原慶丹, 郭俊宏,2

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院 力學(xué)系, 呼和浩特 010051;2. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院, 呼和浩特 010051)

0 引 言

以色列科學(xué)家Shechtman于1982年在急冷凝固的Al-Mn合金中觀測(cè)到了五次對(duì)稱電子衍射圖像,1984年準(zhǔn)晶被首次報(bào)道后[1],引起了各界的廣泛關(guān)注．準(zhǔn)晶是一種具有特殊對(duì)稱性,原子常呈定向有序排列,但不具有周期重復(fù)性的固體結(jié)構(gòu)[2]．由于原子排列的特殊性,準(zhǔn)晶具有很多優(yōu)異性能,如高硬度、高強(qiáng)度、不黏性、耐腐蝕等[3]．因此,準(zhǔn)晶常用作表面改性材料,可涂覆于炊具表面和太陽能工業(yè)薄膜等,作為結(jié)構(gòu)材料的增強(qiáng)相,可提升材料的整體性能[4],并且在航空航天、汽車制造等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用[5]．

當(dāng)準(zhǔn)晶材料尺寸為納米級(jí)時(shí),能有效提高結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和韌性．作為一種超微粒子,納米準(zhǔn)晶因其結(jié)構(gòu)精細(xì)而具有優(yōu)異的形態(tài)可控性,可以作為各種應(yīng)用的活性材料[6]．到目前為止,數(shù)百種準(zhǔn)晶已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)[7],隨著制備技術(shù)的發(fā)展,納米準(zhǔn)晶的制備取得了豐富的成果．Barua等[8]采用機(jī)械合金化技術(shù)制備了Al-Cu-Fe納米合金,分析了球磨時(shí)間和熱處理對(duì)準(zhǔn)晶相形成的影響．Singh等[9]通過冷鑄和擠壓得到了含有納米準(zhǔn)晶相的Mg-Zn-Y合金,拉伸和壓縮時(shí)的屈服強(qiáng)度高達(dá)400 MPa．由于納米準(zhǔn)晶具有以上性質(zhì),因此經(jīng)常被用來制造納米器件和納米傳感器等．

梁板結(jié)構(gòu)作為建筑結(jié)構(gòu)中的重要組成部分,吸引了大量學(xué)者進(jìn)行研究．在宏觀尺度下,Wang等[10]對(duì)具有非理想界面的一維六方準(zhǔn)晶層合板的振動(dòng)和彎曲變形進(jìn)行了研究,分析了非理想界面參數(shù)對(duì)材料力學(xué)性能的影響．在微納米尺度下,結(jié)構(gòu)的尺度效應(yīng)不可忽略[11],經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)已不適用于研究納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能．人們?yōu)榱烁玫匮芯课⒓{米材料,提出了考慮尺度效應(yīng)的偶應(yīng)力理論[12]、非局部理論[13]、應(yīng)變梯度理論[14]等理論．基于非局部理論,Waksmanski和Pan[15]導(dǎo)出了具有非局部效應(yīng)的簡(jiǎn)支多層準(zhǔn)晶納米板的解析解．Li等[16]研究了功能梯度多層二維準(zhǔn)晶納米板的非局部效應(yīng)．Zhang等[17]研究了多層一維六方壓電準(zhǔn)晶納米板在表面電彈性載荷作用下的靜態(tài)彎曲變形問題．Sun等[18]通過偽Stroh型公式和傳遞矩陣法得到了二維準(zhǔn)晶層狀納米板非局部振動(dòng)頻率和臨界屈曲載荷的精確解．除此之外,很多學(xué)者利用其他理論對(duì)準(zhǔn)晶材料進(jìn)行了研究,如Guo等[19]研究了具有修正偶應(yīng)力效應(yīng)的一維準(zhǔn)晶層合板的振動(dòng)響應(yīng)．Zhang等[20]基于非局部應(yīng)變梯度理論,研究了功能梯度多層準(zhǔn)晶納米板的靜態(tài)彎曲變形問題．

