崔鵬龍,徐善永

(安徽理工大學 電氣與信息工程學院,安徽 淮南 232001)

永磁同步電機(Permanent Magnet Synchronous Motor,PMSM)的矢量控制需要位置傳感器對轉子位置進行實時檢測,而這類傳感器的引入不僅降低了系統(tǒng)的可靠性,而且增加了系統(tǒng)硬件成本,因此,對于電機無位置傳感器的研究成為了研究熱點?；跀U展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter,EKF)的無位置傳感器控制方案不僅可以在相對較寬的速度范圍內對轉子位置進行準確估計,而且在存在系統(tǒng)誤差與測量誤差的情況下仍可對系統(tǒng)狀態(tài)進行有效估計,并且具有收斂速度快、動態(tài)性能好、抗干擾能力強等優(yōu)點[1]。但是EKF的性能嚴格依賴于噪聲協(xié)方差矩陣的選取,如果選取不當,系統(tǒng)響應很難達到理想的情況,甚至會出現(xiàn)濾波發(fā)散、系統(tǒng)失穩(wěn)[2]。通常情況下,EKF中的噪聲協(xié)方差矩陣是未知的或者很難獲取其真實值,一般通過多次試湊來確定其值,這樣不僅耗時,而且具有一定的盲目性。對此,文獻[3]采用遺傳算法(GA)對其尋優(yōu),取得了理想的效果。文獻[4]則采用多目標非支配排序遺傳算法-II(NSGA-II)將速度和轉矩同時作為優(yōu)化的目標,實現(xiàn)了噪聲協(xié)方差矩陣的多目標優(yōu)化。

鯨魚優(yōu)化算法[5](Whale Optimization Algorithm,WOA)于2016年由澳大利亞學者Mirjalili等提出,該算法啟發(fā)于自然界中座頭鯨的捕食行為,屬于群智能優(yōu)化算法的一種,具有調整參數(shù)少、算法整體穩(wěn)定性高、收斂速度快等優(yōu)點。本文將其應用在了噪聲協(xié)方差矩陣的優(yōu)化上,并取得了較為理想的優(yōu)化結果。

隨著對電機控制性能的要求越來越高,傳統(tǒng)的PI控制器難以適應于電機的高性能應用場所,而模型預測控制[6](MPC)具有原理簡單、動態(tài)響應快、對模型的準確性要求不高、易于包含約束項、魯棒性強等優(yōu)點,在電力傳動領域引起了眾多學者研究。由于EKF具有延遲效應,使得系統(tǒng)在負載突變時,轉速跌落較大,目前為提高永磁同步電機控制系統(tǒng)的抗負載擾動能力,國內外主要采用負載擾動前饋補償?shù)姆椒╗7]。

綜上,本文采用了鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣進行尋優(yōu),另外將傳統(tǒng)的PI控制器替換為MPC控制器,并引入了Luenberger負載觀測器,增強了系統(tǒng)的魯棒性和快速性,仿真結果表明了本文所采用方案的有效性。

1 PMSM數(shù)學模型

在忽略空間諧波,不考慮磁路飽和,忽略鐵心損耗等情況下,表貼式PMSM在α-β坐標系下電流狀態(tài)方程為

(1)

式中:uα、uβ,iα、iβ分別為α-β坐標系下的定子電壓、電流;Rs、L、ψf分別為定子電阻、定子電感和永磁體磁鏈;ωe、θe分別為轉子電角速度和電角度。

(2)

表貼式永磁同步電機在旋轉正交坐標系下的轉矩方程、運動方程分別為

(3)

(4)

式中:iq為旋轉正交坐標系下的q軸定子電流;Te為電磁轉矩;pn為永磁同步電機極對數(shù);TL為負載轉矩;J為轉動慣量;B為摩擦系數(shù);ωm為轉子機械角速度。

根據(jù)狀態(tài)方程(2)可構建如下的非線性數(shù)學模型,即

(5)

y(t)=Hx(t) ,

(6)

