? 江蘇省南京市金陵匯文學(xué)校 田 禹

眾所周知,數(shù)學(xué)知識具有高度的抽象性、概括性,若教學(xué)中僅通過講授的方式來呈現(xiàn)這些內(nèi)容,學(xué)生對知識的理解可能一知半解,不僅影響知識的靈活應(yīng)用,而且容易滋生學(xué)生的畏難情緒,影響課堂教學(xué)效果.這些看似抽象的數(shù)學(xué)知識源于生活,是可以被觀察、被感知的,并不是那么“高不可攀”.不過,根據(jù)調(diào)研發(fā)現(xiàn),學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何知識時(shí)容易將其與圖形建立聯(lián)系,但是在解決代數(shù)問題時(shí),常常與形割裂開來,難以體現(xiàn)數(shù)學(xué)的形象化和真實(shí)性,使得學(xué)習(xí)中出現(xiàn)漏缺,影響知識的理解深度.為了改變這一局面,教師應(yīng)重視將代數(shù)知識圖形化,借助圖形的直觀幫助學(xué)生架設(shè)抽象與現(xiàn)實(shí)的橋梁,讓學(xué)生深度理解知識,提高教學(xué)有效性.筆者就如何搭建幾何直觀談幾點(diǎn)自己的看法,若有不足,請批評指正!

1 數(shù)學(xué)概念直觀化

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建知識體系的核心要素,是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵.而數(shù)學(xué)概念是對數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征的高度概括,具有高度的抽象性和概括性.為了讓學(xué)生深刻理解這些抽象知識,教師不妨將其與幾何意義或代數(shù)意義相結(jié)合,讓學(xué)生在具體情境中主動地抽象與概括,以此深刻理解知識.

在概念教學(xué)中,大多教師為了讓學(xué)生能夠理解概念,會通過口頭表述的方式幫助學(xué)生理解和記憶,這樣雖然表面上能夠加速學(xué)生理解概念的進(jìn)程,但是無疑會讓學(xué)生產(chǎn)生一定的依賴,不利于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的提升.同時(shí),口頭表述可能難以讓學(xué)生形成深刻的印象,這樣隨著時(shí)間的推移,學(xué)生很容易產(chǎn)生遺忘,影響后期的學(xué)習(xí)效果.在概念教學(xué)中,教師若能用圖形語言進(jìn)行進(jìn)一步的詮釋,讓學(xué)生多層級地理解數(shù)學(xué)概念,定能達(dá)到事半功倍的效果.

案例1絕對值的概念

在絕對值的概念教學(xué)中,大多教師會直接給出概念,然后給出具體練習(xí)讓學(xué)生模仿,這樣學(xué)生雖然能夠正確地解答問題,但是很難深入理解概念.基于此,教師在引入概念前,利用貼近學(xué)生生活的情境,將抽象的概念與現(xiàn)實(shí)生活建立聯(lián)系,幫助學(xué)生理解概念.情境如下:

周末,媽媽讓小明和小華分別去水果店和超市買東西,去水果店需要向東走200 m,去超市需要向西走200 m,按照約定,小明去水果店,小華去超市,買到東西后原路返回.規(guī)定向東為正,向西為負(fù),小明和小華從家出發(fā),到達(dá)目的地的距離可以怎么表示?從目的地到家的距離又該如何表示呢?為了解決這一問題,教師鼓勵學(xué)生在數(shù)軸上畫一畫,并讓學(xué)生思考這樣兩個(gè)問題:(1)200和-200是一對相反數(shù),它們到原點(diǎn)的距離存在怎樣的關(guān)系?(2)你是如何理解負(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的?這樣通過觀察、討論,可以順勢引入絕對值的概念.

這樣以生活情境為依托,借助數(shù)軸的直觀,讓學(xué)生對絕對值的概念有直觀化理解,可以進(jìn)步促進(jìn)概念的深化.

2 數(shù)學(xué)公式直觀化

初中階段,學(xué)生會學(xué)習(xí)許多數(shù)學(xué)公式,它是我們解決數(shù)學(xué)問題的重要依據(jù),是構(gòu)建數(shù)學(xué)知識體系的基本要素.從傳統(tǒng)教學(xué)習(xí)慣和學(xué)習(xí)習(xí)慣來看,大多師生不重視公式的形成過程和蘊(yùn)含其中的思想方法,片面認(rèn)為公式能默寫會應(yīng)用就可以了.殊不知,若想真正理解和掌握公式,還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同視角構(gòu)建對公式的多元化認(rèn)知,讓學(xué)生通過多角度探究獲得深度理解,這是學(xué)生靈活應(yīng)用公式解決現(xiàn)實(shí)問題的必經(jīng)之路.對于一些和代數(shù)相關(guān)的公式證明,教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從圖形的角度去詮釋,這樣不僅便于學(xué)生理解和掌握,而且可以降低邏輯推理的難度,為邏輯推理能力較弱的學(xué)生提供有效的學(xué)習(xí)途徑,促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)能力的提升.

