王 利

(江蘇省南京市棲霞區(qū)實驗初級中學,江蘇 南京 210033)

在數(shù)學學習中,逆向思維的運用十分常見.所謂逆向思維就是把問題倒過來,或從問題的反面思考,或逆用某些數(shù)學公式、法則解決問題.當前,根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》要求,發(fā)展學生的數(shù)學思維已成為課程教學的主要目標之一,而加強逆向思維的訓練,可以培養(yǎng)學生思維的靈活性和發(fā)散性,使學生掌握的數(shù)學知識得到有效的發(fā)揮,同時也是落實課程標準的重要體現(xiàn).基于此,教育工作者應根據(jù)數(shù)學學科特點,啟發(fā)學生逆向思考,強化思維訓練,提升學生的思維品質(zhì).

1 通過講解數(shù)學定義,培養(yǎng)學生逆向思維能力

定義、概念等理論是數(shù)學學科的基礎,也是發(fā)展學生逆向思維的起點.在初中數(shù)學課程中,許多定義、概念本身就體現(xiàn)了“逆向”的特點,因此,教師在教學中應有意識地進行滲透,啟發(fā)學生逆向思考,讓學生理解抽象數(shù)學定義,并為后續(xù)學習奠定基礎.

例如,在學習相反數(shù)的定義時,教師基于定義中包含的逆向思維對學生進行如下引導:第一,回顧知識,思考問題.教師引導學生復習回顧“數(shù)軸”相關知識,并提出問題:在數(shù)軸上,A、B兩點分別在原點的左、右兩邊,請你觀察這兩點與原點的距離,你有什么發(fā)現(xiàn)?數(shù)軸上與原點的距離是2的點有幾個?這些點表示的數(shù)是多少?與原點的距離是5的點有幾個?這些點表示的數(shù)是多少?請你畫一條數(shù)軸,請將下列4個數(shù)在數(shù)軸上表示出來:-2,-4,+2,+4.在這一環(huán)節(jié),教師引導學生依托數(shù)軸體驗對稱點的特點,為相反數(shù)在數(shù)軸上的分布特征做準備,同時以開放的問題情境,引發(fā)學生從數(shù)軸的一側(cè)對應觀察另一側(cè),實現(xiàn)逆向思考.第二,引出定義,探索意義.教師在學生形成感性認識的基礎上呈現(xiàn)相反數(shù)的定義:如果兩個數(shù)只有符號不同,那么稱其中一個數(shù)為另一個數(shù)的相反數(shù),零的相反數(shù)是零.接下來,引導學生結合定義,思考其中意義,挖掘其中蘊含的逆向思維.如相反數(shù)的幾何意義表示“在數(shù)軸上,兩個互為相反數(shù)的數(shù)表示的點分別在原點的兩旁,且到原點的距離相等”,其代數(shù)意義則是“在一個數(shù)的前面添上負號,就表示這個數(shù)的相反數(shù),負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù),正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù)”“相反數(shù)是指兩個數(shù)之間的一種特殊的關系”[1].在學生理解了相反數(shù)的意義后,教師繼續(xù)提問:數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個點與原點有什么關系?學生通過對數(shù)軸的觀察,準確回答問題.通過這一環(huán)節(jié)的指導,學生能夠鞏固相反數(shù)的概念,強化互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上表示的點的幾何意義,同時也在數(shù)形結合的過程中啟發(fā)了逆向思維.第三,課堂練習,總結歸納.教師依據(jù)定義為學生設計練習,讓學生在解題過程中不斷深化相反數(shù)的概念,獲得逆向思維的訓練.在此基礎上,教師進行歸納總結,強化學生逆向思維.

2 通過推導數(shù)學公式,培養(yǎng)學生逆向思維能力

數(shù)學公式是學生日常解題的“抓手”,在數(shù)學學科中,包含逆向思維的公式有很多,如平方差、完全平方公式等.在教學指導中,有些教師習慣性引導學生從左至右來推導公式,這讓許多學生也習慣了從正向來運用公式,但是,在遇到需要反向思考的問題時就會陷入困境,無法實現(xiàn)公式的靈活運用.基于此,在講解數(shù)學公式的過程中,教師應引導學生從正反兩個方面進行探究,打通學生的思維通道,確保學生在逆用公式的過程中能夠得心應手.

