? 江蘇省灌云高級(jí)中學(xué) 周玉鳳

給定條件下的代數(shù)關(guān)系式的最值或取值范圍問題,往往以雙變?cè)獮橹?合理構(gòu)建變?cè)g的聯(lián)系與相互限制,進(jìn)而巧妙建立相應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式來創(chuàng)新與應(yīng)用,是近年高考數(shù)學(xué)考試中比較常見的一類創(chuàng)新綜合應(yīng)用問題,倍受各方關(guān)注.此類代數(shù)問題,以“數(shù)”的視角為主,合理數(shù)學(xué)運(yùn)算;有時(shí)也可以“數(shù)形結(jié)合”,轉(zhuǎn)化為“形”的視角,巧妙構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,直觀形象來推理與運(yùn)算.

1 問題呈現(xiàn)

此題以分式形式及雙變?cè)匠虨楸尘皝砬擅顒?chuàng)設(shè)問題情境,確定涉及雙變?cè)降幕旌洗鷶?shù)式的取值范圍問題,條件與結(jié)論對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系式都比較復(fù)雜,沒有明顯的直接聯(lián)系.合理的代數(shù)式恒等變形與轉(zhuǎn)化是基礎(chǔ),也是問題的“試探”,在此條件下借助基本不等式思維或三角函數(shù)思維進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,或借助數(shù)學(xué)模型通過解三角形思維進(jìn)行數(shù)形結(jié)合等,巧思維切入,妙方法破解.

2 問題破解

2.1 思維視角一:基本不等式思維

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)雙變?cè)P(guān)系式進(jìn)行變形整理,對(duì)比所求的參數(shù)關(guān)系式合理配湊,巧妙借助配方及基本不等式合理轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)型的取值范圍問題.有目的的配湊處理,為進(jìn)一步利用基本不等式提供條件.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)合題目中雙變?cè)P(guān)系式的變形整理,借助所求的參數(shù)關(guān)系式進(jìn)行有目的性的配湊處理,轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)型的取值范圍問題,進(jìn)而利用基本不等式求解對(duì)應(yīng)關(guān)系式的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：利用基本不等式確定雙變?cè)P(guān)系式的取值范圍,以xy為整體,通過對(duì)所求式的平方處理、恒等變形與配湊轉(zhuǎn)化,利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)來求解.這樣的配湊處理,目的非常明確,只是數(shù)學(xué)運(yùn)算與解題過程比較繁雜.

2.2 思維視角二:三角函數(shù)思維

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目中雙變?cè)P(guān)系式的變形整理,合理配方處理,利用三角換元將所求式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式,利用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)來確定對(duì)應(yīng)的取值范圍.三角換元是解決最值或取值范圍等相關(guān)問題中最常用的一種技巧,目的性強(qiáng),操作性好.

2.3 思維視角三:解三角形思維

圖1

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題目中雙變?cè)P(guān)系式的變形整理,轉(zhuǎn)化為解三角形中余弦定理的形式,通過合理構(gòu)建三角形,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,綜合解三角形以及動(dòng)點(diǎn)的變形規(guī)律來直觀分析與處理.合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型也是解決代數(shù)關(guān)系式最值或取值范圍問題比較常用的一種技巧策略,“數(shù)”轉(zhuǎn)化為“形”,更加直觀形象.

3 教學(xué)啟示

解決復(fù)雜代數(shù)式的最值或取值范圍問題的基本技巧與策略主要可以歸納總結(jié)為以下兩點(diǎn):

(1)從“數(shù)”的視角切入.抓住代數(shù)式的本質(zhì),通過代數(shù)思維,從函數(shù)與方程、不等式、三角函數(shù)等基本視角來恒等轉(zhuǎn)化與巧妙應(yīng)用,結(jié)合相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行合理代數(shù)運(yùn)算、邏輯推理等,巧妙分析與處理,確定對(duì)應(yīng)代數(shù)式最值或取值范圍問題.

(2)從“形”的視角切入.抓住代數(shù)式的幾何結(jié)構(gòu)特征,聯(lián)系相應(yīng)的幾何內(nèi)涵與幾何意義,巧妙構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,化“數(shù)”為“形”,利用幾何思維,從直觀圖形及其對(duì)應(yīng)的幾何意義視角來直觀想象,實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值等問題的確定.