint進行計算［15-16］，動態(tài)參數采用教材［8］中的數據。計算得到的倍周期曲線如圖5所示。結果表明：每次反應性引入之后，最短倍周期基本接近，約25 s，大于目標倍周期，說明采用式（17）推算出的反應性引入速率偏保守。此外，圖5結果表明，不同反應性、不同等待時間下的最短倍周期變化較小，在臨界后最短周期略有變化，說明緩發(fā)中子先驅核濃度在次臨界下平衡時間很短，對最短倍周期影響不大。

圖5 反應性從-9×10-3到1×10-3下反應堆倍周期曲線（分10次引入，每次引入1×10-3，引入速率依次為33.0×10-5 s-1、29.5×10-5 s-1、26.1×10-5 s-1、22.6×10-5 s-1、19.1×10-5 s-1、15.7×10-5 s-1、12.2×10-5 s-1、8.7×10-5 s-1、5.3×10-5 s-1和1.8 ×10-5 s-1，每次間隔時間為10 s和100 s）Fig.5 Reactor double period curves during reactivity change from -9×10-3 to 1×10-3 (each 1×10-3 insertion with speed of 33.0×10-5 s-1, 29.5×10-5 s-1, 26.1×10-5 s-1, 22.6×10-5 s-1, 19.1×10-5 s-1, 15.7×10-5 s-1, 12.2×10-5 s-1, 8.7×10-5 s-1, 5.3×10-5 s-1,and 1.8×10-5 s-1, and interval time of 10 s and 100 s)

圖6進一步給出了不同目標最短周期下的反應堆周期曲線，同樣是反應性從-9×10-3開始，每1×10-3一個臺階引入。其中目標短倍周期40 s對應的反應性引入速率分別為15.5×10-5s-1、13.8×10-5s-1、12.1×10-5s-1、10.3×10-5s-1、8.6×10-5s-1、6.9×10-5s-1、5.1×10-5s-1、3.4×10-5s-1、1.7×10-5s-1，實際得到的最短倍周期在47～53 s范圍；目標短倍周期60 s對應的反應性引入速率分別為10.1×10-5s-1、8.9×10-5s-1、7.8×10-5s-1、6.6×10-5s-1、5.5×10-5s-1、4.3×10-5s-1、3.1×10-5s-1、2.0×10-5s-1、0.84×10-5s-1，實際得到的最短倍周期在70～75 s范圍。任何工況下實際最短倍周期均大于目標最短周期。

圖6 反應性從-9×10-3到1×10-3下反應堆倍周期曲線（分10次引入，每次引入1×10-3，每次間隔時間為100 s，目標倍周期分別為20 s、40 s、60 s）Fig.6 Reactor double period curves during reactivity change from -9×10-3 to 1×10-3 (each 1×10-3 insertion with interval time of 100 s and aim reactor double period of 20 s, 40 s, and 60 s)

為了探明目標倍周期與實際最短周期的差異，進一步分析式（17）推導中近似處理帶來的影響。以目標倍周期20 s為例，式（17）右邊對反應性速率的貢獻僅為0.054×10-5s-1，即使考慮為10，的貢獻也僅為0.5×10-5s-1，說明對該項的去除影響可忽略；而對反應性速率的貢獻達到了5.2×10-5s-1，并且隨著反應性的增大而逐漸占據主導地位，說明項中采用反應堆周期代替先驅核周期的近似處理是造成目標倍周期與實際最短周期差異的主要來源。

圖7展示了在緩發(fā)超臨界階段引入反應性速率與反應堆/先驅核倍周期的關系曲線，表1給出了不同目標反應性對應的最短周期時刻各先驅核倍周期以及式（14）的近似誤差。結果表明，由于在緩發(fā)超臨界時，先驅核沒有穩(wěn)定值，本身具有一定正增長周期，因此當反應性引入時，其與最短周期之間的差距并不顯著，因而采用式（14）的近似處理誤差要比在次臨界時的小。當然，先驅核增長周期受不同瞬態(tài)工況影響，造成的近似誤差都將不一樣。但無論如何，式（17）保證了計算結果的保守性。

表1 不同目標反應性下最短倍周期時刻的先驅核倍周期和近似處理誤差Table 1 DNP double period and processing error for different aimed reactivity cases

圖7 反應性從-4×10-4到1.40×10-3下反應堆倍周期和先驅核倍周期曲線（分9次引入，每次引入2.0×10-4，每次間隔時間為100 s，目標倍周期為20 s）Fig.7 Reactor and double period curves of DNPs duringreactivity change from -4.0×10-4 to 1.40×10-3 (each 2.0×10-4 insertion with interval time of 100 s and aim reactor double period of 20 s)

4 結語

本文針對反應堆反應性引入時瞬時短周期過小而可能觸發(fā)非必要的停堆問題，從點堆模型出發(fā)推導出了具有普適性和偏保守的反應性引入速率約束公式，去除了先驅核濃度變化和周期變化等實際難以測量的物理量，使得其在工程應用中具有可實施性。本文采用該公式約束下的反應性引入速率進行點堆模型驗證分析，計算得到的任意周期均不會小于目標周期，且適用于次臨界和緩發(fā)臨界等不同工況，檢驗了公式的可靠性。根據該公式結合控制棒微分價值，在設定的目標周期下可以給出各種反應性工況下的控制棒提升速率約束，為反應堆物理啟動中的控制棒速率約束提供了理論指導，同時也可為其他因素導致的瞬時短周期現(xiàn)象提供評估依據。本文對先驅核周期的處理偏保守，使得實際最短周期與目標倍周期存在一定差異，下一步工作將對此進行深入研究。

作者貢獻聲明朱貴鳳負責研究思路、理論推導、分析數據及文章撰寫；嚴睿對文章進行審閱及指導；鄒楊提出研究課題并對文章進行指導；郁長清、趙學超、郭建等負責對公式推導復核、文字修改。