例如,完全平方公式是對多項式乘法中出現(xiàn)的較為特殊一類算式的歸納、總結,是后繼學習必備的基礎,不僅對學生提高運算速度、準確率有較大作用,更是以后學習分解因式、分式運算的重要基礎,同時也對培養(yǎng)學生養(yǎng)成嚴密的邏輯推理能力具有重要作用.基于此,教師在引導學生推導完全平方公式的過程中,從正反兩個方向進行,讓學生真正把握公式的不同表現(xiàn)形式,為公式的靈活運用奠定基礎.在課堂上,教師主要通過如下環(huán)節(jié)對學生的逆向思維進行培養(yǎng):一是創(chuàng)設情境,提出問題.教師利用圖形的面積問題構建情境,引起學生的認知沖突,使學生對舊知產(chǎn)生疑惑,從而激發(fā)學習興趣和求知欲望.二是發(fā)現(xiàn)問題,歸納結論.學生通過對圖形面積的計算,逐漸推導出(a±b)2=a2±2ab+b2.乘法公式的教學必須在學生自主探究、經(jīng)驗歸納的基礎上獲得,教學中必須展示思維的過程,在這一環(huán)節(jié),教師為學生提供了充分的觀察、分析、獨立思考、小組交流等機會,引導學生自主完成對公式的推導[2].三是逆向思考,加深理解.教師總結歸納了完全平方的公式,并通過逆向設計引導學生從反向進行思考,這樣能夠使學生的認知結構得以優(yōu)化,知識體系得以完善,使學生的數(shù)學理解能夠突破思維定式,形成逆向探索的能力.四是鞏固訓練,強化思維.如教師設計題目:①若(x-2y)2=(x+2y)2+M,求M的值.②若9x2-kxy+4y2是一個完全平方式,求k的值.教師從正反兩個方向設計習題,讓學生反饋教學、內(nèi)化知識,并得到逆向思維的訓練.

3 通過分析數(shù)學法則,培養(yǎng)學生逆向思維能力

在初中數(shù)學的學習中有許多定理,如勾股定理、韋達定理等.在解題過程中對這些定理的逆向運用,有時會產(chǎn)生意想不到的結果.但是,在日常學習中,由于受思維定式的影響,部分學生難以靈活運用數(shù)學定理,針對此,教師則應該從逆向思維能力培養(yǎng)的角度加強訓練,讓學生能夠打破固有的定式思維,提高對數(shù)學定理的應用能力.

例如,在“勾股定理的逆定理”的教學設計中,教師立足教學內(nèi)容對學生的逆向思維進行訓練.第一,復習舊知,導入新課.教師引導學生復習勾股定理,強調(diào)要分清其題設和結論.第二,講解新知,引發(fā)思考.教師引導學生思考3,4,5之間的關系,引導其結合勾股定理的學習經(jīng)驗明確32+42=52;出示數(shù)據(jù)2.5 cm,6 cm,6.5 cm,請學生計算驗證數(shù)據(jù)是否滿足上述平方和關系,并畫出相應邊長的三角形檢驗是否為直角三角形;學生兩人一組進行驗證,在得到肯定結論后,引導學生基于以上例子大膽猜想得出新的定理:如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.教師要強調(diào)定理的題設和結論,并引導學生發(fā)現(xiàn)新的定理與勾股定理的題設和結論恰好相反,從而引出“定理”和“逆定理”概念,強調(diào)二者的相互關系.第三,驗證逆定理,深入思考.教師提出證明任務后,學生發(fā)現(xiàn)直接證明的困難性,此時教師提示可以證明此三角形與一個直角三角形全等,并引導學生思考并寫出證明過程.最后明確“勾股定理的逆定理”,簡單解釋逆定理的概念,并提問:原命題正確,逆命題一定正確嗎?學生之間相互討論,有的學生舉出反例:對頂角相等,但相等的兩個角不一定是對頂角.由此得到否定結論:原命題成立時,逆命題不一定成立.第四,課堂練習,鞏固逆定理.教師結合勾股定理和逆定理的運用設計習題,強化學生的認識,鍛煉學生逆向思維.

