陳柯帆，李 源,2，賀拴海,2，王 康，卓鴻杰，宋一凡,2

(1.長安大學公路學院，陜西，西安 710064；2.長安大學舊橋檢測與加固技術交通行業(yè)重點實驗室，陜西，西安 710064)

斜拉索作為大跨徑斜拉橋的主要承力構件，與主梁、橋塔等構成的纜索體系結構整體柔度大、剛度小，存在拉索的局部模態(tài)，亦存在結構的整體模態(tài)，具有復雜的非線性動力行為[1]。當外荷載作用于橋梁結構上時，結構的整體模態(tài)運動將通過拉索錨固端對其運動產生周期性的間接激勵。若局部-整體模態(tài)頻率滿足一定比例關系[2]，微小的外激勵也將引起結構發(fā)生劇烈內共振行為[3-4]。迄今已在多個國家實橋中監(jiān)測到具有此特征的拉索劇烈振動，為橋梁的安全運營帶來了極大風險[5]。

較風雨[6-7]、車橋耦合[8]等直接激勵引起的全橋振動而言，間接激勵作用下的斜拉橋內共振行為致振因素更多、更隱蔽，引起了國內外學者的廣泛關注。傳統(tǒng)依托有限元軟件建立數值模型分析纜索結構的非線性振動問題具有較高局限性，需要深度優(yōu)化索單元及其數值分析方法[9-12]以緩解低效率問題。WARNITCHAI 等[13]、MACDONALD等[14]、GATTULLI 等[15]、孫測世等[16-17]和吳慶雄等[18]先后進行了動力試驗，觀測到斜拉索局部模態(tài)與結構整體模態(tài)耦合產生的豐富內共振行為，其試驗結果為建立更精細化斜拉橋整體動力學模型提供了重要參考。在理論研究方面，由于斜拉橋結構的復雜性，以及非線性動力學研究方法對于多自由度問題的局限性，現有學者只能基于不同研究目的，建立能夠解釋斜拉橋部分動力行為產生機理的簡化模型。其中，康厚軍等[19-22]通過建立主梁的傳遞矩陣，針對多索-梁結構[19]、懸索結構[20]、多索-拱[21-22]進行了深入的理論研究，討論了索力、二次項系數等參數對于結構共振特性的影響；諸俊[23]通過回傳射線矩陣法求解了雙索-梁的動力學模型的振動方程，分別研究了支點變化位移作用、拉索損傷等因素對結構非線性振動特性的影響；CAO 等[24]通過建立主梁的分段函數，將主梁依拉索等效為若干獨立梁段并通過拉索錨固處的邊界條件對不同子系統(tǒng)的振動方程進行求解，得到了斜拉橋四索系統(tǒng)的常微分方程組；GUO 等[25]建立了雙水平索-塔的動力學模型，研究了塔的扭轉效應對結構參數振動的動力行為影響；孫測世等[26]建立了帶輔助索的長索振動模型，研究了減振方法。

當前，斜拉橋跨徑越建越大，拉索也越來越長，且多為密索、對稱布置。其中，相鄰或對稱的拉索局部模態(tài)頻率數值上相近，而短索和長索的局部頻率也可能同時與結構相鄰兩階豎向頻率滿足“1∶1”的比例關系。在這兩種情況下，多根拉索的局部模態(tài)將同時與結構的整體模態(tài)耦合而產生多重“1∶1”內共振。此時共振的拉索將通過橋面改變另一根拉索的動力特性，或將進一步加劇結構振動[16-17,27]。因此，研究此索-梁-索耦合效應對開展精細化分析并有效避振非常重要。然而，除少量文獻[27]外，目前鮮見針對此耦合效應的理論研究?，F下仍存在著大量理論無法解釋試驗、試驗無法指導設計現象，對于斜拉橋整體動力學建模理論與分析方法仍有待更深入的開展[28]。

