高小峰，楊 程，李慶斌，胡 昱，譚堯升，周欣竹

(1.浙江工業(yè)大學(xué)土木工程學(xué)院，杭州 310023；2.清華大學(xué)水沙科學(xué)與水利水電工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084；3.中國(guó)三峽建工(集團(tuán))有限公司，成都 610041；4.中國(guó)長(zhǎng)江三峽集團(tuán)有限公司，北京 100038)

混凝土結(jié)構(gòu)在施工期和運(yùn)行期均可能面臨開(kāi)裂問(wèn)題[1-3]。只有同時(shí)掌握混凝土斷裂參數(shù)的時(shí)變特性和尺寸效應(yīng)，才能正確評(píng)價(jià)任意時(shí)刻混凝土結(jié)構(gòu)的開(kāi)裂風(fēng)險(xiǎn)或裂縫穩(wěn)定性?，F(xiàn)有研究[4-9]多關(guān)注特定齡期混凝土斷裂參數(shù)存在的尺寸效應(yīng)。然而，任意齡期混凝土構(gòu)件的斷裂破壞分析對(duì)結(jié)構(gòu)全生命周期的安全評(píng)定亦極為重要，因此有必要對(duì)齡期變化時(shí)混凝土斷裂參數(shù)的尺寸效應(yīng)進(jìn)行深入研究。

尺寸效應(yīng)模型[10-19]和邊界效應(yīng)模型[20-22]是學(xué)者們?yōu)榱嗣枋鰷?zhǔn)脆性材料斷裂過(guò)程中存在的尺寸效應(yīng)現(xiàn)象而提出的兩類主要理論模型。前者強(qiáng)調(diào)試件尺寸對(duì)斷裂破壞的影響，而后者則可同時(shí)考慮試件尺寸和裂縫長(zhǎng)度對(duì)材料開(kāi)裂過(guò)程的影響效應(yīng)。上述兩類模型的參數(shù)中均包含試件尺寸和縫高比相關(guān)的幾何信息，以及混凝土自身的強(qiáng)度參數(shù)、韌度參數(shù)和尺度參數(shù)。顯然，模型中的幾何信息參數(shù)不隨齡期變化而發(fā)生改變，但強(qiáng)度、韌度和尺度參數(shù)則可能隨齡期增長(zhǎng)而變化。對(duì)于特定齡期混凝土斷裂參數(shù)存在的尺寸效應(yīng)，相關(guān)學(xué)者[10-14]設(shè)計(jì)并開(kāi)展了不同試件尺寸和初始縫高比的斷裂試驗(yàn)，并采用尺寸效應(yīng)模型對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)BA?ANT 等[15-19]提出的1 型、2 型或通用尺寸效應(yīng)模型可實(shí)現(xiàn)試件尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土斷裂破壞的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。HU 等[20-22]提出并逐步發(fā)展了邊界效應(yīng)模型，并采用試驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型在混凝土材料參數(shù)和臨界破壞狀態(tài)的預(yù)測(cè)等方面的合理性與適用性進(jìn)行了驗(yàn)證?，F(xiàn)有邊界效應(yīng)模型可考慮混凝土材料的非均質(zhì)性[23-25]，通過(guò)特定齡期幾何相似與非幾何相似試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果確定混凝土無(wú)尺寸效應(yīng)的開(kāi)裂強(qiáng)度、起裂韌度、拉伸強(qiáng)度和斷裂韌度等材料參數(shù)，并以此為基礎(chǔ)建立相應(yīng)的設(shè)計(jì)理論和方法[26-29]。綜上所述，現(xiàn)有尺寸和邊界效應(yīng)模型對(duì)于特定齡期混凝土斷裂破壞預(yù)測(cè)的適用性已得到廣泛驗(yàn)證，但若要將其推廣至任意齡期，還需進(jìn)一步明確各自模型中強(qiáng)度、韌度和尺度參數(shù)的時(shí)變規(guī)律。

現(xiàn)有研究表明[30-31]：混凝土的強(qiáng)度、韌度或尺度參數(shù)一般隨齡期的增長(zhǎng)而單調(diào)變化，直至在水泥水化完成后達(dá)到其最終穩(wěn)定值。MI 等[30-31]和GAO 等[32]先后開(kāi)展了單一尺寸、不同齡期、不同養(yǎng)護(hù)條件的中熱和低熱水泥混凝土斷裂試驗(yàn)，進(jìn)而采用成熟度方法建立了混凝土強(qiáng)度、斷裂韌度、斷裂能和特征長(zhǎng)度等參數(shù)與等效齡期之間的關(guān)系。結(jié)果表明：混凝土的強(qiáng)度、韌度和斷裂能均隨齡期的增長(zhǎng)而單調(diào)增長(zhǎng)并趨于穩(wěn)定，而混凝土的特征長(zhǎng)度[30]則隨齡期的增長(zhǎng)而逐漸減小。BEYGI 等[33]和FALLAHNEJAD 等[34]分別開(kāi)展了混凝土齡期為3 d～90 d 的尺寸效應(yīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)強(qiáng)度和韌度均隨齡期的增長(zhǎng)而增大，而特征長(zhǎng)度則隨齡期的增長(zhǎng)而逐漸減小。GETTU 等[35]進(jìn)行了不同齡期、不同試件尺寸的高強(qiáng)混凝土三點(diǎn)彎曲梁斷裂試驗(yàn)，并采用尺寸效應(yīng)模型計(jì)算了不同齡期混凝土無(wú)尺寸效應(yīng)的斷裂韌度和斷裂能，發(fā)現(xiàn)高強(qiáng)混凝土的失穩(wěn)韌度和斷裂能隨齡期的增大而逐漸減小。WAN-WENDNER 等[36]設(shè)計(jì)并開(kāi)展了特定齡期、不同尺寸和單一尺寸、不同齡期的超高性能混凝土(UHPC)三點(diǎn)彎曲梁斷裂試驗(yàn)，并基于試驗(yàn)結(jié)果對(duì)UHPC 的尺寸效應(yīng)和斷裂特性開(kāi)展了數(shù)值模擬和理論分析研究。結(jié)果表明：UHPC 的斷裂能隨齡期的增長(zhǎng)呈現(xiàn)先增大后減小的規(guī)律，而特征長(zhǎng)度則隨齡期的增長(zhǎng)而近線性減小。由此可見(jiàn)，關(guān)于齡期變化時(shí)混凝土斷裂參數(shù)的尺寸效應(yīng)規(guī)律目前學(xué)界尚無(wú)統(tǒng)一結(jié)論，且缺乏可應(yīng)用于任意齡期混凝土構(gòu)件開(kāi)裂風(fēng)險(xiǎn)或裂縫穩(wěn)定性分析的實(shí)用斷裂理論模型。

