林安邦 江守燕 孫立國(guó) 杜成斌

(河海大學(xué)力學(xué)與材料學(xué)院，南京 211100)

工程結(jié)構(gòu)在各種內(nèi)外部因素共同作用下，極易出現(xiàn)開(kāi)裂破壞。自20 世紀(jì)初Griffith[1]的開(kāi)創(chuàng)性工作以來(lái)，科研工作者們對(duì)固體材料的破壞機(jī)理進(jìn)行了大量研究。

盡管如此，對(duì)固體材料中裂紋的萌生和擴(kuò)展的模擬研究仍然是一項(xiàng)具有挑戰(zhàn)性的工作。Miehe等[2]通過(guò)引入經(jīng)典損傷力學(xué)中的歷史最大損傷能釋放率等概念，將脆性斷裂相場(chǎng)模型應(yīng)用于固體結(jié)構(gòu)的破壞分析。Wu[3]提出了分析固體結(jié)構(gòu)損傷破壞問(wèn)題的一類(lèi)統(tǒng)一相場(chǎng)理論框架。為了解決網(wǎng)格敏感性問(wèn)題，非局部模型[4]逐漸發(fā)展了起來(lái)。受近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)[5]和統(tǒng)一相場(chǎng)理論的啟發(fā)，盧廣達(dá)等[6]提出了一類(lèi)非局部宏-微觀損傷模型，該模型引入近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中物質(zhì)點(diǎn)和物質(zhì)點(diǎn)偶的概念，很好地避免了網(wǎng)格敏感性問(wèn)題。

比例邊界有限元法（scaled boundary finite element methods，SBFEM）是Song 和Wolf 提出的一種新型半解析數(shù)值計(jì)算方法[7]，該方法在徑向上有解析解，在環(huán)向上有數(shù)值解，且能夠降低一維計(jì)算維度。SBFEM 與四叉樹(shù)網(wǎng)格的結(jié)合實(shí)現(xiàn)了網(wǎng)格的全自動(dòng)剖分，剖分效率極高，且粗細(xì)網(wǎng)格過(guò)渡非常方便。SBFEM 已成功運(yùn)用于解決非局部損傷問(wèn)題[8]，杜成斌等[9]將SBFEM 與非局部宏-微觀損傷模型相結(jié)合進(jìn)行結(jié)構(gòu)損傷模擬取得了較好的效果。在實(shí)際工程問(wèn)題中，裂紋往往呈現(xiàn)出蜿蜒曲折的形態(tài)，實(shí)驗(yàn)所得曲線也往往在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，這是因?yàn)椴牧媳旧韮?nèi)稟具有隨機(jī)性，這就使得采用固定參數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬時(shí)，很難精確預(yù)測(cè)材料的力學(xué)響應(yīng)。因此，在研究中考慮材料參數(shù)的空間變異性是十分必要的[10]。

本工作通過(guò)考慮材料細(xì)觀物理參數(shù)的空間變異性和材料任意兩點(diǎn)間存在的自相關(guān)性，采用基于喬列斯基分解的中點(diǎn)法模擬相關(guān)隨機(jī)場(chǎng)?；赟BFEM 框架的非局部宏微觀損傷模型結(jié)合若干數(shù)值算例，探討材料參數(shù)的空間變異性對(duì)結(jié)構(gòu)損傷產(chǎn)生和發(fā)展的影響，以及結(jié)構(gòu)損傷發(fā)展的隨機(jī)性與結(jié)構(gòu)的受力情況和自身缺陷之間的關(guān)系。

1 相關(guān)隨機(jī)場(chǎng)模擬方法

1.1 自相關(guān)函數(shù)

材料參數(shù)的空間變異性分析需要考慮隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算區(qū)域內(nèi)任意兩個(gè)不同空間位置處材料參數(shù)的相關(guān)性，引入自相關(guān)函數(shù)描述這一特性。任意位置Qi處參數(shù)的取值Hi(xi,yi)和Qj處的取值Hj(xj,yj)間的自相關(guān)性系數(shù)定義為

式中，COV(·)和V ar(·)分別為協(xié)方差和方差函數(shù)。Qi=(xi,yi)和Qj=(xj,yj)分別為隨機(jī)場(chǎng)第i個(gè)單元和第j個(gè)單元的比例中心坐標(biāo)，其中i,j=1,2,...,ne，這里ne為單元數(shù)目。由于實(shí)際問(wèn)題很難獲取到材料參數(shù)的隨機(jī)分布數(shù)據(jù)，一般采用理論自相關(guān)函數(shù)描述材料參數(shù)的空間自相關(guān)性。文中采用指數(shù)型自相關(guān)函數(shù)

