桂 弢

(江蘇省清河中學(xué) 223001)

1 基本情況

1.1 授課對象

學(xué)生來自江蘇省四星級高中普通班,基礎(chǔ)一般,有一定的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．

1.2 教材分析

所用教材為蘇教版《普通高中教科書·數(shù)學(xué)(必修第一冊)》,“函數(shù)的概念”是第5章《函數(shù)概念與性質(zhì)》的第1節(jié)第1課時,第2課時是“函數(shù)的圖象”．函數(shù)是本章的核心概念,也是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本概念．

函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型,函數(shù)法是解決眾多實際問題的有效手段,故高中階段十分重視對函數(shù)知識的學(xué)習(xí)．在概念定義上,著力于高視點下的認(rèn)知,從描述性定義上升到公理化定義,不僅把函數(shù)看成是變量之間的一種依賴關(guān)系,還用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù)．在內(nèi)容學(xué)習(xí)上,除了將學(xué)習(xí)一般函數(shù)的普遍性質(zhì),還將學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等具體函數(shù)及其復(fù)合函數(shù)．在方法運用上,函數(shù)的思想方法將貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程．因此,教學(xué)中應(yīng)重視知識的生成與發(fā)展教學(xué),要引導(dǎo)學(xué)生從實際問題中抽象概括出函數(shù)的概念,體驗從特殊到一般、再由抽象到具體的思維過程,感悟認(rèn)識事物的一般推理方法,養(yǎng)成用函數(shù)眼光認(rèn)識世界的意識．

教學(xué)目標(biāo) (1)理解函數(shù)的概念,體會函數(shù)是一種描述變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)模型;(2)了解構(gòu)成函數(shù)的三要素——定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;(3)通過函數(shù)概念的學(xué)習(xí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

教學(xué)重點 函數(shù)概念的建構(gòu)及概念辨析．

教學(xué)難點 對函數(shù)概念的理解．

2 教學(xué)過程

2.1 問題情境

師:在現(xiàn)實生活中,我們可能會遇到下列問題(多媒體展示),下面分別請同學(xué)讀題．

生1:問題1“人口問題”．表1是1979—2014年我國人口數(shù)據(jù)資料表(年末),你能說出人口數(shù)與相應(yīng)年份之間的關(guān)系嗎?

表1 1979—2014年我國人口數(shù)據(jù)

師:你是豎著讀的,說明它們有什么關(guān)系?

生1:對應(yīng)關(guān)系．

師:很好!請下一位同學(xué)讀第2題．

生2:問題2“自由落體問題”．一物體從靜止開始下落,下落的距離y(單位:m)與下落時間x(單位:s)之間近似地滿足關(guān)系式y(tǒng)=4.9x2．若一物體從靜止開始下落2 s,你能求出它下落的距離嗎?

師:下落的距離是多少?

生2:是……是19.6 m．

師:你是將2 s代入關(guān)系式心算出來的,很好!請第三位同學(xué)讀第3題．

生3:問題3“氣溫問題”．圖1為淮安市今冬某天24 h內(nèi)的氣溫變化圖．(1)上午6時的氣溫約是多少?全天的最高氣溫、最低氣溫分別是多少?(2)在什么時刻,氣溫為0℃?(3)在什么時段內(nèi),氣溫在0℃以上?

圖1

師:請你回答．

生3:(1)上午6時的氣溫約是-1℃,全天的最高氣溫、最低氣溫分別是9℃,-2℃;(2)在 7時和23時,氣溫為0℃;(3)在(7,23)時段內(nèi),氣溫在0℃以上．

師:你是根據(jù)圖1中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系回答的,很好!

設(shè)計意圖課本是最重要的學(xué)材,3個問題情境均來自于課本,這樣做的目的是便于學(xué)生課后看書復(fù)習(xí)．另外,讓學(xué)生讀題也是指導(dǎo)其審題的過程,不要事事都由教師包辦．

2.2 學(xué)生活動

師:恩格斯認(rèn)為,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué),上面3個問題的描述方法各不相同,但都涉及數(shù)量關(guān)系,故成為我們研究的對象．它們有什么共同特點?