本文首先基于現(xiàn)有模型建立可用于確定試件尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土斷裂破壞的尺寸效應(yīng)模型演化形式，進(jìn)而結(jié)合模型中材料參數(shù)的時(shí)變規(guī)律，提出一種齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)斷裂模型。最后采用文獻(xiàn)中不同齡期、尺寸和縫高比的混凝土斷裂試驗(yàn)結(jié)果對(duì)模型的適用性進(jìn)行驗(yàn)證。研究成果可為混凝土結(jié)構(gòu)全生命周期的開(kāi)裂風(fēng)險(xiǎn)分析和安全評(píng)定提供依據(jù)。

1 齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)模型

1.1 考慮尺寸和縫高比變化的尺寸效應(yīng)模型

對(duì)于不同初始縫高比試件，BA?ANT 等[15-19]分別提出了1 型、2 型和通用尺寸效應(yīng)模型。其中2 型尺寸效應(yīng)模型為兩參數(shù)模型，可用于預(yù)測(cè)初始縫高比不小于0.1 的幾何相似試件的名義強(qiáng)度，具體表達(dá)式見(jiàn)式(1)：

式中：σN/MPa 為不考慮初始裂縫的名義強(qiáng)度；Bft/MPa 為尺寸效應(yīng)模型中混凝土強(qiáng)度相關(guān)的材料參數(shù)；D/mm 和D0/mm 分別為試件的有效高度和幾何相似試件的轉(zhuǎn)換試件高度。對(duì)于如圖1 所示的三點(diǎn)彎曲梁試件，σN可由式(2)計(jì)算得到。

圖1 最大荷載作用下的三點(diǎn)彎曲梁試件Fig.1 TPB specimen subject to the maximum load

式中：Pmax/N 為最大荷載；S/mm 和W/mm 分別為試件的跨度和寬度。

式(1)中Bft和D0即為2 型尺寸效應(yīng)模型中可由試驗(yàn)結(jié)果擬合確定的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，可進(jìn)一步表示為式(3)和式(4)的形式[18-19]。

式中：KIC/(MPa·m1/2)為尺寸效應(yīng)模型中定義的無(wú)尺寸效應(yīng)斷裂韌度；cf/m 為斷裂過(guò)程區(qū)的有效長(zhǎng)度；α0=a0/h為初始縫高比；g(α0)與g'(α0)為無(wú)量綱幾何參數(shù)，可分別由式(5)和式(6)[19,37]計(jì)算得到。其中KIC與cf或Bft與D0為僅與混凝土材料特性相關(guān)的強(qiáng)度、韌度或尺度參數(shù)。此類參數(shù)不隨試件的幾何尺寸變化而變化，為混凝土的材料常數(shù)。在齡期變化時(shí)，由于水泥水化導(dǎo)致混凝土材料特性發(fā)生改變，故而材料常數(shù)亦可能發(fā)生改變。

由式(4)可知，由于cf為材料常數(shù)，當(dāng)試件跨高比S/D和初始縫高比α0確定時(shí)，2 型尺寸效應(yīng)模型的轉(zhuǎn)換試件高度D0亦為定值。圖2 給出了α0為0.1、0.4 和0.7 時(shí)不同尺寸試件由尺寸效應(yīng)模型確定的破壞曲線。以α0=0.1 為例，當(dāng)式(1)中D/D0的比值小于0.1 時(shí)， σN≈Bft，即材料破壞主要受控于強(qiáng)度準(zhǔn)則。BA?ANT 等[16]將β=D/D0的比值定義為脆性指數(shù)。當(dāng)β＞10 時(shí)，不同尺寸試件的名義強(qiáng)度可以采用線彈性斷裂力學(xué)準(zhǔn)則，即韌度準(zhǔn)則來(lái)進(jìn)行預(yù)測(cè)，此時(shí)；而當(dāng)β=0.1～10 時(shí)，材料的破壞同時(shí)受控于強(qiáng)度和韌度準(zhǔn)則，即需采用尺寸效應(yīng)模型確定其破壞曲線。

圖2 不同尺寸和縫高比的混凝土破壞曲線Fig.2 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ratios of crack to height

