羅 威,朱夢(mèng)劍,周思宇,程天奇,彭 剛

(國(guó)防科技大學(xué) a.理學(xué)院 物理系;b.前沿交叉學(xué)科學(xué)院 納米系,湖南 長(zhǎng)沙 410073)

霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中重要的電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)[1]. 近30年來(lái),圍繞傳統(tǒng)霍爾效應(yīng)相繼發(fā)現(xiàn)了量子霍爾效應(yīng)[2]、分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)[3]以及反常量子霍爾效應(yīng)[4],這些發(fā)現(xiàn)將經(jīng)典實(shí)驗(yàn)與前沿物理研究緊密聯(lián)系起來(lái). 此外,霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)中存在許多與實(shí)驗(yàn)相關(guān)的副效應(yīng)[5],例如不等位電勢(shì)差、厄廷豪森效應(yīng)、能斯托效應(yīng)、里紀(jì)-勒杜克效應(yīng)等,需要采用對(duì)稱測(cè)量方法[6],才能部分消除這些副效應(yīng),上述內(nèi)容極大地豐富了課程的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,這讓學(xué)生更深入地體會(huì)到理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的重要性.

目前,大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中使用的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)通常采用商業(yè)霍爾傳感器,一般商業(yè)霍爾傳感器只提供橫向霍爾電壓的測(cè)量端口,無(wú)法測(cè)量縱向電壓,這導(dǎo)致無(wú)法計(jì)算器件的載流子遷移率,而載流子遷移率是半導(dǎo)體器件的核心參量,商業(yè)霍爾傳感器通常以黑盒子的形式封裝,只提供接線端口,而教學(xué)儀器需要透明化處理,讓學(xué)生能夠看到霍爾器件的物理結(jié)構(gòu),這樣才能更深入地理解其中的原理,并促進(jìn)學(xué)生的創(chuàng)新思維;此外,一般商業(yè)的霍爾器件也很難滿足研究量子霍爾效應(yīng)、反常量子霍爾效應(yīng)等高階實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的需求. 因此,在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程中,基于霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)構(gòu)建具有內(nèi)容難度梯度、高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度的系列實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,能夠滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需求,對(duì)構(gòu)建大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的內(nèi)涵和深度的提升具有重要意義[7].

本研究將石墨烯引入課程教學(xué),并利用科研實(shí)驗(yàn)室的條件制備了石墨烯霍爾效應(yīng)器件. 石墨烯[8]是一種由碳原子緊密堆積形成的單層二維蜂窩狀晶格結(jié)構(gòu)的新材料,由安德烈·蓋姆和康斯坦丁·諾沃肖洛夫于2004年在曼徹斯特大學(xué)成功分離[9],并因此獲得了2010年的諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng). 作為一種新型的二維材料,石墨烯是凝聚態(tài)物理學(xué)最前沿的研究領(lǐng)域,被譽(yù)為21世紀(jì)的“新材料之王”[10],對(duì)學(xué)生具有很大的吸引力. 此外,石墨烯作為最理想的二維電子氣材料,可以在同一器件中觀察到可控的電子和空穴2種載流子,并且可以觀察到霍爾效應(yīng)、量子霍爾效應(yīng)以及分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)等系列霍爾現(xiàn)象[11]. 同時(shí),構(gòu)建了基礎(chǔ)、提升、進(jìn)階和高階的四級(jí)分層次的霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容體系,豐富了大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的教學(xué)內(nèi)容,并為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程分層次內(nèi)容建設(shè)提供了參考.

1 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

霍爾效應(yīng)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)主要圍繞霍爾效應(yīng)和石墨烯的基本特性展開.

1.1 測(cè)量石墨烯霍爾器件的靈敏度

霍爾器件靈敏度的測(cè)量是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的基礎(chǔ)內(nèi)容,反映了器件單位磁場(chǎng)變化對(duì)應(yīng)的霍爾電壓變化,其基本原理和實(shí)驗(yàn)操作在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教材中都有詳細(xì)描述. 石墨烯霍爾器件靈敏度的測(cè)量可利用霍爾效應(yīng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)裝置,將自制的石墨烯霍爾器件替換教學(xué)裝置中的霍爾傳感器即可. 石墨烯霍爾器件的靈敏度是評(píng)價(jià)其性能的重要指標(biāo),可以通過(guò)該實(shí)驗(yàn)直接測(cè)量和評(píng)估石墨烯材料的霍爾效應(yīng)性能.

