? 甘肅省靜寧縣文萃中學(xué) 李雙偉

隨著教學(xué)改革的不斷深入,大多教師已經(jīng)充分認識到,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中若繼續(xù)搞“灌輸”已經(jīng)很難讓學(xué)生在數(shù)學(xué)方面有所突破.眾所周知,數(shù)學(xué)題目多變,如果學(xué)生不會用數(shù)學(xué)思維去思考,而是單憑機械的模仿是難以順利解決問題的,數(shù)學(xué)成績也難以提升.因此無論是為了提高數(shù)學(xué)成績,還是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)都勢在必行.其實,大多教師之所以熱衷于數(shù)學(xué)知識教學(xué),是因為數(shù)學(xué)知識看得見,能夠用練習(xí)、考試進行檢測,更易于操作.然數(shù)學(xué)思想屬于一種隱性知識,是難以通過強化訓(xùn)練來提升的.另外,學(xué)生何時能夠掌握,何時能夠靈活運用都沒有規(guī)律可循,只能在平時教學(xué)中慢慢培養(yǎng),慢慢滲透.那么,在教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法到底應(yīng)如何滲透、如何落實已成為一線教師關(guān)注的重點話題,筆者也談了幾點淺見,供借鑒!

1 教學(xué)現(xiàn)狀

對于學(xué)生,談起數(shù)學(xué)思想方法,能夠知曉數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)方程思想、分類討論思想等重要數(shù)學(xué)思想方法,然并未真正理解其本質(zhì),在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也難以靈活運用.在教學(xué)中,有的教師會在解題時告訴學(xué)生此題會涉及哪些具體的思想方法,然解題時卻強調(diào)結(jié)果,學(xué)生并未感受到數(shù)學(xué)思想方法與具體問題的直接聯(lián)系;也有教師確實比較重視數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),為此在解題過程中會重點強調(diào),然而在日常的新知教學(xué)中,為了趕進度、擴容量,往往忽視了數(shù)學(xué)思想方法的滲透,使得數(shù)學(xué)思想方法與日常教學(xué)脫節(jié);還有教師直接以專題的形式進行數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng),而數(shù)學(xué)思想方法是隱藏于數(shù)學(xué)知識之中的,需要學(xué)生慢慢感悟,過度的強調(diào)未必能夠取得實質(zhì)性的收獲,反而容易讓學(xué)生產(chǎn)生挫敗感,不利于學(xué)生發(fā)展.

案例1若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a10a11+a9a12=2e5,則lna1+lna2+……+lna20=______.

這是一道高考題,教師認為本題比較簡單,于是直接給出了解題過程:

由等比數(shù)列,可知

a1a20=a2a19=……=a9a12=a10a11=e5.

記S=lna1+lna2+……+lna19+lna20,則有

S=lna20+lna19+……+lna2+lna1.

所以2S=20ln(a1a20)=100.故S=50.

至此本題講解完畢了,但到底為什么這么做?學(xué)生一頭霧水,只是驚嘆于教師的奇思妙想,卻難以將其轉(zhuǎn)化為自己的解題能力.這樣灌輸式的講解模式缺乏思維的靈魂,讓學(xué)生感覺不適,降低了課堂的參與度,課堂氣氛沉悶.本題對于教師來講是簡單的,但對于剛接觸這類問題的學(xué)生來講是抽象的、復(fù)雜的.學(xué)生真正的理解需要教師不斷的引導(dǎo)和滲透,只有教學(xué)中讓學(xué)生先經(jīng)歷一個由特殊到一般的過程,學(xué)生才能真正地理解知識、掌握知識、運用知識,進而有效地避免機械照抄照搬所帶來的思維定勢,使思維更具靈活性.

對于以上問題,教師不應(yīng)急于給出答案,而是應(yīng)先通過簡單的實例讓學(xué)生理解倒序相加法.例如,可通過等差數(shù)列引入,讓學(xué)生自己歸納出等差數(shù)列中倒序相加的類型,引導(dǎo)學(xué)生將總結(jié)的經(jīng)驗自然遷移到等比數(shù)列中來,通過對應(yīng)思想方法的滲透讓學(xué)生既知其表象,又懂其實質(zhì),以此培養(yǎng)思維的深度.另外,本題講解后,教師也不應(yīng)急于下面的講解,可引入一些變式題目讓學(xué)生進行強化練習(xí),進而加深對知識的理解.

從上面的教學(xué)可以看出,教師在課堂上缺乏對數(shù)學(xué)思想方法的挖掘,僅僅是就題論題式的講解.這樣學(xué)生難以掌握問題的本質(zhì),日后解決此類問題時還是會感覺無從下手.因此,教師對數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不能流于形式,而是要深入問題本身去挖掘,只有這樣才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

2 培養(yǎng)策略

數(shù)學(xué)思想方法是隨著認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展而變化的.隨著數(shù)學(xué)知識和學(xué)習(xí)能力的增長,學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)不斷得以完善和優(yōu)化,學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認識和理解也呈現(xiàn)出螺旋式的上升模式.在開展數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)時,應(yīng)以學(xué)生認知為出發(fā)點,多引導(dǎo)學(xué)生去挖掘、體驗、抽象和反思,進而讓數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識融為一體.

