王鑫特, 劉 娟, 胡 彪, 張 波, 沈火明

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與航空航天學(xué)院, 成都 611756)

0 引 言

隨著新型智能器件的高速發(fā)展,開發(fā)各類多功能材料已成為一種趨勢．其中,功能梯度壓電材料(functionally graded pizeoelectric material,FGPM)是采用先進(jìn)的材料復(fù)合技術(shù)將兩種或多種不同材料耦合而成的非均質(zhì)材料[1]．FGPM的構(gòu)成要素(組份、組織、顯微氣孔率等)隨空間位置呈梯度性連續(xù)變化,能充分減少和克服組份材料結(jié)合部位界面性能的不匹配因素,具有良好的抗變形能力、機電轉(zhuǎn)換性及耐腐蝕性[2-4]．在FGPM制造過程中可通過調(diào)控兩種或兩種以上材料組分的體積分?jǐn)?shù)、孔隙率等參數(shù)來設(shè)計材料性能,以滿足工程結(jié)構(gòu)特定的功能要求．隨著智能器件逐漸向微型化方向發(fā)展,FGPM的應(yīng)用范圍逐漸延伸至納機電系統(tǒng)領(lǐng)域．納機電系統(tǒng)中承載構(gòu)件可以簡化為特征尺度處于納米量級的梁、板、殼等結(jié)構(gòu),典型應(yīng)用為納米諧振器、納米傳感器、納米執(zhí)行器、納米開關(guān)等．

隨著構(gòu)件特征尺寸減小至納米尺度,原子之間長程作用力會顯著增加,尺度效應(yīng)變得不可忽略．分子動力學(xué)模擬表明,經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學(xué)理論所預(yù)測的納米結(jié)構(gòu)振動頻率與實測結(jié)果相差10%～30%[5]．因此,尋找和發(fā)展適應(yīng)于納米力學(xué)研究的新途徑和新方法,是當(dāng)前連續(xù)力學(xué)的研究熱點之一[6]．由Eringen[7]提出的非局部彈性理論在納米力學(xué)研究中扮演著重要角色,非局部連續(xù)力學(xué)將分子間作用力是長程力的思想引入到傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中,認(rèn)為連續(xù)體內(nèi)某一點的應(yīng)力不僅取決于該點的應(yīng)變,還是連續(xù)體內(nèi)所有點的應(yīng)變及應(yīng)變梯度的函數(shù)．非局部理論被諸多學(xué)者證明能成功地預(yù)測軟化效應(yīng)[8-10]．然而Kuang等[11]研究了含流體的雙壁碳納米管的非線性振動,表明非局部彈性模型無法預(yù)測材料可能存在的剛度硬化效應(yīng)．而且在不同金屬材料的微納米壓痕實驗中[12-13],同樣觀察到了非局部理論無法解釋的微尺度下材料強度比常規(guī)尺度下材料強度顯著提高的現(xiàn)象．而應(yīng)變梯度假設(shè)則是將連續(xù)體中的每一個物質(zhì)點看作含有高階應(yīng)變的胞元,據(jù)此引入長度尺度參數(shù)來表征其對結(jié)構(gòu)力學(xué)性能的影響,該參數(shù)可合理地預(yù)測結(jié)構(gòu)中的剛度硬化效應(yīng)[14]．Lim等[15]基于非局部理論并結(jié)合應(yīng)變梯度假設(shè),提出了新的非局部應(yīng)變梯度理論．該理論考慮了應(yīng)變梯度的非局部效應(yīng),也考慮了材料物質(zhì)點處高階應(yīng)力梯度的非局部效應(yīng)．Lim等將該理論應(yīng)用于納米梁和碳納米管中的波傳播分析中,揭示了關(guān)于晶格動力學(xué)和波傳播實驗的一些新發(fā)現(xiàn)．Ma等[16]通過兩種非局部應(yīng)變梯度殼理論,研究了磁電彈性納米殼中的波傳播特性,總結(jié)了電-磁-機械荷載與截止波數(shù)的關(guān)系．Wang和他的同事[17-19]利用非局部應(yīng)變梯度理論,對功能分級納米板在彎曲、屈曲和軸向運動時的振動特性和穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)研究,并且在這些機械運動中都觀察到了剛度軟化和硬化機制．此外,不少學(xué)者也利用非局部應(yīng)變梯度理論探究了FGPM納米結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性[20-21]．然而,以上研究對孔隙作用下FGPM納米殼的波動特性關(guān)注較少．

