劉芙潔,盧 可

(安徽理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院,安徽 淮南 232001)

隨著業(yè)務(wù)流程管理水平不斷提高,流程的復(fù)雜性也在增加。而Petri網(wǎng)作為一種對(duì)離散事件系統(tǒng)建模的強(qiáng)大工具[1-3],能夠精確地描述流程中的并發(fā)、同步和沖突等關(guān)系,從而提供了對(duì)復(fù)雜流程行為的形式化表達(dá)。它還支持一個(gè)清晰的圖形的可視化,以正確地觀察系統(tǒng)?？蛇_(dá)性作為 Petri 網(wǎng)的動(dòng)態(tài)性質(zhì)之一,在使用 Petri 網(wǎng)建模的系統(tǒng)的分析和控制中起著至關(guān)重要的作用,因?yàn)橄到y(tǒng)的活性和無(wú)死鎖等性質(zhì)都可以通過(guò)可達(dá)性進(jìn)行分析。

可達(dá)性問(wèn)題一直是Petri網(wǎng)理論研究的重點(diǎn)。它是分析Petri網(wǎng)結(jié)構(gòu)和行為性質(zhì)的基礎(chǔ)。目前主要有可達(dá)圖,狀態(tài)方程和T不變量等方法來(lái)求解可達(dá)性?？蛇_(dá)圖是一種直觀的方法,對(duì)于流程的動(dòng)態(tài)性質(zhì),如活性和死鎖等性質(zhì)能進(jìn)行有效表達(dá)。文獻(xiàn)[4]將Petri網(wǎng)應(yīng)用于再制造工藝的制定,通過(guò)可達(dá)性圖生成和搜索一個(gè)最優(yōu)或接近最優(yōu)的可行計(jì)劃。文獻(xiàn)[5]提出了一種計(jì)算高效的方法,通過(guò)僅搜索可達(dá)性圖的一部分來(lái)獲取Petri網(wǎng)中的死標(biāo)識(shí)和FBM。文獻(xiàn)[6]開(kāi)發(fā)了一種基于基礎(chǔ)可達(dá)性圖(BRG)概念的方法,這是一種用于抽象Petri網(wǎng)狀態(tài)空間的有效工具,而無(wú)需構(gòu)建整個(gè)可達(dá)性圖。文獻(xiàn)[7]采用緊湊的結(jié)構(gòu),即 minimax-BRG,研究了有界Petri網(wǎng)中確定原點(diǎn)狀態(tài)的存在性,可逆性,活性和無(wú)死鎖的問(wèn)題。狀態(tài)方程和T不變量是代數(shù)方法,具有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),可以很好地求解變遷向量。文獻(xiàn)[8]通過(guò)擴(kuò)展具有資源和消息因素的Petri網(wǎng),給出了一種協(xié)同應(yīng)急過(guò)程的系統(tǒng)建模和驗(yàn)證方法。通過(guò)可達(dá)性分析,對(duì)RMWF-Net的正確性進(jìn)行了形式化定義和驗(yàn)證。文獻(xiàn)[9]研究了連續(xù)Petri網(wǎng)及其擴(kuò)展定義的有理數(shù)集,以及連續(xù)向量加法系統(tǒng)在可達(dá)性和決策問(wèn)題方面的應(yīng)用。文獻(xiàn)[10]使用關(guān)聯(lián)矩陣和狀態(tài)方程來(lái)分析網(wǎng)系統(tǒng)的活性和安全性,并使用唯一可達(dá)向量網(wǎng)的方法來(lái)分析模型的可達(dá)性。文獻(xiàn)[11]提出了一種基于電路的子網(wǎng)方法,用于在Petri網(wǎng)中檢測(cè)無(wú)法到達(dá)的標(biāo)記。通過(guò)分析具有基于無(wú)令牌電路的子網(wǎng)來(lái)確定狀態(tài)方程是否具有非負(fù)整數(shù)解,并可以有效地處理資源不可靠的系統(tǒng)。

