周海侖，曹剛毅，馮祚崐，閆玉奇，尹訓(xùn)彥

（1.沈陽航空航天大學(xué) 航空發(fā)動機(jī)學(xué)院，遼寧 沈陽 110136；2.遼寧省航空推進(jìn)系統(tǒng)先進(jìn)測試技術(shù)重點實驗室，遼寧 沈陽 110136）

0 引 言

航空發(fā)動機(jī)、地面燃?xì)廨啓C(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械的工作轉(zhuǎn)速與各階臨界轉(zhuǎn)速之間的安全裕度需滿足20%的安全裕度要求[1]。為了滿足這一安全要求，常常會在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的支承位置加入鼠籠彈性支承，并通過控制鼠籠彈性支承的剛度來使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有柔性，進(jìn)而控制、調(diào)整臨界轉(zhuǎn)速[2]。為了能夠準(zhǔn)確地控制鼠籠剛度，學(xué)者們對鼠籠彈性支承開展了大量的研究。

宴礪堂等[3]初步推導(dǎo)了鼠籠剛度的理論計算公式。但后續(xù)學(xué)者在研究過程中發(fā)現(xiàn)，用該公式計算的剛度精度較低。于是馮國全等[4]根據(jù)各籠條截面主彎方向與受力方向不一致的特點研究了鼠籠剛度的優(yōu)化計算公式。但徐寧[5]在研究過程中發(fā)現(xiàn)，隨著鼠籠剛度的增加，優(yōu)化公式的計算精度逐漸降低。為此，彭京徽[6]利用截面慣性矩對該公式進(jìn)行了進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計，得到了梯形籠條鼠籠的剛度計算公式。宋譚等[7]將籠條等效為弧形截面梁，利用極坐標(biāo)法修正了鼠籠彎曲剛度的計算公式。

雖然學(xué)者們不斷地對鼠籠剛度理論公式進(jìn)行優(yōu)化，但理論公式仍然無法滿足工程需要。為此，學(xué)者們對鼠籠進(jìn)行了相關(guān)的試驗研究，并且隨著計算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，有限元法也被廣泛應(yīng)用于鼠籠的相關(guān)研究。

徐方程[8]通過對軸承懸掛重物來模擬軸承傳遞給鼠籠的載荷以此來測量鼠籠的剛度，同時也對鼠籠進(jìn)行了有限元分析。研究結(jié)果表明，有限元仿真得到的剛度要比試驗剛度高3%～13%。彭京徽等[9,10]同樣用懸掛重物的方法對鼠籠進(jìn)行了測試，并且用數(shù)值仿真分析了根部倒角對剛度、應(yīng)力的影響，研究表明，根部圓倒角能增加鼠籠剛度并且能有效減少應(yīng)力集中。Senthilkumar[11]利用根部圓倒角能效減少應(yīng)力集中的特性，通過設(shè)計圓倒角增加了鼠籠的高周疲勞壽命。Li[12]利用液壓系統(tǒng)來實現(xiàn)對鼠籠進(jìn)行無級加載，并利用該系統(tǒng)對鼠籠的剛度進(jìn)行了測量，同時還對鼠籠進(jìn)行了動態(tài)特性數(shù)值仿真，試驗結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果吻合度較高。孫彥博等[13]用ABAQUS 和ADINA 同時對鼠籠彈性支承進(jìn)行了仿真，二者的最大變形量幾乎一致，互相驗證了準(zhǔn)確性。

雖然眾多學(xué)者利用有限元法來對鼠籠進(jìn)行相關(guān)的數(shù)值分析，但鮮有學(xué)者對鼠籠數(shù)值仿真中的網(wǎng)格劃分以及外力加載方式進(jìn)行詳細(xì)的研究。為此，本文對鼠籠條和根部圓倒角進(jìn)行了網(wǎng)格無關(guān)性檢驗，在此基礎(chǔ)上研究了外力加載方式對鼠籠剛度的影響，最后通過相關(guān)試驗來對數(shù)值仿真進(jìn)行驗證。

1 鼠籠剛度的理論分析和計算

傳統(tǒng)鼠籠剛度計算公式[3]為：

式中：n為鼠籠條數(shù)目；E為材料彈性模量；a為籠條長邊長度；b為籠條短邊長度；L為鼠籠條長度。

利用籠條受力方向和主彎方向不一致的特點，式(1)可被優(yōu)化為[4]：

從籠條周向、徑向截面慣性矩入手可以推導(dǎo)出帶有梯形籠條的鼠籠剛度計算公[6]式：

式中：h為籠條截面高度；a為籠條矩形截面長邊長度；b為籠條截面短邊寬度。

將籠條等效為弧形截面梁，并利用極坐標(biāo)法，則鼠籠剛度計算公式可修正為[7]：

式中：L為鼠籠條長度；E為材料彈性模量；N為鼠籠條數(shù)目；r1為鼠籠內(nèi)徑；r2為鼠籠外徑；α為籠條兩邊之間的夾角和；θ為第一個籠條邊與y 軸正方向之間的夾角。