本文采用基于非局部應(yīng)變梯度理論的一階剪切殼模型研究了多孔FGPM納米材料的波傳播特性．根據(jù)Hamilton原理推導(dǎo)了結(jié)構(gòu)的非局部運動微分方程,進(jìn)而通過數(shù)值分析研究了尺度參數(shù)、幾何參數(shù)、內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)、外部電壓等參數(shù)對波傳播特性的影響．

1 多孔FGPM納米殼的動力學(xué)建模

1.1 非局部應(yīng)變梯度理論

由Lim等建立的非局部應(yīng)變梯度理論綜合考慮了應(yīng)力場與高階應(yīng)力場的非局部性．其應(yīng)力場可表示為[22-23]

(1)

(2)

(3)

式中,l是表征高階應(yīng)變梯度效應(yīng)的材料特征長度參數(shù),α0與α1是非局部核函數(shù),e0a和e1a是表征非局部效應(yīng)的非局部參數(shù),cijkl是彈性系數(shù),ε′kl和ε′kl,x分別是應(yīng)變和應(yīng)變梯度．將式(2)、(3)代入式(1)中,引入Laplace算子?2,可得到一種簡化應(yīng)力和非局部應(yīng)力的關(guān)系:

[1-(e1a)2?2][1-(e0a)2?2]σij=[(1-(e1a)2?2)-l2?2(1-(e0a)2?2)]cijklεkl．

(4)

經(jīng)典非局部應(yīng)變梯度理論假設(shè)e0=e1,并忽略高階項Ο(?2),即可得到基于該理論的本構(gòu)方程為

[1-μ?2]σij=(1-η?2)cijklεkl,

(5)

其中,μ=(e0a)2,η=l2．在電場的影響下,FGPM納米殼結(jié)構(gòu)的矩陣形式本構(gòu)方程可以定義為

(6)

(7)

1.2 多孔FGPM納米殼的幾何描述

本文采用由壓電陶瓷PZT-4與PZT-5H耦合組成的多孔FGPM納米殼模型,如圖1所示．殼長度為L,半徑為R,厚度為h,圖中U(x,θ,z,t),V(x,θ,z,t)和W(x,θ,z,t)是殼上任意一點處在x,θ,z三個方向上的位移．殼內(nèi)部含有的孔隙分布形式可看做是均勻分布,FGPM納米殼的材料常數(shù)[25]可表示為

(8)

圖1 多孔FGPM納米殼的模型示意圖Fig. 1 The geometric model for the porous FGPM nanoshell

其中,z為納米殼中任意一點到中表面的垂直距離,參數(shù)N∈[0,∞)表示冪律指數(shù),即功能梯度指數(shù),參數(shù)α為孔隙率．為了滿足Maxwell方程,FGPM納米殼外部沿厚度方向分布的電勢定義為[26]

(9)

其中,β=π/h為一個線性常數(shù),Φ(x,θ,t)表示殼平面上分布的電勢,V0代表初始的外加電壓．

利用一階剪切變形殼模型方程分析位移場[27],得到殼中任意一點處的位移分量為

(10)

FGPM納米殼任意一點處的電位移為

(11)

(12)

(13)

1.3 多孔FGPM納米殼的運動微分方程

FGPM納米殼上各個點處的動能ΠK為

(14)