自制石墨烯霍爾器件的光學(xué)照片(尼康WMJ-9950拍攝)如圖1(a)所示,紅色虛線標(biāo)記為石墨烯的輪廓,通過(guò)拉曼光譜確定為雙層石墨烯. 石墨烯采用2層約15 nm厚度的六方氮化硼(hBN)包覆,在其上制備了6個(gè)電極用于測(cè)試器件的電學(xué)性能,器件基底使用高摻雜硅,其上采用高溫氧化制備有285 nm左右的SiO2. 圖1(b)為石墨烯霍爾器件的電學(xué)測(cè)量電路圖,石墨烯寬度W約為10 μm,中間部分長(zhǎng)度L約為14 μm. 1號(hào)和4號(hào)電極用于加載縱向電流Is,2號(hào)和6號(hào)電極用于測(cè)量橫向霍爾電壓UH,2號(hào)和3號(hào)電極用于測(cè)量縱向電壓降Uσ.

(a)光學(xué)照片

實(shí)驗(yàn)時(shí),將樣品固定在穩(wěn)恒磁場(chǎng)B中,使樣品的石墨烯表面與磁場(chǎng)垂直,固定流入器件的電流Is為1.00 mA,逐步改變磁場(chǎng)B的大小,可測(cè)出霍爾電壓UH隨磁場(chǎng)B的變化曲線. 實(shí)驗(yàn)中可要求采用對(duì)稱測(cè)量法(即改變電流Is方向和磁場(chǎng)B方向),從而消除部分副效應(yīng).石墨烯器件的霍爾電壓UH與磁場(chǎng)B的關(guān)系曲線如圖2中藍(lán)色點(diǎn)線所示. 同時(shí),商業(yè)339D霍爾傳感器(教學(xué)儀器中傳感器)的霍爾電壓UH與磁場(chǎng)B的關(guān)系,用紅色點(diǎn)線表示. 霍爾電壓UH與磁場(chǎng)B為線性關(guān)系,通過(guò)線性擬合得石墨烯霍爾器件的靈敏度和商業(yè)339D霍爾傳感器的靈敏度分別為277,352 mV/(mA·T). 自制石墨烯霍爾器件雖然靈敏度略低,但能滿足大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)需要.

圖2 霍爾電壓與外加磁場(chǎng)的關(guān)系

1.2 測(cè)量石墨烯霍爾器件的伏安特性

該實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生測(cè)量石墨烯的面電導(dǎo)率,需要掌握四端伏安法消除接觸電阻的基本原理. 所有霍爾效應(yīng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀都可以滿足本實(shí)驗(yàn)的設(shè)備要求. 由于石墨烯與金屬電極之間存在較大的接觸電阻,所以測(cè)量石墨烯電阻需要采用四端伏安法. 測(cè)試電路如圖1(b)所示,1號(hào)和4號(hào)電極用于施加橫向電流Is,2號(hào)和3號(hào)電極用于測(cè)量電流方向的電壓降Uσ. 四端法測(cè)量石墨烯霍爾器件的伏安特性如圖3所示,通過(guò)線性擬合,可以計(jì)算出石墨烯器件的電阻值為473.4 Ω. 根據(jù)石墨烯的結(jié)構(gòu)參量,可以進(jìn)一步計(jì)算得到石墨烯的面電導(dǎo)率為2.957×10-3S.