圖2 中同時(shí)給出了當(dāng)α0增大時(shí)，Bft和D0的變化規(guī)律。由式(3)和式(4)可知，在材料常數(shù)KIC與cf以及試件的跨高比S/D確定后，Bft和D0的變化規(guī)律僅取決于初始縫高比α0。圖2 中點(diǎn)劃線所對(duì)應(yīng)的名義強(qiáng)度為Bft。顯然，隨著α0的增大，Bft單調(diào)遞減。轉(zhuǎn)換試件高度D0值為強(qiáng)度準(zhǔn)則和韌度準(zhǔn)則名義強(qiáng)度預(yù)測(cè)線的交點(diǎn)。圖2 中的虛線為不同初始縫高比條件下D0與α0的變化關(guān)系。隨著α0的增大，D0呈虛線所示的先減小后增大的規(guī)律。為確定不同尺寸和特定初始縫高比的混凝土試件的Bft和D0，現(xiàn)有研究多采用幾何相似試件開(kāi)展斷裂試驗(yàn)，進(jìn)而對(duì)試驗(yàn)結(jié)果展開(kāi)線性擬合分析，得到尺寸效應(yīng)模型的兩個(gè)基本參數(shù)。1/(σN)2和D之間的線性關(guān)系可由式(1)簡(jiǎn)單變換得到，如式(8)所示。

需要注意的是，式(8)僅適用于單一縫高比條件下不同尺寸試件的試驗(yàn)結(jié)果分析。對(duì)于特定尺寸、不同縫高比試件的試驗(yàn)結(jié)果，或多尺寸、多縫高比條件下的試驗(yàn)結(jié)果分析，可將式(3)和式(4)代入式(8)，并經(jīng)化簡(jiǎn)得到如式(9)所示的線性關(guān)系。

式中：σNe/MPa 為不考慮初始裂縫的等效名義強(qiáng)度，σNe=σNH(α)π1/2；ae/mm 為尺寸效應(yīng)模型中的等效裂縫長(zhǎng)度，ae=Y2(α)/H2(α)×a0；材料常數(shù)KIC與cf可由斜率A2和截距C2計(jì)算得到，即KIC=(1/A2)1/2，cf=C2/A2。

在由線性分析得到材料常數(shù)KIC與cf之后，便可基于式(9)預(yù)測(cè)不同尺寸和縫高比試件的等效名義強(qiáng)度σNe。由于σNe為最大荷載和無(wú)量綱幾何參數(shù)H(α)相關(guān)的間接變量，因此在應(yīng)用于實(shí)際構(gòu)件的極限狀態(tài)判定時(shí)稍顯不便。為此，管俊峰等[39 - 41]和高小峰等[42]分別基于邊界和尺寸效應(yīng)模型，通過(guò)引入等效幾何參數(shù)，建立了峰值荷載與強(qiáng)度或韌度的線性關(guān)系式。類似地，式(9)也可改寫(xiě)為如式(10)所示的最大荷載Pmax與斷裂韌度KIC的線性關(guān)系。

式中，Se/(mm·m1/2)為等效幾何參數(shù)。Se是一個(gè)考慮了尺寸和縫高比的綜合變量。因此，對(duì)于實(shí)際三點(diǎn)彎曲梁構(gòu)件，在材料常數(shù)KIC與cf確定后，便可采用式(10)快速確定其所能承受的最大荷載。需要說(shuō)明的是，材料常數(shù)的取值可采用具有一定保證率的數(shù)值，但當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)不足以確定材料常數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律時(shí)，一般可取試驗(yàn)或分析所得平均值作為材料常數(shù)，以±10%至±20%作為材料特性的離散性[29,42]，用以確定破壞曲線或最大荷載的上下限。

1.2 齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)模型

如1.1 節(jié)所述，式(1)中Bft和D0為2 型尺寸效應(yīng)模型中的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)，可由不同尺寸和縫高比的斷裂試驗(yàn)結(jié)果確定。現(xiàn)有研究多采用尺寸效應(yīng)模型確定特定齡期混凝土的模型參數(shù)Bft和D0。然而，混凝土的材料參數(shù)會(huì)隨著水泥水化的進(jìn)行而不斷變化，直至達(dá)到其最終的穩(wěn)定值。顯然，Bft作為強(qiáng)度相關(guān)的材料參數(shù)必然和混凝土齡期相關(guān)，而D0則由式(3)和式(4)可知其與強(qiáng)度Bft、韌度KIC和初始縫高比α0相關(guān)，因此D0亦為齡期相關(guān)的參數(shù)。圖3 給出了由式(1)確定的不同尺寸和齡期的混凝土破壞曲線?？梢?jiàn)，特定縫高比混凝土試件的名義強(qiáng)度隨著齡期的增大而增長(zhǎng)，轉(zhuǎn)換試件高度D0隨齡期的增長(zhǎng)逐步趨于穩(wěn)定值。

圖3 不同尺寸和齡期的混凝土破壞曲線Fig.3 Fracture curves of concrete with various specimen sizes and ages

相較于傳統(tǒng)的2 型尺寸效應(yīng)模型，式(10)的模型演化形式可用于特定齡期、不同試件尺寸和縫高比混凝土試件最大荷載的確定，可直接應(yīng)用于實(shí)際構(gòu)件的極限狀態(tài)判定。若要將其推廣至任意齡期，則需進(jìn)一步明確模型中KIC與cf的時(shí)變規(guī)律。需要說(shuō)明的是，KIC、cf和Bft、D0是相互關(guān)聯(lián)的兩對(duì)尺寸效應(yīng)模型參數(shù)，關(guān)系式見(jiàn)式(3)和式(4)。

現(xiàn)有研究表明：混凝土的強(qiáng)度或韌度與齡期的關(guān)系一般可取對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)[43]等形式。而對(duì)于cf的時(shí)變規(guī)律，現(xiàn)有研究相對(duì)較少。BA?ANT 等[15]認(rèn)為斷裂過(guò)程區(qū)的有效長(zhǎng)度cf約為其總長(zhǎng)度的一半，且與IRWIN[44]的特征長(zhǎng)度lch成正比[16]，可表示為：

