? 河南省固始縣高級(jí)中學(xué) 沈玉潔

利用基本不等式破解三角形中的角、邊、周長、面積以及相應(yīng)代數(shù)式等的最值及其綜合應(yīng)用問題,一直是高考命題中的一個(gè)重點(diǎn)與難點(diǎn),交匯點(diǎn)多,綜合性強(qiáng),難度較大,靈活多樣,備受各方關(guān)注.本文中結(jié)合實(shí)例,合理通過基本不等式的巧妙放縮,得以確定相應(yīng)的最值.

1 角的最值問題

利用基本不等式求解三角形中角的最值問題,是高考的一個(gè)考點(diǎn).解決這類問題的關(guān)鍵是,利用正、余弦定理及基本不等式求出三角形中相應(yīng)內(nèi)角的某一三角函數(shù)值的取值范圍或進(jìn)一步利用三角函數(shù)的單調(diào)性求出角的最值等.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用正弦定理、余弦定理化角為邊的關(guān)系式,并結(jié)合基本不等式與余弦定理求出角A的余弦值的取值范圍,然后利用三角關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化,以及不等式的性質(zhì)來確定角A的正切值的平方的最值,進(jìn)而獲解.

2 邊的最值問題

求解三角形中邊(或?qū)?yīng)的線段長度等)的最值問題是高考的一個(gè)基本考點(diǎn),解決這類問題的關(guān)鍵是利用余弦定理表示出所要求的邊,然后利用基本不等式或三角形的三邊關(guān)系等條件求出邊的最值.

(1)求角A的大小;

(2)若D為BC的中點(diǎn),且AD=2,求a的最大值.

點(diǎn)評(píng)：利用平面向量的線性關(guān)系的兩邊平方處理以及余弦定理的應(yīng)用,用b2+c2及bc的線性關(guān)系式表示出a2是解決本題的關(guān)鍵,同時(shí)注意利用基本不等式來合理放縮b2+c2與bc之間的不等關(guān)系,為確定邊的最值奠定基礎(chǔ).

3 三角形周長的最值問題

三角形周長的最值問題是高考的一個(gè)熱點(diǎn)與常見題型,這類問題一般可以求出一條邊(或已知一邊),然后利用余弦定理表示出另兩條邊滿足的關(guān)系式,最后利用基本不等式求出周長的最值.

(1)求A;

點(diǎn)評(píng)：涉及三角形周長的最值問題,經(jīng)常在已知或已求得其中一邊的基礎(chǔ)上,通過另外兩邊之和的最值轉(zhuǎn)化來綜合,而這時(shí)往往需要借助基本不等式來合理放縮與應(yīng)用,同時(shí)也離不開三角形的基本性質(zhì)等.

4 三角形面積的最值問題

三角形面積的最值問題一直是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn),解決這類問題的關(guān)鍵是找出兩邊(這兩邊的夾角往往已知或可求)之積滿足的不等關(guān)系式,借助基本不等式合理放縮,再利用三角形面積公式解決問題.

解析：略.

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是利用余弦定理,或利用平面向量中的線性運(yùn)算,或利用坐標(biāo)運(yùn)算等表示出b,c滿足的關(guān)系式,然后利用基本不等式求出bc滿足的不等關(guān)系,最后利用三角形面積公式解決問題.

5 涉及角或邊的代數(shù)式的最值問題

關(guān)于三角形中的邊長或角的代數(shù)式的最值問題是新課標(biāo)高考的一個(gè)新趨向,創(chuàng)新新穎,變化多端,解決這類問題的關(guān)鍵是消元——消邊或消角,對(duì)元素進(jìn)行統(tǒng)一化處理,然后利用基本不等式求出最值即可.

結(jié)合基本不等式,利用正弦定理可得

點(diǎn)評(píng)：解決本題中涉及邊的代數(shù)式的最值問題的關(guān)鍵在于利用正弦定理化邊為角,結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式的轉(zhuǎn)化,綜合三角關(guān)系式的恒等變形,利用基本不等式來確定相應(yīng)的最值問題.

當(dāng)然,除了巧妙利用基本不等式的放縮來確定三角形中的角、邊、周長、面積以及相應(yīng)的代數(shù)式等的最值及其綜合應(yīng)用,還可以利用平面幾何圖形的直觀性質(zhì)、三角函數(shù)的有界性、函數(shù)與方程的基本性質(zhì)以及導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)來解決.而這當(dāng)中基本不等式的放縮與應(yīng)用是最簡單有效的一種方法,也是最常見的,要結(jié)合問題的實(shí)質(zhì)加以合理轉(zhuǎn)化,巧妙構(gòu)建“一正、二定、三相等”的條件,為利用基本不等式來處理三角形最值問題提供條件.