吳葛一

(清華大學錢學森力學班，北京 100084)

1851 年，傅科在巴黎先賢祠用傅科擺同時證明了地球自轉和旋轉非慣性系下科氏力的存在，被譽為“十大最美物理實驗”。這個擺長達67 m，相當于現(xiàn)在的20 層樓高，單次擺動周期16.4 s，每擺220 個周期用時1 h。每隔1 h，擺平面就順時針轉動11°，如圖1 所示。

圖1 傅科擺擺平面的轉動：(a)地面上觀察的擺平面轉動；(b)太空中觀察的擺平面轉動

在理論力學教材[1-2]中，利用質點非慣性系中的運動微分方程，已經(jīng)證明擺平面的轉動角速度ω與擺所在緯度?0和地球自轉角速度ωe相關，有：ω=-ωesin?0。隨著微分幾何的發(fā)展，人們發(fā)現(xiàn)擺平面的轉動也可以用曲面上矢量的平行移動等價地解釋[3]。但用平行移動解釋擺平面轉動的教育研究類文章[4-5]中，推導過程往往涉及聯(lián)絡、協(xié)變導數(shù)等微分幾何概念，并不易于力學讀者理解。本文提供一種只用矢量運算和動量定理的幾何解釋方法，有助于讀者在力學與幾何間建立聯(lián)系[6]。

1 曲面上平行移動的定義

矢量的平行原本是一個平面上的概念。如圖2(a)所示，一個平面上兩點處的矢量如果方向一致，就稱它們平行。如圖2(b)所示，在兩個有夾角的平面上，矢量平行的定義如下：如果將兩個平面（連帶平面上的矢量）沿著面的交線轉至同一平面后，兩個矢量方向一致，就稱它們相互平行。然而，一般的空間曲面上沒有矢量，矢量只能定義在曲面上一點處的切平面上。如圖2(c)所示，曲面上矢量的平行，指的是在曲面A和B兩點處互成夾角的兩個切平面上，兩個矢量相互平行。

圖2 微分幾何中的平行移動：(a)一個平面上矢量的平行；(b)兩個有夾角平面上矢量的平行；(c)曲面的兩個切平面上矢量的平行；(d)曲面上沿任意軌跡的平行移動；(e)矢量繞轉軸旋轉，增量沿切平面的法向

若在移動時，這一時刻的矢量總平行于上一時刻的矢量且矢量的長度總是相等，這種移動方式就稱為平行移動。對一般曲面上任意給定的曲線r(s)，在任意弧長s處都有切平面和切平面上的矢量a(s)。如圖2(d)所示，沿r(s)移動過程中，a(s)和a(s+ds)總是相互平行、長度相等，這就定義了一般曲面上沿任意曲線的平行移動。

根據(jù)上述幾何定義，接下來推導將a(s)平行移動到a(s+ds)具有的數(shù)學關系。首先考察s處和s+ds處的兩切平面交線。用n(s)記s處的曲面法向量，那么切平面交線必須同時垂直于n(s)和n(s+ds)，即平行于n(s)×n(s+ds)；當兩切平面無限靠近（ds →0 ），n(s)×n(s+ds)的長度是一階無窮小。因此，取有限長的切平面交線方向矢量

再考察將a(s)平行移動到a(s+ds)，引起的增量 da=a(s+ds)-a(s)。a(s+ds)由a(s)繞l(s)轉動得到，因此 da位于轉軸l(s)的垂面內。同時，由于a(s)和a(s+ds)的長度相等，da/ds垂直于a(s)。da/ds同時垂直l(s)和a(s)，而l(s)和a(s)張 成s處的切平面，因此da/ds與n(s)平行，即

這就是平行移動的數(shù)學定義。因此，a(s+ds)可通過如下操作獲得：如圖2(e)所示，a(s)先在三維空間中平移到s+ds處，再減掉n(s)方向的分量，只留下在s+ds處切平面內的分量即可。

曲面上矢量的平行移動還與運動學中的純滾動存在關聯(lián)。如圖3(a)所示，考慮a(s)沿r(s)做平行移動。引入一個虛擬的平面，初始和s=0 處的切平面重合，讓該平面不斷繞著l(s)做純滾動，直到和B點處的切平面重合。那么，r(s)在該虛擬平面留下的軌跡為圖中虛線。各點的a(s)轉到虛擬平面后彼此平行、長度相等。

圖3 曲面上的平行移動與純滾動：(a)虛擬平面繞瞬時轉軸純滾動，實線 r(s)是曲面上的曲線，虛線是純滾動后曲線r(s)留下的軌跡；(b)圓柱面上沿底面圓的平行移動與純滾動平面上留下的軌跡；(c)圓錐面上沿底面圓的平行移動與純滾動平面上留下的軌跡

從純滾動出發(fā)，可分析柱面和錐面上矢量沿底面圓r(s)的平行移動。如圖3(b)所示，對柱面，虛擬平面沿底面圓純滾動一周后，r(s)在虛擬平面上留下的軌跡是直線，沿直線a(s)與l(s)的夾角φ不變。如圖3(c)所示，對錐面，虛擬平面沿底面圓純滾動一周后，r(s)在虛擬平面上的軌跡是圓弧，沿圓弧a(s)與l(s)的夾角φ增大，增量 Δφ是扇形的圓心角。