2 鼠籠剛度的數(shù)值仿真

試驗法能得到相對可靠的鼠籠剛度，但是需要在加工出實物后才能進(jìn)行，且需要建立合理的測試工裝夾具，配置高精度傳感器，測試過程也會存在一定誤差。

因此，工程中可利用有限元法對鼠籠剛度進(jìn)行計算，有限元法可以較高精度地計算鼠籠彈性支承剛度，能夠滿足工程需求。

參照某型航空發(fā)動機(jī)的鼠籠彈支結(jié)構(gòu)，建立了鼠籠的有限元數(shù)值計算模型，為了提高計算效率，將對鼠籠剛度影響較小的細(xì)節(jié)特征進(jìn)行簡化，單元類型采用六面體SOLID185 單元，鼠籠的有限元網(wǎng)格模型如圖1所示。

圖1 鼠籠網(wǎng)格模型

根據(jù)航空發(fā)動機(jī)中鼠籠的實際受力情況，將鼠籠分為固定端和受力端。有限元模型中，將固定端施加全約束邊界條件，受力端施加外力荷載。鼠籠邊界條件如圖2所示。

圖2 鼠籠邊界條件示意圖

2.1 網(wǎng)格無關(guān)性檢驗

對網(wǎng)格進(jìn)行加密處理能有效地提高有限元計算精度，但隨著網(wǎng)格數(shù)的不斷增加，計算求解所需的時間也在不斷增加。實際工程中，需要對模型的關(guān)鍵部位進(jìn)行加密處理，而受約束、載荷影響較小的部位可以采用較為稀疏的網(wǎng)格，從而將有限的計算資源用到對計算結(jié)果影響較大的部位[14]。

鼠籠在受到軸承傳遞的徑向載荷時，會產(chǎn)生相應(yīng)的應(yīng)力和應(yīng)變，鼠籠應(yīng)力分布如圖3所示。

圖3 鼠籠應(yīng)力分布示意圖

從圖3 可發(fā)現(xiàn)，鼠籠在工作過程中應(yīng)力主要集中在鼠籠條和根部倒角位置。因此，為了提高計算精度，需要對鼠籠條和根部倒角位置的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理。為了平衡計算精度和計算效率，需要對鼠籠條和鼠籠條根部倒角的網(wǎng)格進(jìn)行加密處理和網(wǎng)格無關(guān)性驗證。

2.1.1 鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗

對鼠籠條進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗時，將鼠籠條根部位置的倒角劃分為2層網(wǎng)格，鼠籠承力端和鼠籠固定端用六面體網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格尺寸選擇為2mm，鼠籠條網(wǎng)格尺寸從2mm 逐漸減小，鼠籠條網(wǎng)格如圖4 所示。

圖4 鼠籠條網(wǎng)格示意圖

鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果如圖5所示。從圖5的網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鼠籠條網(wǎng)格尺寸小于1.25mm 后鼠籠剛度數(shù)值仿真結(jié)果趨于穩(wěn)定。為了提高后續(xù)數(shù)值仿真的準(zhǔn)確性，鼠籠條網(wǎng)格尺寸均采用1mm網(wǎng)格。

圖5 鼠籠條網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果

2.1.2 根部圓倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗

對鼠籠條根部圓倒角進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性檢驗時，鼠籠條網(wǎng)格尺寸選擇為1mm，承力端和固定端部分選擇用2mm 的六面體網(wǎng)格進(jìn)行劃分。鼠籠條根部網(wǎng)格數(shù)從一個逐漸增加，鼠籠條根部倒角網(wǎng)格如圖6所示。

圖6 根部倒角網(wǎng)格

鼠籠條根部倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果如圖7 所示。

圖7 根部倒角網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果

從網(wǎng)格無關(guān)性檢驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)鼠籠條根部倒角網(wǎng)格數(shù)大于7時，根部倒角的網(wǎng)格數(shù)便不再影響鼠籠的剛度。