生4:都含有兩個變量,當(dāng)一個變量的取值確定后,另一個變量的值隨之唯一確定．這就是它們的共同特點．

師:讓我們來看一看,第1個問題中含有年份與人口兩個變量,年份確定后,人口數(shù)唯一確定;第2個問題中的兩個變量是時間與距離,時間確定后,距離唯一確定;第3個問題也是如此．很好!在初中,這種依賴關(guān)系稱為什么?

生4:函數(shù)．

師:非常好!有變量就應(yīng)該有范圍,范圍通常會用什么來表示?

生5:區(qū)間……不對,應(yīng)該是集合．

師:對．集合論是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),是數(shù)學(xué)不可或缺的描述工具．同學(xué)們能否站在集合論的高度,用集合的語言來闡述范圍呢?就以人口問題為例,誰來說一說?

生6:兩個集合:A={1979,1984,1989,1994,1999,2004,2009,2014};B={975,1 044,1 127, 1 199,1 258,1 300,1 335,1 368}．

師:很好!要表示函數(shù),似乎還缺了什么?

生7:對應(yīng)關(guān)系．

師:(追問)怎么對應(yīng)?

生7:1979對應(yīng)到975,1984對應(yīng)到1 044,……,2014對應(yīng)到1 368．

師:很好!上面的對應(yīng)關(guān)系也可以說成:輸入1979,輸出975;輸入1984,輸出1 044;……;輸入2014,輸出1 368．這是與時俱進(jìn),與計算機(jī)語言一致．為了便于書寫并與國際接軌,可以簡記為1979→975,1984→1 044,…,2014→1 368．

這樣,我們就可以用箭頭圖來清晰地表示這種對應(yīng)關(guān)系(見屏幕,略)．可以看出,這種對應(yīng)具有“一個輸入值對應(yīng)到唯一的輸出值”的特征．其余兩個問題也有這樣的特征．

設(shè)計意圖引導(dǎo)學(xué)生站在一個高度(集合論的高度),用新的視角(集合的視角)、新的語言(集合與對應(yīng)的語言)來審視和描述舊的事物,這既是一種學(xué)習(xí)方法,也是一種研究方法．

2.3 意義建構(gòu)

師:從特殊到一般是人們認(rèn)識事物的一種常見推理方法．現(xiàn)在,假如你是數(shù)學(xué)家,你能用集合與對應(yīng)的語言給函數(shù)下一個定義嗎?請思考．(板書課題:函數(shù)的概念)

(先讓學(xué)生獨立思考2～3 min,后合作交流 2～3 min)

師:好,你心中的函數(shù)定義是什么樣的呢?誰來說?沒有人說?都不會?(進(jìn)行激勵)

生8:有兩個集合A和B,對于集合A中的每一個元素x,在集合B中都有唯一的元素y和 它對應(yīng),那么就稱這種對應(yīng)為從A到B的一個函數(shù)．

師:(先記后問)有要補(bǔ)充的嗎?

生9:集合A和B應(yīng)該非空．

生10:對應(yīng)關(guān)系可以用箭頭來表示:x→y．

生11:應(yīng)該交代x∈A,y∈B．

師:還有沒有要補(bǔ)充的?沒有?好,在同學(xué)們的共同努力下,新的函數(shù)定義已經(jīng)產(chǎn)生了,只是它能行嗎?讓我們來看看課本又是如何定義的,請一位同學(xué)讀一下．(屏幕顯示)

生12:一般地,給定兩個非空實數(shù)集合A和B,如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f,對于集合A中的每一個實數(shù)x,在集合B中都有唯一的實數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A．其中,x叫作自變量,集合A叫作函數(shù)的定義域．若A是函數(shù)y=f(x)的定義域,則對于A中的每一個x(輸入值),都有一個y(輸出值)與之對應(yīng)．我們將所有輸出值y組成的集合{y|y=f(x),x∈A}稱為函數(shù)的值域．