為研究斜拉橋多重內共振下的索-梁-索耦合效應變化規(guī)律，本文通過離散主梁參數質量體系建立了新的斜拉橋面內整體動力學模型。該模型考慮了多索的幾何非線性、主梁變截面和變彎曲剛度影響、拉索間振動影響作用，通過有限差分法修正了斜拉橋面內運動模型的振動微分方程組，依托4 階～5 階Runge-Kutta 積分方法對方程組進行了數值仿真，討論了在局部-整體模態(tài)耦合發(fā)生多重“1∶1”內共振下的索-梁-索耦合效應問題。本文提出的斜拉橋整體動力學模型更加精細，研究結果可為斜拉橋設計提供參考。

1 基于索-梁結構的斜拉橋面內整體動力學模型

1.1 主梁集中質量參數體系與結構整體構型

為模擬具有分布質量的變截面主梁在多截面軸力、多點彈性支承作用下的動力行為，不考慮主梁縱向運動對振動的影響，將主梁按等間距離散為集中質量參數體系，如圖1 所示。

圖1 主梁參數質量體系簡化過程Fig.1 The reduced process of the integrated dynamic system composed of lumped-mass beam segments

圖1 中各獨立梁段兩側存在剪力與軸力作用，可在離散參數體系中模擬連續(xù)主梁的彎曲剛度作用。在多數斜拉橋實際工程中，各斜拉索錨固點處附近的主梁單獨設有橫向連接，其截面參數與主梁的其他截面不同。因此，定義E1和I1表示未與拉索相連的無索區(qū)梁段的彈性模量與豎向彎曲慣性矩；E2和I2表示有索區(qū)梁段的彈性模量與豎向彎曲慣性矩。在此基礎上，考慮斜拉橋塔為剛性橋塔，將主跨為120 m 的斜拉橋主梁按照2 m 1 個節(jié)段(r=2 m)劃分為59 個獨立梁段(1≤j≤59,J=59)，其中簡支邊界下起點和終點梁段無豎向位移，忽略其質量后從左至右依次編號并定義為B1#～B59#，建立八索-變截面梁的動力學模型如圖2 所示，各拉索錨固點坐標如表1 所示。

表1 拉索錨固坐標Table 1 The anchored coordinate of cables

圖2 基于離散化主梁參數質量體系的斜拉橋面內整體動力學模型Fig.2 The in-plane global vibration model of a cable-stayed bridge established based on the integrated dynamic system composed of lumped-mass beam segments

本文約定下標“c、b”分別為索、梁的相關參數；i和j分別為對拉索和梁段的計數，定義“Ci#”和“Bj#”分別為第i根拉索和第j個梁段；定義xbj為主梁縱向坐標；θci為拉索與主梁大里程方向夾角。

1.2 索、梁微元段受力分析

取圖2 中拉索的微元段受力示意圖如圖3 所示。

圖3 拉索微元段受力示意圖Fig.3 The force diagram of Ci# in the dynamic state

圖3 中：Tin為拉索微元段起始點處的切向動索力，由式(1)定義；xci為拉索弦向坐標；yci為拉索橫向坐標；mci為Ci#沿xci的單位長度質量；aci為Ci#在yci方向上的加速度；g為重力加速度，本文中取9.8 m/s2。假設拉索質量沿軸向均勻分布[27,29-30]，根據拉索微元段在yci方向的平衡關系，由達朗伯原理可得到拉索微元段的振動平衡方程[1,9,20,29-30]：

式中：sci為Ci#的動態(tài)弧長；Tci和τci分別為Ci#切向的初始索力和動索力增量；uci、vci、wci簡寫自uci(xci,t)、vci(xci,t)、wci(xci)，其中uci(xci,t)為拉索在xci方向的振動位移，vci(xci,t)為拉索在yci方向的振動位移。由于拉索的橫向振動相對于整體而言仍屬于微小運動，且若僅考慮拉索的低階振動模態(tài)，拉索的橫向與縱向振動模態(tài)間不存在相互作用[31]，因此忽略拉索的縱向慣性力作用，并將拉索軸向與切向幾何關系作如下簡化[32]：

式中：Hci和hci分別為Ci#在xci方向的初始索力和動索力增量； εci為平均動應變； ε0ci為初始平均動應變；Uci為Ci#在xci方向的伸長量； Δsci為相對于初始狀態(tài)的弧長動增量。