圖3 四端法測(cè)量石墨烯霍爾器件的縱向伏安特性曲線

通過(guò)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)生需要掌握霍爾效應(yīng)的基本原理、霍爾系數(shù)的測(cè)量方法、石墨烯的伏安特性測(cè)量方法以及基本儀器的使用. 基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)內(nèi)容可以為后續(xù)的高階實(shí)驗(yàn)研究打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的提升實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

霍爾效應(yīng)提升實(shí)驗(yàn)內(nèi)容主要探討霍爾效應(yīng)在半導(dǎo)體材料性能表征上的應(yīng)用. 半導(dǎo)體材料的載流子極性、濃度和遷移率是重要的參量. 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)是測(cè)量這些半導(dǎo)體材料參量比較準(zhǔn)確的方法. 石墨烯為零帶隙的半導(dǎo)體材料,通過(guò)柵壓可以調(diào)控其載流子極性和濃度[12].

2.1 測(cè)量石墨烯霍爾器件的轉(zhuǎn)移特性

轉(zhuǎn)移特性曲線描述了柵控電壓對(duì)器件電流的控制能力,是場(chǎng)效應(yīng)器件重要的性能[13]. 在霍爾效應(yīng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀的基礎(chǔ)上,需增加1臺(tái)直流電壓源表(輸出電壓范圍為-100～100 V,輸出精度為0.1 V),用作石墨烯背柵電壓源即可滿足該實(shí)驗(yàn)條件要求.

自制石墨烯霍爾器件襯底有285 nm厚度SiO2的高摻雜硅,低阻硅襯底可直接用于石墨烯器件的背柵電極,而其上的絕緣SiO2可作背柵使用. 霍爾效應(yīng)教學(xué)實(shí)驗(yàn)儀僅提供1個(gè)電流源和1臺(tái)電壓表,考慮到基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)中石墨烯的伏安特性(圖3),在一定范圍內(nèi)石墨烯電阻相對(duì)源漏電壓保持不變. 所以,在只有霍爾效應(yīng)教學(xué)儀和電壓源時(shí),可以通過(guò)固定源漏電流Is,測(cè)量縱向電壓降Uσ與柵壓Vg的關(guān)系,間接獲得石墨烯的轉(zhuǎn)移曲線. 具體測(cè)試電路如圖1(b)所示,1號(hào)和4號(hào)電極用于加載源漏電流Is,2號(hào)和3號(hào)電極測(cè)量電流方向電勢(shì)差Uσ,襯底和4號(hào)電極間施加?xùn)烹妷篤g. 改變柵電壓Vg,測(cè)量對(duì)應(yīng)Uσ的變化,可測(cè)量得到石墨烯器件的轉(zhuǎn)移特性曲線.

自制石墨烯霍爾器件的轉(zhuǎn)移特性曲線如圖4所示,隨著Vg的增加,Uσ呈現(xiàn)倒V字形關(guān)系,當(dāng)Vg為-22.5 V時(shí),Uσ達(dá)到最大值. 此時(shí)柵壓Vg即為石墨烯器件的狄拉克點(diǎn)電壓Vg,D,狄拉克點(diǎn)電壓[14]為石墨烯中多數(shù)載流子極性的轉(zhuǎn)變點(diǎn)電壓,當(dāng)柵壓Vg

圖4 石墨烯霍爾器件的轉(zhuǎn)移特性曲線

2.2 計(jì)算石墨烯的載流子濃度

半導(dǎo)體的載流子濃度調(diào)控是控制半導(dǎo)體器件的功率和電流的重要手段. 傳統(tǒng)半導(dǎo)體材料的載流子濃度和極性通常需要通過(guò)原子摻雜來(lái)實(shí)現(xiàn). 石墨烯可以通過(guò)調(diào)節(jié)背柵電壓來(lái)調(diào)控其載流子濃度和極性. 該實(shí)驗(yàn)中,要求學(xué)生在石墨烯霍爾器件的轉(zhuǎn)移特性實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)上,分析背柵電壓對(duì)石墨烯中載流子濃度的調(diào)控機(jī)理,并計(jì)算在不同偏壓下石墨烯中的載流子濃度.