式中，τx和τy分別為空間任意兩點(diǎn)間的水平和垂直方向相對(duì)距離，δh和δv分別為水平和垂直方向的自相關(guān)長(zhǎng)度。

1.2 相關(guān)隨機(jī)場(chǎng)的模擬

由理論自相關(guān)函數(shù)可直接計(jì)算出材料參數(shù)原始空間中的自相關(guān)系數(shù)

式中，χ={χi=H(xi,yi)}為計(jì)算域內(nèi)任一點(diǎn)i處參數(shù)的取值，是一維度為ne×ne的空間自相關(guān)系數(shù)矩陣。

文中采用拉丁超立方樣本構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)樣本矩陣Γ；再對(duì)自相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行喬列斯基分解，即

式中，L為下三角矩陣。于是，得到參數(shù)m的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)高斯隨機(jī)場(chǎng)為

對(duì)該隨機(jī)場(chǎng)取指數(shù)可以得到參數(shù)m的相關(guān)對(duì)數(shù)正態(tài)隨機(jī)場(chǎng)

式中，Π為維度與(x,y)相同元素全為1 的矩陣，σm和μm分別為對(duì)數(shù)正態(tài)變量m的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，σlnm和μlnm分別為對(duì)應(yīng)的正態(tài)變量lnm的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

2 基于SBFEM 的非局部宏微觀損傷模型

非局部宏微觀損傷模型結(jié)合了近場(chǎng)動(dòng)力學(xué)中物質(zhì)點(diǎn)對(duì)的思想和統(tǒng)一相場(chǎng)理論中能量退化函數(shù)的概念，并將其納入到連續(xù)介質(zhì)損傷力學(xué)框架中。

2.1 細(xì)微觀損傷與拓?fù)鋼p傷

假設(shè)二維空間內(nèi)存在一連續(xù)體域Ω，x=(x1,x2)和為Ω（中的）兩個(gè)物質(zhì)點(diǎn)。x與x′組成的物質(zhì)點(diǎn)對(duì)記為x,x′，ξ=x-x′為兩物質(zhì)點(diǎn)的空間差，‖ξ‖為相應(yīng)的距離，連續(xù)體發(fā)生變形后，u=u(x)和u′=u′(x′)分別為物質(zhì)點(diǎn)x和x′的位移，根據(jù)圖1 所示，定義物質(zhì)點(diǎn)對(duì)之間的變形為

圖1 物質(zhì)點(diǎn)對(duì)變形幾何Fig.1 Deformation of material point pair

式中，ν=ξ/‖ξ ‖為物質(zhì)點(diǎn)對(duì)的單位方向向量。由此定義物質(zhì)點(diǎn)對(duì)的伸長(zhǎng)量為

式中，H(·)為Heaviside 階躍函數(shù)，當(dāng)λ≤0 時(shí)，H(λ)=0，否則H(λ)=1 。

即物質(zhì)鍵變形歷史的最大超越伸長(zhǎng)量。

為了表征物質(zhì)鍵的損傷程度，定義一個(gè)細(xì)微觀損傷函數(shù)ω(x,x′,t)，并將其進(jìn)行歸一化，即ω ∈[0,1] 。它是歷史最大超越伸長(zhǎng)量κ的單調(diào)非減函數(shù)，取為

式中，γ ＞0 為模型參數(shù)，γ越大，損傷的發(fā)展速度越快。由于Heaviside 階躍函數(shù)能夠表征不連續(xù)性，因此，細(xì)微觀損傷刻畫(huà)了固體在物質(zhì)鍵層次的不連續(xù)程度。定義物質(zhì)點(diǎn)x的影響域半徑為?，D?(x)為物質(zhì)點(diǎn)x的影響域。

宏觀損傷是由細(xì)微觀損傷的累積造成的，引入拓?fù)鋼p傷來(lái)表征宏觀損傷程度，為了表明宏觀損傷的產(chǎn)生和發(fā)展是非局部化的，將其定義為

式中，權(quán)函數(shù)φ(x,x′)應(yīng)滿足非負(fù)性、定域性及歸一性的要求，取權(quán)函數(shù)為

式中，vol(·)表示體積測(cè)度。

宏微觀損傷模型將結(jié)構(gòu)的損傷情況同物質(zhì)點(diǎn)偶的破壞聯(lián)系起來(lái)，以物質(zhì)點(diǎn)對(duì)之間的變形λ是否超過(guò)臨界伸長(zhǎng)量來(lái)確認(rèn)損傷情況，且與材料彈性模量、抗壓強(qiáng)度等參數(shù)相關(guān)，因此有必要考慮臨界伸長(zhǎng)量的參數(shù)空間變異性。