式中：Li為Ci#上下錨固點在xci方向上的距離；Lci為Ci#的靜態(tài)長度；Dci為Ci#中點處的垂度：

因此，拉索振動時，軸向拉力的單位動增量為：

式中：Eci和Aci分別為Ci#的彈性模量及橫截面積。將式(7)在xci方向積分，可得拉索振動的軸向動拉力表達式為：

拉索振動時，其下端與Bji#運動關聯(lián)，以主梁豎直向上、拉索弦向順時針為推導正方向，則拉索邊界條件為：

式中：Vbj(t)為Bj#振動時與時間相關的形狀變化因子，另有Vci(t)表示Ci#振動時與時間相關的形狀變化因子，并將Vci(t)和Vbj(t)簡寫為Vci和Vbj；vbj(xbj,t)為Bj#的豎向位移表達式，按照本文的主梁集中質量參數體系簡化方法，Bj#的豎向位移即為Vbj。將式(9)～式(11)代入式(5)～式(8)，積分、化簡后同式(3)～式(4)代入式(2)，消掉索力軸向平衡多項式，可得拉索振動方程：

式中：“′”為對軸向坐標的偏導；“·”為對時間的偏導。為得到Bj#的運動方程，取圖2 中有索區(qū)梁段豎向運動的受力示意圖如圖4 所示。

圖4 有索區(qū)主梁微元段受力示意圖Fig.4 The force diagram of Bji# in the dynamic state

無索區(qū)梁段與有索區(qū)梁段的受力區(qū)別僅與索力相關，根據狄拉克函數δ 的性質，依據達朗伯原理和圖4 對Bj#進行受力分析：

式中：γb(j-1,j)為Bj-1#和Bj#面內運動的轉角；Fb(j-1,j)與Fb(j,j+1)、Nb(j-1,j)與Nb(j,j+1)分別為Bj#左、右側剪力與軸力。依據梁段間微元段左側彎矩平衡可得：

式中：Mbj為主梁在Bj#位置處的彎矩。假設分段足夠密集，可采用差分法對Bj#處位移偏微分方程及幾何關系進行簡化[30,32-33]：

無索區(qū)梁段左右側軸力大小相等，方向相反，如式(19)；有索區(qū)梁段左右側軸力差為該拉索索力的水平分力，由于索力動增量相對于整體較小，因此主梁軸力僅考慮初始索力，如式(20)。

圖4 中主梁左右側為簡支端，其邊界條件為：

式中，“e-、e+”分別為主梁左、右側邊界。假設振動發(fā)生前系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，消掉重力式后，將式(15)～式(22)代入式(13)可得Bj#主梁的豎向振動方程：

式中，因假設主梁不同截面存在不同彎曲剛度特性，因此EbjIbj對Bj-1#和Bj+1#的振動皆有交互的影響作用，如式(23)中的第3 個～第7 個多項式所示。對于不同結構體系的斜拉橋，需根據實際結構修正式(21)和式(22)，在求得新的B1#與BJ#運動方程后可得該結構的面內整體運動方程。

1.3 斜拉橋面內整體動力學模型的運動方程

為便于找到斜拉橋的內共振形式，采用拖拽法定義構件在第k階整體模態(tài)下的振動位移表達式為[34]：

式中：φci(xci)(k)與φbj(xbj)(k)分別為Ci#與Bj#在第k階整體模態(tài)下的振型表達式；fci(xci)為與梁振動形態(tài)和結構幾何邊界條件相關的模態(tài)拖拽函數，定義其基本形式為[32,34]：

采用滿足斜拉索力學和幾何邊界條件的三角函數作為其振型基函數[18,29]，如式(26)；構造拉索面內橫向一階振動位移表達式如式(27)[1,9,20,29,32]：

由于張緊弦的自由振動，低階基本模態(tài)占據主要地位[35]。為簡化計算，本文僅考慮拉索的一階局部模態(tài)，即取式(27)中k=1，連同將式(25)代入式(12)，并應用Galerkin 方法進行拉索的1 階模態(tài)截斷，整合式(23)后可以得到圖2 所示系統(tǒng)的面內自由運動方程組：

