? 江蘇省蘇州市相城區(qū)教育發(fā)展中心 凌 健

1 背景

《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》明確要求應整體把握教學內容,推進單元整體教學設計,注重教學內容的結構化.這就需要在教學中重視對教學內容的整體分析,幫助學生建立能體現(xiàn)數(shù)學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數(shù)學知識體系[1].在章始課的教學中,由于對大單元教學的認識不精準,目前出現(xiàn)了兩大突出問題.一是很多教師非常注重知識體系的建構,但卻容易忽視章始課內容學習的深度,導致學生對內容本身缺乏深刻的感悟.二是有的教師認為大單元教學視域下的章始課可以無限突破新授范圍,更有甚者用一節(jié)課上完整章內容,面面俱到,沒有控制好度.一堂好的章始課,必須要處理好這兩方面的關系,讓學生既能看清樹木,又能俯視整片森林,同時又不額外增加學生負擔.下面結合筆者的一節(jié)大市課改展示課蘇科版“6.1函數(shù)”的教學加以說明.

2 教學過程

2.1 基于情境,發(fā)現(xiàn)變量

觀看一段關于中國空間站、遼寧號航母和高鐵的視頻.

師:自然中,萬事萬物都是運動變化的,比如空間站的位置隨時間的變化而變化等,通過數(shù)學思考可以知道,有些變量之間存在著變化關系.下面我們來看實例.

問題1復興號高鐵列車從蘇州開往北京,在某個時段,保持350 km/h速度勻速行駛,在列車行駛的過程中,涉及到哪些量?在這些量中,哪些量是不變的?哪些量是不斷變化的?

生:涉及路程、速度和時間.速度和總路程是不變的;時間、列車行駛的路程和列車距離終點的路程是不斷變化的.

師:沒有變化的量應該叫什么?可以取不同數(shù)值的量又叫什么呢?

生:沒有變化的量叫常量;可以取不同數(shù)值的量叫變量.

師:列車行駛的路程和時間這兩個變量之間有怎樣的關系?

生:列車行駛的路程隨著時間的變化而變化.

師:我們從實際情境中發(fā)現(xiàn)了變量,而且有些變量間存在關聯(lián),關聯(lián)變量間有變化關系,有些問題中常常含有多個變量.今天我們來研究最簡單的兩個變量之間的關系.

教學說明:類比代數(shù)式和方程的學習,將從實際問題中抽象出已知量和未知量的經驗遷移到學習函數(shù)的過程當中.學生從實際問題中抽象出常量和變量,進而發(fā)現(xiàn)問題當中常常含有多個變量,先從最簡單的兩個變量之間的關系開始研究.

2.2 研究變量,感悟關系

變式復興號高鐵列車從蘇州開往北京,若保持350 km/h速度勻速行駛,行駛的時間為th,行駛的路程為skm.

填寫表1:

表1

問題2觀察表1,你能發(fā)現(xiàn)高鐵行駛的時間和高鐵行駛的路程這兩個變量之間的關系嗎?

追問:上一章我們學習了平面直角坐標系,你能在平面直角坐標系中描出這些點嗎?

活動組織:學生通過描點,猜想兩個變量構成的有序實數(shù)對對應的點可能在一直線上.

教師總結:可以通過列表、描點、連線畫圖,借助圖象預測變化趨勢.

問題3三峽水庫蓄水總庫容量為3.93×1010m3,某段時間內水位的高低與相應的蓄水量如表2所示,

表2

表2中有幾個變量?它們之間有什么關系?

問題4如圖1,搭一條小魚需要8根火柴棒,每多搭一條小魚就要增加6根火柴棒.請?zhí)畋?.

圖1

表3

在搭小魚的過程中有哪幾個變量?它們之間有什么關系?

教學說明:問題2由教師引導學生認識兩個變量之間滿足的三層關系,這里通過列表、描點和連線畫出函數(shù)圖象點到即止,不需要深入探究;問題3讓學生自己感悟,嘗試自主歸納和表達兩個變量之間的三層關系;問題4再一次強化兩個變量之間的三層關系,并能流暢地進行表達.同時,讓學生感悟到可以用圖表、解析式和圖象等多種形式來描述兩個變量之間的關系.

2.3 提取要義,抽象概念

觀看視頻《函數(shù)的由來》.

