方 明

(北京市第一〇一中學(xué) 100098)

函數(shù)的教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有著突出重要的地位和作用．在必修課程中,學(xué)生需要學(xué)習(xí)函數(shù)的概念和性質(zhì),并總結(jié)研究函數(shù)的基本方法,掌握一些具體的基本函數(shù)類,探索函數(shù)的應(yīng)用[1]37．要求學(xué)生能夠從兩個(gè)變量之間的依賴關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個(gè)角度,理解函數(shù)的意義和數(shù)學(xué)表達(dá);理解函數(shù)符號(hào)表達(dá)和抽象定義之間的關(guān)聯(lián),知道函數(shù)抽象概念的意義[1]24．

1 問題緣起與背景

授課中,在解決上述問題的基礎(chǔ)上,筆者給學(xué)生提出了兩個(gè)問題:(1)研究奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等性質(zhì)時(shí),有沒有共性的思維和方法?(2)對(duì)于不是用解析式呈現(xiàn)的函數(shù),是否也可以遵循上述研究函數(shù)的方法?

筆者結(jié)合一節(jié)復(fù)習(xí)課,讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固函數(shù)的研究方法,理解函數(shù)性質(zhì)背后的共性思維和方法,并設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)量規(guī)反饋學(xué)習(xí)效果．

2 基于生態(tài)智慧課堂理念選擇合適載體

數(shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位,借助恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)設(shè)計(jì)、和諧的課堂生態(tài),讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生．?dāng)?shù)學(xué)生態(tài)智慧課堂不僅關(guān)注學(xué)生基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)技能的掌握,還要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣,更要將重心放在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的發(fā)展上[2]164．下面將結(jié)合合適的載體,設(shè)置恰當(dāng)?shù)膯栴},讓學(xué)生真實(shí)理解函數(shù)性質(zhì)的共性思維和方法,更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展．

學(xué)生具備解決這道問題的能力,從操作層面將解法稱為賦值法,具體如下:

從思維層面,為什么這樣賦值?需要學(xué)生用文字語言概括函數(shù)的性質(zhì),表述如下:

(1)函數(shù)的奇偶性,研究的是自變量互為相反數(shù)時(shí),函數(shù)值是否一定相等?或者是否一定互為相反數(shù)?

(2)函數(shù)的單調(diào)性,研究的是某個(gè)區(qū)間的兩個(gè)自變量x1>x2時(shí),函數(shù)值是否一定有f(x1)>f(x2)?或者是否一定有f(x1)

進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié):函數(shù)的概念突出對(duì)于自變量x的每一個(gè)值,都有唯一確定的因變量y的值與之對(duì)應(yīng),而函數(shù)的性質(zhì)則是突出自變量滿足某種規(guī)律變化時(shí),引起因變量有規(guī)律的變化．因此,在研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí),賦值的方向是得到具有特殊關(guān)系的兩個(gè)自變量的值．

基于上述結(jié)論,在實(shí)際授課中,學(xué)生還想到用另一種賦值方式來探索函數(shù)的單調(diào)性:

第二種方法,避開了奇偶性的判斷,有更好的推廣性,也有利于學(xué)生理解函數(shù)f(x)自變量的值是括號(hào)中的整體,而不局限于括號(hào)中字母的值．

例1中的賦值法,能很好地體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的共性:當(dāng)函數(shù)的自變量x滿足某種規(guī)律的變化時(shí)引起函數(shù)值y的有規(guī)律變化[3]．這種觀點(diǎn)同樣適合函數(shù)對(duì)稱性和周期性的相關(guān)表述,可以選擇以下問題作為研究的載體,幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)性質(zhì)的共性思維和方法:

已知常數(shù)a,b(a≠0),滿足下面單一條件的函數(shù)f(x),分別具有函數(shù)的什么性質(zhì)?

