朱前坤, 曾 新

(蘭州理工大學(xué) 防震減災(zāi)研究所, 甘肅 蘭州 730050)

2000年,倫敦著名的千禧橋大幅振動事件成為人致橋梁振動的關(guān)鍵性標(biāo)志,并引發(fā)學(xué)者對橋梁人致振動的廣泛討論[1].但很多學(xué)者研究人行橋人致振動問題時忽略了行人荷載的隨機性,行人荷載是一個復(fù)雜的寬帶隨機過程,包含了行人內(nèi)部不同步伐之間的作用隨機性以及不同行人之間的作用隨機性,隨機性導(dǎo)致行人荷載將不同于以往按確定性考慮的情況[2].而且大多數(shù)荷載模型的預(yù)測和實際響應(yīng)測量之間存在一定的差異,而差異的主要來源與行人和結(jié)構(gòu)的相互作用以及行人行走的固有變異性有關(guān)[3-5].

學(xué)者對人行橋人致振動問題進行了深層次的研究,并提出了多種理論和模型,但都屬于確定性分析方法,并沒有考慮到行人荷載(行人內(nèi)部以及行人之間的作用)的隨機性[2].針對這一問題,林家浩等[6]提出了一種處理非平穩(wěn)隨機振動問題的高效精確的虛擬激勵法,建立行人荷載作用下的人行橋振動響應(yīng),不需要蒙特卡羅模擬并考慮了行人內(nèi)部以及行人之間的作用隨機性.呂峰等[7]基于虛擬激勵法和精細積分法,提出了一種研究橋梁隨機動力特性的有限元精確高效算法.Caprani[8]提出了簡單譜模型,應(yīng)用虛擬激勵法研究人行橋在不同行人激勵下的非平穩(wěn)振動響應(yīng),揭示了行人內(nèi)部和行人之間的變異性.

雖然虛擬激勵法在處理非平穩(wěn)隨機響應(yīng)分析方面的計算效率較傳統(tǒng)隨機響應(yīng)分析已有顯著提高,但對于多自由度體系所需的計算量仍相當(dāng)龐大,因此有必要進一步提高計算效率[9].Zhu等[10]、張瓊等[11]將Eftekhari[12-13]提出的結(jié)合微分求解法和積分求積法用于研究結(jié)構(gòu)在移動荷載作用下受迫振動問題的方法推廣到人行荷載作用下人行橋振動響應(yīng)的求解,通過與傳統(tǒng)的振型疊加計算結(jié)果對比驗證其高效性,并將其擴展到半剛性邊界下的人行橋受行人荷載作用的振動響應(yīng)問題[14].

基于以上研究,本文利用Caprani[8]提出的簡單譜模型建立行人強迫函數(shù)的譜密度,結(jié)合微分求積法-虛擬激勵法(DQ-PEM)求得人行橋在行人荷載激勵下的非平穩(wěn)隨機響應(yīng).基于具體工程算例驗證本文方法的準(zhǔn)確性和高效性,并分析半剛性人行橋在行人荷載下作用下的非平穩(wěn)隨機響應(yīng)問題,討論不同速度和不同約束條件等因素對人行橋隨機振動的影響.

1 行人荷載的譜模型

一般情況而言, 按照傅里葉級數(shù)的表達式, 人行激勵作用可以由不同頻率成分的簡諧波激勵合成, 并且這些頻率與人行走的步頻成正整數(shù)倍的關(guān)系.當(dāng)人行走的步頻與結(jié)構(gòu)的固有頻率接近或相等時, 會引起共振效應(yīng)[15].

行走所產(chǎn)生的垂直荷載通常是由傅里葉級數(shù)的形式給出:

(1)

式中:ηi為第i次諧波的傅里葉系數(shù),表示該諧波的動力因子(DLF),其值隨諧波頻率變化而變化,表1為相關(guān)值.

