南京師范大學附屬小學（210018） 江曉麗

《義務教育數(shù)學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出：“數(shù)與運算”包括整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的認識及其四則運算。數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)的運算重點在于理解算理、掌握算法，數(shù)與運算之間有密切的關(guān)聯(lián)。學生經(jīng)歷由數(shù)量到數(shù)的形成過程，理解和掌握數(shù)的概念；經(jīng)歷算理和算法的探索過程，理解算理，掌握算法；初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識；感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。

為什么《課程標準》如此強調(diào)“一致性”呢？這是因為在教學中出現(xiàn)了很多“前后不一致”的事情。以數(shù)的運算教學為例，一些教師會教學生按照一套程序化的步驟操作，然后在大量的甚至是每日必做的重復訓練中讓學生去將這套程序熟練到“自動化”。這套程序是什么呢？在教學整數(shù)加減法時讓學生記住要“末位對齊”，到了小數(shù)加減法時又變成了要“小數(shù)點對齊”，再到整數(shù)和小數(shù)乘法時又要“末位對齊”，到了分數(shù)乘法時又要“分子乘分子，分母乘分母”……今天學習這個內(nèi)容方法是這樣的，明天學習另一個內(nèi)容方法又不一樣了。運算教學就這樣一個一個例題散點教、一道道習題重復做。這種斷裂式的、碎片化的學習樣態(tài)，給數(shù)學運算蒙上了一層變幻莫測的面紗，給學生留下了機械、乏味的體驗，阻礙了學生對數(shù)學運算甚至是數(shù)學學科的理解和親近。

郭華教授在《教學的模樣》一書中指出：“教學論史上探索的一條清楚的線索就是：從夸美紐斯時代關(guān)注外在知識如何被學生所掌握的外在形式的探索，逐漸轉(zhuǎn)向探索教學認識的內(nèi)在機制，即如何才能使學生理解和掌握知識的內(nèi)在原理、本質(zhì)聯(lián)系，強調(diào)以科學的、人性的、多樣而開放的方式展開教學活動，即以‘講理’的方式來講‘理’?！比绾卧诮虒W中引導學生從復雜多變的“法”走向一脈相承的“理”，筆者進行了深入探討。

一、意義理解：從“外形各異”到“內(nèi)在一致”

“數(shù)的意義是數(shù)的運算的基礎(chǔ)，數(shù)的運算是對數(shù)的意義的再認識?！毙W階段的數(shù)學學習從整數(shù)開始，然后逐漸引入小數(shù)和分數(shù)的概念，這些不同的數(shù)在表示方式上存在差異。小數(shù)使用小數(shù)點，而分數(shù)由分子、分母和分數(shù)線三部分組成，它們與整數(shù)的表示方式有很大的不同。如何幫助學生從“外形各異”的數(shù)形態(tài)走向“內(nèi)在一致”的理解是一個重要的教學任務。教師在教學不同數(shù)的意義的過程中，可以通過數(shù)形結(jié)合、邏輯推理等方式來幫助學生理解“每一個數(shù)都是由若干個計數(shù)單位累加而成”這個本質(zhì)。

（一）緊扣單位：掌握整數(shù)計數(shù)方法

在教學一年級“認識11 到20”時，可以用動畫的形式引入一段數(shù)學史，向?qū)W生介紹數(shù)字的起源和發(fā)展，并告訴學生，由于人們在生活中需要計數(shù)，所以發(fā)明了“滿十進一”，從而出現(xiàn)了數(shù)字10，從此數(shù)字由“逐一計數(shù)”走向了“按群計數(shù)”；同時借助捆小棒和計數(shù)器介紹了11的組成（如圖1），即“1個十和1 個一合起來是11”。學生通過看、讀和寫，第一次感受到數(shù)是由“個數(shù)+計數(shù)單位”共同構(gòu)成的。

圖1

教學二年級下冊“萬以內(nèi)數(shù)的認識”時，可以借助幾何直觀和邏輯推理幫助學生進一步感受到“整數(shù)相鄰計數(shù)單位的進率是10”這一“十進位值制”的基本特征。教學四年級上冊“大數(shù)的認識”時，可以引導學生根據(jù)已經(jīng)學習過“萬以內(nèi)數(shù)的認識”的經(jīng)驗，通過自主推理，從“個級”推導出“萬級”“億級”的各個數(shù)位和相應的計數(shù)單位。這樣的教學過程可以幫助學生建立起整數(shù)數(shù)位的概念，學生能夠初步理解一個整數(shù)是由若干個計數(shù)單位累加而成的。在實際教學中，一些學生可能會自主推理出“如果從一開始繼續(xù)往下細分，就會出現(xiàn)小數(shù)”，由此自主建構(gòu)出聯(lián)通整數(shù)和小數(shù)的數(shù)位順序表。