在這一案例中,教師圍繞學生的逆向思考進行引導,通過符合學生心理認知規(guī)律的教學活動設計,循序漸進地讓學生在和諧、愉悅的氛圍中建構、驗證勾股定理逆定理,讓學生理解消化了知識,也提升了逆向思維能力.

4 通過證明數(shù)學命題,培養(yǎng)學生逆向思維能力

在初中學數(shù)學中,學生會接觸到命題、逆命題等概念,在各類考試中,對命題的真假性進行判斷也是十分常見的題型.基于此,教師應通過對各類命題的講解來培養(yǎng)學生的逆向思維能力,讓學生在判斷命題、逆命題的過程中實現(xiàn)創(chuàng)新思維及發(fā)散思維,進而提高思維品質(zhì).

例如,在講解“逆命題”相關知識的過程中,教師立足學生逆向思維能力培養(yǎng)進行如下指導:第一,回顧舊知,引入新課.教師給出命題的概念:對某一件事情作出正確或不正確的判斷的句子叫做命題.我們還知道,命題都有兩部分,即條件和結論,它的一般形式是“如果……,那么……”,并結合例題進行說明.在教師的引導下,學生發(fā)現(xiàn):在兩個命題中,如果第一個命題的條件是第二個命題的結論,而第一個命題的結論是第二個命題的條件,那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題,那么另一個命題叫做它的逆命題.學生在認識了原命題和逆命題的概念后,教師結合常見的數(shù)學命題、法則促使學生作出判斷,并提問:每個命題都有它的逆命題,但每個真命題的逆命題是否一定為真命題?學生帶著問題進入下一環(huán)節(jié).第二,深入思考,探究命題.教師給出系列原命題,并要求學生說出命題的逆命題,判定逆命題的真假:①既是中心對稱,又是軸對稱的圖形是圓[3];②有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;③磁懸浮列車是一種高速行駛時不接觸地面的交通工具.通過總結分析學生認識到:原命題為真,逆命題不一定為真.第三,逆向訓練,鞏固新知.教師出示習題:請寫出“線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”的逆命題,并證明這個逆命題是真命題.教師結合習題引導學生回顧命題的條件和結論,促使學生在逆向思考中證明,以鞏固所學.

5 通過解答數(shù)學問題,培養(yǎng)學生逆向思維能力

在解答數(shù)學問題的過程中,逆向思維的運用十分常見.通常來講,如果從正向直接思考無法順利解決問題時,則可以從結論入手,進行反向思考,這樣則可以豁然開朗,甚至找到更加便捷的解題方法.基于此,在初中數(shù)學教學指導中,教師應在解題訓練中強調(diào)逆向思維,引導學生掌握常見的逆向思維方法,從而拓寬解題思路,提高解題能力.

例如,某班共有30名學生,在一次滿分為100分的測試中,全班平均成績?yōu)?0分,則成績低于60分的學生至多有多少人?

這一習題適合用逆向思維法,即由題意得到全班一共要失去300分,而低于60分的學生每人至少失掉40分,所以低于60分的至多有7人.

通過這樣的解題指導,教師可以有效提升學生的數(shù)學逆向思維能力.當然,在教學實踐中,教師還應結合例題講解更多逆向思考方法,并讓學生在訓練中融會貫通、熟能生巧.

6 結束語

數(shù)學思維的培養(yǎng)是數(shù)學教學永恒的主題.在數(shù)學教學過程中,教師要以知識為載體,培養(yǎng)學生的數(shù)學思維.基于此,教師應繼續(xù)深入思考,以培養(yǎng)學生的數(shù)學思維為研究目標,關注數(shù)學知識的特點及所講知識在整體教材中的地位和作用,關注學生思維發(fā)展過程,充分發(fā)揮學生的主體地位,促使其通過學習得到數(shù)學知識,實現(xiàn)思維品質(zhì)的有效提升.