相對(duì)而言,關(guān)于準(zhǔn)晶梁的研究較少,Huang等[21]考慮非局部效應(yīng)的影響,研究了具有簡(jiǎn)支和固支邊界條件的雙層壓電準(zhǔn)晶納米梁的靜態(tài)問題．Li和Xiao[22]基于修正偶應(yīng)力研究了不同邊界條件下一維壓電準(zhǔn)晶納米梁的自由振動(dòng),分析了邊界條件對(duì)固有頻率的影響．Sun和Guo[23]利用狀態(tài)空間-微分求積法,研究了一維準(zhǔn)晶層合梁在各種邊界條件下的振動(dòng)響應(yīng)和彎曲變形．基于經(jīng)典彈性理論,陳韜等[24]將偽Stroh型公式和傳遞矩陣法相結(jié)合,獲得了一維六方準(zhǔn)晶層合梁自由振動(dòng)和屈曲問題的精確解．

納米梁作為重要而常見的納米結(jié)構(gòu)之一,在微納機(jī)電系統(tǒng)、原子力顯微鏡[25]、生物傳感器和混頻器等領(lǐng)域中有著廣泛應(yīng)用．Zhang等[26]提出了級(jí)聯(lián)納米梁光譜儀設(shè)計(jì)方案,提高了光譜儀的測(cè)量分辨率;Huang等[27]用石墨烯梁加強(qiáng)電池的陽極,增加了鋰電池的容量．實(shí)驗(yàn)中很難生成塊體準(zhǔn)晶,一般制備的準(zhǔn)晶尺度是微米或納米級(jí)的,準(zhǔn)晶與晶體材料組成的復(fù)合材料[28-29]可有效提升基底材料的力學(xué)性能．Chang等[30]將Al-Cu-Fe準(zhǔn)晶合金層與釩層結(jié)合形成多層涂層,發(fā)現(xiàn)退火后的多層結(jié)構(gòu)由于準(zhǔn)晶強(qiáng)化而表現(xiàn)出較高的流變應(yīng)力．然而,目前缺乏納米尺度下層狀準(zhǔn)晶梁理論方面的研究．為了揭示準(zhǔn)晶增強(qiáng)納米復(fù)合材料的變形機(jī)制,為工程中準(zhǔn)晶用于納米器件的表面涂層和增強(qiáng)復(fù)合材料提供科學(xué)依據(jù),非常有必要研究納米準(zhǔn)晶層合梁結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為．因此,本文基于非局部理論,建立納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支深梁模型,研究了其自由振動(dòng)、屈曲和彎曲問題的力學(xué)行為,結(jié)合偽Stroh型公式和傳遞矩陣法,導(dǎo)出其固有頻率、臨界屈曲載荷和彎曲變形的精確解,分析高跨比、層厚比、疊層順序以及非局部效應(yīng)對(duì)準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁力學(xué)行為的影響,為納米準(zhǔn)晶結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)優(yōu)化提供了理論依據(jù)．

1 問題描述和基本方程

根據(jù)準(zhǔn)周期方向的維數(shù),可以把準(zhǔn)晶分為一維準(zhǔn)晶、二維準(zhǔn)晶、三維準(zhǔn)晶,而它們的結(jié)構(gòu)均為三維的．本文建立一維六方準(zhǔn)晶的二維多層深梁模型,梁長(zhǎng)為L(zhǎng),寬度為b,總厚度為h,如圖1所示,準(zhǔn)周期方向沿x3軸方向．

圖1 一維納米準(zhǔn)晶層合二維簡(jiǎn)支梁模型Fig. 1 A 2D layered simply-supported beam for 1D nano-quasicrystals

基于一維準(zhǔn)晶的線彈性理論,應(yīng)變-位移關(guān)系為

(1)

其中i,j=x,z(或1,3);下標(biāo)中的逗號(hào)表示求偏導(dǎo);ui,wi分別表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的彈性位移;εij,ωij分別表示聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的應(yīng)變張量．

