? 江蘇省江都中學(xué) 王 斌

思維的嚴(yán)謹(jǐn)性屬于思維品質(zhì)的一種,主要指對(duì)待問(wèn)題時(shí)要遵循邏輯規(guī)則,在概念清晰的狀態(tài)下進(jìn)行準(zhǔn)確判斷、有據(jù)推理,體現(xiàn)思維的縝密性.在教學(xué)中,教師常發(fā)現(xiàn)學(xué)生遇到一些跨度大的證明題就不知從何下手;有些需要分類討論的問(wèn)題,常常出現(xiàn)遺漏的現(xiàn)象.這些問(wèn)題的發(fā)生,都是因?yàn)樗季S不夠嚴(yán)謹(jǐn)而導(dǎo)致的.因此,在教學(xué)實(shí)踐中,筆者特別對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性作了一定的研究,與同行共勉.

1 問(wèn)題誘導(dǎo),準(zhǔn)確表述

想要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S,必須準(zhǔn)確無(wú)誤地表述并理解數(shù)學(xué)概念、定理、公式、定義、法則等基礎(chǔ)知識(shí).尤其是概念中呈現(xiàn)的一些關(guān)鍵性詞語(yǔ),必須保證能用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行精確化的表達(dá).為了達(dá)到這一目的,教師可設(shè)計(jì)一些具有引導(dǎo)性的問(wèn)題,以激發(fā)學(xué)生探究的熱情,讓學(xué)生對(duì)抽象的知識(shí)產(chǎn)生良好的情感傾向.

問(wèn)題的設(shè)置需要有一定的技巧.教師要盡可能地創(chuàng)設(shè)一些處于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展區(qū)內(nèi),具有一定挑戰(zhàn)性且讓學(xué)生踮起腳尖才能解決的問(wèn)題,或需要學(xué)生通過(guò)合作交流才能獲得結(jié)論的問(wèn)題.從心理學(xué)的角度來(lái)講,此類問(wèn)題能真正激起學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī),從而產(chǎn)生探究行為,為形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ).

例1觀察3,6,9,12,15……這組數(shù)據(jù),說(shuō)說(shuō)它們之間存在怎樣的關(guān)系.

這組數(shù)據(jù)對(duì)于學(xué)生而言并不陌生,在初中階段即有接觸.在學(xué)生給出答案后,教師又讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)2,4,6,8,10,12……這組數(shù)據(jù)之間存在的聯(lián)系.這個(gè)問(wèn)題同樣簡(jiǎn)單,學(xué)生表述毫無(wú)障礙.接著,教師又提出一個(gè)新的問(wèn)題:“這兩組數(shù)據(jù)之間具有怎樣的聯(lián)系?”學(xué)生經(jīng)觀察后,認(rèn)為:第一組數(shù)據(jù)相鄰兩個(gè)數(shù)的差為3;第二組數(shù)據(jù)相鄰兩數(shù)之差為2.此時(shí),教師再次提問(wèn):這兩組數(shù)據(jù)的第十個(gè)數(shù)分別是多少?

隨著問(wèn)題的逐漸深入,學(xué)生的思維也隨著問(wèn)題呈逐層上升趨勢(shì).通過(guò)對(duì)一個(gè)個(gè)問(wèn)題的表述,學(xué)生很快就自主抽象出等差數(shù)列的概念,進(jìn)而得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:an=an+(n-1)d.

緊接著,教師又提出以下問(wèn)題串,要求學(xué)生逐個(gè)表述:

(1)分別說(shuō)說(shuō)兩組數(shù)據(jù)的前五項(xiàng)的和及計(jì)算方法.

(2)大家想想,有沒(méi)有更簡(jiǎn)單的計(jì)算方法?

(3)怎么計(jì)算前n項(xiàng)的和呢?

由淺入深的問(wèn)題誘導(dǎo),使得學(xué)生的思維跟著一個(gè)個(gè)問(wèn)題拾級(jí)而上.從對(duì)最簡(jiǎn)單問(wèn)題的表述到公式推理的形成,一環(huán)接一環(huán),嚴(yán)謹(jǐn)而又周密,學(xué)生的思維也呈螺旋式上升.此過(guò)程除了以階梯狀的問(wèn)題貫穿外,學(xué)生的表述也是重點(diǎn),隨著表述越來(lái)越完整,學(xué)生的思維也越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn),久而久之,學(xué)生也對(duì)學(xué)習(xí)也充滿了信心.

其實(shí),這種誘導(dǎo)方式除了能鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力、嚴(yán)謹(jǐn)思維之外,在一定程度上還激發(fā)了學(xué)生的探究欲.學(xué)生在自我推導(dǎo)與合作學(xué)習(xí)中,對(duì)問(wèn)題展開相應(yīng)的研究與推斷,這為培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力及核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).