表1 文獻中的一些動力因子(DLFs)

Brownjohn等[4]提出的譜模型中頻譜只圍繞每個諧波定義,而高次諧波則頻譜存在許多重疊且無明確的解釋.Caprani[8]提出的簡單譜模型( Sim-SM)解決了上述不足,Sim-SM可表示行人內(nèi)部和行人之間的變異性,模型通過正態(tài)分布對每個諧波的DLF進行擴展,公式如下所示:

(2)

其中:ηi為文獻[4]中的動力因子;φ(f)為正態(tài)概率密度分布;第i次波的均值μi=ifp.假定變異系數(shù)(CoV)的標(biāo)準(zhǔn)差為σi=μiCoV.在實際應(yīng)用中,間隔寬度Δf的頻率間隔離散數(shù)為m,則式(2)變?yōu)?/p>

(3)

其模型如圖1所示.

圖1 CoV為5%,步頻fp =2 Hz時的簡單譜模型Fig.1 Simple spectral model of intra-subject variation for 2 Hz pacing frequency assuming 5% CoV

考慮單個諧波時,行人群體誘導(dǎo)垂直力的功率譜密度(PSD)會比單個行人的PSD更寬,本質(zhì)上對單個行人的PSD進行擾動,以至于表示行人群體的PSD時還能考慮到單個行人的可變性.假設(shè)自譜密度Sxx由M個點給出,采用Kernel密度估計的思想:

(4)

其中:K(·)在文獻[17]中給出,在極限下,則有兩個函數(shù)的卷積得到總體的PSD:

(5)

假設(shè)單個行人PSD的第i次諧波表示為高斯函數(shù):

(6)

進一步假設(shè)每一個諧波都使用高斯函數(shù):

(7)

其中:σk,i為第i次諧波的帶寬(通常用h表示),利用兩個高斯函數(shù)的卷積是一個高斯函數(shù)的優(yōu)點,公式(6)變?yōu)?/p>

(8)

其中的參數(shù)表達式為

(9)

如果使用簡單譜模型(Sim-SM)來描述單個行人,可通過公式(9)增加每個諧波的標(biāo)準(zhǔn)差,同時表示行人間與行人內(nèi)部的可變性,代表人口的模型,其準(zhǔn)確性取決于人口變異性和高斯假設(shè)的接近程度.

2 梁式結(jié)構(gòu)下的虛擬激勵法

2.1 簡介

以往的非平穩(wěn)隨機振動問題,常常簡化成平穩(wěn)隨機激勵計算,或者采用很簡化的非平穩(wěn)模型表示,即使這樣,其計算量依舊比相應(yīng)的平穩(wěn)隨機振動龐大,計算過程也復(fù)雜得多,很難在實際工程中被應(yīng)用.而虛擬激勵法在處理非平穩(wěn)隨機振動問題就方便很多[18],該方法精確、高效,是應(yīng)用非常方便的結(jié)構(gòu)隨機振動分析算法系列,其適用于結(jié)構(gòu)受到單點或多點、平穩(wěn)或非平穩(wěn)、部分相干或完全相干的隨機激勵.虛擬激勵法在處理平穩(wěn)隨機振動問題時將其轉(zhuǎn)化成確定性時間歷程分析,從而使計算高效、精確.Zhong[19]描述了虛擬激勵法相對于傳統(tǒng)方法的計算優(yōu)勢:完全二次組合(CQC)與平方和的平方根(SRSS),對于N個自由度的系統(tǒng),CQC需要N2個復(fù)數(shù)乘法,SRSS需要N個復(fù)數(shù)乘法(但是對于具有緊密間隔模式的一些結(jié)構(gòu)來說不太精確),而虛擬激勵法只需要一個等式(10)并且是精確的.因此,虛擬激勵法適合于具有大量自由度且頻率間隔很近的系統(tǒng).

PEM已應(yīng)用于大型基礎(chǔ)設(shè)施的一系列問題[20],而精細積分法[21]和PEM法已被作為解決穩(wěn)隨機響應(yīng)問題準(zhǔn)確而有效的方法.近年來,已有多名學(xué)者將PEM應(yīng)用于移動荷載作用下的橋梁振動問題[22].最近,Caprani[23]將PIM應(yīng)用于行人橋的振動問題,稱為模態(tài)精確積分法(MPIM),與其他常用的計算人行橋振動響應(yīng)和統(tǒng)計方法相比,MPIM被證明是非常有效和高精度的.