為此，在后續(xù)的數(shù)值仿真中，鼠籠根部倒角的網(wǎng)格數(shù)選定為7。

2.2 外力加載方式影響分析

鼠籠在實際工作過程中受到軸承傳來的徑向載荷而產(chǎn)生變形。在數(shù)值仿真中，常用的外力加載方式有單點加載、周向多節(jié)點加載[9]、周向區(qū)域節(jié)點加載[11]以及剛性域中節(jié)點加載[8]，加載方式的不同會對鼠籠剛度的數(shù)值仿真結(jié)果產(chǎn)生影響。不同外力加載方式如圖8所示。

圖8 不同載荷加載方式示意圖

外載荷加載方式為單點加力時，為了避免出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，需要將加載節(jié)點附近的節(jié)點與加載節(jié)點進(jìn)行剛化位移協(xié)同，如圖9所示。根據(jù)圣維南原理[15]，將靜力用等效力系替代只會產(chǎn)生加載位置局部應(yīng)力的改變，而對整體應(yīng)力和應(yīng)變幾乎無影響。

圖9 加載節(jié)點附近的剛性域

當(dāng)加載方式為剛性域加載時，需要在承力端的中心位置建立一個無質(zhì)量點，該無質(zhì)量點與同軸向位置的內(nèi)圈節(jié)點進(jìn)行剛化位移協(xié)同操作，并在該無質(zhì)量點上加載外力。采用剛性域加載時，外力加載示意圖如圖10所示。

圖10 剛性域加載示意圖

不同外力加載方式的數(shù)值仿真結(jié)果列于表1。

表1 不同加載方式數(shù)值結(jié)果對比

由表1 中數(shù)值仿真結(jié)果可知，外力加載方式對鼠籠剛度的影響較大。其中，采用單節(jié)點加載得到的鼠籠剛度最小，通過剛性域加載得到的鼠籠剛度最大。

造成這一現(xiàn)象的主要原因為鼠籠承力端發(fā)生變形，不同外力加載條件下，鼠籠承力端變形情況如圖11所示。

圖11 不同加載方式下鼠籠承力端變形結(jié)果

承力端受到外力載荷后，承力端頂部和底部的位移并不一定相等，即鼠籠承力端由正圓形變形成了近似橢圓形，文獻(xiàn)[8]通過懸掛試驗法證實了這一點。

當(dāng)外載荷加載方式為單節(jié)點加力時，承力端的剛性最弱，變形最明顯，從而導(dǎo)致使用該外載荷加載方式得到的鼠籠剛度最低。而當(dāng)外力加載方式為剛性域加載時，承力端幾乎不存在形變，因此得到的鼠籠剛度最大。

鼠籠彈性支承的承力端安裝有軸承，軸承通常具有較大的剛度，軸承外滾道緊貼鼠籠承力端的內(nèi)壁面。在軸承外滾道的影響下，鼠籠承力端在徑向外力的作用下會產(chǎn)生整體的位移而非局部形變，因此軸承結(jié)構(gòu)對鼠籠起到加強(qiáng)剛度的作用。為此，我們建立帶軸承的數(shù)值仿真模型并研究外力加載方式對鼠籠剛度的影響。帶軸承外滾道的鼠籠網(wǎng)格模型如圖12所示。

圖12 含軸承外滾道的鼠籠網(wǎng)格模型

對含軸承外圈的鼠籠模型進(jìn)行不同外力加載方式對鼠籠剛度的影響研究，數(shù)值仿真結(jié)果列于表2。

表2 含軸承的鼠籠在不同外力加載方式下的剛度

在建模中考慮軸承后，外力加載方式對鼠籠剛度的影響大幅度減小，并且數(shù)值仿真結(jié)果貼近不考慮軸承建模時采用剛性域加載的數(shù)值仿真結(jié)果。

從以上數(shù)值仿真研究中可以發(fā)現(xiàn)，網(wǎng)格尺寸、外力加載方式和鼠籠工作狀態(tài)均對數(shù)值仿真的結(jié)果有較大的影響。為了使數(shù)值仿真結(jié)果更加準(zhǔn)確，需要根據(jù)鼠籠的實際工作狀態(tài)建立正確的模型并選擇合適的邊界條件。

3 鼠籠剛度試驗測試研究

為了測得鼠籠彈性支承的剛度，只需在鼠籠的承力端加外力，并利用傳感器測量出承力端的徑位移。為此設(shè)計并搭建了鼠籠彈支剛度試驗測試臺，如圖13所示。

圖13 鼠籠剛度試驗測試臺

試驗測試過程中，通過轉(zhuǎn)動加載螺母來改變加載螺桿的拉力。拉力傳感器的一端與加載螺桿相連接，另一端與傳力桿相連接。拉力傳感器能實時記錄加載螺桿的拉力F，在轉(zhuǎn)動加載螺母的過程中能夠?qū)崿F(xiàn)拉力的無級加載。