式中，γ 為材料相關(guān)的系數(shù)。對(duì)于混凝土材料，γ一般為0.28 或0.29[45-46]，且不隨齡期發(fā)生改變。因此，由式(11)可知，cf的時(shí)變規(guī)律主要取決于材料強(qiáng)度和韌度隨齡期的變化?？紤]以對(duì)數(shù)或冪函數(shù)形式建立的KIC或ft與齡期的關(guān)系方程存在材料參數(shù)隨齡期增長(zhǎng)而單調(diào)遞增的問(wèn)題，這與混凝土實(shí)際力學(xué)性能發(fā)展規(guī)律不符，因此本研究采用自然常數(shù)e 為底的指數(shù)函數(shù)作為力學(xué)參數(shù)隨齡期的發(fā)展方程，即：

式中：KICu/(MPa·m1/2)為混凝土最終的無(wú)尺寸效應(yīng)斷裂韌度；ftu/MPa 為最終的抗壓強(qiáng)度；t/d 為齡期；τ1和τ2為特征齡期，當(dāng)t=τ1和τ2時(shí)，KIC和ftu分別為KICu/e 和ftu/e；j1和j2為形狀參數(shù)。將式(12)和式(13)代入式(11)并整理可得cf=cfu·e2(τ2/t)j2-2(τ1/t)j1，其中，為cf的最終穩(wěn)定值。可見(jiàn)，cf與齡期亦為以指數(shù)函數(shù)關(guān)系，且隨著齡期t的增長(zhǎng)，cf逐步遞減或遞增至其穩(wěn)定值cfu，其函數(shù)增減性取決于特征齡期和形狀參數(shù)的具體數(shù)值。由于不同齡期混凝土的材料常數(shù)KIC與cf可由基于式(9)的多尺寸、多縫高比試驗(yàn)結(jié)果分析同時(shí)獲得，因此為簡(jiǎn)化實(shí)際分析過(guò)程中KIC與cf時(shí)變規(guī)律方程中參數(shù)的確定，可取cf的指數(shù)函數(shù)形式與KIC或ft相同，即：

式中，τ3和j3分別為特征齡期和形狀參數(shù)。

進(jìn)一步地，可基于式(12)和式(14)建立任意齡期和特定齡期之間混凝土材料參數(shù)的換算關(guān)系。如式(15)給出了任意齡期的斷裂韌度KIC與28 d齡期斷裂韌度KIC28之間的換算關(guān)系。式(16)則為任意齡期cf與28 d 齡期斷裂過(guò)程區(qū)有效長(zhǎng)度cf28之間關(guān)系。

將式(15)和式(16)代入式(10)便可得到如式(17)、式(18)所示的考慮齡期、試件尺寸、縫高比的混凝土三點(diǎn)彎曲梁最大荷載預(yù)測(cè)公式，即齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)模型。

式中，Set/(mm·m1/2)為考慮混凝土齡期的等效幾何參數(shù)。需要說(shuō)明的是，式(18)雖形式上較為復(fù)雜，但在KIC與cf的時(shí)變規(guī)律后，Set的數(shù)值僅與試件的跨高比、縫高比等幾何信息相關(guān)，因此計(jì)算較為簡(jiǎn)便。最終，任意齡期的最大荷載預(yù)測(cè)方程為以28 d 齡期斷裂韌度KIC28為斜率，以Set為自變量的線性函數(shù)。

1.3 模型預(yù)測(cè)精度的評(píng)價(jià)指標(biāo)

式(17)、式(18)所示的齡期相關(guān)尺寸效應(yīng)模型可用于預(yù)測(cè)混凝土齡期、試件尺寸和縫高比變化時(shí)三點(diǎn)彎曲梁的最大荷載。本文采用如式(19)所示的相關(guān)系數(shù)(R)、式(20)所示的平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)和式(21)所示的可靠性指數(shù)(a15)來(lái)評(píng)價(jià)模型預(yù)測(cè)的精度。

式中：n為數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)量；i為數(shù)據(jù)點(diǎn)編號(hào)；Pmaxyi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的預(yù)測(cè)值；Pmaxi為第i個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的試驗(yàn)測(cè)量值；a15為可靠性指數(shù)，表示與實(shí)驗(yàn)值相比，偏差為±15%以內(nèi)的樣本比例；M為數(shù)據(jù)集樣本數(shù)；m15為預(yù)測(cè)誤差為±15%以內(nèi)的樣本數(shù)。

2 模型的驗(yàn)證與討論

2.1 試件齡期相同而尺寸和縫高比不同

2.1.1D=40 mm～500 mm，α0=0.15、0.3，t=400 d[10]

為了研究試件高度D和初始縫高比α0對(duì)混凝土斷裂性能的影響，文獻(xiàn)[10]開(kāi)展了混凝土齡期t約為400 d，D為40 mm、93 mm、215 mm 和500 mm，a0為0、0.025、0.075、0.15 和0.3 的斷裂試驗(yàn)。試件型式為跨高比S/D為2.176 的三點(diǎn)彎曲梁。試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1。其它試驗(yàn)相關(guān)信息見(jiàn)文獻(xiàn)[10]。由于本文模型主要研究齡期相關(guān)的2 型尺寸效應(yīng)，故選取α0=0.15 和0.3 的8 組試驗(yàn)結(jié)果用于模型的驗(yàn)證與討論。

表1 文獻(xiàn)[10]不同尺寸和縫高比試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果Table 1 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [10]