?x∈R,都有f(a-x)=f(a+x)．

?x∈R,都有f(a-x)+f(a+x)=2b．

?x∈R,都有f(x+a)=-f(x)．

?x∈R,都有f(x+a)=f(x)．

?x∈R,都有f(x)+f(x+a)=b．

?x∈R,都有f(x)f(x+a)=b(b≠0)．

3 突破思考問題的套路化

例1的賦值法,有利于學(xué)生理解函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì),但簡單的賦值方式依然可能讓學(xué)生的思維模式化．需要借助新的載體,突破思考問題的套路化,幫助學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)性質(zhì)的本質(zhì)．

例2已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件:①f(1)=1>f(-1); ② ?x,y∈R,都有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).試研究函數(shù)f(x)的性質(zhì),并解決以下問題:

(1)求f(-1),f(2)的值;

(2)求f(1-8x)+2[f(4x)]2的值;

(3)是否存在常數(shù)a,b,c,使不等式|f(x)+f(2-x)+ax2+bx+c|≤2對(duì)一切x∈R恒成立?如果存在,求a,b,c的值,如果不存在,說明理由．

本題的題干比較復(fù)雜,如果沒有分析函數(shù)的性質(zhì),無方向地直接賦值,解決問題的難度很大．尤其是后兩個(gè)問題,難度更大．通過賦值過程,學(xué)生理解如何賦值更合適,進(jìn)一步加深了對(duì)函數(shù)性質(zhì)本質(zhì)的理解．在具體思考中,學(xué)生可以嘗試x,y之間特殊的關(guān)系,或者考慮x,y的特殊值．并在賦值過程中觀察與自變量值的特殊關(guān)系伴隨而來的函數(shù)值的特殊關(guān)系,及時(shí)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)．賦值過程如下:

(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=x,得f(1)=f2(x)+f2(x-1)(所以函數(shù)f2(x)有周期性,2為周期)．

令x=1,得f(1)=f2(1)+f2(0),所以f2(0)=0,由周期性進(jìn)而f2(2n)=0,n∈Z.

令x=0,得f(1)=f2(0)+f2(-1),由此可得f(-1)=-1．

取y=-1,得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2),從而f(-x)=-f(x)．可知f(x)為奇函數(shù)．

取y=1,得f(2-x)=f(x)f(1)+f(x-1)f(0),從而f(2-x)=f(x)．可知f(x)的對(duì)稱軸為x=1．

取x=-1,得f(y+2)=f(-1)f(y)+f(-2)f(y-1),從而f(y+2)=-f(y),f(y)有周期性,4為周期．

在分析的基礎(chǔ)上,得到了函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),從而更容易解決后續(xù)問題．對(duì)于第(2)題,要理解其中的x與題干恒等式中的x不一定相同,理解其中自變量兩個(gè)值之間的聯(lián)系,有助于簡化思考．設(shè)t=4x,則1-8x=1-2t,本質(zhì)上第(2)題是求f(1-2t)+2[f(t)]2的值．求解過程如下:

f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=-t,x=t,得f(1-2t)=f(t)f(-t)+f(t-1)f(-t-1),從而f(1-2t)=-f2(t)-f(t-1)f(t+1)(f(x)是奇函數(shù)).

所以f(1-2t)=-f2(t)+f2(t+1)(自變量值相差2,函數(shù)值互為相反數(shù))．

故f(1-2t)+2f2(t)=f2(t)+f2(t+1),從而f(1-2t)+2f2(t)=1(f2(x)的性質(zhì))．

前期函數(shù)性質(zhì)的分析,決定了學(xué)生能否根據(jù)得到的代數(shù)特征及時(shí)發(fā)現(xiàn)并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)．有了性質(zhì)的分析,第(3)題的思考也會(huì)容易些．由對(duì)稱性,原不等式等價(jià)于|2f(x)+ax2+bx+c|≤2,通過賦值,容易得到滿足條件的a,b,c存在,且只有a=b=c=0．

從思考嚴(yán)謹(jǐn)性的角度,還需要讓學(xué)生思考和構(gòu)造滿足題干條件的函數(shù)解析式,構(gòu)造函數(shù)解析式的過程也體現(xiàn)函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用．讀者可以在本文末了解滿足例2條件的函數(shù)．

4 借助評(píng)價(jià)量規(guī)促進(jìn)教學(xué)評(píng)一體化

下面兩個(gè)評(píng)價(jià)量規(guī)一個(gè)用于課前(表1),一個(gè)用于課后(表2)評(píng)價(jià)．評(píng)價(jià)記錄跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)過程,讓學(xué)生了解和認(rèn)識(shí)自己在學(xué)習(xí)過程中的成長,有利于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的自信心,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展[2]166．

表1 函數(shù)研究方法課前評(píng)價(jià)量規(guī)

表2 抽象函數(shù)性質(zhì)的課后評(píng)價(jià)量規(guī)