自制的石墨烯器件中,石墨烯與高電導(dǎo)率Si背柵之間為285 nm的SiO2絕緣層和約15 nm的hBN,這四者構(gòu)成平行板電容器. 當(dāng)施加背柵電壓時(shí),石墨烯表面會(huì)感應(yīng)出一定濃度的載流子. 由于制備過(guò)程和環(huán)境的影響,石墨烯表面可能存在帶電雜質(zhì),這些帶電雜質(zhì)可以是空穴或電子,將其濃度定義為載流子的初始濃度n0. 在狄拉克點(diǎn),感應(yīng)電荷濃度剛好與石墨烯初始載流子濃度相等,并且極性相反,此時(shí)石墨烯的電阻最大. 為計(jì)算石墨烯在不同柵壓下的載流子濃度,需要先計(jì)算石墨烯與硅襯底的單位面積電容. 考慮到hNB的相對(duì)介電常量(εr,hBN=3.28)和SiO2的相對(duì)介電常量(εr,SiO2=3.9)比較接近,并且hBN的厚度(dhBN=15 nm)遠(yuǎn)小于SiO2的厚度(dSiO2=285 nm),可以將hBN等效為SiO2來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算,這樣單位面積的電容Cg,A可以表示為

(1)

其中ε0為真空介電常量.

在背柵電壓Vg下,單位面積電容上感應(yīng)的電荷數(shù)量除以單位電荷e即為石墨烯感應(yīng)電荷濃度n′,即:

(2)

根據(jù)電路連接方式,當(dāng)Vg為負(fù)時(shí),感應(yīng)的載流子為空穴;當(dāng)Vg為正時(shí),感應(yīng)的載流子為電子.在狄拉克點(diǎn)附近,石墨烯的初始帶電雜質(zhì)載流子濃度n0與感應(yīng)載流子濃度n′相等但極性相反.因此,石墨烯上的載流子濃度n可以計(jì)算為

(3)

本文制備的石墨烯霍爾器件載流子濃度與背柵電壓Vg的關(guān)系如圖5所示,器件的載流子濃度在1012cm-2量級(jí),濃度與背柵電壓成線性關(guān)系.

圖5 石墨烯的載流子濃度與背柵電壓的關(guān)系

當(dāng)背柵電壓Vg小于狄拉克電壓Vg,D時(shí),石墨烯的多數(shù)載流子為空穴;而當(dāng)背柵電壓Vg大于狄拉克電壓Vg,D時(shí),石墨烯的多數(shù)載流子為電子.

2.3 計(jì)算石墨烯霍爾器件的空穴和電子遷移率

載流子遷移率μ是描述在電場(chǎng)作用下載流子移動(dòng)快慢程度的物理量,不僅決定半導(dǎo)體器件的導(dǎo)電能力,更是直接影響器件所能達(dá)到的工作頻率.載流子遷移率的測(cè)量方法有很多種[15],包括渡越時(shí)間(TOP)法[16]、霍爾效應(yīng)法[17]、分析熱釋電流極化電荷瞬態(tài)響應(yīng)等.該實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生根據(jù)轉(zhuǎn)移特性曲線計(jì)算空穴和電子的遷移率.石墨烯器件的電阻與載流子濃度、遷移率的關(guān)系為

(4)

將式(3)代入式(4),可推導(dǎo)出遷移率為

(5)

將石墨烯器件的相關(guān)參量代入式(5),得

(6)

式(6)計(jì)算載流子遷移率成立的條件是單一載流子線性工作區(qū)間.由石墨烯霍爾器件的轉(zhuǎn)移特性曲線(圖4),可以計(jì)算出1/Uσ與背柵電壓Vg的關(guān)系如圖6所示.對(duì)電子和空穴單獨(dú)工作的區(qū)間直線擬合,可以分別得到電子和空穴的斜率為0.064 0和0.072 8,從而可計(jì)算出石墨烯室溫電子和空穴的載流子遷移率分別為7 788 cm2/(V·S)和8 858 cm2/(V·S).

圖6 石墨烯縱向電勢(shì)差倒數(shù)與背柵電壓的關(guān)系

通過(guò)提升實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生能掌握石墨烯場(chǎng)效應(yīng)晶體管轉(zhuǎn)移特性的測(cè)量方法,掌握石墨烯載流子極性的判斷方法以及載流子濃度的計(jì)算方法,并結(jié)合基礎(chǔ)部分的電導(dǎo)率測(cè)量實(shí)驗(yàn),掌握載流子遷移率的計(jì)算方法.