式中：A為剪力影響矩陣，表征了圖1 中離散化的主梁參數系統(tǒng)振動時受到的來自于不同拉索的間接影響和主梁彎曲剛度影響；D為軸力影響矩陣，表征了主梁參數系統(tǒng)振動時受到的不同索力水平分力影響。式(29)和式(30)展開后為定義了結構面內自由運動的常系數齊次微分方程組，其中加粗符號表示矩陣，各多項式系數具體形式列于附錄1。

此外，從動力方程整體看，在多重內共振發(fā)生時， Ci#振動將影響B(tài)ji#振動，而由于剪力和軸力作用，Bji#的振動將影響B(tài)ji+1#，進而影響Ci+1#，因此振動時索-索間的相互影響效應將通過主梁的剪力、軸力效應進行傳遞，即式(29)和式(30)反映了多重內共振下的索-梁-索耦合效應。

2 面內振動模態(tài)的特征值解法

基于式(29)和式(30)行列式關系，構造系統(tǒng)的固有振動特征根方程[36]：

式中：下標“N” 的參數表示結構面內固有振動模態(tài)參數，定義“Nk”表示結構面內第k階固有振動模態(tài)參數；另有 “Vk”結構面內第k階豎向固有振動模態(tài)參數；TN為結構特征對角矩陣，由式(32)定義；VN為結構各構件形狀變化因子的對角矩陣，由式(33)定義：

式中，Ωci與Ωbj分別為拉索和主梁質點系的局部模態(tài)特征對角矩陣，其對角元素Ωci與Ωbj分別為Ci#和Bj#局部模態(tài)的振動頻率：的超越方程，對TN進行特征值求解可得結構

式(32)中的TN實際是關于系統(tǒng)固有振動頻率的模態(tài)參數：

3 算例模態(tài)分析

3.1 基礎工況參數

本文的基礎工況(簡稱CC1)算例參數參考自西北地區(qū)一座三跨、雙塔混凝土斜拉橋，其中主梁參數如表2 所示，拉索參數如表3 所示。

表2 主梁參數取值(CC1)Table 2 The parameters of the main beam under CC1

表3 拉索參數取值(CC1)Table 3 The parameters of cables under CC1

3.2 模態(tài)分析與驗證

采用商業(yè)有限元軟件(MIDAS/CIVIL)對3.1 節(jié)中CC1 算例進行有限元建模，其中拉索用桁架單元模擬，初始索力用桁架單元內力輸入；主梁用梁單元模擬。兩種單元長度皆為1 m。采用子空間迭代法對自重作用下的結構進行面內模態(tài)特征分析。匯總有限元方法(簡稱FEM)與本文方法(簡稱ASM)得到的結構N1 階～N5 階模態(tài)振型如圖5所示。

圖5 兩種方法得到的結構前5 階固有振動模態(tài)振型對比圖Fig.5 The natural modal shapes of the first-5 orders obtained by these two methods

如圖5 所示，本文方法計算得到的振型結果與有限元計算結果較吻合。圖5 中，結構前3 階模態(tài)的模態(tài)局部化參數 ΛB[16,24,37]超過了80%，是結構的V1 階～V3 階整體模態(tài)。根據此匯總兩種方法得到V1 階～V10 階整體模態(tài)頻率值如表4 所示。

表4 中兩種方法得到的結構V1 階～V10 階模態(tài)頻率計算結果最大誤差為3.2%，平均誤差為1.4%，進一步驗證了本文方法適用性與準確度。

4 數值解析與討論

4.1 豎向模態(tài)激勵作用下的“拍”振現象

采 用 4 階～5 階 Runge-Kutta 方 法， 運 用MATLAB/SIMULINK 建立了數值仿真模型，計算基礎步長為0.001 s，在跨中(B30#)增加0.1 m 的豎向初始撓度，不考慮結構阻尼作用，運行200 s后可以得到C1#～C8#的振動響應圖如圖6 所示。

圖6 中可以清晰觀測到，在CC1 工況條件下，無拉索產生明顯的耦合內共振。引入系數χci表示Ci#拉索局部頻率(Ωci)增量，由式(37)定義；為Ci#拉索局部頻率與結構豎向第k階模態(tài)頻率()的靠近程度，由式(38)定義[24,32]：