案例2平方差公式

在“平方差公式”教學(xué)中,大多教師經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的方法進(jìn)行推導(dǎo),因?yàn)樵摲椒ㄊ菍W(xué)生易于理解和掌握的,但是若教學(xué)中僅局限于一種方法,會使學(xué)生對公式的理解比較狹窄,影響學(xué)習(xí)效果.基于此,為了讓學(xué)生對公式獲得多維度的認(rèn)知,教師可以結(jié)合圖形進(jìn)行直觀呈現(xiàn),從而讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué).

教學(xué)中,教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)動手拼的活動:首先讓學(xué)生先剪一個(gè)大正方形紙片,然后在大的正方形紙片上剪下一個(gè)小的正方形(如圖1),讓學(xué)生思考剩余圖形的面積.學(xué)生結(jié)合圖形及正方形和長方形的面積計(jì)算公式易于給出如下推導(dǎo)過程:a2-b2=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b).當(dāng)然,剪拼的方式有多種,教師還可以預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生通過不同的剪拼方式來推導(dǎo)平方差公式.不過選擇的剪拼方式不同,對思維的難度要求也不同,教師可以結(jié)合教學(xué)實(shí)際進(jìn)行適度引導(dǎo),以此幫助學(xué)生積累豐富的圖形直觀經(jīng)驗(yàn),提高學(xué)生實(shí)踐能力.

圖1

這樣借助直觀圖形進(jìn)行公式的推導(dǎo),使代數(shù)公式變得更加形象化、直觀化,在深化公式理解的同時(shí),讓學(xué)生感受代數(shù)與幾何的內(nèi)在統(tǒng)一,有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識.

3 數(shù)學(xué)法則直觀化

數(shù)學(xué)法則有許多,它是我們用數(shù)學(xué)的重要依據(jù).對于這些法則,只有獲得正確的、全面的、深刻的理解,才能使其成為我們解決生活實(shí)際問題的重要工具.在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師可以嘗試引導(dǎo)學(xué)生從不同途徑進(jìn)行闡釋,自主感悟蘊(yùn)含其中的規(guī)律,實(shí)現(xiàn)知識的內(nèi)化.例如,教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助圖形來解釋規(guī)則,借助圖形的直觀讓學(xué)生較為清晰地辨別法則的語義特征,通過具體到抽象再到具體的過程,讓學(xué)生的思維逐漸由感性認(rèn)知上升至理性認(rèn)知,提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例3多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則

在該法則教學(xué)中,教師給出圖2讓學(xué)生觀察,然后讓學(xué)生思考“如何求大長方形的面積?”學(xué)生獨(dú)立解答,教師巡視,然后對學(xué)生的解題方法進(jìn)行總結(jié)歸納.方法如下:

圖2

方法一:直接應(yīng)用長方形的面積計(jì)算公式,可得S=(a+b)(p+q).

方法二:將大長方形看成由4個(gè)小長方形拼接而成,所以有S=ap+aq+bp+bq.

方法三:將大長方形看成由2個(gè)橫向的長方形拼接而成,所以有S=p(a+b)+q(a+b).

方法四:將大長方形看成由2個(gè)縱向的長方形拼接而成,所以有S=a(p+q)+b(p+q).

大長方形面積的計(jì)算方法雖然不同,但是其結(jié)果是相同的,這樣根據(jù)面積不變性,即可得到多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則.

在數(shù)學(xué)法則的教學(xué)中,要善于將圖形和法則聯(lián)系起來,借助數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)性和形的直觀性讓學(xué)生深刻理解法則,提升教學(xué)有效性.

4 數(shù)學(xué)運(yùn)算直觀化

數(shù)學(xué)運(yùn)算隸屬程序性知識,一般情況下,學(xué)生只要按照程序化操作就能得到預(yù)期結(jié)果.不過,若教學(xué)中僅讓學(xué)生按部就班地機(jī)械操作,很容易固化學(xué)生的思維,這樣學(xué)生在面對一些常規(guī)方法難以解決的問題時(shí),往往會不知所措.在面對那些無法應(yīng)用常規(guī)方法解決的問題時(shí),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維,換個(gè)角度去思考,尋找合適的解決策略.為了幫助學(xué)生完成復(fù)雜運(yùn)算,教師可以利用圖形將原本零散的知識建立聯(lián)系,從而找到解決問題的新思路.

該案例是一個(gè)分式運(yùn)算,若利用常規(guī)方法,通過通分的方式來求解,顯然運(yùn)算過程是非常煩瑣的.基于此,教師不妨引導(dǎo)學(xué)生將面積為“1”的圖形進(jìn)行分割,從而將問題轉(zhuǎn)化為圖形面積的累加問題.在該思想方法的引導(dǎo)下,學(xué)生可以借助圓進(jìn)行輔助計(jì)算.

圖3

案例4是一道需要進(jìn)行簡便運(yùn)算的計(jì)算題,當(dāng)學(xué)生利用“通法”難以解決問題時(shí),教師引導(dǎo)學(xué)生利用圖形進(jìn)行輔助計(jì)算,以此高效地解決了問題,開闊了學(xué)生的視野.

總之,若想對知識達(dá)成深層次的理解,單憑講授是難以達(dá)成的,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識進(jìn)行多角度思考,幫助學(xué)生跳出習(xí)慣性思維的束縛,讓學(xué)生達(dá)成持久性的理解,以此提升課堂教學(xué)品質(zhì),提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).