在非局部理論中,一維六方準(zhǔn)晶的本構(gòu)關(guān)系為[31]

(2)

其中σij表示聲子場(chǎng)應(yīng)力;Hij表示相位子場(chǎng)應(yīng)力;Cijkl表示聲子場(chǎng)彈性常數(shù);Kijkl表示相位子場(chǎng)彈性常數(shù);Rijkl表示聲子場(chǎng)與相位子場(chǎng)的耦合彈性常數(shù);?2是二維Laplace算子,l=e0a是非局部參數(shù),其中a為內(nèi)部特征長(zhǎng)度,e0為與給定材料相關(guān)的常數(shù)．

運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(3)

對(duì)于簡(jiǎn)支的多層準(zhǔn)晶納米梁,聲子場(chǎng)和相位子場(chǎng)的邊界條件可以寫成

u3=w3=σ11=0,x1=0,L．

(4)

(5)

假設(shè)多層納米準(zhǔn)晶梁的界面均是完美黏結(jié)的,滿足如下連續(xù)性邊界條件:

(6)

2 問 題 解 答

根據(jù)簡(jiǎn)支邊界條件(4),一維納米準(zhǔn)晶層合梁的廣義位移的通解可表示為

(7)

其中p=nπ/L,a1,a2,a3是待定的未知常數(shù),n為正整數(shù)．對(duì)于準(zhǔn)晶層合梁的自由振動(dòng)問題,φ=sx3+iωt;對(duì)于準(zhǔn)晶層合梁的屈曲與彎曲問題,φ=sx3,ω是角頻率,s是待確定的特征值．

假設(shè)廣義應(yīng)力的一般解為

(8)

引入兩個(gè)向量a=[a1a2a3]T和b=[b1b2b3]T,通過推導(dǎo)可得到如下控制方程:

{Q+m(1+l2p2)I+s(R-RT)+s2(T-ml2I)}a=0,

(9)

其中

(10)

為了求解控制方程(9),引入中間向量d,

(11)

可得如下特征系統(tǒng):

(12)

其中

(13)

從式(12)中可以得到6個(gè)特征值si(i=1,2,…,6)和特征向量a,b．

利用傳遞矩陣法[24],可獲得廣義位移和廣義應(yīng)力的一般解為

(14)

(15)

且

(16)

由于研究的二維準(zhǔn)晶梁的結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單,本文采用傳遞矩陣法,指數(shù)函數(shù)的數(shù)值計(jì)算是穩(wěn)定的．但對(duì)于各向異性層狀復(fù)合材料板、殼等復(fù)雜結(jié)構(gòu),如采用傳遞矩陣法,指數(shù)函數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算不穩(wěn)定的現(xiàn)象,為此研究者們提出了新的計(jì)算方法,如雙變量位置(DVP)法[32]、節(jié)點(diǎn)耦合矩陣法和傳統(tǒng)矩陣法相結(jié)合的方法[33]等．

2.1 振動(dòng)與屈曲

對(duì)梁的自由振動(dòng)和屈曲問題,梁的上下表面自由,得到

(17)

其中C1,C2,C3和C4是C=PN(hN)PN-1(hN-1)…P2(h2)P1(h1)的子矩陣．當(dāng)C3的行列式為零時(shí),可求出納米準(zhǔn)晶梁自由振動(dòng)的固有頻率或臨界屈曲載荷．

2.2 彎曲

對(duì)梁的彎曲問題,梁的下表面是自由的,梁的上表面受到聲子場(chǎng)載荷σ33,則邊界條件為

t(h)=[0,σ0sin(px1),0]T,t(0)=[0,0,0]T．

(18)

從式(14)可得

(19)