問題5了解了函數(shù)這個詞的由來,你能給函數(shù)下個定義嗎?什么叫函數(shù)?

教學說明:通過觀看視頻,引導學生給函數(shù)下定義.學生自主歸納函數(shù)的概念,講得不夠完整的地方,再由其他同學不斷進行完善.這里的完善要做到三點.第一點,讓學生說出在一個變化過程中兩個變量之間滿足的三層關系:①一個變量隨著另一個變量的變化而變化;②當一個變量確定時,另一個變量也隨之確定;③對于一個變量的每一個值,另一個變量都有唯一確定的值與它對應.第二點,讓學生總結提煉,發(fā)現(xiàn)第③層包含第①②層的關系,在定義里只需要保留③即可.第三點,引導學生總結提煉,發(fā)現(xiàn)用字母x,y代替變量可以使陳述更為簡潔.在這個過程中,教師不斷地提問和追問,學生不斷地思考和表達,最后水到渠成,函數(shù)的概念自然生成.在此過程中,加深學生對函數(shù)概念的理解,促進學生抽象能力的發(fā)展.

2.4 應用概念,解決問題

練習1把一根長20 cm的鐵絲圍成一個長方形.

(1)當長方形的寬為3 cm時,長為多少?

(2)當長方形的寬為4 cm時,長為多少?

(3)這個長方形的長是寬的函數(shù)嗎?如果是,請寫出函數(shù)關系式;如果不是,請說明理由.

練習2表4中的y是x的函數(shù)嗎?為什么?

表4

練習3圖2的四個圖形中,表示y是x的函數(shù)的是( ).

圖2

教學說明:學生先自主完成,再通過小組討論,組內統(tǒng)一意見,每組推薦一名代表上講臺講題展示.通過練習1,深化學生對概念的理解;通過練習2,再次強化學生對概念中“唯一對應”的理解;通過練習3,引導學生作x軸的垂線,發(fā)現(xiàn)只有選項C中所作垂線與圖象只有一個交點,滿足函數(shù)的定義.這個探究過程培養(yǎng)了學生的幾何直觀和創(chuàng)新意識.教師繼續(xù)追問,你認為函數(shù)有哪些表示方法?學生通過前面的學習和三個練習的鞏固,歸納出函數(shù)一般有列表法、圖象法和解析法等多種表示方法.

問題6你能舉出其他的函數(shù)實例嗎?

追問:在C=2πR中,圓的周長C是半徑R的函數(shù),那么R是C的函數(shù)嗎?在S=πR2(S>0)中,圓的面積S是半徑R的函數(shù),那么R是S的函數(shù)嗎?

編題:學校準備開展種菜勞動項目,要圍一個______的長方形菜地,這個長方形的長y是寬x的函數(shù),請寫出函數(shù)關系式.(橫線部分不小心被黑墨水蘸了,請你添加一個條件使題目完整.)

師:接下來請大家把題目補充完整并解答.

生:受到前面練習題的啟發(fā),我添加了“周長是20 m”,此時解析式為y=-x+10.

師:很好.你還能創(chuàng)設一個新的條件嗎?

生:面積為20 m2.

師:解析式是什么?

教學說明:通過添加適當?shù)臈l件來編題,考查學生對知識的遷移能力和應用能力,培養(yǎng)應用意識和創(chuàng)新意識.

2.5 總結提煉,建構體系

問題7回憶一下,關于擺搭小魚,你還解決過哪些問題?

在有理數(shù)中,我們解決了搭一條小魚需幾根火柴棒;在代數(shù)式中,解決了搭n條小魚需幾根火柴棒;在方程中,又解決了140根火柴棒能搭多少條小魚;在不等式中,解決了用少于50根的火柴棒最多搭能多少條小魚.

追問:方程、不等式和函數(shù)之間有什么關系?

分析：通過擺搭小魚這一個情境,形成思維導圖,如圖3所示.

圖3

將數(shù)與代數(shù)的整個知識進行串聯(lián),讓學生回顧代數(shù)的學習歷程:數(shù)—式—方程—不等式—函數(shù).通過問題串的設計,在知識橫向串聯(lián)成線的基礎上進一步縱向交織成網.學生感悟到數(shù)與式是后續(xù)學習方程、不等式和函數(shù)的基礎,方程、不等式與函數(shù)之間存在著特殊與一般的關系,因此可以用研究方程和不等式的方法來研究函數(shù).通過回顧方程和不等式的研究路徑來猜想研究函數(shù)的一般路徑是概念與表示—圖象與性質—應用.