2.2 能量退化函數(shù)

連續(xù)體的損傷發(fā)展必然伴隨著能量的耗散，引入能量退化因子g，g為拓?fù)鋼p傷的函數(shù)，記作能量退化函數(shù)g=g(Θ)。g(Θ)應(yīng)滿足g(0)=1,g(1)=0 。由于損傷總是耗能的，則dg(Θ)/dQ≤0。能量退化函數(shù)g(Θ)是區(qū)間 [0,1] 上的凸函數(shù)。非局部宏微觀損傷模型中的能量退化函數(shù)采用兩參數(shù)的有理分式，其形式為

式中，p和q均為退化參數(shù)，由材料自身性質(zhì)決定。

2.3 非局部損傷模型在SBFEM 中的實(shí)現(xiàn)

在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，應(yīng)力應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系為

式中，σ為應(yīng)力張量，ε為應(yīng)變張量，D為彈性矩陣。在非局部宏微觀損傷模型中，通過(guò)能量退化函數(shù)g=g(Θ)的引入，建立起拓?fù)鋼p傷與應(yīng)力應(yīng)變之間的聯(lián)系，則本構(gòu)關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

式中，DD=gD為彈性損傷矩陣。

彈性靜力學(xué)問(wèn)題的SBFEM 方程為[7]

該方程是關(guān)于ξ的二階齊次微分方程，E0，E1和E2是與材料參數(shù)和形狀有關(guān)的系數(shù)矩陣，子域在損傷狀態(tài)下的系數(shù)矩陣為

式中，ξ為徑向坐標(biāo)，η為環(huán)向坐標(biāo)，|J| 為雅克比矩陣行列式，B1(η)和B2(η)為應(yīng)變-位移轉(zhuǎn)換矩陣，對(duì)式（16）進(jìn)行求解并將式（17）代入，即可得到子域在損傷狀態(tài)下的剛度矩陣（剛度矩陣的具體求解方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[9]）。將所有的子域剛度矩陣進(jìn)行組裝，得到損傷狀態(tài)下的離散方程為

式中，KD為損傷狀態(tài)下的整體剛度矩陣，U為整體節(jié)點(diǎn)位移向量，F(xiàn)為整體載荷列陣。

3 數(shù)值算例

3.1 預(yù)制缺口三點(diǎn)彎梁準(zhǔn)靜態(tài)開(kāi)裂模擬

預(yù)制缺口三點(diǎn)彎梁的幾何尺寸、邊界條件、加載方式如圖2(a)所示。按平面應(yīng)力問(wèn)題處理。運(yùn)用四叉樹(shù)法對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，并對(duì)裂紋可能產(chǎn)生和發(fā)展的區(qū)域進(jìn)行加密處理（圖2(b)），確保損傷區(qū)域內(nèi)的網(wǎng)格尺寸小于?/5，避免出現(xiàn)網(wǎng)格敏感性問(wèn)題。四叉樹(shù)網(wǎng)格及加密區(qū)域如圖2(b)所示，單元數(shù)為3530，結(jié)點(diǎn)數(shù)為3747。

材料的彈性模量E=20 GPa，泊松比ν=0.2。依據(jù)文獻(xiàn)[9]給出的非局部宏微觀損傷模型參數(shù)，取影響半徑?=5 mm，γ=1 000，p=3，q=4 ?？紤]臨界伸長(zhǎng)量的空間變異性，均值=1.125 μm，變異系數(shù)=10%，自相關(guān)長(zhǎng)度δh=5 mm，δv=5 mm，生成5 個(gè)臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)樣本。