（二）自主遷移：理解計數(shù)方法的一致性

在三年級開始學習分數(shù)時，無論是從書寫形式還是意義上，很多學生都會感覺分數(shù)與整數(shù)相比有很大的差異，且很難感受到分數(shù)的計數(shù)單位，其中有兩個主要原因。

首先，中文翻譯對于分數(shù)的表達可能沒有英文表達方式那么直觀和清晰。比如，中文表達的“五分之二”與英文表達的“two fifths”相比，有一定的差異。為了幫助學生更深刻地理解分數(shù)的意義，可以在教學中引入圖形直觀化的方法，同時主動介紹分數(shù)的英文表示方法。這樣可以幫助學生深入理解每一個分數(shù)都是由若干個分數(shù)單位累加而成，從而體會到整數(shù)和分數(shù)計數(shù)方法的一致性。

如何幫助學生清晰地感受到整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)在計數(shù)方法上的一致性呢？筆者引入了數(shù)軸：如圖2 所示，下面直線上的點各表示什么數(shù)？在括號里寫上適當?shù)臄?shù)（上面的括號寫小數(shù)）。

圖2

二、法理融通：從“方法各異”到“本質(zhì)求同”

形成數(shù)的概念基于計數(shù)單位的一致性理解后，在整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)的加減法運算中，學生就能比較容易體會到“整數(shù)加減法中相同數(shù)位對齊”“小數(shù)加減法中小數(shù)點對齊”“異分母分數(shù)加減法要先轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)再相加減”這些看似不同方法背后的“相同計數(shù)單位相加減”的原理。但在進入分數(shù)乘法時，外在形式的“分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母”與計數(shù)單位似乎不那么容易建立起聯(lián)系了。教學中需要教師有意識地溝通聯(lián)系，引導學生在類比中形成一致性理解。

下面以“分數(shù)與整數(shù)相乘”為例，介紹如何有意識地引導學生通過橫向關(guān)聯(lián)，在不同方法的對比中發(fā)現(xiàn)分數(shù)與整數(shù)相乘運算的本質(zhì)；通過縱向銜接，從整數(shù)、小數(shù)和分數(shù)運算的共性中感受乘法運算的本質(zhì)。

（一）橫向關(guān)聯(lián)，感受不同方法背后的道理一致

小研究和學習單上常常會出現(xiàn)“你能用不同方法解決嗎？”這樣的問題，旨在促進學生“求異”，即追求方法的“多元”。 而“每一個學生都渴望自己成為知識的發(fā)現(xiàn)者”，因此學生會努力探索出幾種方法，并愿意與小組或全班分享自己與眾不同的方法。在這種交流過程中，學生通常更關(guān)注方法的多樣性，而不太關(guān)注不同方法背后的聯(lián)系。在教學中，教師需要適時地叫停、聚焦和放大，引導學生的思維和表達逐步清晰、精準，幫助他們透過形式去感悟本質(zhì)。當學生分享不同的解決方法時，教師可以提出一些問題，引導學生思考方法之間的聯(lián)系和共性。

圖3

學生在得出方法后，很少會主動思考這幾種方法之間是否有聯(lián)系。此時，教師可追問：“這幾種方法看起來都不太一樣，有沒有什么聯(lián)系呢？”用“聯(lián)系”的眼光重新審視這幾種方法后，學生給出了新的解讀：

“它們都用了轉(zhuǎn)化的策略，把這道乘法題轉(zhuǎn)化成我們以前所學過的方法。比如把乘法轉(zhuǎn)化成加法，把分數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)?！?/p>

一個適時的追問，引導學生主動探尋不同方法背后的一致性。學生在比較中發(fā)現(xiàn)“看似不同的方法其實都是在求有‘有多少個’”，從而理解分數(shù)與整數(shù)相乘的本質(zhì)就是求“有多少個分數(shù)單位”。