其中,x=[iαiβωeθe]T,

u=[uαuβ]T,

y=[iαiβ]T,

式中:x為狀態(tài)變量;u為輸入向量;y為輸出向量;B為輸入矩陣;H為輸出矩陣。

為了適應EKF算法,這里需要對f(x)進行線性化,進而得到系統(tǒng)的雅可比矩陣,即

2 基于鯨魚優(yōu)化算法的擴展卡爾曼濾波器

2.1 基于EKF的狀態(tài)估計

假設離散化的采用周期為T,同時考慮到系統(tǒng)噪聲W(k)和測量噪聲V(k+1),根據(jù)式(5)～(6)可得

x(k+1)=x(k)+T[f(x)+Bu(k)]+W(k),

(7)

y(k+1)=H[x(k+1)]+V(k+1),

(8)

式中:W(k)、V(k+1)為互不相關的高斯白噪聲,其協(xié)方差矩陣分別為Q、R。

由式(7)～(8),并根據(jù)EKF的遞推公式,即可完成對PMSM轉子位置及轉速的在線遞推估計。具體步驟如下:

(9)

2) 預測狀態(tài)誤差協(xié)方差矩陣,有

(10)

3) 計算卡爾曼增益矩陣,有

(11)

4) 根據(jù)測量值y(k+1)以及EKF的增益矩陣Kk+1對步驟1)中的狀態(tài)預測值進行反饋校正,則

5) 更新狀態(tài)預測誤差的協(xié)方差矩陣,為下一次的狀態(tài)估計做準備,有

(13)

以上遞推迭代過程中的噪聲協(xié)方差矩陣Q、R對EKF的性能影響較大,只有在選取合適的噪聲協(xié)方差矩陣的情況下,EKF才能對系統(tǒng)狀態(tài)進行有效、可靠的估計。

2.2 鯨魚算法優(yōu)化噪聲協(xié)方差矩陣

鯨魚優(yōu)化算法主要由圍捕獵物、氣泡網捕食和搜索獵物3個階段組成,其具體尋優(yōu)過程可以參考相關文獻。

通常將噪聲協(xié)方差矩陣設置為[8]

Q=diag[q11q11q2q3],

R=diag[r11r11],

式中:q11、q2、q3、r11即為4個待優(yōu)化的參數(shù)。

本文以電機的實際轉速與估計轉速之差的平方對時間的積分作為適應度函數(shù),即

(14)

式中:e(t)為實際轉速和估計轉速的差值。

鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣的優(yōu)化過程如圖1所示,其中的性能指標即式(14)的適應度值。

圖1 鯨魚算法優(yōu)化噪聲協(xié)方差矩陣過程

3 基于MPC的速度環(huán)設計

模型預測控制基本原理如圖2所示,主要包括預測模型、反饋校正和滾動優(yōu)化3個部分[9]。

圖2 模型預測控制結構框圖

3.1 速度環(huán)預測模型

對式(4)進行前向歐拉離散化,并將式(3)代入其中,整理可得

(15)

式中:Ts為速度環(huán)的采樣周期;ωm(k)為kT時刻的實際轉速。

由上式可得

(16)

由于采樣周期比較小,即認為TL在相鄰的采樣周期內是不變的。由式(15)減去式(16),可得轉速預測模型,即

(17)

則式(17)可簡寫為

(18)

3.2 轉速反饋校正

根據(jù)k時刻模型預測輸出誤差對k+1時刻的預測轉速進行反饋校正。

ωp(k+1)=ωmp(k+1)+e(k),

(19)

e(k)=ωm(k)-ωmp(k),

(20)

式中:e(k)為k時刻的預測偏差;ωp(k+1)即為經過修正后的k+1時刻的預測轉速。

3.3 轉速參考軌跡

為了使實際轉速向設定值平滑過渡,通常取如下形式的一階指數(shù)變化的參考軌跡,即

ωr(k+1)=αωm(k)+(1-α)ωref(k),

(21)

式中:ωref(k)為轉速的設定值;ωr(k+1)為轉速參考軌跡;α為柔滑系數(shù),α∈(0,1)。

3.4 優(yōu)化準則

J=q[ωp(k+1)-ωr(k+1)]2+

(22)

式中:q、r為加權系數(shù),分別表示對轉速跟蹤誤差和q軸電流變化的抑制程度。

e(k)-ωr(k+1)].