圖3 為不同隨機(jī)場(chǎng)樣本計(jì)算得到的載荷-加載點(diǎn)位移曲線，圖4 為部分樣本的裂紋形態(tài)及參數(shù)均勻分布結(jié)果。如圖3 所示，將臨界伸長(zhǎng)量作為隨機(jī)場(chǎng)計(jì)算得到的載荷-位移曲線的變化范圍基本在實(shí)驗(yàn)結(jié)果[11]范圍之內(nèi)，與不考慮參數(shù)隨機(jī)性的宏微觀模型[9]所得曲線走向也基本一致，與統(tǒng)一相場(chǎng)模型[12]所得曲線在下降段有所差別。這表明，在考慮參數(shù)的空間變異性后，采用宏-微觀損傷模型模擬材料的受力和損傷過(guò)程是合理的，且可以體現(xiàn)出材料內(nèi)稟的隨機(jī)性?？紤]參數(shù)隨機(jī)性計(jì)算出部分最終裂紋形態(tài)如圖4 所示，不難看出，裂紋形態(tài)各不相同，考慮參數(shù)隨機(jī)性的最終裂紋形態(tài)是略有曲折的，不考慮參數(shù)隨機(jī)性的裂紋形態(tài)是筆直向上的?？紤]參數(shù)空間變異性的宏-微觀損傷模型能很好地模擬出裂紋產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，結(jié)果更加合理。

圖3 預(yù)制缺口三點(diǎn)彎梁載荷-加載點(diǎn)位移曲線Fig.3 Load-displacement curve of notched three-point bending beam

圖4 三點(diǎn)彎梁各樣本最終裂紋形態(tài)Fig.4 Final cracking modes of three-point bending beam with different samples

3.2 預(yù)制缺口剪切梁開(kāi)裂模擬

圖5 為一剪切梁，其幾何尺寸、邊界條件和加載方式及網(wǎng)格劃分如圖所示。該剪切梁為有機(jī)玻璃材質(zhì)，因?yàn)槠渚哂袕?qiáng)非線性回彈特性，能很好地檢驗(yàn)數(shù)值模型的優(yōu)良性。分析中試件按平面應(yīng)力問(wèn)題考慮，同樣采用四叉樹(shù)對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分，單元數(shù)為9744，結(jié)點(diǎn)數(shù)為10 032。

圖5 預(yù)制缺口剪切梁及其網(wǎng)格劃分Fig.5 Notched shear beam and the mesh

材料參數(shù)：彈性模量E=3.102 GPa，泊松比ν=0.35 。宏-微觀損傷模型參數(shù)：影響半徑?=4 mm，γ=200 000，p=4，q=4 ?？紤]臨界伸長(zhǎng)量的空間變異性，均值=0.018 mm，變異系數(shù)=10%，自相關(guān)長(zhǎng)度δh=4 mm，δv=4 mm，生成5 個(gè)臨界伸長(zhǎng)量隨機(jī)場(chǎng)樣本。

五個(gè)隨機(jī)場(chǎng)樣本計(jì)算得到的載荷-裂紋口張開(kāi)位移（crack mouth pening displacement，CMOD）曲線和載荷-加載點(diǎn)位移曲線如圖6 所示，部分樣本及參數(shù)均勻分布的裂紋最終形態(tài)如圖7 所示。

圖6 剪切梁不同隨機(jī)場(chǎng)得到的載荷-位移曲線Fig.6 Load-displacement curves for different samples

圖7 剪切梁各樣本最終裂紋形態(tài)Fig.7 Final cracking modes of shear beam with different samples

圖7 將各樣本計(jì)算得到的載荷-CMOD 曲線、載荷-加載點(diǎn)位移曲線與實(shí)驗(yàn)所得曲線[13]、基于有限元法的宏微觀損傷模型[6]和基于混合元的各向同性損傷模型[14]模擬結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比。如圖6(a)所示，各樣本的載荷-CMOD 曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果和其他數(shù)值模擬結(jié)果的曲線基本吻合；圖6(b)給出的載荷-加載點(diǎn)位移曲線與實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比雖然略有差異，但施加的載荷最大值基本一致，總體走向也基本相同，且表現(xiàn)出了該結(jié)構(gòu)的強(qiáng)非線性回彈特質(zhì)，這是一般的數(shù)值模擬方法很難捕捉到的。

圖7 給出了其中3 個(gè)樣本計(jì)算出的裂紋最終形態(tài)，并與未考慮參數(shù)空間變異性的數(shù)值模擬結(jié)果做了對(duì)比?？梢园l(fā)現(xiàn)，未考慮參數(shù)變異性時(shí)，文獻(xiàn)[14-15]和論文方法模擬出來(lái)的裂紋形態(tài)是一條光滑的曲線，考慮參數(shù)空間變異性后，各樣本計(jì)算出的裂紋最終形態(tài)是曲折的，這更符合實(shí)際工程情況。由于受力情況相對(duì)于三點(diǎn)彎梁更加復(fù)雜，各樣本的裂紋最終形態(tài)表現(xiàn)出更強(qiáng)的變異性。這表明在復(fù)雜的受力情況下，裂紋產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程隨機(jī)性更大。