師:相較于同學(xué)們給出的定義,課本的定義只是多了一些名稱和符號,這說明同學(xué)們還是很厲害的,有成為數(shù)學(xué)家的潛質(zhì)．今后就應(yīng)該這樣來學(xué)習(xí),在看書之前應(yīng)有自己的思考,要帶著想法、帶著疑問學(xué)．為了能更深刻地理解函數(shù)概念,我們先看幾個概念辨析題．

函數(shù)概念辨析(見屏幕):

(1)根據(jù)函數(shù)的定義,定義域中的任意一個x可以對應(yīng)著值域中不同的y．( )

圖2中能表示函數(shù)關(guān)系的是．

圖2

(2)任何兩個集合之間都可以建立函數(shù)關(guān)系．( )

表2是高一年級某次月考部分學(xué)科的年級均分,這種對應(yīng)關(guān)系是函數(shù)嗎?

表2 高一年級部分學(xué)科月考年級均分

(3)對應(yīng)關(guān)系相同、定義域相同的兩個函數(shù)就是同一個函數(shù)．( )

下面的說法對不對?

函數(shù)y=x2(x∈(0,+∞))與函數(shù)s=t2(t∈(0,+∞))是同一個函數(shù)．

(4)在函數(shù)的定義中,集合B是函數(shù)的值域．( )

(多選) 已知集合A={x|0≤x≤8},集合B={y|0≤y≤4},則下列對應(yīng)關(guān)系中,可看作是從A到B的函數(shù)關(guān)系的是( )．

師:請同學(xué)來回答．

(師生互動略)答案:(1)×,①②④;(2)×,不是;(3)√,對,不對;(4)ABC．

師:通過對上面幾個問題的辨析,我們對函數(shù)的認(rèn)識是不是又有提高?誰來說說?

生13:A,B是非空的實數(shù)集合．

生14:實數(shù)x、實數(shù)y比元素x、元素y更具體．

生15:函數(shù)有三種表示:f:A→B,或f:x→y,x∈A,或y=f(x),x∈A．

生16:對應(yīng)關(guān)系有方向性,是從A指向B,且y∈B．

生17:集合A是函數(shù)y=f(x)的定義域,但集合B不一定是函數(shù)的值域,值域是集合B的一個非空子集．

生18:一對一、多對一是函數(shù),一對多、一對空不是函數(shù)．

師:同學(xué)們的看法很有道理!老師舉雙手贊成!老師也就順便解釋一個問題:為什么會用“函數(shù)”一詞來表示這種對應(yīng)關(guān)系呢?原來“函數(shù)”一詞是由我國清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在翻譯時創(chuàng)造的,另外像“代數(shù)”“方程”“細(xì)胞”等也都是他在翻譯時根據(jù)自己的理解而創(chuàng)造出來的名詞．怎么樣,不簡單吧?“函”的本意是盒子,這里的“函”是包含的意思．故函數(shù)就是y中有x,y包含x的意思,是不是很貼切?而f(x)中的f是函數(shù)的英文單詞的第一個字母,今后還會用g(x),h(x)等來表示函數(shù)．

設(shè)計意圖從特殊到一般,是人們認(rèn)識事物的一種常見推理方法．通過讓學(xué)生自主建構(gòu)函數(shù)概念,以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．由于個體的差異,學(xué)生的認(rèn)識還有深有淺,有快有慢．為了不讓一個學(xué)生掉隊,筆者在函數(shù)的概念形成后又安排了概念辨析活動．另外,也適時地滲透了一些數(shù)學(xué)文化知識．

2.4 數(shù)學(xué)運用

師:從抽象到具體是人們進(jìn)一步認(rèn)識事物的一種推理方法．現(xiàn)在,你能用剛才所學(xué)的知識解題嗎?(限于篇幅,師生互動略)

例1(口答)判斷下列對應(yīng)是否為函數(shù):

(2)x→y,這里y2=x,x∈N,y∈R;

(3)當(dāng)x為有理數(shù)時,x→1,當(dāng)x為無理數(shù)時,x→0．

例2(口答)下列各組函數(shù)表示同一個函數(shù)的是．(填序號)

(3)f(x)=2x+1與g(x)=2x-1．

例3求下列函數(shù)的定義域:

例4求下列函數(shù)的值域:

(1)f(x)=(x-1)2+1,x∈{-1,0,1,2,3};

(2)f(x)=(x-1)2+1;

(3)f(x)=x2+2x+3．

師:求函數(shù)的定義域應(yīng)該注意什么?求值域呢?你能編幾個這方面的題目嗎?