采用式(9)分別對(duì)α0=0.15 的4 組試件、α0=0.3 的4 組試件和α0=0.15 及0.3 的8 組試件試驗(yàn)結(jié)果開(kāi)展線性回歸分析，得到如圖4 所示的1/(σNe)2和ae的線性回歸分析結(jié)果。由擬合得到的線性方程斜率和截距計(jì)算可得混凝土的材料常數(shù)KIC與cf，將其代入式(3)和式(4)可得式(1)中定義的尺寸效應(yīng)模型參數(shù)D0和Bft。經(jīng)計(jì)算，當(dāng)α0=0.15的4 組試件試驗(yàn)結(jié)果單獨(dú)分析時(shí)可得cf=19.52 mm、KIC=1.39 MPa·m1/2、D0=127.36 mm、Bft=6.07 MPa。α0=0.3 的4 組試件給出的材料參數(shù)cf=19.61 mm、KIC=1.33 MPa·m1/2，對(duì)應(yīng)的模型參數(shù)D0=100.85 mm、Bft=4.32 MPa。當(dāng)α0=0.15 及0.3 的8 組試件試驗(yàn)結(jié)果共同分析時(shí)可得cf=18.36 mm、KIC=1.34 MPa·m1/2。由上述計(jì)算結(jié)果可知，當(dāng)α0由0.15 增大至0.3，尺寸效應(yīng)的模型參數(shù)Bft和D0均減小，與圖2 中所示的變化規(guī)律相符。與Bft和D0不同，KIC與cf為混凝土的材料常數(shù)，不隨α0的變化而改變。由擬合結(jié)果可見(jiàn)，基于不同試驗(yàn)結(jié)果分析得到的KIC與cf均較為接近，偏差在10%以內(nèi)。

圖4 1/(σNe)2 與ae 的線性關(guān)系Fig.4 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

在尺寸效應(yīng)模型參數(shù)Bft和D0確定后，便可將其代入式(1)計(jì)算試件尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土的破壞曲線。圖5 采用α0=0.15 的4 組試件和α0=0.3 的4 組試件單獨(dú)分析時(shí)得到的Bft和D0，分別建立兩種縫高比試件混凝土斷裂破壞設(shè)計(jì)曲線。由圖5 可見(jiàn)，試驗(yàn)結(jié)果與尺寸效應(yīng)模型確定的名義強(qiáng)度σN預(yù)測(cè)值偏差基本在±15%以內(nèi)，平均偏差為5.49%，相應(yīng)的可靠性指數(shù)a15=98.28%，且試驗(yàn)結(jié)果均處于β=0.1～10 的范圍內(nèi)，表明試件處于準(zhǔn)脆性斷裂階段。需要說(shuō)明的是，圖5 所示任意試件高度的斷裂破壞曲線僅由一定試件尺寸范圍內(nèi)的斷裂試驗(yàn)結(jié)果確定。如需驗(yàn)證其準(zhǔn)確性，則應(yīng)進(jìn)一步開(kāi)展小尺寸(β＜0.1)和大尺寸(β＞10)試件斷裂試驗(yàn)?？紤]到該項(xiàng)驗(yàn)證工作已有相關(guān)文獻(xiàn)[18 - 19, 37]報(bào)道，故本文不做展開(kāi)論證。

圖5 初始縫高比α0 為0.15 和0.3 時(shí)混凝土斷裂破壞曲線Fig.5 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 equal to 0.15 and 0.3

相較于名義強(qiáng)度σN，最大荷載Pmax是評(píng)估含裂縫構(gòu)件在受荷狀態(tài)下裂縫穩(wěn)定性的更為直接的物理量。圖6 給出了基于式(10)計(jì)算得到的不同尺寸混凝土試件最大荷載Pmax和斷裂韌度KIC的線性關(guān)系。其中斜率KIC=1.34 MPa·m1/2和斷裂過(guò)程區(qū)有效長(zhǎng)度cf=18.36 mm 由所有試件試驗(yàn)結(jié)果共同分析后得到。由圖6 可見(jiàn)，58 個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)中僅有4個(gè)與預(yù)測(cè)值的偏差大于15%，最大偏差為17.95%，相應(yīng)的最大荷載可靠性指數(shù)a15=93.10%，平均絕對(duì)百分比誤差MAPE=5.77%，相關(guān)系數(shù)R=0.994。上述指標(biāo)均表明本文模型可實(shí)現(xiàn)混凝土試件尺寸和縫高比變化時(shí)最大荷載的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

圖6 基于式(10)的最大荷載預(yù)測(cè)Fig.6 Prediction of the maximum load based on Equation (10)

本文模型對(duì)于斷裂破壞預(yù)測(cè)的精度主要取決于由試驗(yàn)結(jié)果確定的材料常數(shù)KIC與cf的準(zhǔn)確程度。由圖4 所示的線性擬合分析結(jié)果可知，由α0=0.15 和α0=0.3 的4 組試件試驗(yàn)結(jié)果單獨(dú)分析時(shí)得到的KIC與cf與8 組試件共同分析時(shí)得到的材料常數(shù)偏差均在10%以內(nèi)，因此不難驗(yàn)證將4 組試件單獨(dú)分析所得的材料常數(shù)代入式(10)計(jì)算亦可實(shí)現(xiàn)最大荷載的較準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。進(jìn)一步地，若能在保證材料常數(shù)準(zhǔn)確性的前提下減少試件組數(shù)或減小試件最大尺寸，則可為簡(jiǎn)化模型的實(shí)際應(yīng)用提供依據(jù)。顯然，進(jìn)行如圖4 所示的線性擬合至少需要2 組不同等效裂縫長(zhǎng)度ae的試驗(yàn)結(jié)果。不妨對(duì)8 組試件進(jìn)行兩兩組合形成28 種組合，依次計(jì)算由每種組合確定的材料常數(shù)，并將之與8 組試件共同確定的材料常數(shù)進(jìn)行對(duì)比。若以8 組試件共同確定的KIC作為材料的真實(shí)韌度，則可將由2 組試件確定的KIC與真實(shí)韌度進(jìn)行對(duì)比，從而確定由2 組試件確定材料常數(shù)的可行性。圖7 給出了由2 組試件和8 組試件所確定的KIC的偏差的絕對(duì)值和ae比值之間的關(guān)系。由圖7 可知，當(dāng)2 組試件的等效裂縫長(zhǎng)度相差約4 倍以上時(shí)，11 種組合給出的KIC與真實(shí)韌度的偏差均小于10%，且存在倍數(shù)增大，偏差減小的趨勢(shì)。對(duì)于本節(jié)選用的試驗(yàn)結(jié)果，2 組試件便可較準(zhǔn)確地確定混凝土的材料常數(shù)。考慮到混凝土斷裂試驗(yàn)結(jié)果的離散性，實(shí)際試驗(yàn)中建議至少成型3 組不同尺寸或縫高比試件，且最大與最小等效裂縫長(zhǎng)度之比不小于4，以便獲得更為可靠的材料常數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)最大荷載的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