2 擺錘整周期速度矢量平行移動的證明

根據(jù)曲面上平行移動的定義，本節(jié)用動量定理證明：傅科擺擺錘整擺動周期時刻的速度矢量（整周期速度矢量）在球面上沿緯線圓做平行移動。

以擺錘首次到達最低點為計時零點，間隔擺動周期T記錄整周期速度矢量v(kT)(k=0,1,2,...)。每周期的速度增量 Δv=v[(k+1)T]-v(kT)反映擺平面的轉動，Δv的表達式可由動量定理解出。如圖4(a)所示，設地球為球形，太空慣性系中，擺錘受地心引力Fe和擺繩拉力FT，它們在一個擺動周期內的合沖量I導致擺錘動量變化，即

圖4 擺錘整周期速度矢量平行移動：(a)太空慣性系中的受力分析；(b)地面上觀察的受力情況；(c)Δv 只有法向分量，則整周期速度矢量沿緯線圓平行移動

由于擺錘的擺動周期遠小于地球的自轉周期，可認為在一個擺動周期內，單擺支架在空間沒有動。如圖4(b)所示，在地面上觀察，設擺繩與豎直方向夾角為θ，近似取Fe=mg，則Fe+FT在地球切平面上的分量大小為mgθ（指向平衡位置），在一個擺動周期內積分為零。如圖4(c)所示，因為I在地球切平面上的分量為零，Δv只有法向分量。同時傅科擺沿緯線圓走過弧長 Δs，有 Δv/Δs‖n(s)，與平行移動的定義（式(2)）完全一致。因此，v(kT)沿球面上緯線圓平行移動。

3 擺平面轉動的圖像解釋

第1 節(jié)用虛擬平面的純滾動分析錐面上沿底面圓的平行移動，第2 節(jié)已證明v(kT)沿球面上緯線圓平行移動。本節(jié)先說明球面上沿緯線圓的平行移動與錐面上沿底面圓的平行移動相互等價，再用純滾動的圖像解釋擺平面的轉動。

作外切球面于緯線圓的錐面，則球面和錐面在圓上各點處都有相同的切平面。沿曲線的平行移動是由相鄰切平面間的平行移動定義的，因此球面上沿緯線圓、錐面上沿底面圓的平行移動相互等價。

設傅科擺所處緯度?0，在地球自轉帶動下，v(kT)沿球面上的緯線圓平行移動，等價于沿錐面上的底面圓平行移動。如圖3(c)所示，經(jīng)過一個地球自轉周期Te，虛擬平面沿圓錐上底面圓純滾動一周，r(s)留下頂角為 Δφ=2π sin?0的圓弧，v(kT)與l(s)的夾角將增大 Δφ。以逆時針為正，擺平面的轉動角速度為

4 擺平面轉動的數(shù)學計算

第3 節(jié)用純滾動的圖像解釋擺平面的轉動，本節(jié)從曲面上平行移動的數(shù)學定義（式(2)）出發(fā)，直接計算擺平面的轉動角速度。

設地球上隨體“東-北-天”坐標系的3 個單位基矢分別為e1，e2和n。第2 節(jié)已經(jīng)證明，v(kT)沿球面上緯線圓平行移動，因此v(kT)大小不變，記為v0。忽略擺錘沿“天”方向的運動，設速度與東方夾角為δ，則v(kT)=v0cosδe1+v0sinδe2。當傅科擺沿緯度?0的緯線圓L(λ)（λ為經(jīng)度角）勻速運動時，v(kT)沿緯線圓的全導數(shù) dv/dλ為

根據(jù)平行移動的數(shù)學定義（式(2)），dv/dλ只有n方向的分量。由δ的任意性，有sin?0+dδ/dλ=0，由此計算擺平面的轉動角速度

這與第3 節(jié)圖像解釋的結果一致。

5 結論與討論

本文僅使用矢量運算和動量定理，通過幾何方法解釋傅科擺。曲面上的兩個矢量平行，指兩點處的切平面（連帶矢量）沿交線轉至同一平面后，兩矢量方向一致。沿曲面上任意曲線平行移動的矢量，前后時刻相互平行、長度相等，增量沿曲面的法向。從圖像上看，引入一個虛擬平面，使其不斷沿與曲面的交線純滾動，則各點處的矢量轉到虛擬平面后彼此平行、長度相等。同時，因擺錘一個周期所受合沖量只有法向分量，整周期速度矢量沿緯線圓平行移動。由此，論文用圖像解釋、數(shù)學計算兩種方法求解了擺平面的轉動角速度。讀者還可以用論文中純滾動的直觀圖像，不使用高斯曲率等數(shù)學概念，算出傅科擺沿球面上任意閉合曲線運動一周后擺平面轉過的總角度。

致謝感謝清華大學趙治華教授，他的課堂使我產生用微分幾何解釋傅科擺的興趣，與他收獲頗豐的討論給予我很多啟發(fā)。感謝清華大學李俊峰教授，他為本文的修改提供了很多細致而有啟發(fā)性的建議。