將式(18)和(19)代入式(14)中,即可得到納米準(zhǔn)晶梁任一點(diǎn)處的廣義位移和廣義應(yīng)力的精確解．

3 數(shù) 值 算 例

我們將考慮由一維準(zhǔn)晶Al-Ni-Co(QC1)和另一種一維準(zhǔn)晶材料(QC2)制成的QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種層合梁,分析高跨比、層厚比、非局部參數(shù)、疊層順序?qū)ζ渥杂烧駝?dòng)的固有頻率和臨界屈曲載荷及彎曲變形的影響．QC1和QC2的材料性能[23]如表1所示．

表1 Al-Ni-Co準(zhǔn)晶(QC1)和QC2的材料系數(shù)

3.1 自由振動(dòng)

表2 準(zhǔn)晶均勻簡(jiǎn)支梁的前四階固有頻率

Wang等[34]研究了碳納米管的本構(gòu)關(guān)系和非局部連續(xù)力學(xué)中小尺度參數(shù),采用梯度法獲得材料的非局部參數(shù)l=e0a=0.04 nm,其中e0的取值取決于晶格動(dòng)力學(xué)中的晶體結(jié)構(gòu)和物理性質(zhì)．因此,本文所取的非局部參數(shù)的范圍是0 nm≤l<0.04 nm,即l/L=0,0.015,0.03．取高跨比h/L=0.1,得到QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種疊層順序下準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的前四階固有頻率,見表3,其中梁模型各層的厚度均相同．可以看出,在相同階的固有頻率下,隨著非局部參數(shù)l的增大,準(zhǔn)晶層合梁的固有頻率呈遞減趨勢(shì),這是因?yàn)榉蔷植啃?yīng)導(dǎo)致納米梁的剛度減小,從而降低了固有頻率．通過比較兩種準(zhǔn)晶層合梁的固有頻率可以發(fā)現(xiàn),QC1/QC2/QC1層合梁的固有頻率比QC2/QC1/QC2層合梁高,所以高彈性常數(shù)的準(zhǔn)晶因具有較高的剛度更適合用作涂層．

表3 兩種疊層順序下準(zhǔn)晶簡(jiǎn)支梁的前四階固有頻率

圖2顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率隨高跨比h/L的變化．從圖中可知:兩種納米準(zhǔn)晶層合梁的一階固有頻率隨著高跨比的增加而增大,表明增加厚度可以提高準(zhǔn)晶層合梁的固有頻率．

圖2 兩種疊層順序下準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率隨h/L的變化Fig. 2 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h/L under two different stacking sequences

圖3顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率隨層厚比h1/h2的變化．從圖中可知:在層厚比h1/h2小于1時(shí),兩種準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的固有頻率變化幅度較大;當(dāng)層厚比h1/h2大于1時(shí),固有頻率的增長(zhǎng)變化趨于平緩．當(dāng)h1/h2約為0.13時(shí),兩種準(zhǔn)晶層合梁具有相同的固有頻率．隨著h1/h2的增大,非局部效應(yīng)的影響更加明顯．

圖3 兩種疊層順序下準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的第一階固有頻率隨h1/h2的變化Fig. 3 Variations of the 1st-order natural frequency of quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2 under two different stacking sequences

圖4為在不同非局部參數(shù)l下QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種準(zhǔn)晶層合梁沿厚度方向的模態(tài),其中umax為u1,u3,w3中的最大值．從圖中可以觀察到,隨著非局部參數(shù)的增大,聲子場(chǎng)位移模態(tài)逐漸增加,而相位子場(chǎng)位移模態(tài)逐漸減小,且兩種準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的振型都是關(guān)于中間層對(duì)稱的．

圖4 不同非局部參數(shù)下準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁一階模態(tài)沿厚度方向的變化Fig. 4 Variations of the 1st mode shape of quasicrystal layered simply supported beams along the thickness direction under different nonlocal parameters

3.2 屈曲

表4 均勻準(zhǔn)晶簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷

表5 兩種疊層順序下納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷

圖5顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷隨高跨比h/L的變化．從圖中可以看出,兩種納米準(zhǔn)晶梁的臨界屈曲載荷均隨著高跨比的增加而逐漸增大．