2.2 人行橋振動的MPIM法

為評估由行人內(nèi)部和行人之間的變異性引起的非平穩(wěn)隨機響應(yīng),使用PIM-PEM方案.實施情況如下:

1) 利用前文介紹的簡單譜模型建立行人強迫函數(shù)的譜密度;

2) 將頻譜劃分成寬度為Δω的N個頻率點;

3) 對于每一個頻率點執(zhí)行以下步驟:

b. 虛擬激勵為

c. 當(dāng)荷載在xk=vtk時所有時間步長響應(yīng)為

通過對響應(yīng)譜的積分,得到荷載k或時間t在每一個位置響應(yīng)的均方值:

但該方法只適用于單自由度體系,無法對多自由度體系進行振動分析,需要利用DQ-PEM法求行人荷載下半剛性梁式結(jié)構(gòu)的非平穩(wěn)隨機響應(yīng).

CT診斷：所有患者均采用我院的16層螺旋CT掃描機進行檢查，掃描前將參數(shù)設(shè)為：掃描間距1mm，傾斜正負30°，層厚3mm。然后讓患者保持仰臥位，對患者腰椎間隙部位進行掃描，為提高診斷檢測的準(zhǔn)確性，對間隙部位掃描3次。

2.3 行人荷載下人行橋的DQ-PEM法

微分求積-虛擬激勵法(DQ-PEM)可用于求解人行橋在行人荷載下的非平穩(wěn)隨機響應(yīng)問題.利用微分求積法將含Dirac函數(shù)的偏微分方程轉(zhuǎn)化為不含Dirac函數(shù)的常微分方程,將Dirac函數(shù)視為非平穩(wěn)函數(shù),再結(jié)合虛擬激勵法的思想求得其非平穩(wěn)隨機響應(yīng).

橋梁在行人荷載作用下響應(yīng)是非平穩(wěn)的[24-25],下式為橋梁受勻速移動荷載作用的振動控制方程[26-27]:

δ(x-vt)F(t)

(10)

式中:u(x,t)為橋梁的位移;v為隨機荷載移動速度;δ(x-vt)為Dirac函數(shù).

式(10)右邊的荷載項可視為由Dirac函數(shù)與荷載F(t)組合而成的外激勵均勻調(diào)制模型:

x(t)=δ(x-vt)F(t)

(11)

假設(shè)荷載F(t)的自譜密度為Sxx(ω),構(gòu)造虛擬的移動確定性外部激勵,可寫為

(12)

其虛擬響應(yīng)為

(13)

I(ω,t)為給定的確定性激勵下結(jié)構(gòu)的響應(yīng),可由DQ-IQ混合法求得.

(14)

為求得人行橋在行人荷載下的非平穩(wěn)隨機響應(yīng),采用DQ-PEM法,具體計算步驟如下:

1) 輸入人行橋的各結(jié)構(gòu)參數(shù);

2) 使用簡單譜模型(Sim-SM)建立行人強迫函數(shù)的譜密度;

3) 將頻譜分成N頻點,間隔為Δω,離散后每段外荷載頻率ωn=nΔω;

5) 按式(14)求得每個ωn對應(yīng)的響應(yīng)的演變功率譜密度Syy(ωn,t);

3 工程算例

使用人行橋模型驗證行人橋的譜問題,在計算勻速移動荷載作用下半剛性約束單跨梁式結(jié)構(gòu)時采用圖1所示的簡單譜模型.人行橋的結(jié)構(gòu)長L=30 m,線性質(zhì)量為ρA=10×103kg/m,其抗彎剛度EI=7.48×1010N·m2,振型阻尼比為5%,其阻尼系數(shù)為c≈3.00×104N/(m·s).假設(shè)移動隨機荷載類型為行人荷載,行人被認為以步頻fp=2 Hz勻速通過橋梁,行人重量取100 kg,Sxx(ω)由式(3)求得.

為驗證方法的正確性,與Caprani[8]描述的方法進行對比.圖2為MPIM-PEM方法計算的25 km/h下的時變方差值,與圖3中DQ-PEM方法算得的25 km/h下的時變方差值曲線基本相符,方差峰值均為1.19×10-16.