3.3 預(yù)制圓孔剪切梁開(kāi)裂模擬

為了進(jìn)一步探究參數(shù)的空間變異性對(duì)復(fù)雜工況下結(jié)構(gòu)開(kāi)裂過(guò)程的影響，考慮剪切梁含圓孔缺陷的情況。試件的幾何尺寸、邊界條件及加載方式和網(wǎng)格劃分如圖8 所示。對(duì)圓孔缺陷部分及裂紋可能萌發(fā)和發(fā)展的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格加密處理，單元數(shù)為8285，結(jié)點(diǎn)數(shù)為8741，同樣取變異系數(shù)=10%，自相關(guān)長(zhǎng)度取值不變，生成5 個(gè)隨機(jī)場(chǎng)。

圖8 含圓孔缺陷剪切梁及其網(wǎng)格Fig.8 Shear beam with circular flaws and the mesh

5 個(gè)隨機(jī)場(chǎng)樣本計(jì)算得到的載荷-CMOD 曲線如圖9 所示，裂紋最終形態(tài)如圖10 所示。在圖9(b)中，各樣本的載荷-加載點(diǎn)位移曲線依然表現(xiàn)出了強(qiáng)非線性回彈特質(zhì)。

圖9 含缺陷剪切梁不同隨機(jī)場(chǎng)得到的載荷-位移曲線Fig.9 Load-deformation curves for different samples

圖10 含缺陷剪切梁各樣本最終裂紋形態(tài)Fig.10 Final cracking modes of shear beam with flaws under different samples

圖10 給出了其中3 個(gè)樣本計(jì)算出的最終裂紋形態(tài)及文獻(xiàn)和運(yùn)用論文方法未考慮參數(shù)空間變異性的模擬結(jié)果。未考慮變異性及文獻(xiàn)[6]的結(jié)果中的裂紋走向一致，均從缺口尖端開(kāi)始萌發(fā)向右上方發(fā)展，穿過(guò)第一個(gè)圓孔缺陷后有向第二個(gè)圓孔缺陷發(fā)展的趨勢(shì)但最終未被俘獲繼續(xù)向右上方發(fā)展。考慮參數(shù)空間變異性后，各樣本計(jì)算出的裂紋走向具有隨機(jī)性。值得注意的是，樣本A 的計(jì)算結(jié)果中，裂紋在穿過(guò)第一個(gè)圓孔缺陷后，又被第二個(gè)圓孔缺陷俘獲，并穿過(guò)第二個(gè)圓孔繼續(xù)向右上方發(fā)展。在變異系數(shù)不變，考慮圓孔缺陷的情況下，裂紋最終形態(tài)的變異性更強(qiáng)。這表明在原試件有缺陷的情況下，考慮參數(shù)的空間變異性后，裂紋的產(chǎn)生和發(fā)展的隨機(jī)性更大，因此，對(duì)于復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，在數(shù)值模擬的過(guò)程中考慮參數(shù)的空間變異性，分析裂紋發(fā)展的多種可能性是十分必要的。

4 隨機(jī)場(chǎng)參數(shù)的影響研究

4.1 自相關(guān)長(zhǎng)度的影響

本節(jié)主要探究隨機(jī)場(chǎng)的自相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。在變異系數(shù)=10% 不變的情況下，分別取自相關(guān)長(zhǎng)度δh=δv=?/10，?，10?3 種不同的情況，每種情況均生成5 個(gè)隨機(jī)場(chǎng)樣本，計(jì)算得到的載荷-位移曲線如圖11 所示，從圖中可以看出，載荷-位移曲線的變異性隨著自相關(guān)長(zhǎng)度增大而增大，當(dāng)自相關(guān)長(zhǎng)度取?/10 時(shí)，曲線的極值基本一致，曲線的變異性幾乎可以忽略不計(jì)。自相關(guān)長(zhǎng)度取?時(shí)，曲線極值出現(xiàn)了明顯的波動(dòng)，曲線變異性升高；當(dāng)自相關(guān)長(zhǎng)度取 10?時(shí)，曲線的變異性進(jìn)一步升高。實(shí)際上，由于非局部損傷模型中定義的損傷是一個(gè)加權(quán)求和，是一種均值，隨著隨機(jī)場(chǎng)的自相關(guān)長(zhǎng)度逐漸增大，影響域內(nèi)各物質(zhì)點(diǎn)偶的臨界伸長(zhǎng)量的自相關(guān)性越強(qiáng)，數(shù)值大小會(huì)整體偏大或偏小，各影響域內(nèi)變量均值的方差也會(huì)越來(lái)越大，導(dǎo)致曲線的變異性增強(qiáng)。