3 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的進(jìn)階實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

霍爾效應(yīng)進(jìn)階實(shí)驗(yàn)的內(nèi)容包括石墨烯霍爾器件的制備實(shí)驗(yàn)以及基于自制的石墨烯霍爾器件自主設(shè)計(jì)典型應(yīng)用. 該進(jìn)階模塊主要面向物理、材料與電子等相關(guān)專業(yè)高年級(jí)本科生,實(shí)驗(yàn)室需要具備機(jī)械剝離法制備二維材料的條件、紫外光刻、金屬鍍膜等半導(dǎo)體器件制備的基本工藝.

3.1 石墨烯霍爾器件的制作

機(jī)械剝離法[18]是簡(jiǎn)單、方便且產(chǎn)率較高的薄層石墨烯制備方法,也是近20年來(lái)各種二維材料最重要的制備方法. 本實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生使用機(jī)械剝離法制備單雙層石墨烯,并借助半導(dǎo)體工藝,制備石墨烯霍爾器件[8].

機(jī)械剝離法制備石墨烯具體實(shí)驗(yàn)方法在很多文獻(xiàn)中有詳細(xì)介紹[12]. 在硅基底上,不同層數(shù)的石墨烯之間有微小的襯度差異. 所以通過(guò)光學(xué)圖像,可以初步判斷石墨烯的層數(shù),如圖7(a)所示. 不同層數(shù)的石墨烯用不同的圓圈數(shù)字標(biāo)記,⑤表示厚層石墨烯. 然而,要準(zhǔn)確判斷石墨烯的層數(shù),可以通過(guò)拉曼光譜測(cè)量[19],如圖7(b)所示.機(jī)械剝離法制備的石墨烯的拉曼光譜主要由G峰和2D峰組成. G峰是石墨烯的主要特征峰,它由碳原子的面內(nèi)振動(dòng)引起,能夠有效反映石墨烯的層數(shù),但容易受到應(yīng)力影響. 2D峰是雙聲子共振二階拉曼峰,用于表征石墨烯樣品中碳原子的層間堆垛方式. 通過(guò)觀察G峰和2D峰的形狀和相對(duì)強(qiáng)度的變化,可以準(zhǔn)確地判斷石墨烯的具體層數(shù).

(a)石墨烯光學(xué)顯微鏡圖片

為減少硅基底和環(huán)境空氣對(duì)石墨烯的影響[20],本研究采用了機(jī)械剝離法和干法轉(zhuǎn)移相結(jié)合的方法,并使用氮化硼(hBN)對(duì)雙層石墨烯進(jìn)行了包覆,成功制備了hBN/雙層石墨烯/hBN的三明治結(jié)構(gòu). 隨后,采用半導(dǎo)體光刻、刻蝕和金屬沉積工藝,制備了石墨烯霍爾器件. 這一步驟需要實(shí)驗(yàn)室具備相應(yīng)的條件,主要包括紫外曝光、等離子體刻蝕以及電子束沉積金屬電極,相關(guān)工藝為標(biāo)準(zhǔn)半導(dǎo)體工藝. 如果實(shí)驗(yàn)室沒有這些條件,可以通過(guò)代加工方式來(lái)完成最終樣品的制備. 本研究制備的雙層石墨烯霍爾器件如圖1(a)所示.

3.2 石墨烯霍爾器件的應(yīng)用開發(fā)

霍爾器件的應(yīng)用非常廣泛,已發(fā)展成品種多樣的磁傳感器產(chǎn)品系列. 人們利用霍爾效應(yīng)原理開發(fā)的各種霍爾元件已廣泛應(yīng)用于精密測(cè)磁、自動(dòng)化控制、通信、計(jì)算機(jī)、航天航空等工業(yè)部門及國(guó)防領(lǐng)域[21]. 本實(shí)驗(yàn)旨在讓學(xué)生利用自制的石墨烯霍爾器件,自主選擇應(yīng)用場(chǎng)景,創(chuàng)新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,實(shí)現(xiàn)待測(cè)物理量的測(cè)量. 學(xué)生可以充分利用實(shí)驗(yàn)室已有條件,設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案來(lái)測(cè)量某個(gè)旋轉(zhuǎn)物體的轉(zhuǎn)速,機(jī)器蓋子或者教室門是否關(guān)上,等等;也可以改造現(xiàn)有已學(xué)實(shí)驗(yàn),如扭擺法測(cè)物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中的周期、磁偏角測(cè)量等.