圖2 速度為25 km/h下人行橋跨中的時變方差 Fig.2 Time-varying variance in midspan of footbridge at 25 km/h

圖3 不同速度下人行橋跨中的時變方差Fig.3 Time-varying variance in midspan of footbridge at different velocities

3.1 速度對隨機振動的影響

圖4所示為不同速度下簡支梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移演變功率譜.為方便對比數(shù)值結(jié)果,采用荷載瞬時位置(x=v·t)表示x軸坐標(biāo).由圖4可知,有兩個峰值分別出現(xiàn)在4～6 Hz以及10 Hz附近,響應(yīng)的第二個峰值出現(xiàn)在頻率較高的位置,且峰值數(shù)值較第一個峰值大,對梁的振動起主要作用.通過對結(jié)構(gòu)的自振分析得簡支人行橋的一階自振頻率為4.7 Hz,響應(yīng)演變功率譜峰值出現(xiàn)在自振頻率附近,與荷載移動速度無關(guān).當(dāng)荷載移動速度為25 km/h時,第一個峰值在4.7 Hz左右為0.44×10-18,第二個峰值在10 Hz左右為1.995×10-18.荷載移動速度為50 km/h時,第一個峰值在5 Hz左右為0.4×10-18,第二個峰值在10 Hz左右為2.051×10-18.荷載移動速度為100 km/h時,第一個峰值在5.2 Hz為0.8×10-18,第二個峰值在10.5 Hz為2.296×10-18.荷載移動速度為100、50、25 km/h對應(yīng)的跨中位移響應(yīng)時變方差最大值分別為1.23×10-16、1.2×10-16和1.19×10-16,其中25 km/h以及50 km/h對應(yīng)的位移時變方差最大值為100km/h的0.97倍和0.98倍.由圖4可知,梁式結(jié)構(gòu)跨中處的時變方差最大值隨著荷載速度的增大而增大,最大值出現(xiàn)時間隨著荷載速度的增大而后移.

圖4 不同速度下人行橋跨中位移響應(yīng)演變功率譜Fig.4 Evolution power spectrum of displacement response in span of footbridge at different velocities

3.2 約束條件對隨機振動的影響

圖5為在簡支、η為1、5、10及固支約束條件下,其跨中在荷載以25km/h速度下的位移響應(yīng)時變方差圖,其峰值分別為0.13×10-15、0.19×10-15、0.93×10-15、2.38×10-15、8.1×10-15,在簡支、η為1、5、10約束下的位移響應(yīng)時變方差分為固支的0.016、0.023、0.115、0.294倍.

圖5 不同約束條件下人行橋跨中的時變方差Fig.5 Time-varying variance in midspan of footbridge with different boundarie

圖6為梁式結(jié)構(gòu)在簡支、η=5及固支約束下,其跨中在荷載以25 km/h速度作用下的位移響應(yīng)演變功率譜.通過對結(jié)構(gòu)的自振分析得梁式結(jié)構(gòu)在簡支、固支及η=5時一階自振頻率分別為4.773、10.820、7.346 Hz.從圖5可知,梁式結(jié)構(gòu)跨中的位移響應(yīng)演變功率譜峰值均出現(xiàn)在其自振頻率附近,簡支約束條件下有兩個峰值,第一個峰值出現(xiàn)在5 Hz為0.6×10-18,第二個峰值在9.6 Hz為1.64×10-18;η=5時也有兩個峰值,第一個峰值在7.3 Hz為3.04×10-18,第二個峰值在11 Hz為2.24×10-18;而固支約束條件下只有一個峰值在10.5 Hz為6.19×10-16.

圖6 不同約束下人行橋跨中的位移響應(yīng)演變功率譜

4 結(jié)論

1) 計算結(jié)果驗證了該方法的準(zhǔn)確性和有效性,可以運用該方法求得在行人荷載激勵下半剛性人行橋的非平穩(wěn)隨機響應(yīng).

2) 行人荷載激勵下半剛性人行橋的跨中位移響應(yīng)演變功率譜有多個峰值,峰值出現(xiàn)在自振頻率附近,與荷載移動速度無關(guān).

3) 算例結(jié)果表明當(dāng)移動荷載為行人荷載時,響應(yīng)演變功率譜的峰值出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)自振頻率附近,梁式結(jié)構(gòu)自振頻率越大,其響應(yīng)的演變功率譜和時變方差的峰值越大,可通過調(diào)整半剛性系數(shù),控制半剛性人行橋的響應(yīng).