繼續(xù)追問:觀察黑板上的函數(shù)關系式,請按自變量的次數(shù)對它們進行分類和命名.

生:可分別命名為一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù).

教師:請大家談談本節(jié)課有哪些收獲?

學生從知識、思想方法等層面加以總結,教師完善結構化板書(如圖4).

圖4

3 教學反思

3.1 大單元教學要注重教學和核心素養(yǎng)的關聯(lián)

新課標指出,要注重教學與核心素養(yǎng)之間的關聯(lián).大單元教學視域下的教學目標可以分為單元整體教學目標和具體課時教學目標.考慮到核心素養(yǎng)在教學中的達成,函數(shù)主題的素養(yǎng)表現(xiàn)目標定為關注數(shù)學抽象、數(shù)學建模、直觀想象和應用意識的形成和發(fā)展;本課時定為關注數(shù)學抽象能力和應用意識的發(fā)展.為了實現(xiàn)教學目標,進行了單元整體教學設計和教學內容的結構化.課堂教學通過課堂對話、追問和靈性思考,實現(xiàn)函數(shù)概念的自然生成,學習任務在生生互動、不斷發(fā)現(xiàn)、健全認知和完善表達中完成,在問題變通過程中創(chuàng)新解決.函數(shù)概念的生成和表示方法的探索過程,發(fā)展了學生數(shù)學抽象能力、應用意識和創(chuàng)新意識.

3.2 大單元教學要以大概念為核心,使內容結構化

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》指出,要重視以學科大概念為核心,使課程內容結構化,以主題為引領,使課程內容情境化,促進學科核心素養(yǎng)的落實.顯然,函數(shù)概念在函數(shù)主題中居于核心地位,因此將其確定為學科大概念.一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等都是函數(shù)概念的下位概念.由此可以建立學習函數(shù)的一般路徑,確定函數(shù)的研究方法,滲透數(shù)學思想,開展類比學習,形成知識體系、方法體系和思想體系,使得這些原先弧立的、零散的內容產生關聯(lián),變得有序,最終形成結構.結構化包括所學知識的結構化,研究方法的結構化和數(shù)學思想的結構化.在數(shù)與代數(shù)中,數(shù)和式是研究方程、不等式和函數(shù)的基礎,方程和不等式又與函數(shù)存在著特殊與一般的關系,凸顯了函數(shù)在數(shù)與代數(shù)學習領域的核心地位,揭示了學習內容的關聯(lián)和結構.由此可見,大概念是大單元的靈魂,而大單元是大概念的骨架和血肉,結構化是二者的結晶.

3.3 大單元教學要以學習者為中心

新課標指出,學生的學習應是一個主動的過程.本節(jié)課通過獨立思考、動手實踐、自主探究、合作交流的方式學習,充分體現(xiàn)了學生的主體地位.大單元教學視域下的課堂始終以學生的發(fā)展為中心,在傳授知識的同時,更提升了學生的智慧和能力.課堂沿著預設促進學生思考,在對話中開啟學生智慧,在生成中推動學生發(fā)展[2],體現(xiàn)出以學習者為中心的理念,真正做到學科育人.

3.4 大單元教學做到深度和適度并重

新課標在課程實施的教學建議部分指出,要整體把握教學內容.在大單元教學視域下,既要做好教學內容的結構化,又要充分挖掘教學深度.本節(jié)函數(shù)起始課在初步建構知識體系的同時,對于起始課的內容也力求教得深刻,讓學生經歷觀察、試驗、猜測、推理、交流、反思、開放編題等活動,對函數(shù)概念形成深刻的感悟.學生通過探究數(shù)、式、方程、不等式與函數(shù)的特殊與一般關系,發(fā)現(xiàn)可以類比研究方程和不等式的思想方法和路徑來研究函數(shù)[3],在形成系統(tǒng)思考的同時,通過類比,猜想函數(shù)的后續(xù)學習內容.本課教師引導學生對函數(shù)后續(xù)內容的猜想和探究,以點帶面、點到即止,適度展開,只為完善結構體系,沒有過于深入.最后形成結構化的板書是畫龍點睛之筆,讓知識之間的結構與關聯(lián)可視化.