2.1 在教學(xué)內(nèi)容中挖掘

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,大多學(xué)生認為會解題就是學(xué)會了數(shù)學(xué),然解題并非數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全部.其實,解題過程中往往蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法,而學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中過多追求成績,常忽視了數(shù)學(xué)思想方法的挖掘,因此對解題過程和解題方法的認識不深,影響了解題能力的提升.在教學(xué)中,教師應(yīng)鉆研教材,充分挖掘每個知識點、每道例習(xí)題、每個知識體系中所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法,進而在日常教學(xué)活動中有目的性地進行滲透,讓學(xué)生可以自發(fā)地理解數(shù)學(xué)知識中所蘊含的思想方法,可以更好地用數(shù)學(xué)思維去思考和解決問題,使數(shù)學(xué)思維螺旋性上升.

2.2 在基礎(chǔ)知識中滲透

其實,很多概念、定理、公式等基礎(chǔ)知識本身就蘊含著數(shù)學(xué)思想方法.如:誘導(dǎo)公式中蘊含著化歸思想;立體幾何點、線、面的位置關(guān)系中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.然在教學(xué)中我們往往重視應(yīng)用這些基礎(chǔ)知識去解決問題,而忽視了數(shù)學(xué)思想方法的抽象和提煉,浪費了許多教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法的機會,影響了學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng).因此,在日常教學(xué)中,要將數(shù)學(xué)思想方法滲透于基礎(chǔ)知識的教學(xué)中,幫助學(xué)生更加深入地掌握數(shù)學(xué)知識.

案例2三角函數(shù)的定義.

在三角函數(shù)概念的教學(xué)過程中,首先應(yīng)復(fù)習(xí)初中階段關(guān)于銳角三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容,誘發(fā)學(xué)生思考是否可以用角的終邊上某個點的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù),引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合的方法開展新知探究,將數(shù)形結(jié)合思想滲透其中.在教師的帶領(lǐng)下,師生共同探究,給出如下分析過程:

如圖1,設(shè)α是任意角,其終邊與單位圓的交點P的坐標(biāo)為(x,y).

圖1

結(jié)合圖形,學(xué)生得出如下結(jié)論:

y叫做α的正弦,即cosα=y;

x叫做α的余弦,即sinα=x;

根據(jù)以上結(jié)論容易發(fā)現(xiàn),對于確定的角α,上述幾個值是唯一確定的,便于引出定義.對于“r=1”的選擇,體現(xiàn)了特殊化的數(shù)學(xué)思想.接下來,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)進行對比,進而培養(yǎng)學(xué)生類比的思想方法.這樣將數(shù)學(xué)思想方法自然地滲透在概念的教學(xué)中,學(xué)生通過類比、遷移、聯(lián)想、歸納總結(jié),抽象出了定義.

2.3 在變式教學(xué)中提煉

變式問題往往具備一定的目的性,借助問題的引導(dǎo)可以讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)蘊含在數(shù)學(xué)知識中的規(guī)律,凸顯問題的本質(zhì),培養(yǎng)思維的廣度和深度,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

案例3如圖2,O為平行四邊形ABCD對角線的交點,E,F分別是OB,OD的中點,問四邊形AECF是平行四邊形嗎?

圖2

變式1如圖3,將案例3中的“E,F分別是OB,OD的中點”改為“E,F為直線BD上的兩點,且BE=DF”,此時四邊形AECF是平行四邊形嗎?

圖3

變式2如圖4,在平行四邊形ABCD中,E,F是對角線AC上的兩個點,G,H是對角線BD上兩點.已知AE=CF,DG=BH,此時四邊形EHFG是平行四邊形嗎?

圖4

教師帶領(lǐng)學(xué)生分析并證明了原題后,通過變式題目引導(dǎo)學(xué)生進行探究,進而發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,讓學(xué)生在變式題目中提煉數(shù)學(xué)思想方法.變式1較原題來講,難度略有提升,原題中點E,F的位置是線段,而變式后是直線,顯然擴大了知識范圍,不過在原題的基礎(chǔ)上,學(xué)生通過連結(jié)AC后,容易發(fā)現(xiàn)其與原題的本質(zhì)相同,仍然可用原題的證明方法加以證明.變式2是在變式1的基礎(chǔ)上進行的一般化拓展,讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法,有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

其實,培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略并不局限于以上幾種.例如可以引入數(shù)學(xué)文化素材,豐富數(shù)學(xué)知識的內(nèi)涵,讓學(xué)生更加清晰地認識和理解數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展過程,培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀;還可以通過教學(xué)評價、教學(xué)反思,引導(dǎo)學(xué)生重視數(shù)學(xué)思想方法,自主總結(jié)和歸納出重要的數(shù)學(xué)思想方法;等等.總之,數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)該具有一定的計劃性和目的性.教師在教學(xué)中要結(jié)合教材、學(xué)情進行合理滲透,使知識與思想方法有機地融合在一起,讓學(xué)生實現(xiàn)學(xué)習(xí)能力的全面提升.