模型應(yīng)變能ΠS為

(15)

軸向和環(huán)向電場力對FGPM納米殼做功為

(16)

將式(14)—(16)代入Hamilton原理

(17)

可得如下控制微分方程:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

其中

(24)

(25)

(26)

(27)

將非局部應(yīng)變梯度本構(gòu)方程(4)沿納米殼徑向進(jìn)行積分,并將所得力和力矩表達(dá)式代入控制方程(15)—(20)中,可得位移形式的結(jié)構(gòu)運動微分方程如下:

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

其中,Γμ=(1-μ?2),Γη=(1-η?2)．

2 多孔FGPM納米殼波傳播問題的求解

針對FGPM納米殼內(nèi)每一點處波傳播響應(yīng)的模擬問題,引入殼結(jié)構(gòu)波傳播通解[28]:

(34)

其中,Um,Vm,Wm,ψxm,ψθm分別表示納米殼各個點處波傳播的位移與轉(zhuǎn)角的幅值,Φm表示電勢幅值,i為虛數(shù)單位,k和n表示波傳播時沿著x方向產(chǎn)生的縱向波數(shù)和沿著轉(zhuǎn)角θ方向產(chǎn)生的周向波數(shù)．將通解方程(34)代入運動微分方程(28)—(33)中,即可得到FGPM納米殼的波傳播特征方程為

(35)

其中,L6×6與H6×6分別為剛度系數(shù)矩陣以及質(zhì)量系數(shù)矩陣,角頻率ω的值可由系數(shù)矩陣的行列式等于零求得,而波傳播頻率f的值可根據(jù)f與ω的關(guān)系式得到:

(36)

3 數(shù)值結(jié)果及分析

本節(jié)通過求解特征方程(32),研究了波數(shù)、尺度參數(shù)、幾何參數(shù)、外部電勢、孔隙率以及功能梯度指數(shù)對圖1所示FGPM圓柱形納米殼波傳播特性的影響,兩種材料參數(shù)如表1所示[29]．

表1 FGPM的材料特性數(shù)值

3.1 有效性驗證

為了檢驗理論模型的正確性,將FGPM納米殼的結(jié)果和磁電彈納米殼的結(jié)果進(jìn)行驗證．基于非局部理論將本文得到的波傳播頻散關(guān)系與Ma等[16]的結(jié)果(文獻(xiàn)[16]中的圖3(a))進(jìn)行對比(圖2)．可以看出,本研究的結(jié)果與Ma等[16]的結(jié)果良好吻合,驗證了本研究的有效性．

圖2 退化驗證(η=1 nm2)Fig. 2 Comparison of frequency dispersion results (η=1 nm2)

(a) k=5×108m-1

3.2 數(shù)值討論

表2表示前三階固有頻率(f1,f2,f3)與縱向波數(shù)k和周向波數(shù)n的關(guān)系．從表中可以看出三階頻率隨著縱向及周向波數(shù)的增加而增加,且兩方向波數(shù)對頻率的增加影響呈現(xiàn)互補效果．本文后續(xù)工作主要分析探究納米殼中波傳播的縱向波數(shù)k對基頻f的影響．