改變χci即可調整Ci#的局部模態(tài)頻率值(Ωci)至與結構的第k階整體模態(tài)頻率滿足“1∶1”比值關系，使得=0。在CC1 基礎上，將初始激勵減小為1 cm，設定2#工況：

1) 2-1#工況(CC2-1)：改變χc3值使得=0，此時Ωc3=，運行時長為200 s。

2) 2-2#工況(CC2-2)：改變χc5值使得=0，此時Ωc5=，運行時長為200 s。

運用快速傅里葉變換方法(簡稱為FFT)分別對C3#和C5#振動響應進行分析，各拉索振動響應圖如圖7(a)～圖7(b)所示，其頻譜圖如圖7(c)～圖7(d)所示。

圖7 CC2#工況條件下，拉索響應圖與頻譜圖Fig.7 The response and spectrogram of cables under CC2#

圖7(a)和圖7(b)中，C3#和C5#產生了鮮明的耦合“拍”振，振動位移也遠大于圖6 中響應曲線數值。從對應圖7(c)和圖7(d)可以看到，C3#和C5#此時分別與豎向第5 階模態(tài)和豎向第3 階模態(tài)發(fā)生了“Ωc3∶=1.82∶1.8233”、“Ωc5∶=0.795∶0.7843”的“1∶1”內共振。研究表明[38]：“拍”頻內共振的存在完全是由系統(tǒng)的非線性動力特性決定的，其非線性項系數對內共振影響較大[39]。因此，圖7 結果也進一步驗證了本文提出的動力學模型能有效模擬結構的非線性動力行為。

4.2 與不同階整體模態(tài)耦合時的索-梁-索耦合效應

研究表明[32]：外部激勵施加于主梁產生的結構面內整體模態(tài)，與該作用點處對應的振型參與系數密切相關。若在跨中處施加初始振幅激勵，由于該作用點處偶數階振型的振型參與系數數值上為0，則無法激勵主梁產生偶數階模態(tài)。為避免上述干擾，研究多索與不同階豎向模態(tài)耦合時的索-梁-索耦合效應，基于CC2 工況設置3#工況條件如下：

3#工況(CC3)：在跨中處施加初始振幅(V0B30#=0.01 m，“0”下標表示初始狀態(tài)，下同)，分別改變χc3、χc7值使得Ωc3=且Ωc7=。

通過比較圖8(a)與圖8(b)、圖8(c)，發(fā)現在C3#和C7#分別與V5 和V3 階整體模態(tài)頻率滿足“1∶1”條件后，兩索各自產生了“拍”特性明顯的內共振，各索的最大振幅約初始狀態(tài)的5 倍。由圖8(d)可得，當系統(tǒng)中存在兩拉索與不同階整體模態(tài)耦合引發(fā)多重內共振時，兩索同振下的振幅和“拍”頻周期與單索單振時基本一致。這表明在多根拉索與不同階的豎向模態(tài)耦合產生“1∶1”內共振時，局部-整體間的能量交換僅發(fā)生于共振索與結構對應整體模態(tài)之間。為了驗證這個推測，引入參數ξci表示Ci#的振幅最大值，選取8 索錨固點處的整體模態(tài)振型振幅()皆不為零的V7 階整體模態(tài)作為研究對象，V7 階整體模態(tài)下各拉索錨固點處振型振幅如圖9 所示。

圖8 CC3 工況條件下，C3#和C7#的振動響應圖Fig.8 The vibration response of C3# and C7# under CC3

圖9 V7 階有索區(qū)梁段位置與其對應的Fig.9 The anchored position and its corresponding of the V7-order global mode

保留原CC3 基礎模型、參數取值、運行設置不變，設置4#工況：

4-1#工況(CC4-1)：依次改變χc1～χc8使得各拉索將分別與V7 階模態(tài)耦合產生“1∶1”內共振。此時系統(tǒng)中仍保留所有拉索參與系統(tǒng)內能量交換。