本文利用Petri網(wǎng)對(duì)汽車涂裝生產(chǎn)線的具體流程進(jìn)行建模,并加入了相關(guān)活動(dòng)操作以此優(yōu)化模型,然后,通過(guò)構(gòu)造模型的關(guān)聯(lián)矩陣及可達(dá)狀態(tài),對(duì)所建立的Petri網(wǎng)模型的可達(dá)性及安全性等相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行分析驗(yàn)證。實(shí)現(xiàn)生產(chǎn)過(guò)程的可視化監(jiān)控,從而對(duì)整個(gè)生產(chǎn)流程進(jìn)行及時(shí)發(fā)現(xiàn)和調(diào)整,保證穩(wěn)定生產(chǎn)且不斷優(yōu)化生產(chǎn)過(guò)程。

1 基本概念

Petri網(wǎng)是由庫(kù)所(place)、變遷(transition)、托肯(token)值和連接庫(kù)所與變遷并表示它們之間關(guān)系的有向弧線所組成的一種有向圖。其中庫(kù)所用于描述系統(tǒng)可能的狀態(tài);變遷用于描述修改系統(tǒng)狀態(tài)的活動(dòng);托肯表示系統(tǒng)的資源;有向弧規(guī)定狀態(tài)和活動(dòng)之間的關(guān)系[13]。

定義1[13](變遷發(fā)生規(guī)則)PN=(P,T;F,M0)為一個(gè)Petri網(wǎng),滿足下列變遷發(fā)生規(guī)則。

1) 變遷t∈T具有發(fā)生權(quán),當(dāng)且僅當(dāng)?p∈·t:M(p)≥1,記作M[t>;

2) 若M[t>,從標(biāo)識(shí)M發(fā)生變遷t,得到一個(gè)新的標(biāo)識(shí)M′,記作M[t>M′,對(duì)?p∈P有

定義2[13](關(guān)聯(lián)矩陣)Petri網(wǎng)PN=(P,T;F,M0)的關(guān)聯(lián)矩陣表示為A=[aij]mn,其中

aij=aij+-aij-,i∈{1,2,…,m},j∈{1,2,…,n},

定義3[12](可達(dá)性)已知Petri網(wǎng)PN=(P,T;F,M0),如果存在t∈T,使M[t>M′,則稱M′從M直接可達(dá)。如果存在變遷序列t1,t2,…,tk和標(biāo)識(shí)序列M1,M2,…,Mk,使得M[t1>M1[t2>M2…Mk-1[tk>Mk,則稱Mk從M可達(dá)。從M可達(dá)的一切標(biāo)識(shí)的集合記為R(M)。

定義4[12](行為輪廓)PN=(P,T;F,M0)為一個(gè)網(wǎng)系統(tǒng),BP={→,+,||}為網(wǎng)的行為輪廓,表示網(wǎng)中所有關(guān)系的集合,對(duì)于一對(duì)變遷(t1,t2)∈(T×T)滿足下列條件:

1) 若t1>t2且t2>t1,則稱嚴(yán)格序關(guān)系,記作t1→t2;

2) 若t1>t2且t2>t1,則稱排他關(guān)系,記作t1+t2;

3) 若t1>t2且t2>t1,則稱交叉序關(guān)系,記作t1||t2。

2 汽車涂裝流程建模

2.1 構(gòu)建模型

汽車涂裝工藝流程[15]是一個(gè)復(fù)雜的工業(yè)過(guò)程,涉及多個(gè)操作步驟和資源調(diào)度。涂裝是指對(duì)汽車表面進(jìn)行外觀修飾,涂裝質(zhì)量的優(yōu)良對(duì)于汽車的價(jià)值有直觀的影響。涂裝生產(chǎn)線主要由幾個(gè)關(guān)鍵工序組成,包括第一道工序前處理、電泳、PVC涂裝、中涂、面漆和精修等。圖1給出了利用Petri網(wǎng)對(duì)涂裝流程建立的模型。