圖11 不同自相關(guān)長(zhǎng)度得到的載荷-位移曲線Fig.11 Load-deformation curves with different autocorrelation length

4.2 變異系數(shù)的影響

隨機(jī)場(chǎng)變異系數(shù)也是影響計(jì)算結(jié)果的重要因素，本節(jié)主要探究變異系數(shù)和自相關(guān)長(zhǎng)度對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響規(guī)律。變異系數(shù)分別取20%和30%，隨機(jī)場(chǎng)不同自相關(guān)長(zhǎng)度得到的載荷-位移曲線如圖12 所示。從圖中可以看出，隨著變異系數(shù)的增大，無(wú)論自相關(guān)長(zhǎng)度取值如何變化，曲線的變異性都在增強(qiáng)。當(dāng)自相關(guān)長(zhǎng)度取值較小時(shí)，隨著變異系數(shù)的增大，曲線極值的波動(dòng)范圍略有變大；隨著自相關(guān)長(zhǎng)度的增大，曲線極值波動(dòng)范圍的增加幅度較明顯。在變異系數(shù)取30%，自相關(guān)長(zhǎng)度取 10?時(shí)，極值的波動(dòng)范圍已經(jīng)大大超出了試驗(yàn)范圍。由此可見(jiàn)，隨著隨機(jī)場(chǎng)的自相關(guān)長(zhǎng)度的增大，隨機(jī)場(chǎng)變異系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響也顯著增強(qiáng)。這是由于非局部模型對(duì)損傷的定義類(lèi)似于均值的特性，在隨機(jī)場(chǎng)自相關(guān)長(zhǎng)度較小時(shí)，即使變異系數(shù)增加，各影響域內(nèi)參數(shù)均值的差距也很小，隨著自相關(guān)長(zhǎng)度的增加，甚至超過(guò)影響域半徑時(shí)，變異系數(shù)的增加會(huì)使各影響域內(nèi)參數(shù)均值之間的差距增大，從而導(dǎo)致曲線變異性的增大。

圖12 不同變異系數(shù)得到的載荷-位移曲線Fig.12 Load-deformation curves for different coefficients of variation

5 結(jié)論

建立了SBFEM 框架下的宏-微觀損傷模型，考慮材料細(xì)觀物理參數(shù)的空間變異性和材料任意兩點(diǎn)間存在的自相關(guān)性，探討了材料參數(shù)的空間變異性對(duì)結(jié)構(gòu)開(kāi)裂過(guò)程的影響，得出以下幾點(diǎn)結(jié)論。

（1）基于SBFEM 的宏-微觀損傷模型分析結(jié)構(gòu)開(kāi)裂問(wèn)題時(shí)，不需要人為預(yù)設(shè)裂紋的開(kāi)裂路徑，可以自動(dòng)地預(yù)測(cè)裂紋的開(kāi)裂模式。

（2）針對(duì)結(jié)構(gòu)材料存在的內(nèi)在隨機(jī)性，裂紋擴(kuò)展路徑具有不確定性，因此，考慮材料參數(shù)的空間變異性對(duì)裂紋擴(kuò)展路徑的影響至關(guān)重要。結(jié)構(gòu)的受力情況和結(jié)構(gòu)本身是否存在缺陷對(duì)裂紋擴(kuò)展的隨機(jī)性有較大的影響，受力情況越復(fù)雜，結(jié)構(gòu)內(nèi)部缺陷越多，裂紋發(fā)展模式越是復(fù)雜多變，這與實(shí)際情況是相符的，也反映出數(shù)值模擬在處理固體結(jié)構(gòu)破壞問(wèn)題時(shí)考慮參數(shù)空間變異性的必要性。

（3）自相關(guān)長(zhǎng)度和參數(shù)變異系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)開(kāi)裂分析結(jié)果有重要影響。隨著自相關(guān)長(zhǎng)度的增大，結(jié)果的變異性增強(qiáng)；同時(shí)，自相關(guān)長(zhǎng)度的取值也一定程度上決定變異系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響程度，自相關(guān)長(zhǎng)度越大，變異系數(shù)對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響程度越大，因此，隨機(jī)場(chǎng)模型自相關(guān)長(zhǎng)度的取值至關(guān)重要，可與非局部模型中影響域取值相當(dāng)。