4-2#工況(CC4-2)：在CC4-1 基礎上，將其他拉索簡化為豎向彈性支承[18]，確保Ci#發(fā)生內共振時，動力系統(tǒng)中僅余留Ci#拉索且結構整體模態(tài)的振型及頻率未發(fā)生變化。

匯總兩子工況下的ξci如圖10 所示。

圖10 在CC4-1 和CC4-2 中，各拉索的ξci 變化折線圖Fig.10 The variation trend of ξci under CC4-1 and CC4-2

由圖10 可得，在兩個子工況條件下，各拉索皆產生了劇烈的內共振。其中，ξci的最大差值發(fā)生在C4#處，但僅為0.00047 m。此外， C4#在CC4-1 和CC4-2 下的時程曲線變化規(guī)律基本一致，表明當多索同時與不同階整體模態(tài)耦合產生內共振時，滿足條件且共振的拉索僅與其對應階次的結構整體模態(tài)發(fā)生能量轉換作用，未滿足共振條件的拉索不參與內共振系統(tǒng)能量轉換。

4.3 與同階整體模態(tài)耦合時的索-梁-索耦合效應

為研究與同一階整體模態(tài)耦合時的索-梁-索耦合效應，基于CC3 工況設置5#工況條件如下：

5#工況(CC5)：在跨中處施加初始振幅(V0B30#=0.01 m)，分別改變χc2、χc5值使得Ωc2=Ωc5=。匯總C2#和C5#振動響應如圖11 所示。

圖11 CC5 工況條件下，C2#與C5#的振動響應圖Fig.11 The vibration response of C2# and C5# under CC5

對比圖11(a)、圖11(b)、圖11(c)和圖11(d)，發(fā)現在C2#和C5#同時與V3 階整體模態(tài)頻率滿足“1∶1”條件時，兩索產生了“拍”特性明顯的內共振，其最大振幅約是激勵前的6 倍。與4.2 節(jié)中研究結果不同的是，當兩索與同一階整體模態(tài)耦合并產生多重內共振后，其共振特性發(fā)生了兩點顯著變化：① 激勵后的拉索最大振幅變小；② “拍”的周期及振幅等特性發(fā)生變化。結合4.2 節(jié)研究成果，可以解釋文獻[27]中的研究現象，該研究中雙斜拉索同時與代表了主梁的質量塊第1 階整體模態(tài)耦合產生多重內共振，所以一根拉索的振動會通過橋面影響到另一根拉索的振動特性。為進一步研究多索與同階豎向模態(tài)耦合時的索-梁-索耦合效應，引入表示Ci#拉索在第k階豎向振型激勵作用下受到的多索效應被激勵程度，由式(39)定義：

6#工況(CC6)：通過改變χci，使各個拉索分別與V3、V5、V7 階整體模態(tài)耦合發(fā)生“1∶1”內共振。需要說明的是，由于C1#連接的B12#在第5 階豎向振型下該梁段振幅值為所以略微調整拉索加入共振的順序。匯總如圖12所示。

圖12 CC6 工況下，多索同振時的變化曲線Fig.12 The variation trend of under CC6 while multi-cables are vibrating

圖12 可得，與V7 階整體模態(tài)耦合產生的索-梁-索耦合效應主要體現為激勵作用，而V3 和V5的耦合效應主要體現為抑制作用。工程中斜拉橋大多為密索體系設計，相鄰拉索參數變化不大而導致其局部模態(tài)頻率數值上非常接近，容易出現多索同時與某一階整體模態(tài)耦合產生多重“1∶1”內共振現象，由于索-梁-索耦合效應有可能表現為是激勵作用，激勵產生的共振幅值或將達到單索結構下的2 倍。顯然，這樣條件下的設計是偏不安全的。然而，斜拉橋實際內共振行為非常豐富，索-梁-索耦合效應具體為激勵或抑制作用，需與對應結構整體模態(tài)進行數值分析后判定。

4.4 多索同振的激勵與被激勵效應影響性分析

為精細分析兩索與同階整體模態(tài)耦合時的激勵與被激勵作用，同樣選定頻率數值較大的V7 階整體模態(tài)在此作為研究對象。圖9 中， V7 階整體模態(tài)下各拉索錨固點處振型振幅滿足關系式：