圖1 涂裝流程原模型

由圖1可知,從焊裝車間來(lái)的汽車車身,經(jīng)過(guò)預(yù)清洗(t0)進(jìn)入第一道工序前處理(t1),然后執(zhí)行電泳線中的活動(dòng)(t2),這一部分都是按照嚴(yán)格序關(guān)系依次執(zhí)行的;執(zhí)行電泳檢查活動(dòng)(t3),此時(shí)存在一個(gè)排他關(guān)系,即檢查不合格,需重新返回電泳(t4),檢查合格,進(jìn)行電泳打磨(t5)及PVC涂裝活動(dòng)(t6),這一部分按照嚴(yán)格序關(guān)系依次執(zhí)行;接著執(zhí)行中涂活動(dòng)(t7→t8→t9),即按照嚴(yán)格序關(guān)系依次執(zhí)行;完成中涂后,進(jìn)入噴面漆工序,按照嚴(yán)格序關(guān)系依次執(zhí)行t10→t11→t12,然后對(duì)汽車車身檢查拋光(t13),若出現(xiàn)車身顏色不均,噴涂不平整等情況,選擇執(zhí)行活動(dòng)t14,進(jìn)行重打磨回到面漆工序,若拋光檢查合格,則選擇執(zhí)行點(diǎn)修補(bǔ)活動(dòng)(t15);按照順序結(jié)構(gòu)執(zhí)行檢驗(yàn)活動(dòng)(t16),此時(shí)存在一個(gè)排他序關(guān)系(t17+t18),根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果,質(zhì)量問(wèn)題嚴(yán)重程度,選擇點(diǎn)修,即執(zhí)行t17或執(zhí)行t18,返回前一道工序即可,若問(wèn)題嚴(yán)重,選擇大修,即執(zhí)行t19,返工回到前處理,重新進(jìn)行噴涂;若檢驗(yàn)合格,則執(zhí)行噴臘活動(dòng)(t20),至此噴涂流程結(jié)束。

2.2 模型優(yōu)化

生產(chǎn)線上通過(guò)傳感器、監(jiān)測(cè)設(shè)備和質(zhì)檢儀器等手段收集數(shù)據(jù),并與車輛信息等相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行關(guān)聯(lián)和記錄[14]。這樣可以實(shí)現(xiàn)全面監(jiān)測(cè)、數(shù)據(jù)分析和質(zhì)量追溯,從而提高工序的效率和質(zhì)量。本文考慮完成涂裝流程上活動(dòng)所需要的活動(dòng)操作來(lái)優(yōu)化模型,為生產(chǎn)質(zhì)量以及生產(chǎn)效率的改進(jìn)提供有效的支持,優(yōu)化后的模型如圖2所示,其中優(yōu)化的部分用虛線框出,優(yōu)化后的模型可以提供更全面的信息和實(shí)時(shí)控制能力。

圖2 涂裝流程優(yōu)化后模型

下面是對(duì)增加的活動(dòng)操作說(shuō)明及其行為關(guān)系:

完成前處理活動(dòng)(t1),需要考慮分析表面清潔度(t2)、記錄現(xiàn)場(chǎng)環(huán)境參數(shù)(t3)、記錄使用清洗劑和工藝參數(shù)(t4),并且t2、t3、t4是交叉序關(guān)系,只有執(zhí)行了活動(dòng)t2t3t4,活動(dòng)t5才會(huì)發(fā)生,即前處理活動(dòng)完成。完成電泳活動(dòng)(t6表示活動(dòng)開(kāi)始,t9表示活動(dòng)完成),既要設(shè)定電泳槽參數(shù)(t7),又要記錄電泳涂料質(zhì)檢數(shù)據(jù)(t8),變遷t7、t8處于交叉序關(guān)系。完成噴PVC活動(dòng)(t13活動(dòng)開(kāi)始,t17活動(dòng)完成),從PVC涂料配方記錄、噴涂參數(shù)記錄、PVC涂層質(zhì)量檢測(cè)數(shù)據(jù)3個(gè)方面完成噴涂活動(dòng),分別對(duì)應(yīng)變遷t14、t15、t16,它們之間是交叉序關(guān)系。增加車輛信息記錄(t19)、涂漆參數(shù)設(shè)定(t20)、數(shù)據(jù)采集與監(jiān)控(t21)完成噴中層漆活動(dòng)(t18活動(dòng)開(kāi)始,t22活動(dòng)結(jié)束),變遷t19、t20、t21它們之間處于交叉序關(guān)系。參數(shù)設(shè)置和調(diào)整(t27)和面漆質(zhì)檢數(shù)據(jù)的記錄(t28)需要在噴面漆活動(dòng)中完成。完成檢查拋光活動(dòng)(t31),涉及以下3個(gè)交叉序關(guān)系的活動(dòng):收集檢查數(shù)據(jù)(t32)、記錄瑕疵位置和類型(t33)、記錄拋光數(shù)據(jù)(t34)。

3 可達(dá)性分析

定理2[13]設(shè)PN=(P,T,F,M)為一個(gè)Petri網(wǎng),A為網(wǎng)的關(guān)聯(lián)矩陣,如果M[ti>M′則有M′=M+(Ai*)T。

選取模型中描述電泳流程的子網(wǎng),記為N1。

圖3 子網(wǎng)N1

N1的輸入矩陣、輸出矩陣、關(guān)聯(lián)矩陣分別為

M1=M0+(A1*)T

?[0,1,1,0,0,0,0,0]T=[1,0,0,0,0,0,0,0]T+[-1,1,1,0,0,0,0,0]T

?[0,1,1,0,0,0,0,0]T=[0,1,1,0,0,0,0,0]T

M1從M0可達(dá)。

同理,由定理1判斷t7在M1下可以發(fā)生,產(chǎn)生新的標(biāo)識(shí)M2=[0,0,1,1,0,0,0,0],

M2=M1+(A2*)T

?[0,0,1,1,0,0,0,0]T=[0,1,1,0,0,0,0,0]T+[0,-1,0,1,0,0,0,0]T

?[0,0,1,1,0,0,0,0]T=[0,0,1,1,0,0,0,0]T

M2從M1可達(dá)。

t8在M2下可以發(fā)生,產(chǎn)生新的標(biāo)識(shí)M3=[0,0,0,1,1,0,0,0],

M3=M2+(A3*)T

?[0,0,0,1,1,0,0,0]T=[0,0,1,1,0,0,0,0]T+[0,0,-1,0,1,0,0,0]T

?[0,0,0,1,1,0,0,0]T=[0,0,0,1,1,0,0,0]T

M3從M2可達(dá)。

t9在M3下可以發(fā)生,產(chǎn)生新的標(biāo)識(shí)M4=[0,0,0,0,0,1,0,0],

M4=M3+(A4*)T

?[0,0,0,0,0,1,0,0]T=[0,0,0,1,1,0,0,0]T+[0,0,0,-1,-1,1,0,0]T

?[0,0,0,0,0,1,0,0]T=[0,0,0,0,0,1,0,0]T

M4從M3可達(dá)。

t10在M4下可以發(fā)生,產(chǎn)生新的標(biāo)識(shí)M5=[0,0,0,0,0,0,1,0],

M5=M4+(A5*)T

?[0,0,0,0,0,0,1,0]T=[0,0,0,0,0,1,0,0]T+[0,0,0,0,0,-1,1,0]T

?[0,0,0,0,0,0,1,0]T=[0,0,0,0,0,0,1,0]T

M5從M4可達(dá)。

t12在M5下可以發(fā)生,產(chǎn)生新的標(biāo)識(shí)M6=[0,0,0,0,0,0,0,1],

M6=M5+(A6*)T

?[0,0,0,0,0,0,0,1]T=[0,0,0,0,0,0,1,0]T+[0,0,0,0,0,0,-1,1]T

?[0,0,0,0,0,0,0,1]T=[0,0,0,0,0,0,0,1]T

M6從M5可達(dá)。即庫(kù)所p15獲得標(biāo)識(shí),存在變遷序列σ=t6t7t8t9t10t12,使得M0[σ>M6,優(yōu)化后的模型,可以達(dá)到目標(biāo)狀態(tài)。