表2 前三階固有頻率(f1, f2, f3)與縱向波數(shù)k和周向波數(shù)n的關(guān)系

圖3顯示了在不同波數(shù)k下,兩個尺度參數(shù)間比值η/μ的變化對FGPM納米殼波傳播頻率f的影響．圖中n=1,h=20 nm,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=5 V．從圖中可以看出,整體上,當(dāng)η/μ<1時,非局部應(yīng)變梯度理論對應(yīng)的頻率都小于通過經(jīng)典彈性理論得到的頻率,這是因為非局部效應(yīng)占主導(dǎo)地位時,會使得殼的剛度減弱,呈現(xiàn)軟化效應(yīng)．相反地,當(dāng)η/μ>1時,非局部應(yīng)變梯度理論獲得的頻率都大于通過經(jīng)典彈性理論得到的頻率,此時占主導(dǎo)地位的應(yīng)變梯度效應(yīng)使得殼的剛度增強,呈現(xiàn)硬化效應(yīng)．當(dāng)η/μ=1時,非局部應(yīng)變梯度理論和經(jīng)典彈性理論得到的頻率是等價的,說明兩種類型的尺寸依賴效應(yīng)會相互抵消．此外,固定長度尺度參數(shù)η不變,在不同波數(shù)下同等程度的改變非局部參數(shù)μ,發(fā)現(xiàn)當(dāng)波數(shù)較大時導(dǎo)致的頻移大于波數(shù)較小時對應(yīng)的頻移．同理,固定μ不變時,η對f的影響也隨著k的增大而增大．這表明由非局部參數(shù)引起的軟化效應(yīng)和由應(yīng)變梯度參數(shù)引起的硬化效應(yīng)在波數(shù)較大時更加明顯,在波數(shù)較小時較為微弱．所以對于納米殼尺度效應(yīng)的頻散特性研究不僅需要考慮尺度效應(yīng)的作用,也需要關(guān)注波數(shù)的影響．

圖4為基于非局部應(yīng)變梯度理論,在不同波數(shù)k下,變化的功能梯度指數(shù)N對FGPM納米殼波傳播頻率的影響．圖中n=1,R=200 nm,α=0.2,N=2,Φ0=2 V．在圖4中也可以觀察到圖3中的類似現(xiàn)象．這是由于當(dāng)η<μ和η>μ時,非局部參數(shù)的軟化效應(yīng)和應(yīng)變梯度參數(shù)的硬化效應(yīng)得到了體現(xiàn)．特別地,當(dāng)兩個參數(shù)取值不同但比值相同時,其對應(yīng)的f-N曲線在波數(shù)較小時間距很大,而在波數(shù)較大時近似重合．這也證明了納米結(jié)構(gòu)中的波傳播行為研究需要考慮尺度效應(yīng)和波數(shù)的共同作用．此外,還可以看出,波傳播頻率f隨著功能梯度指數(shù)N的增加而減小．這是因為在由PZT-4與PZT-5H耦合組成的FGPM納米殼中,當(dāng)N增大時,材料的整體性能P會更接近于P5H,而P5H的彈性模量小于P4,從而整個納米殼的彈性模量會減小,與之相對應(yīng)的頻率也會減?。彝ㄟ^對比發(fā)現(xiàn),頻率f受梯度指數(shù)N的影響程度隨著波數(shù)的增加而增加,也即納米殼頻率受到功能梯度指數(shù)和波數(shù)的耦合作用．

(a) k=1×108m-1

圖5探討了對于不同的殼厚h,FGPM納米殼的頻率f與功能梯度指數(shù)N間的關(guān)系．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,R=200 nm,α=0.2,Φ0=2 V．從圖中可以看出,波傳播頻率f隨著殼厚h的增加而降低,且在殼厚h越小時,頻率對殼厚h變化越敏感．這是因為殼厚變大會導(dǎo)致結(jié)構(gòu)剛度和質(zhì)量的同時增加,而對于由PZT-4和PZT-5H復(fù)合而成的FGPM納米殼,在一定范圍內(nèi),由質(zhì)量增加導(dǎo)致波傳播頻率的降低程度比由剛度增加導(dǎo)致頻率的增大程度更大．因此,更大的厚度會導(dǎo)致更低的頻率,而且這種影響程度隨著殼厚的減小而更加顯著．

圖5 不同殼厚下FGPM納米殼的頻率與功能梯度指數(shù)的關(guān)系Fig. 5 Frequencies vs. FG indexes for different thicknesses of the FGPM nanoshell