圖5 兩種納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷隨高跨比h/L的變化Fig. 5 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h/L

圖6顯示了QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2兩種納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷隨層厚比h1/h2的變化．從圖中可知,隨著h1/h2的增加,QC1/QC2/QC1和QC2/QC1/QC2的臨界屈曲載荷的變化趨勢(shì)相反．當(dāng)層厚比h1/h2小于1時(shí),兩種納米準(zhǔn)晶梁的臨界屈曲載荷變化明顯;當(dāng)層厚比大于1時(shí),臨界屈曲載荷逐漸趨于平穩(wěn)．當(dāng)h1/h2約為0.13時(shí),兩種準(zhǔn)晶層合梁具有相同的臨界屈曲載荷．隨著h1/h2的增大,非局部效應(yīng)的影響更加顯著．

圖6 兩種納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的臨界屈曲載荷隨層厚比h1/h2的變化Fig. 6 Variations of the critical buckling loads of nano-quasicrystal layered simply supported beams with h1/h2

3.3 彎曲

假設(shè)在納米準(zhǔn)晶層合梁的上表面僅受聲子場(chǎng)載荷作用,即σ0=1 N/m2．圖7和8分別顯示了兩種疊層順序下廣義位移和廣義應(yīng)力沿厚度方向的變化,其中層合梁的尺寸h/L=0.1,且各層的厚度均相同．從圖中可以看出,疊層順序?qū)β曌訄?chǎng)位移的影響相對(duì)較小,而對(duì)相位子場(chǎng)位移和相位子場(chǎng)應(yīng)力的影響較大．隨著非局部參數(shù)的增加,聲子場(chǎng)位移u3的幅值逐漸增大,而相位子場(chǎng)位移w3的幅值逐漸減小．非局部參數(shù)對(duì)QC1/QC2/QC1相位子場(chǎng)的應(yīng)力幾乎沒有影響,但對(duì)QC2/QC1/QC2相位子場(chǎng)的應(yīng)力的影響較大．

圖7 聲子場(chǎng)位移u3和相位子場(chǎng)位移w3沿層合梁厚度方向的變化Fig. 7 Variations of phonon displacement u3 and phason displacement w3 along the thickness direction of layered beams

圖8 相位子場(chǎng)應(yīng)力沿層合梁厚度方向的變化Fig. 8 Variations of the phason stress along the thickness direction of layered beams

4 結(jié) 論

本文基于非局部理論,研究了一維準(zhǔn)晶多層納米梁的自由振動(dòng)、屈曲和彎曲問題,將偽Stroh型公式和傳遞矩陣法相結(jié)合,導(dǎo)出了簡(jiǎn)支邊界條件下一維納米準(zhǔn)晶層合深梁自由振動(dòng)、屈曲和彎曲問題的精確解．通過數(shù)值算例分析,得出了如下結(jié)論:

1) 納米準(zhǔn)晶層合簡(jiǎn)支梁的固有頻率和臨界屈曲載荷均隨著高跨比的增加而增大,表明厚度的增加可提高納米準(zhǔn)晶層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷．

2) 隨著層厚比的增加,QC1/QC2/QC1層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷逐漸增大,但QC2/QC1/QC2層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷逐漸減?。甉C1/QC2/QC1層合梁的固有頻率和臨界屈曲載荷高于QC2/QC1/QC2層合梁,這是由于QC1材料具有較高的剛度,更適用于作表面涂層．

3) 準(zhǔn)晶層合梁的自由振動(dòng)固有頻率和臨界屈曲載荷均隨著非局部參數(shù)l的增大而減小,這是因?yàn)榉蔷植啃?yīng)使得納米梁的剛度減小,從而降低其固有頻率和臨界屈曲載荷．

4) 疊層順序?qū)σ痪S準(zhǔn)晶納米層合梁的力學(xué)性能有較大影響,特別是對(duì)相位子場(chǎng)的影響要大于對(duì)聲子場(chǎng)的影響．