利用如下代碼在Matlab軟件中計(jì)算Petri網(wǎng)的可達(dá)性。

輸入:PN=(P,T;F,M0),關(guān)聯(lián)矩陣,目標(biāo)狀態(tài)。

輸出:目標(biāo)狀態(tài)是否可達(dá)。

verifyReachability.m

function isReachable = verifyReachability()

places = {};transitions = {};initialMarking = [];incidenceMatrix = [];targetMarking = [];

stateSpace = generateStateSpace(places,transitions,initialMarking,incidenceMatrix);

isReachable = isStateReachable(stateSpace,targetMarking);

if isReachable

disp('目標(biāo)狀態(tài)可達(dá)!');

else

disp('目標(biāo)狀態(tài)不可達(dá)!');

end

end

function stateSpace = generateStateSpace(places,transitions,initialMarking,incidenceMatrix)

stateSpace = [];

generateState([],initialMarking);

function generateState(currentMarking,marking)

stateSpace = [stateSpace;marking];

for i = 1:length(transitions)

inputPlaces = find(incidenceMatrix(i,:) <0);

outputPlaces = find(incidenceMatrix(i,:) >0);

if all(marking(inputPlaces) >= abs(incidenceMatrix(i,inputPlaces)))

newMarking = marking;

newMarking(inputPlaces) = newMarking(inputPlaces) - abs(incidenceMatrix(i,inputPlaces));

newMarking(outputPlaces) = newMarking(outputPlaces) +incidenceMatrix(i,outputPlaces);

if ～any(ismember(stateSpace,newMarking,'rows'))

generateState([currentMarking,i],newMarking);

end

end

end

end

end

function isReachable = isStateReachable(stateSpace,targetMarking)

isReachable = any(ismember(stateSpace,targetMarking,'rows'));

end

4 仿真試驗(yàn)

進(jìn)一步,為了能夠?qū)?yōu)化后的Petri網(wǎng)噴涂流程模型的合理性和可行性進(jìn)行評(píng)估,使用PIPE軟件對(duì)模型進(jìn)行仿真模擬運(yùn)行。在PIPE軟件中,首先繪制出模型,隨后放入token在初始庫(kù)所p0中,使用“State Space Analysis”函數(shù)對(duì)模型的狀態(tài)進(jìn)行分析,仿真試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)圖4。研究結(jié)果表明,優(yōu)化后的模型具有一定的安全性,并且有界,無(wú)死鎖,這表明優(yōu)化后的模型是合理可行的。

圖4 PIPE仿真模擬圖及狀態(tài)空間分析結(jié)果

5 結(jié)語(yǔ)

本文對(duì)汽車涂裝流程構(gòu)建了Petri網(wǎng)模型,并利用Petri網(wǎng)的知識(shí)優(yōu)化了原模型。通過(guò)增加執(zhí)行活動(dòng)所必需的活動(dòng)操作,使得在出現(xiàn)不可避免的質(zhì)量問(wèn)題時(shí)或識(shí)別到不同的車身信息,可以及時(shí)排查并第一時(shí)間有效解決,或有效調(diào)節(jié)顏色轉(zhuǎn)換,保障生產(chǎn)的持續(xù)性。其中,使用可達(dá)性定理和關(guān)聯(lián)矩陣構(gòu)造可達(dá)性算法,來(lái)驗(yàn)證Petri網(wǎng)模型的可達(dá)性。通過(guò)軟件仿真試驗(yàn),分析了Petri網(wǎng)的性質(zhì)并驗(yàn)證了模型的合理性。