圖7 偏差與ae 倍數(shù)的關(guān)系Fig.7 The relationship between deviation and ae multiple

2.1.2D=57 mm～456 mm，α0=0.1～0.6，t=28 d[47]

文獻(xiàn)[47]系統(tǒng)研究了骨料最大粒徑、水灰比和水泥含量對(duì)磁鐵礦混凝土斷裂性能的影響。本文僅選取骨料最大粒徑為19 mm、水灰比為0.45、水泥含量為350 kg/m3的不同尺寸和縫高比混凝土斷裂試驗(yàn)結(jié)果用于模型的驗(yàn)證。斷裂試驗(yàn)試件尺寸及試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。試件型式為三點(diǎn)彎曲梁?；炷恋凝g期為28 d。其它試驗(yàn)相關(guān)信息見(jiàn)文獻(xiàn)[47]。

表2 文獻(xiàn)[47]不同尺寸和縫高比試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果Table 2 Fracture test results of specimens with different sizes and ratios of crack to height reported in reference [47]

采用式(9)分別對(duì)α0=0.3、D=57 mm～ 456 mm的4 組不同尺寸試件，D=142.5 mm、α0=0.1～0.6的4 組不同縫高比試件和上述8 組試件試驗(yàn)結(jié)果開(kāi)展線性回歸分析，得到如圖8 所示的1/(σNe)2和ae的線性關(guān)系方程和決定系數(shù)。經(jīng)計(jì)算，8 組試件試驗(yàn)結(jié)果共同分析時(shí)可得cf=33.31 mm、KIC=1.54 MPa·m1/2。4 組不同尺寸試件試驗(yàn)結(jié)果單獨(dú)分析可得材料常數(shù)cf=29.21 mm、KIC=1.44 MPa·m1/2。4 組不同縫高比試件給出的材料常數(shù)為cf=25.38 mm、KIC=1.49 MPa·m1/2。由擬合結(jié)果可見(jiàn)，基于不同試驗(yàn)結(jié)果分析得到的KIC與cf均較為接近。

圖8 1/(σNe)2 與ae 的線性關(guān)系Fig.8 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

圖9 采用8 組試件試驗(yàn)結(jié)果共同分析得到KIC與cf，根據(jù)式(3)和式(4)分別計(jì)算5 種縫高比試件得到Bft和D0，進(jìn)而建立不同縫高比試件混凝土斷裂破壞設(shè)計(jì)曲線。由圖9 可見(jiàn)，基于相同KIC與cf給出的名義強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值較為接近。兩者之間的平均偏差為5.04%，最大偏差為12.6%。此外，試驗(yàn)結(jié)果均處于β=0.1～10 的范圍內(nèi)，表明試件處于準(zhǔn)脆性斷裂階段。由β=D/D0=0.1 或10時(shí)對(duì)應(yīng)的D值可知，隨著α0的增大，轉(zhuǎn)換試件高度D0呈先減小后增大的規(guī)律。

圖9 初始縫高比α0 為0.1～0.6 時(shí)混凝土斷裂破壞曲線Fig.9 Fracture failure curves of concrete with ratios of crack to height α0 from 0.1 to 0.6

圖10 給 出 了 基 于KIC=1.54 MPa·m1/2和cf=33.31 mm 計(jì)算得到的不同尺寸混凝土試件最大荷載Pmax和斷裂韌度KIC的線性關(guān)系。由圖10 可見(jiàn)，Pmax預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性指數(shù)a15=100%，平均絕對(duì)百分比誤差MAPE=5.04%，相關(guān)系數(shù)R=0.997。這表明本文模型可實(shí)現(xiàn)混凝土試件尺寸和縫高比變化時(shí)最大荷載的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

圖10 基于式(10)的最大荷載預(yù)測(cè)Fig.10 Maximum load prediction based on Equation (10)

2.2 試件縫高比相同而尺寸和齡期不同

2.2.1D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[33]

針對(duì)水灰比為0.45 和0.65 的自密實(shí)混凝土，文獻(xiàn)[33]分別開(kāi)展了試件縫高比相同而尺寸和齡期不同的三點(diǎn)彎曲梁斷裂試驗(yàn)。試驗(yàn)共考慮3 d、7 d、28 d 和90 d 4 種不同的齡期，每種齡期各成型D=38.1 mm、76.2 mm、152.4 mm、304.8 mm的4 種不同尺寸的幾何相似試件。所有試件初始縫高比α0為0.2，厚度W為38.1 mm，跨高比S/D為2.5。試驗(yàn)工況及結(jié)果匯總于表3。其它試驗(yàn)相關(guān)信息見(jiàn)文獻(xiàn)[33]。經(jīng)計(jì)算分析，水灰比為0.45和0.65 的混凝土斷裂試驗(yàn)的模型驗(yàn)證結(jié)果基本相同，故本文僅展示前者的分析結(jié)果。該水灰比混凝土的抗壓強(qiáng)度f(wàn)c采用邊長(zhǎng)為100 mm的立方體試件測(cè)定。3 d、7 d、28 d 和90 d 齡期時(shí)fc分別為27.3 MPa、39.0 MPa、60.0 MPa 和75.5 MPa[33]。

