郭培東

(漳州臺商區(qū)第一中學(xué))

1 問題的提出

2023年福建省七地市第一次模擬考有一道彈簧雙振子的題目.該類題目平常只需定性分析兩振子的運(yùn)動,定量關(guān)系在高中不作要求.該題的選項B、C 引起師生的熱烈討論.基于此,本文定量分析了兩選項,并借用GeoGebra軟件作了進(jìn)一步討論與驗(yàn)證,希望能給大家一些參考.

2 原題展示

原題如圖1-甲所示,質(zhì)量為m的物塊P與物塊Q(質(zhì)量未知)之間拴接一輕彈簧,靜止在光滑的水平地面上,彈簧恰好處于原長.現(xiàn)給物塊P一瞬時初速度v0,并把此時記為0 時刻,規(guī)定向左為正方向,0～2t0時間內(nèi)P、Q物塊運(yùn)動的a-t圖像如圖1-乙所示,其中t軸下方部分的面積大小為S1,t軸上方部分的面積大小為S2,則( ).

圖1

A.物塊Q的質(zhì)量為

B.t0時刻物塊Q的速度為vQ＝S2

C.t0時刻物塊P的速度為

D.0～2t0時間內(nèi)彈簧始終對物塊Q做正功

3 定性分析

P、Q兩物塊從初始狀態(tài)到t0時刻過程中,P做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動,Q做加速度逐漸增大的加速運(yùn)動.再根據(jù)a-t圖像與坐標(biāo)軸所包圍的面積的物理意義表示該過程的速度變化量,同時,由圖像易得全程面積關(guān)于t＝t0軸對稱,因此該過程P速度減少了,Q速度增加了,即t0時刻

可知選項B錯誤,選項C正確.

細(xì)致的學(xué)生馬上就提出疑問:如何確定“全程面積關(guān)于t＝t0軸對稱”.如果P、Q做的是簡諧運(yùn)動,則其位移、速度、加速度都按正弦函數(shù)變化,圖像必然關(guān)于中間軸對稱,但本題系統(tǒng)的運(yùn)動類似“毛毛蟲運(yùn)動”,系統(tǒng)質(zhì)心一直向前做勻速直線運(yùn)動.假設(shè)P、Q做簡諧運(yùn)動,但題中平衡位置一直是變化的,這就說明假設(shè)錯誤,系統(tǒng)做的應(yīng)該不是簡諧運(yùn)動.進(jìn)一步考慮,如果P、Q振子相對于質(zhì)心做簡諧運(yùn)動,那么圖像是不是也就對稱了,問題是否就能解決了? 由以上分析可以發(fā)現(xiàn)這里面圖像的對稱性并沒有那么簡單,基于此,下文針對該模型進(jìn)行定量分析.

4 定量分析

如圖2所示,取P、Q為系統(tǒng),初始時系統(tǒng)的質(zhì)心C位于坐標(biāo)原點(diǎn),以向左為正方向,建立一維坐標(biāo)系.設(shè)彈簧原長為l0,勁度系數(shù)為k,為方便書寫,物塊P相關(guān)量下標(biāo)為1,物塊Q相關(guān)量下標(biāo)為2.

圖2

對物塊P由牛頓第二定律得

對物塊Q由牛頓第二定律得

對系統(tǒng)由動量守恒定律得

為把x2用x1表示,式③對t積分得

即

聯(lián)立式①④得

系統(tǒng)質(zhì)心C做勻速直線運(yùn)動,,易得t時刻質(zhì)心的位置.

物塊P相對質(zhì)心C的位置設(shè)為X1,則有

代入式⑤得

同理可得,Q相對質(zhì)心C位置

Q相對質(zhì)心C位移

Q實(shí)際位置

由S1、S2的表達(dá)式可知:兩振子相對質(zhì)心的運(yùn)動確實(shí)是簡諧運(yùn)動,且振動步調(diào)完全相反,振動周期相同,都為.

將x1、x2的表達(dá)式代入式①②得

顯然a1、a2都是正弦函數(shù),圖像必然關(guān)于中間軸對稱了.

為形象地讓學(xué)生理解兩振子的運(yùn)動,利用GeoGebra的函數(shù)功能畫出相應(yīng)函數(shù)圖像,如圖3、4所示.

圖3 位置—時間圖像

圖4 相對質(zhì)心C 位移—時間圖像

5 在高考中的應(yīng)用

例(2022年全國乙卷,有刪減)如圖5-甲所示,一質(zhì)量為m的物塊A與輕質(zhì)彈簧連接,靜止在光滑水平面上.物塊B向A運(yùn)動,t＝0時與彈簧接觸,到t＝2t0時與彈簧分離,第一次碰撞結(jié)束,A、B的v-t圖像如圖5-乙所示.已知從t＝0到t＝t0時間內(nèi),物塊A運(yùn)動的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運(yùn)動的B再次碰撞,之后A再次滑上斜面,達(dá)到的最高點(diǎn)與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內(nèi).求:

圖5

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值.

分析本題參考答案為 (1);(2)0.768v0t0.

在講解過程中,會有學(xué)生對題中的0.36v0t0這個數(shù)據(jù)是否科學(xué)產(chǎn)生疑問.下文通過兩種方法驗(yàn)證一下.

方法1根據(jù)機(jī)械能守恒有

則只需驗(yàn)證從初始狀態(tài)到壓縮最短時間t′＝t0,由簡諧運(yùn)動相關(guān)規(guī)律有

聯(lián)立式①②③可得t′＝1.01t0,數(shù)據(jù)得證.

方法2借助GeoGebra描繪出函數(shù)圖像,并根據(jù)其積分功能直接算出函數(shù)圖像包圍面積.由式①得,賦值m＝1kg,t0＝4s,v0＝2m·s－1,則k＝0.13N·kg－1.對以上x1、x2的表達(dá)式進(jìn)行微分,同時考慮B的初速度為1.2v0,可以得到A、B的速度表達(dá)式分別為

如圖6所示,輸入函數(shù)表達(dá)式得到兩個v-t圖像.

圖6 速度—時間圖像

輸入框輸入:積分(vA,0,4),就可以得到物塊A在t0時間內(nèi)的位移為2.88,即等于0.36v0t0,數(shù)據(jù)得證.

6 總結(jié)

本文從定性到定量兩個維度分析了有初速度的彈簧雙振子模型的運(yùn)動規(guī)律,得出了彈簧雙振子模型可等效為相對質(zhì)心的彈簧諧振子模型,更有說服力也更加通俗易懂.同時借用GeoGebra的函數(shù)功能直觀地畫出振子的運(yùn)動情況,簡單地驗(yàn)證了高考中彈簧雙振子模型數(shù)據(jù)的科學(xué)性.

(完)