(23)

則k時刻的q軸電流給定值為

(24)

4 Luenberger負載觀測器設計

根據(jù)永磁同步電機的運動方程與TL為階躍常值型負載的假設,可得

(25)

取狀態(tài)變量x=[ωmTL]T,輸出向量y=ωm,可得如下的狀態(tài)空間表達式,即

(26)

由式(25)可構建如下閉環(huán)狀態(tài)觀測器方程,即

(27)

上式可簡寫為

(28)

(29)

由式(29)可得如下的特征多項式,即

(30)

設系統(tǒng)矩陣(A-GC)所期望的閉環(huán)極點為λ1、λ2,則對應的期望特征多項式為

p*(s)=(s-λ1)(s-λ2)=s2-(λ1+λ2)s+λ1λ2.

(31)

對比式(30)～(31)可得輸出偏差反饋增益矩陣為

5 仿真驗證

本文提出的系統(tǒng)整體框圖如圖3所示,通過Matlab對該控制方案的有效性進行了驗證。速度環(huán)和電流環(huán)的采樣頻率均為20 kHz,MPC控制器所采用的參數(shù)設置為:柔化因子取0.998,加權系數(shù)q∶r=700∶1;d、q軸電流PI控制器的比例、積分系數(shù)均設置為:Kp2=60、Ki2=4 790;EKF中的狀態(tài)變量初值和誤差協(xié)方差初值分別為:x0=[0.001 0.001 0.001 0.001],P0=diag[0.1 0.1 0.01 1],EKF算法的采樣周期為50 μs;鯨魚優(yōu)化算法中的相關參數(shù)設置為:鯨魚種群大小為15,最大迭代次數(shù)為10,4個待優(yōu)化參數(shù)的范圍均設為[1e-7,100]。系統(tǒng)仿真所采用的永磁同步電機參數(shù)為:直流母線電壓311 V,定子電阻0.958 Ω,定子電感0.012 H,永磁體磁鏈0.1827 Wb,轉動慣量0.000 1 kg·m2,電機極對數(shù)為4,無阻尼系數(shù)。

圖3 系統(tǒng)整體框圖

5.1 優(yōu)化的EKF仿真曲線

采用鯨魚優(yōu)化算法對噪聲協(xié)方差矩陣尋優(yōu)的仿真環(huán)境設置為:時間2 s,空載啟動,給定電機階躍轉速1 000 r/min,在0.8 s時加5 N·m的階躍負載。最終得到的優(yōu)化參數(shù)為

Q=[2.9262e-7,2.9262e-7,4.2292,2.9262e-7],R=[3.9044,3.9044].

圖4為采用經過優(yōu)化的Q、R進行轉速估計的結果,可以看出:實際轉速和估計轉速幾乎重合,說明采用鯨魚優(yōu)化算法進行尋優(yōu)的有效性。

圖4 實際轉速與估計轉速對比曲線

5.2 不同控制方法下的空載啟動及抗負載干擾性能對比仿真

為了表明MPC配合Luenberger觀測器的優(yōu)越性,將其與單獨的MPC控制器以及PI控制器進行了對比仿真,此時的仿真環(huán)境為:時間4 s,電機空載起動,給定階躍轉速1 000 r/min,0.8 s時加5 N·m階躍負載,3 s時去掉負載,1.5 s時轉速為800 r/min,2.5 s時轉速為1 200 r/min。仿真曲線如圖5所示,可以看到:MPC配合Luenberger觀測器的方案無論是在啟動階段還是加載、變速階段都表現(xiàn)出了優(yōu)越的性能。

圖5 不同控制方法下的轉速響應曲線

6 結論

1) 經過鯨魚優(yōu)化算法優(yōu)化后的EKF使得系統(tǒng)狀態(tài)估計準確,表明了在選取合適的噪聲協(xié)方差矩陣的條件下,EKF是一種性能優(yōu)越的狀態(tài)觀測器。

2) MPC配合Luenberger觀測器的控制方案器提高了基于EKF的無傳感器控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。