表3 文獻(xiàn)[33]不同尺寸和齡期試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果Table 3 Fracture test results of concrete specimens of different size and ages reported in reference [33]

同樣的，可采用式(9)依次對(duì)特定齡期、不同試件尺寸的混凝土斷裂試驗(yàn)結(jié)果開(kāi)展如圖11 所示的線性回歸分析。由圖11 所示擬合結(jié)果可知，不同齡期混凝土的等效名義強(qiáng)度1/(σNe)2與等效裂縫長(zhǎng)度ae均符合線性規(guī)律，但各線性方程的斜率與截距明顯不同，因而由其計(jì)算得到的不同齡期混凝土的材料常數(shù)KIC與cf亦不相同。

圖11 文獻(xiàn)[33]不同齡期混凝土1/(σNe)2 與ae 的線性關(guān)系Fig.11 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae of concrete at different ages reported in reference [33]

表4 給出了由圖11 所列的不同齡期線性方程的斜率與截距計(jì)算得到的混凝土材料常數(shù)cf和KIC，進(jìn)而采用式(3)和式(4)可計(jì)算得到α0=0.2時(shí)尺寸效應(yīng)模型的兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)參數(shù)Bft和D0。由表4所列的計(jì)算結(jié)果可知，隨著齡期的增長(zhǎng)，材料的尺度參數(shù)cf和D0均逐漸減小，而強(qiáng)度和韌度參數(shù)則逐漸增大并趨于穩(wěn)定。

表4 不同齡期混凝土材料常數(shù)和模型參數(shù)計(jì)算結(jié)果Table 4 Calculation results of material constants and model parameters of concrete at different ages

采用式(12)和式(14)分別擬合混凝土KIC和cf與齡期的關(guān)系，獲得混凝土材料常數(shù)的時(shí)變特性，擬合結(jié)果如圖12 所示。由圖12 可見(jiàn)，各擬合結(jié)果的決定系數(shù)均大于0.93，表明指數(shù)函數(shù)形式可較好地描述不同齡期混凝土KIC和cf的增長(zhǎng)規(guī)律。由指數(shù)函數(shù)方程可知，水灰比為0.45 的自密實(shí)混凝土的最終無(wú)尺寸效應(yīng)斷裂韌度KICu=1.6 MPa·m1/2，大于90 d 齡期混凝土的KIC90=1.52 MPa·m1/2和28 d 齡期時(shí)的KIC28=1.41 MPa·m1/2。斷裂過(guò)程區(qū)有效長(zhǎng)度的最終穩(wěn)定值cfu=12.56 mm，為90 d 齡期混凝土cf90=13.58 mm 的92.5%和28 d齡期cf28=16.50 mm 的76.1%。

圖12 文獻(xiàn)[33]不同齡期混凝土材料常數(shù)和齡期的關(guān)系Fig.12 The relationship between concrete material constants and age in reference [33]

采用如表4 所列的Bft和D0，可建立如圖13所示的水灰比為0.45 的自密實(shí)混凝土不同齡期斷裂破壞設(shè)計(jì)曲線。由圖13 可見(jiàn)，所有試件均處于準(zhǔn)脆性斷裂階段，且相同尺寸試件的名義強(qiáng)度隨著齡期的發(fā)展而增大。不同齡期混凝土名義強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值均較為接近，平均偏差為6.39%，最大偏差為18.00%，相應(yīng)的可靠性指數(shù)a15=91.67%。

圖13 文獻(xiàn)[33]不同齡期混凝土斷裂破壞曲線Fig.13 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [33]

采用如式(17)、式(18)所示的齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)模型，可預(yù)測(cè)齡期、試件尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土三點(diǎn)彎曲梁的最大荷載。圖14 給出了水灰比為0.45 的自密實(shí)混凝土最大荷載的預(yù)測(cè)值和±15%的允許誤差范圍。由圖14 可見(jiàn)，試驗(yàn)測(cè)得的Pmax與式(18)中定義的等效幾何、齡期參數(shù)Set基本呈線性關(guān)系。水灰比為0.45 混凝土的Pmax預(yù)測(cè)結(jié)果的可靠性指數(shù)a15=89.58%，平均絕對(duì)百分比誤差MAPE=6.34%，相關(guān)系數(shù)R=0.994。

圖14 文獻(xiàn)[33]不同齡期混凝土最大荷載預(yù)測(cè)Fig.14 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [33]

2.2.2D=38.1 mm～304.8 mm，α0=0.2，t=3 d～90 d[34]

文獻(xiàn)[34]開(kāi)展了不同齡期天然和再生骨料對(duì)混凝土斷裂性能影響的試驗(yàn)研究。試件型式為跨高比S/D為2.5，α0為0.2，W為38.1 mm 的幾何相似三點(diǎn)彎曲梁試件。試驗(yàn)齡期和結(jié)果見(jiàn)表5。與本文2.2.1 節(jié)類似，由于天然骨料和再生骨料混凝土斷裂試驗(yàn)的模型驗(yàn)證結(jié)果基本相同，故本文僅展示前者的模型驗(yàn)證結(jié)果。天然骨料混凝土的抗壓強(qiáng)度f(wàn)c由邊長(zhǎng)為100 mm 的立方體試件測(cè)定。3 d、7 d、28 d 和90 d 齡期時(shí)fc分別為22.9 MPa、31.3 MPa、47.3 MPa 和58.7 MPa[34]。