通過(guò)進(jìn)階實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,學(xué)生能掌握機(jī)械剝離法制備單、雙層石墨烯,了解紫外光刻、金屬鍍膜等半導(dǎo)體工藝的基本原理,并能創(chuàng)新設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案,實(shí)現(xiàn)自制石墨烯霍爾器件的應(yīng)用.

4 霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的高階實(shí)驗(yàn)內(nèi)容

霍爾效應(yīng)高階實(shí)驗(yàn)內(nèi)容包括石墨烯量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)以及基于仿真軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)霍爾現(xiàn)象的模擬. 該高階模塊主要面向物理專業(yè)高年級(jí)本科生,實(shí)驗(yàn)室需要具備強(qiáng)磁(～10 T)、低溫(～1 K)的環(huán)境.

4.1 石墨烯霍爾器件的量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)

在低磁場(chǎng)下,電子在材料中呈現(xiàn)出霍爾效應(yīng)[22],即電子沿著磁場(chǎng)方向發(fā)生偏轉(zhuǎn),產(chǎn)生電勢(shì)差. 而在強(qiáng)磁場(chǎng)下,電子的運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)量子化現(xiàn)象,只有特定的能級(jí)被允許存在,這就是量子霍爾效應(yīng). 量子霍爾效應(yīng)的發(fā)現(xiàn)是20世紀(jì)凝聚態(tài)物理學(xué)的輝煌成就. 量子霍爾效應(yīng)的理論涉及現(xiàn)代物理學(xué)的許多基本概念,例如基態(tài)、激發(fā)態(tài)、元激發(fā)及其分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)、對(duì)稱性破缺等. 德國(guó)物理學(xué)家馮·克利青因發(fā)現(xiàn)整數(shù)量子霍爾效應(yīng)[23]而榮獲1985年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng);美籍華裔物理學(xué)家崔琦因發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)和對(duì)其進(jìn)行的研究而榮獲1998年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)[3]. 這些榮譽(yù)表明了量子霍爾效應(yīng)的重要性和對(duì)物理學(xué)領(lǐng)域的貢獻(xiàn).

雖然量子霍爾效應(yīng)的理論對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)難以理解,但通過(guò)該實(shí)驗(yàn),可以觀察到“量子”特性現(xiàn)象,從而可以激發(fā)學(xué)生的興趣,此外學(xué)生有機(jī)會(huì)接觸到科研實(shí)驗(yàn)條件,了解強(qiáng)磁場(chǎng)的產(chǎn)生技術(shù)和超低溫技術(shù). 有條件的高校還可以在此基礎(chǔ)上開展石墨烯分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)研究,進(jìn)一步提高學(xué)生的實(shí)驗(yàn)?zāi)芰蛯?duì)量子霍爾效應(yīng)的認(rèn)識(shí).

本文使用自制的石墨烯霍爾器件,主要進(jìn)行了2個(gè)測(cè)量實(shí)驗(yàn). 首先,在固定縱向電流Is以及背柵電壓Vg的條件下,測(cè)量了磁場(chǎng)增加時(shí)石墨烯霍爾器件縱向電阻和橫向電阻(電壓)的變化關(guān)系. 其次,在固定電流Is和固定磁場(chǎng)大小B時(shí),測(cè)量了背柵電壓變化時(shí)石墨烯霍爾器件縱向電阻和橫向電阻(電壓)的變化關(guān)系. 本高階內(nèi)容以展示相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象為主,其中的機(jī)理由學(xué)生課后進(jìn)行探究.