圖6中給出了孔隙率α和功能梯度指數(shù)N對FGPM納米殼波傳播頻率f的影響．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,h=20 nm,R=200 nm,Φ0=2 V．由圖可知,孔隙率α和功能梯度指數(shù)N對波傳播頻率有耦合影響,當(dāng)N從0開始小范圍內(nèi)增加時,納米殼的頻率f會隨著孔隙率α的增加而增加．當(dāng)N>3.6時,規(guī)律則會相反,即頻率f隨著孔隙率α的增加而減少．這是因為孔隙率對材料剛度的影響與此時的功能梯度指數(shù)有關(guān)．當(dāng)N<3.6時,N減小,材料的剛度在增加,而α的增大會減小材料的剛度,但此時N較小,剛度較大的材料P4占比很大,即在這一耦合作用中,由N減小導(dǎo)致增加的材料剛度大于由α增大而減小的材料剛度, 所以頻率會增大．當(dāng)N>3.6時,N與α的增加同時導(dǎo)致材料剛度的減少, 從而導(dǎo)致頻率快速減?。@說明對于兩種材料耦合組成的多孔FGPM,可以通過改變結(jié)構(gòu)的孔隙率和功能梯度指數(shù)來控制波在該結(jié)構(gòu)中的傳播．

圖6 不同孔隙率下FGPM納米殼的頻率 圖7 不同外電壓作用下FGPM納米殼的 與功能梯度指數(shù)的關(guān)系 頻率與功能梯度指數(shù)的關(guān)系 Fig. 6 Frequencies vs. FG indexes for different Fig. 7 Frequencies vs. FG indexes for different porosities of the FGPM nanoshell electric voltages of the FGPM nanoshell

圖7為在不同外加電勢作用下,FGPM納米殼的頻率與功能梯度指數(shù)的函數(shù)關(guān)系圖．圖中μ=1 nm2,η=2 nm2,n=1,k=5×108m-1,α=0.2,h=20 nm,R=200 nm．由圖可知,波傳播頻率會隨著正向電壓增大而減小,而隨反向電壓的增大而增大．這是由于在對模型結(jié)構(gòu)施加正/反向電勢時,會在結(jié)構(gòu)的軸向和周向產(chǎn)生壓/拉力,使得結(jié)構(gòu)的剛度發(fā)生軟/硬化效應(yīng),從而減少/增加波傳播頻率．特別地,從圖中可看出,頻率對反向電壓變化的敏感度大于對正向電壓的敏感度．此外,還可觀察到頻率受正向與反向電壓的影響均隨著功能梯度指數(shù)的增加而變得明顯．這是因為N越大,材料P5H占比越多,而P5H的壓電系數(shù)大于P4,與之相對應(yīng)的電壓對頻率的影響程度也會增加．

4 結(jié) 論

本文基于非局部應(yīng)變梯度理論建立了多孔FGPM納米殼的尺度依賴模型．?dāng)?shù)值分析了尺度參數(shù)、梯度指數(shù)、孔隙率、殼厚和電壓對波傳播頻率的影響．主要結(jié)論如下:

1) 當(dāng)尺度參數(shù)間比值η/μ<1時,會使材料剛度呈現(xiàn)軟化效應(yīng),而η/μ>1時,則呈現(xiàn)硬化效應(yīng),另外,增大波數(shù)或減小殼厚會加劇尺度效應(yīng);

2) 增大功能梯度指數(shù)或納米殼厚度會減小波傳播頻率,其中,波數(shù)越大,梯度指數(shù)的影響程度越大;

3) 孔隙和功能梯度指數(shù)對頻率具有耦合作用,功能梯度指數(shù)較小時,功能梯度指數(shù)和孔隙對頻率的作用總體表現(xiàn)為增強,反之表現(xiàn)為降低;

4) 對結(jié)構(gòu)施加正向電壓,波傳播頻率會減小,施加反向電壓,頻率會增大,且電壓對頻率的影響程度隨著功能梯度指數(shù)的增加而增加．