表5 文獻(xiàn)[34]不同尺寸和齡期試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果Table 5 Fracture test results of concrete specimens with different sizes and ages reported in reference [34]

圖15 為特定齡期、不同試件尺寸天然骨料混凝土斷裂試驗(yàn)的線性回歸分析結(jié)果。擬合結(jié)果表明，各線性方程的決定系數(shù)R2≥0.95，其斜率與截距隨著齡期的增長(zhǎng)而減小并逐步趨于穩(wěn)定。

圖15 1/(σNe)2 與ae 的線性關(guān)系Fig.15 The linear relationship between 1/(σNe)2 and ae

圖16 給出了由圖15 所示線性方程的斜率與截距計(jì)算得到的天然骨料混凝土材料常數(shù)KIC和cf及其與齡期的指數(shù)函數(shù)關(guān)系方程。由圖16 的指數(shù)函數(shù)擬合結(jié)果可見(jiàn)，天然骨料混凝土的最終無(wú)尺寸 效 應(yīng) 斷 裂 韌 度KICu=1.54 MPa·m1/2，28 d 齡 期KIC28=1.31 MPa·m1/2，90 d 齡期KIC90=1.42 MPa·m1/2，分別為KICu的85.1%和92.2%。斷裂過(guò)程區(qū)有效長(zhǎng)度28 d 齡期cf28為20.06 mm，90 d 齡期減小至17.78 mm，最終穩(wěn)定值cfu為16.75 mm。

圖16 文獻(xiàn)[34]不同齡期混凝土材料常數(shù)和齡期的關(guān)系Fig.16 The relationship between concrete material constants and age in reference [34]

基于不同齡期的KIC和cf可計(jì)算得到各齡期尺寸效應(yīng)模型參數(shù)Bft和D0，進(jìn)而可繪制如圖17的不同齡期天然骨料混凝土的斷裂破壞設(shè)計(jì)曲線。由圖17 可見(jiàn)，所有試件均處于β=0.1～10 的準(zhǔn)脆性斷裂階段。不同齡期混凝土名義強(qiáng)度預(yù)測(cè)值與試驗(yàn)值均較為接近，平均偏差為3.60%，最大偏差為8.43%。

圖17 文獻(xiàn)[34]不同齡期混凝土斷裂破壞曲線Fig.17 Fracture failure curves of concrete at different ages in reference [34]

圖18 給出了最大荷載的預(yù)測(cè)值Pmax和±15%的允許誤差范圍。經(jīng)計(jì)算，Pmax預(yù)測(cè)結(jié)果的a15=100%，MAPE=3.82%，R=0.998，均表明本文提出的齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)斷裂模型可較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)不同條件下天然骨料混凝土試件斷裂破壞時(shí)的最大荷載。

圖18 文獻(xiàn)[34]不同齡期混凝土最大荷載預(yù)測(cè)Fig.18 Maximum load predictions of concrete at different ages in reference [34]

3 結(jié)論

任意齡期混凝土構(gòu)件的斷裂破壞分析對(duì)結(jié)構(gòu)全生命周期的安全評(píng)定極為重要?；诖耍疚奶岢霾Ⅱ?yàn)證了一種齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)斷裂模型，可用于預(yù)測(cè)齡期、尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土構(gòu)件的斷裂破壞，得到以下結(jié)論：

(1) 基于不同尺寸和縫高比三點(diǎn)彎曲梁斷裂試驗(yàn)結(jié)果，尺寸效應(yīng)模型及其演化形式可準(zhǔn)確確定特定齡期混凝土的材料常數(shù)、名義強(qiáng)度和最大荷載。

(2) 本文模型對(duì)于斷裂破壞預(yù)測(cè)的精度主要取決于材料常數(shù)的準(zhǔn)確程度。建議模型所用材料常數(shù)至少由3 組，且最大與最小等效裂縫長(zhǎng)度之比不小于4 的混凝土試件斷裂試驗(yàn)結(jié)果確定。

(3) 混凝土無(wú)尺寸效應(yīng)斷裂韌度KIC隨齡期增大而增長(zhǎng)并逐步趨于穩(wěn)定，而斷裂過(guò)程區(qū)有效長(zhǎng)度cf則隨齡期增大而逐漸減小并趨于穩(wěn)定。指數(shù)函數(shù)形式可較好地描述混凝土材料常數(shù)的時(shí)變規(guī)律。

(4) 經(jīng)驗(yàn)證，齡期相關(guān)的尺寸效應(yīng)模型可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)試件齡期、尺寸和縫高比變化時(shí)混凝土構(gòu)件的斷裂破壞。這可為混凝土結(jié)構(gòu)全生命周期的開(kāi)裂風(fēng)險(xiǎn)分析和安全評(píng)定提供依據(jù)。

應(yīng)該指出，本文選取指數(shù)函數(shù)形式描述混凝土材料參數(shù)的時(shí)變規(guī)律，且基于三點(diǎn)彎曲梁提出模型公式。當(dāng)混凝土材料或斷裂試驗(yàn)試件型式發(fā)生改變時(shí)，應(yīng)重新確定最佳的時(shí)變規(guī)律函數(shù)式或根據(jù)實(shí)際試件型式推導(dǎo)相應(yīng)的斷裂模型公式。此外，為了更好地掌握特定混凝土結(jié)構(gòu)全生命周期的斷裂破壞規(guī)律，有必要依托工程項(xiàng)目開(kāi)展長(zhǎng)齡期斷裂試驗(yàn)，以便獲得更為全面的混凝土斷裂參數(shù)時(shí)變特性和尺寸效應(yīng)。