石墨烯中的自由電子是理想的二維電子氣,在外加強(qiáng)磁場(chǎng)下,二維電子氣會(huì)出現(xiàn) Shubnikov-de Haas(SdH)振蕩和量子霍爾效應(yīng). 本工作中,自制石墨烯霍爾器件測(cè)量時(shí),首先固定柵極電壓Vg=20 V和縱向電流Is=100 nA(為減少熱效應(yīng),選擇較小的電流),并保持低溫(1.6 K)的條件下,將磁場(chǎng)B從0 T緩慢增加到5 T,同步測(cè)量縱向電阻Rxx=Uσ/Is和橫向電阻Rxy=UH/Is,測(cè)試結(jié)果如圖8所示. 當(dāng)磁場(chǎng)大于1.5 T,縱向電阻Rxx和和橫向電阻Rxy都表現(xiàn)出隨著磁場(chǎng)增加而振蕩的行為.如果固定磁場(chǎng)大小B=5 T和縱向電流Is=100 nA,并保持在低溫(1.6 K)條件下,將背柵電壓Vg從-60 V緩慢增加到20 V,改變石墨烯內(nèi)載流子極性和濃度,同步測(cè)量縱向電阻Rxx和橫向電阻Rxy,測(cè)試結(jié)果如圖9所示.Rxx和Rxy隨著背柵電壓的增加,同樣表現(xiàn)出明顯的量子振蕩行為. 為更好地展示石墨烯中的“量子”特性,引入填充因子FF(Filling factor),FF由橫向電阻換算而來(lái),其換算公式為:

圖8 石墨烯霍爾器件中的SdH振蕩

(7)

其中,sgn為符號(hào)函數(shù),當(dāng)Vg

圖9中,隨著縱向電阻Rxx每次降低到最小時(shí),對(duì)應(yīng)著填充因子FF的平臺(tái)處,在雙層石墨烯中,其填充因子FF出現(xiàn)在±4,±8,±12,±16 處.這是由于隨著Vg的增加,感應(yīng)的空穴(VgVg,D)填充連續(xù)的朗道能級(jí),并呈現(xiàn)出量子霍爾效應(yīng).填充因子的正負(fù)號(hào)與載流子極性相關(guān),填充因子為4的倍數(shù)來(lái)源于石墨烯的二重自旋簡(jiǎn)并和二重谷簡(jiǎn)并.

4.2 石墨烯霍爾器件的仿真計(jì)算

仿真是理論和實(shí)驗(yàn)之間的橋梁,2013年教育部開始推動(dòng)全國(guó)高校探索虛擬仿真實(shí)驗(yàn)教學(xué)資源建設(shè),目前大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)中的虛擬仿真實(shí)驗(yàn)多是物理實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的定性仿真與展示,較少有基于實(shí)際物理模型的精確定量計(jì)算,并且物理場(chǎng)景也不能隨意調(diào)整. 在前沿科學(xué)研究領(lǐng)域,基于有限元仿真的軟件COMSOL Multiphysics廣泛應(yīng)用于科學(xué)研究以及工程計(jì)算[24],該軟件提供了仿真單一物理場(chǎng)以及靈活耦合多個(gè)物理場(chǎng)的功能,供工程師和科研人員精確分析各個(gè)工程領(lǐng)域的設(shè)備、工藝和流程. 軟件內(nèi)置的模型開發(fā)器包含完整的建模工作流程,可實(shí)現(xiàn)從幾何建模、材料參量和物理場(chǎng)設(shè)置,求解到結(jié)果處理的所有仿真步驟.