設(shè)計意圖4個例題是圍繞函數(shù)的定義及三要素來設(shè)計的,目的是通過應(yīng)用來鞏固新知、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．讓學(xué)生自主編題,既是了解學(xué)生掌握新知的一種手段,也是引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種方式．

2.5 回顧與反思

請你總結(jié)(過程略):(1)這節(jié)課你學(xué)到了什么?(2)學(xué)了這節(jié)課你會解決哪些問題?(3)課后你準(zhǔn)備再去研究哪些問題?

師:最后,老師談?wù)勛约簩瘮?shù)的理解．函數(shù)是什么?函數(shù)就是一種關(guān)系,一種對應(yīng)關(guān)系,是連接兩個非空實數(shù)集合的有方向的對應(yīng)關(guān)系,是多對一關(guān)系或一對一關(guān)系,是一個輸入值對應(yīng)到唯一的輸出值關(guān)系．是不是?

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)立意

教什么?如何教?為什么要這樣教?

本節(jié)課的課題是“函數(shù)的概念”．課堂教學(xué)設(shè)計了兩條線:一條是知識線,按照“問題情境—學(xué)生活動—意義建構(gòu)—數(shù)學(xué)運用—回顧反思”的邏輯順序推進(jìn);另一條是認(rèn)識線,按照“由特殊到一般—由表象到本質(zhì)—由抽象到具體”的認(rèn)知規(guī)律展開．兩條線一明一暗,相輔相成,即在函數(shù)概念的學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)科素養(yǎng),在學(xué)科素養(yǎng)的提升中促進(jìn)對函數(shù)概念的理解．

筆者最近一年走訪過三所普通高中,發(fā)現(xiàn)非畢業(yè)年級都在用導(dǎo)學(xué)案上課,學(xué)校的要求也基本是“不預(yù)習(xí)不聽課,不復(fù)習(xí)不作業(yè)”,至于如何預(yù)習(xí),則要求不明或要求不嚴(yán)．

學(xué)生是如何預(yù)習(xí)的呢?由于導(dǎo)學(xué)案大都用的是電子版,很像復(fù)習(xí)課的學(xué)案,一開始就羅列定義、定理、公式、法則等知識點,故學(xué)生普遍的做法是先翻書查找這些知識點,然后按照導(dǎo)學(xué)案上的要求填寫相關(guān)內(nèi)容,接著就開始做題．至于這些知識點是怎么來的,則幾乎無人問津．

教師又是怎么教的呢?不少教師一開始就是讀導(dǎo)學(xué)案上羅列出來的知識點,遇到填空處就問一下學(xué)生,有時會解釋一下(遇到比較繁難的一般就作罷,認(rèn)為沒什么意思,講也是白講).讀完了,再讓學(xué)生背一背,這樣新知識教學(xué)就完成了,下面就進(jìn)入講題、做題環(huán)節(jié)．

重視結(jié)果輕視過程,騰出時間用于解題,將新授課上成復(fù)習(xí)課,這明顯是一種填鴨式教學(xué)．對缺乏自覺性和主動性的學(xué)生來說,知識的獲得就是靠死記硬背,而素養(yǎng)的提升就是靠大量刷題．一旦記憶出現(xiàn)障礙,又不清楚知識的來龍去脈,就很容易做錯題,故這種教法很不可取．開展知識的形成過程教學(xué)、貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想、突出以學(xué)生發(fā)展為本才是王道,這就是本節(jié)課的教學(xué)立意．

3.2 教學(xué)反思

教學(xué)反思,反思什么?

(1)反思自己的“得”

本節(jié)課有哪些收獲呢?