疏通了算理，還需明確算法。教師可再次追問：“在這么多種方法中，究竟哪種方法更有普適性或者說一般性呢？”學生提出了“加法列式煩瑣”“有些分數(shù)不能轉(zhuǎn)化成有限小數(shù)”“畫圖方法能夠幫助直觀理解算理，但是當數(shù)據(jù)較大、平均分的份數(shù)較多時比較麻煩”等顧慮。在對話和思辨中，學生深刻體會到“分母不變，分子與整數(shù)相乘的積作分子”這一算法的一般性。隨后，教師在示范計算過程時，引導學生再次借助畫圖的策略闡明了算法背后的算理：“分母不變”，即分數(shù)單位不變，都是；“分子與整數(shù)相乘的積作分子”，算的是分數(shù)單位的個數(shù)，即有9個至此，真正實現(xiàn)了法理融通。

（二）縱向銜接：領(lǐng)會不同學段背后的目標一致

【教學片段2】教師出示4 道乘法算式（如圖4-1），并提出問題：“這4 道算式有什么聯(lián)系嗎？”學生發(fā)現(xiàn)：計算30×3 時是先算3×3=9，然后添上一個0得到90；計算0.3×3 時也是先算3×3=9，有9 個0.1，所以是0.9；計算× 3 時是先算3×3=9，有9 個，所以等于

圖4-1

教師肯定學生善于觀察和比較后，追問：“題目雖然不同，但都是先算3×3=9，這是為什么？”隨著學生的回答，教師出示圖4-2：“不論是整數(shù)乘法、小數(shù)乘法還是分數(shù)乘法，都是在算有多少個計數(shù)單位?！?/p>

最后，教師給出一幅韋恩圖（如圖5），把分數(shù)與整數(shù)相乘以及整個乘法運算的關(guān)系變得清晰可見，一目了然。

圖5

通過縱向銜接，學生在回顧和比較中發(fā)現(xiàn)不同學段學習的乘法運算本質(zhì)上的一致性，即都是在求“有多少個計數(shù)單位”，從而形成結(jié)構(gòu)化認知。

三、關(guān)系領(lǐng)悟：從“情境多元”到“關(guān)系一致”

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域在小學階段包括“數(shù)與運算”和“數(shù)量關(guān)系”兩個主題。關(guān)于“數(shù)量關(guān)系”，《課程標準》指出，要讓“學生經(jīng)歷在具體情境中運用數(shù)量關(guān)系解決問題的過程，感悟加法模型和乘法模型的意義”。因此，教師要創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，促進學生在比較、思辨中領(lǐng)悟多元情境背后數(shù)量關(guān)系的一致性，體會模型的統(tǒng)攝價值。

（一）萬物皆可：在思辨中回歸意義的深度理解

【教學片段3】教師舍去了常規(guī)的運算練習，設(shè)計了一組由三道判斷題和一道開放題組成的解決問題練習：

經(jīng)過一段時間的思考后，學生給出了如下解答：

……

“我覺得萬物皆可用這個式子來表達，只要它的本質(zhì)是求3 個的，不論什么情境都可以用這個算式來計算?！?/p>

一個開放的問題情境，一個開放的對話場域，就能帶來精彩的思維碰撞。一句“萬物皆可用這個式子來表達”，充分表現(xiàn)出學生對于不同問題情境中乘法意義的深刻理解。

（二）變與不變：在比較中體會模型的統(tǒng)攝價值

【教學片段4】對于“總量=分量+分量”這一加法數(shù)量關(guān)系，教師引導學生經(jīng)歷多個“合并型”情境。為了幫助學生體會這個數(shù)量關(guān)系的更多外延，感受到“模型”的普適性，教師設(shè)計了一道開放性練習（如圖6）。

圖6

在全班交流時，“選擇①和⑥，35+4=39（人）”的答案很快被認可。對于“選擇②和④，10×3+9=39（人）”，有學生質(zhì)疑：“這是一個乘法和加法的混合運算，能填進空格里嗎？”很快，學生明白了等式左邊的乘法運算表示“前三組的人數(shù)”，也可以看成一個分量填在空格里。在此基礎(chǔ)上，有學生提出了“那還有別的可能，比如可以選擇③和⑤，但還需要補充一些條件，因為三（1）班的同學除了參加舞蹈組和體育組，還有可能參加了別的興趣小組?！敝链耍瑢W生關(guān)于分量的認識，從外在形式的“兩個”走向了本質(zhì)理解的“多個”。在交流中，學生還自主補充了知識點“多個分量之間要做到‘不重不漏’，才能合成總量”。

在這樣一個為總量“三（1）班有多少人？”尋找分量的開放性情境中，學生實現(xiàn)了對乘加法的再度理解，以及對各分量不重不漏的“總分關(guān)系”的嚴謹認識。學生對于加法模型的認識逐漸飽滿，并體會到加法模型的統(tǒng)攝價值，震撼于數(shù)學表達的變與不變。