本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容安排學(xué)生基于COMSOL Multiphysics仿真軟件,構(gòu)建旋轉(zhuǎn)磁鐵經(jīng)過(guò)石墨烯霍爾器件時(shí),石墨烯器件上產(chǎn)生的橫向霍爾電壓隨磁鐵位置的變化關(guān)系. 要求學(xué)生掌握COMSOL Multiphysics仿真軟件的基本操作,并將模擬仿真的結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行互相驗(yàn)證. 學(xué)生可以直接使用COMSOL公司試用版本進(jìn)行學(xué)習(xí),公司主頁(yè)[25]提供軟件下載和相關(guān)案例學(xué)習(xí). 教學(xué)內(nèi)容基于COMSOL公司提供的“霍爾效應(yīng)傳感器”案例[26],案例說(shuō)明中有詳細(xì)的從幾何模型構(gòu)建、材料選擇、物理場(chǎng)的設(shè)置到最后結(jié)果展示的完整資料. 本實(shí)驗(yàn)內(nèi)容將“霍爾效應(yīng)傳感器”案例中的霍爾傳感器的霍爾系數(shù)修改為自制的石墨烯霍爾器件的實(shí)際霍爾系數(shù),就可以模擬石墨烯霍爾傳感器的主要特征參量. 熟悉軟件使用后,學(xué)生還可以做很多拓展,例如將電導(dǎo)率用柵壓函數(shù)來(lái)描述則可以研究在不同柵壓下,石墨烯器件霍爾電壓隨磁鐵位置的關(guān)系曲線等. 模型的具體構(gòu)建過(guò)程,在公司提供的案例中有詳細(xì)介紹,本工作僅簡(jiǎn)要介紹模型參量,并展示相關(guān)計(jì)算結(jié)果.

該仿真實(shí)驗(yàn)幾何模型為釹鐵硼磁鐵M繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)半徑200 μm),石墨烯霍爾傳感器G置于O點(diǎn)下方215 μm,圖10(a)～(c)為磁鐵M繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到不同位置時(shí),空間的磁場(chǎng)分布情況,當(dāng)磁鐵與石墨烯器件相對(duì)角為0°時(shí),石墨烯所處位置磁場(chǎng)約為150 mT. 石墨烯器件中加載10 mA電流,電阻設(shè)置為500 Ω,石墨烯霍爾傳感器上的電勢(shì)分布如圖10(d)所示.

圖10 磁鐵在空間產(chǎn)生的磁場(chǎng)分布和石墨烯霍爾器件上的電勢(shì)分布

圖11為磁鐵繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不同角度時(shí),石墨烯霍爾器件中的橫向霍爾電壓. 當(dāng)磁鐵M繞到與石墨烯器件正對(duì)時(shí),石墨烯器件感受到的磁場(chǎng)最大,其上產(chǎn)生的橫向霍爾電壓此時(shí)達(dá)到極值,約為400 mV. 與前面基礎(chǔ)性實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果基本一致.

圖11 磁鐵在不同位置時(shí)石墨烯器件的霍爾電壓

石墨烯量子霍爾效應(yīng)讓學(xué)生有機(jī)會(huì)走進(jìn)科研實(shí)驗(yàn)室,操作科研級(jí)精密設(shè)備,觀察量子霍爾效應(yīng)的現(xiàn)象,并初步了解石墨烯量子霍爾效應(yīng)的基本原理. 通過(guò)仿真軟件實(shí)現(xiàn)對(duì)霍爾現(xiàn)象的模擬實(shí)驗(yàn),學(xué)生初步掌握模擬仿真計(jì)算的軟件操作,相比傳統(tǒng)虛擬仿真實(shí)驗(yàn),本實(shí)驗(yàn)要求學(xué)生使用有限元方法,自主構(gòu)建實(shí)驗(yàn)幾何模型和物理模型,并深入了解所使用的平臺(tái)軟件和具體仿真計(jì)算過(guò)程. 高階實(shí)驗(yàn)旨在培養(yǎng)學(xué)生的科研能力和實(shí)驗(yàn)操作技能,讓他們更深入地理解霍爾效應(yīng).

5 結(jié)束語(yǔ)

本文將前沿凝聚態(tài)領(lǐng)域中熱點(diǎn)材料石墨烯引入大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程,制備了石墨烯霍爾效應(yīng)器件,并構(gòu)建了霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)、提升、進(jìn)階、高階四級(jí)分層次實(shí)驗(yàn)教學(xué)的內(nèi)容體系. 這一理念和思路與教育部大學(xué)物理教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)發(fā)布的“理工科類大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)基本要求(2023年版)”的分層次教學(xué)要求基本一致. 該工作為大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)課程的內(nèi)容建設(shè)提供了新思路,即通過(guò)科教融合,構(gòu)建具有高階性、創(chuàng)新性和挑戰(zhàn)度的分層次的系列實(shí)驗(yàn)內(nèi)容.