通過不重復地兩兩組合Ci#拉索與Cq#(q≠i)拉索并分別改變χci和χcq，使得Ωci≈Ωcq≈。此時，曲線說明了共振時Ci#被其他拉索激勵效應程度，展示了Ci#的被激勵效應；而曲線則說明了共振時Ci#激勵其他拉索的激勵效應程度，展示了Ci#的激勵效應。此外，考慮到系統(tǒng)內共振中拉索的共振強度與其總質量(Mci)息息相關[29]，改變C2#、C6#拉索單位長度質量使得C2#、C3#和C6#總質量一致?；诖俗兓O置了 7#工況。

7-1#子工況(CC7-1)：在C1#、C3#、C6#、C8#的MA相同的情況下，變化χc1、χc3、χc6、χc8，使得此4 索分別與另外7 索同時與V7 階整體模態(tài)耦合產生的索-梁-索耦合效應。此時，i∈{1, 3, 6, 8}，q∈[1, 8]。匯總如圖13 所示。

圖13 CC7-1 工況下， 變化曲線Fig.13 The variation trend of and under CC7-1

圖14 CC7-2 工況下，的變化曲線Fig.14 The variation trend of and μ under CC7-2

5 結論

針對斜拉橋發(fā)生多重“1∶1”內共振時索-索間耦合效應將通過主梁傳遞而改變結構動力特性的問題，本文考慮索-梁幾何非線性，建立了新的8 斜拉索-變截面梁的動力學模型，運用有限差分法及Galerkin 方法得到了斜拉橋動力方程組，分析了在多重內共振影響下的索-梁-索耦合效應，得到以下結論：

(1)通過對比有限元方法結果，驗證了本文建立的動力學模型及其特征值解法能較為準確計算結構固有振動模態(tài)參數，針對運動方程的數值仿真結果觀察到某根拉索局部模態(tài)頻率與豎向某一階整體模態(tài)頻率比值滿足“1∶1”時引發(fā)的“拍”的內共振現象，驗證了本文模型的非線性動力特性。

(2)當多索與不同階次整體豎向模態(tài)耦合而產生的多重“1∶1”內共振時，發(fā)生共振的拉索振動彼此相互獨立，內共振下的系統(tǒng)能量交換僅發(fā)生于共振拉索與其對應階次的整體模態(tài)之間。

(3)當多索與同一階豎向整體模態(tài)耦合產生多重內共振時，索-梁-索耦合效應將改變結構的振動特性。本文8 索-梁耦合結構中，面內豎向第3 階與第5 階整體模態(tài)下的索-梁-索耦合效應為抑制作用，而第7 階為激勵作用。當多索同時面內豎向第7 階整體模態(tài)耦合時，考慮了索-梁-索耦合效應的拉索最大幅值接近僅考慮單索內共振時的2 倍。

(4)相鄰間距越小的索-梁-索耦合效應越顯著，其激勵效應與拉索質量、振型對應幅值呈正相關，而被激勵效應與此兩者呈反相關。

(5)本文建立的斜拉橋整體動力學模型更貼近工程實際結構，基于數值仿真的研究結果首次揭示了多重內共振下的索-梁-索耦合效應機理。下一步的研究將在斜拉橋整體結構的動力學精細化建模、拉索高階非線性共振分析等方面進行。

此 外， Γci,1、 Γci,2、 Γci,3、 Γci,4、 Γci,5、 Γci,6、 Γci,7、Γci,8、 Γci,9、 Γci,10與 Γbj,1、 Γbj,2、 Γbj,3、 Γbj,4、 Γbj,5則分別 表示為相同形式下的8 階和59 階對角矩陣。為避免贅述，僅取 Γc,1和 Γb,1如下所示：

矩陣的各主元系數形式如下所示：

式(30)中，A和D是一個59×59 的矩陣，與主梁邊界條件相關。本文中主梁左右側邊界為簡支，在此條件下，為簡化表達，定義Pp和Pp,q表達式為：

剪力影響矩陣A形式為：

軸力影響矩陣D形式如下所示：

式(A25)中，γi=Hcicosθci。