這是一節(jié)校內(nèi)公開課,課前要花大量的時間去準(zhǔn)備,課上要承受一定的壓力,課后還會抱著一種忐忑不安的心情去接受同行們的評判．個人認(rèn)為,能參與這項活動就是最大的收獲,得到大家的肯定和督促是又一大收獲．下面是一些同行的評課摘要:

師1:重視教材,研究教材,吃透教材;重視概念的形成過程教學(xué),關(guān)注學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的理解,注意發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);啟發(fā)式教學(xué)思想駕輕就熟、運用自如．

師2:3個問題情境的描述方法各不相同,有利于后面的教學(xué);學(xué)生的參與度很高,能大膽發(fā)表自己的見解;老師善于表揚(yáng)、激勵學(xué)生;課堂結(jié)尾有新意,既結(jié)尾又沒結(jié)尾,留有余韻．

師3:概念課能重視知識的形成過程教學(xué),引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的定義進(jìn)行探究,從特殊到一般,從表象到本質(zhì),先抽象概括,再分解辨析,這有助于學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)的深刻理解．

師4:平時教學(xué)很難像這樣一步步進(jìn)行概念建構(gòu),值得我們學(xué)習(xí)．亮點有:①讓學(xué)生自主建構(gòu)函數(shù)概念;②教學(xué)生思維方法;③注意滲透數(shù)學(xué)文化;④教學(xué)過程張弛有度．

師5:能以學(xué)生為主體,讓學(xué)生去發(fā)現(xiàn)問題并解決問題;立足學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),從初中的函數(shù)概念入手,引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流;教學(xué)理念新,立足新高考,注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)．我們平時的教學(xué)有刷題的嫌疑,值得反思．有一個小失誤:在函數(shù)概念辨析(3)中,有一個不是函數(shù),學(xué)生回答錯了,老師好像沒注意．

師6:由舊及新,由表及里,由淺入深,由特殊到一般,再由抽象到具體,引導(dǎo)學(xué)生去認(rèn)識函數(shù);注意把愛國主義教育滲透到課堂教學(xué)中去;總結(jié)新穎,學(xué)生在磕磕碰碰中得到提升,最后知道函數(shù)就是“一對一”關(guān)系和“多對一”關(guān)系．

(2)反思自己的“失”

上面幾位同行的評課,不乏溢美之詞,自己還需冷靜思考,查找不足．

教學(xué)語言方面,對如何說話(快慢、高低、頓挫)關(guān)注不夠,對如何提問缺乏精心設(shè)計,深沉有余而活力不足,偶爾才有激情迸發(fā);教學(xué)手段方面,多媒體操作不夠熟練,有兩次切換出現(xiàn)了問題,課件制作也不夠精致;教學(xué)節(jié)奏方面,有點前松后緊,課堂總結(jié)未能全在課內(nèi)完成,拖了近1分鐘．這些都需要今后加以注意．

(3)反思學(xué)生的“好”

本節(jié)課學(xué)生有哪些閃光點呢?

本節(jié)課有近半的學(xué)生參與了課堂發(fā)言,表現(xiàn)出了很高的學(xué)習(xí)熱情;參與發(fā)言的學(xué)生多數(shù)精神飽滿,聲音響亮,口齒清楚,思維敏捷,表達(dá)流暢,給聽課教師留下了很深的印象;有一些平時表現(xiàn)不起眼的學(xué)生也能主動發(fā)言,這完全超出了自己的預(yù)料．因此,個人認(rèn)為任何時候都不要小覷學(xué)生,學(xué)生的潛能是巨大的,關(guān)鍵要看教師如何去組織教學(xué)．

(4)反思學(xué)生的“差”

本節(jié)課學(xué)生又存在哪些問題呢?

課后了解得知,有部分學(xué)生比較拘謹(jǐn)、膽怯,有疑問不敢問,會答的也不愿說;有部分學(xué)生數(shù)學(xué)抽象概括能力不強(qiáng),還不能給函數(shù)下定義;有部分學(xué)生跟不上教學(xué)節(jié)奏,在理解和運用上還存在著一些問題．這些都提醒自己,在今后的教學(xué)工作中要認(rèn)真落實“一個都不掉隊”的教育理念,因材施教,適當(dāng)開展一些分類指導(dǎo)和分層教學(xué)工作．