傳力桿為細(xì)長金屬桿，具有較高的軸向剛度。傳力桿一端與拉力傳感器相連，一端與鼠籠相連，將加載螺桿的拉力傳遞到鼠籠上使鼠籠產(chǎn)生位移。

在鼠籠上與傳力桿相對的位置安裝電渦流傳感器，實時記錄鼠籠的徑向位移x。

在測量到加載外力F和鼠籠徑向位移x后，便可根據(jù)胡克定律K=F/x計算出鼠籠剛度，試驗過程中使用的鼠籠結(jié)構(gòu)及參數(shù)如圖14 所示，關(guān)鍵參數(shù)列于表3。

表3 鼠籠關(guān)鍵參數(shù)

圖14 試驗所用鼠籠結(jié)構(gòu)及參數(shù)

根據(jù)鼠籠剛度試驗臺的測試特點，數(shù)值仿真時外力加載方式選擇為單節(jié)點加載，并測量與加載節(jié)點成180°位置處的節(jié)點位移。邊界條件設(shè)置如圖15所示。

圖15 鼠籠邊界條件設(shè)置

鼠籠剛度的試驗測試結(jié)果如圖16所示。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，兩次試驗的外力—位移線的斜率基本一致，表明了兩次試驗測試得到的剛度基本相同，兩次試驗得到的鼠籠剛度平均值為3.87×106N/m。

圖16 鼠籠剛度試驗結(jié)果

鼠籠剛度參數(shù)化計算公式采用式(3)，用各方法計算得到的鼠籠剛度結(jié)果列于表4。

表4 鼠籠剛度計算結(jié)果

試驗測試過程中，鼠籠的承力端并未安裝軸承，因此，承力端在受到加載外載荷時，會產(chǎn)生一定的彈性形變。數(shù)值仿真中觀察到鼠籠承力端產(chǎn)生的彈性形變?nèi)鐖D17所示。

圖17 鼠籠承力端變形數(shù)值仿真結(jié)果

由于鼠籠剛度測試試驗臺的特點，電渦流傳感器測量的位移為鼠籠承力端的最小位移，會導(dǎo)致試驗測試得到的鼠籠剛度略大于鼠籠的實際剛度。

數(shù)值仿真結(jié)果整體上與試驗結(jié)果保持一致，在后續(xù)的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)設(shè)計中，可用有限元法對鼠籠剛度進(jìn)行預(yù)估。參數(shù)化計算公式得到的鼠籠剛度與試驗測試結(jié)果相差略大，因此不宜用于直接計算鼠籠剛度，但在鼠籠結(jié)構(gòu)設(shè)計過程中，參數(shù)化計算公式能夠為鼠籠設(shè)計提供方向。

4 總 結(jié)

本文對鼠籠彈性支承的數(shù)值仿真計算進(jìn)行了細(xì)化研究，包括鼠籠網(wǎng)格模型網(wǎng)格無關(guān)性檢驗和外力加載方式的研究。研究結(jié)果表明：

(1)鼠籠條網(wǎng)格尺寸和鼠籠條跟部圓倒角會對鼠籠剛度的數(shù)值仿真結(jié)果產(chǎn)生一定的影響，為了提高數(shù)值仿真精度，需要對鼠籠條網(wǎng)格和根部圓倒角的網(wǎng)格進(jìn)行網(wǎng)格無關(guān)性驗證。

(2)外力加載方式的不同會影響鼠籠承力端的剛性，進(jìn)而影響鼠籠剛度的計算值。對于航空發(fā)動機(jī)支點位置的鼠籠，軸承外滾道會限制鼠籠承力端的形變，因此在數(shù)值仿真時，考慮軸承建模后，外力加載方式對鼠籠剛度的影響減小，且數(shù)值仿真結(jié)果趨近于通過剛性域加載得到的鼠籠剛度。

(3)設(shè)計并搭建了鼠籠剛度試驗臺，試驗臺能夠?qū)崿F(xiàn)對外載荷的無級加載，并借助試驗臺對鼠籠剛度進(jìn)行了試驗測試。

(4)根據(jù)試驗過程中的實際狀況選擇合適的邊界條件，研究發(fā)現(xiàn)鼠籠剛度的試驗測試值與數(shù)值仿真結(jié)果處于同一水平，且相對誤差較小。因此，在工程實際中可以利用數(shù)值仿真來獲得鼠籠的剛度。