2 適當(dāng)引導(dǎo),嚴(yán)密推理

教學(xué)時(shí),一般是將一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)分解到課堂中逐個(gè)講解,這種教學(xué)方式體現(xiàn)了知識(shí)的獨(dú)立性.但這種模式也導(dǎo)致了部分學(xué)生不會(huì)進(jìn)行知識(shí)間的聯(lián)系,出現(xiàn)思考問(wèn)題方向單一、思維僵化、缺乏靈活性等現(xiàn)象,這些現(xiàn)象嚴(yán)重地削弱了學(xué)生思維的延伸性與系統(tǒng)性.我們知道,數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科,所有的知識(shí)點(diǎn)都不是孤立存在的,知識(shí)的前后有著緊密的聯(lián)系,難度呈遞進(jìn)式上升,學(xué)科與學(xué)科之間也有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)聯(lián).

因此,教師應(yīng)有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生感知、感悟知識(shí)間的這種遞進(jìn)關(guān)系,讓學(xué)生從多層面或多維度去面對(duì)問(wèn)題,實(shí)現(xiàn)解題.如此,可培養(yǎng)學(xué)生形成聯(lián)想式的思考模式,在思考與探討中獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

學(xué)生看到此題,首先考慮到數(shù)列,卻不知從何處下手.

師:通過(guò)問(wèn)題中的指數(shù),大家能聯(lián)想到什么?問(wèn)題中有哪些量隨著其他量的變化而發(fā)生變化?

不少學(xué)生做到此步,思維卡殼了.教師提醒學(xué)生再回過(guò)頭來(lái)看看,待求證的是什么?

有什么辦法能證明an>an+1呢?教師提出:求證一個(gè)命題的真?zhèn)?一般可采取數(shù)學(xué)歸納法或反證法,本題該選擇哪種方法呢?

學(xué)生一致選擇了數(shù)學(xué)歸納法,并順利解題(過(guò)程略).

從本題的教學(xué)來(lái)看,不僅凸顯了教師引導(dǎo)的重要性,還凸顯了從多角度思考與分析問(wèn)題的必要性.解題時(shí),學(xué)生通過(guò)各個(gè)關(guān)卡的逐個(gè)突破,最后再將各個(gè)突破點(diǎn)聯(lián)系到一起,不僅解決了本題,還有效地鍛煉了思維,整個(gè)過(guò)程邏輯清晰、思路明朗、逐層遞進(jìn),有效地促進(jìn)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)性思維的形成與發(fā)展.

3 分類討論,全面考慮

教學(xué)中,我們常發(fā)現(xiàn)學(xué)生在問(wèn)題的探討中,總存在不夠全面、顧此失彼的現(xiàn)象,不少學(xué)生因?yàn)椴荒苷w、全面地分析問(wèn)題而導(dǎo)致丟分.為了鞏固和提高學(xué)生的邏輯性,可有針對(duì)性地利用一些試題來(lái)訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓學(xué)生結(jié)合實(shí)際情況,從問(wèn)題的多角度進(jìn)行分析與探討.教學(xué)中,筆者常用蘊(yùn)含分類討論思想的問(wèn)題,來(lái)激發(fā)學(xué)生全面思考的能力,以幫助學(xué)生更好地形成周密性思維.

例3設(shè)函數(shù)f(x)=x2+ln(a+x),若f(x)有極值,求a的取值范圍.

方程2x2+2ax+1=0判別式Δ=4a2-8.

①當(dāng)Δ<0時(shí),f(x)無(wú)極值.

②當(dāng)Δ=0時(shí),f(x)也無(wú)極值.

本題充分體現(xiàn)了分類討論思想的“化整為零”和“集零為整”的策略,揭示了分類對(duì)象需清晰、標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一,杜絕重復(fù)、遺漏、越級(jí)等原則,將思維的嚴(yán)謹(jǐn)性充分展現(xiàn)出來(lái).因此,分類討論不僅能帶動(dòng)學(xué)生從問(wèn)題的全面性去思考,還能幫助學(xué)生縝密思維,提高認(rèn)識(shí),提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

總之,紙上談兵終覺(jué)淺,只有真正地參與并親歷實(shí)踐,才能不斷地自我突破,實(shí)現(xiàn)優(yōu)化、修正原有的固化思維.教學(xué)中,教師可充分發(fā)揮引導(dǎo)功能,引導(dǎo)學(xué)生從多角度出發(fā),周密、嚴(yán)謹(jǐn)思考問(wèn)題,培養(yǎng)學(xué)生形成良好探究習(xí)慣的同時(shí),幫助學(xué)生養(yǎng)成能促進(jìn)其終身可持續(xù)發(fā)展的思維品質(zhì).