? 浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)尚志中學(xué) 翁海芳

在講解反比例函數(shù)習(xí)題的過程中,筆者曾兩次遇到“尷尬”的一幕,課堂上有學(xué)生表示:“老師,您的方法太煩了,我有簡便方法.”雖然我硬著頭皮講完,但學(xué)生之后展示的方法確實(shí)比我的簡單,作為教師的我都有點(diǎn)汗顏.在之后的章節(jié)測試中,筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生雖然在課堂上對那位同學(xué)的方法贊嘆不已,但最終還是運(yùn)用了老師講的方法解決問題.這一經(jīng)歷促使筆者深入思考“通性通法”與“特解巧法”的關(guān)系.

1 第一次教學(xué)經(jīng)歷

圖1

大部分學(xué)生都會通過聯(lián)立方程,求出A,B的坐標(biāo),思維障礙在于怎樣用所設(shè)的字母表示三角形的邊,因此,筆者順著學(xué)生的思維,重點(diǎn)落腳解決障礙,給出通常的解法.

圖2

對于y=2x+6,令y=0,得x=-3,則C(-3,0).

本來學(xué)生順著老師的思路,找到了解題的路徑,感覺頗有收獲,但此時一位學(xué)生給出了他的方法,打破了這一氛圍.

解法2：如圖3,連接AA′,交x軸于點(diǎn)H,記一次函數(shù)y=2x+6的圖象與y軸的交點(diǎn)為E,連接EH,AO,A′E.

圖3

由反比例的性質(zhì),可得BC=AE,則S△A′BC=S△A′AE=4.

由點(diǎn)A,A′關(guān)于x軸對稱,得S△A′AE=2S△HAE.

顯然學(xué)生的解法更加簡單,其他同學(xué)都向他投去欽佩的目光,而對老師的“笨”辦法則頗為不屑.

課后反思:本題的關(guān)鍵是表示△A′BC的面積,筆者講解的方法是設(shè)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)A,B的坐標(biāo),用點(diǎn)A,B,C的橫坐標(biāo)表示出三角形的高,用點(diǎn)A的縱坐標(biāo)表示三角形的底,再利用面積公式求出三角形面積,進(jìn)而結(jié)合題意建立等量關(guān)系,利用函數(shù)與方程的知識求出k的值.

學(xué)生的解法首先立足模型“如圖4,任意的直線與反比例函數(shù)圖象相交,都有BC=AE”,再運(yùn)用“同(等)底等高的兩個三角形面積相等”的性質(zhì)來解題,最后利用k的幾何意義求值.這里用到了轉(zhuǎn)化的思想.

圖4

2 第二次教學(xué)經(jīng)歷

圖5

學(xué)生會設(shè)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo),但是不會用所設(shè)的點(diǎn)表示其他的點(diǎn),因此筆者講解了如下的方法.

圖6

某學(xué)生給出的方法如下:

圖7

課后反思：筆者講解的方法是典型的坐標(biāo)法,用坐標(biāo)表示三角形的底和高,再利用面積公式列出方程.坐標(biāo)法是解決反比例函數(shù)問題的通用方法,所設(shè)坐標(biāo)的點(diǎn)要有利于表示其他有用的點(diǎn)的坐標(biāo).在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)時,可以設(shè)橫坐標(biāo),也可以設(shè)縱坐標(biāo),可以同時設(shè)出橫、縱坐標(biāo),利用坐標(biāo)表示線段的長,找到恰當(dāng)?shù)牡攘筷P(guān)系建立關(guān)于面積的方程.

圖8

3 關(guān)于通性通法與特解巧法的思考

3.1 通性通法是基礎(chǔ)

通性通法是解決問題的普適方法,簡單來說,就是指數(shù)學(xué)的主要性質(zhì)與主要思想方法,是延伸性、輻射性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識與思想方法.“通”指數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)方法中最重要、最通用的東西.例如,求反比例函數(shù)比例系數(shù)k的值,一般有兩種通法:(1)求出圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo),再運(yùn)用待定系數(shù)法求k值;(2)設(shè)特殊點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而表示出其他有用的點(diǎn)的坐標(biāo),再尋找等量關(guān)系建立方程求k值.通性通法易于理解、掌握,但有時過程繁瑣,除嚴(yán)謹(jǐn)、仔細(xì)的態(tài)度外,還需具備一定的運(yùn)算能力、推理能力、思維能力和綜合能力.

3.2 特解巧法靠積累

特解巧法是指針對某個具體問題的結(jié)構(gòu)特征,觸類旁通地運(yùn)用所學(xué)知識,通過一定的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維而獲得的特殊方法.這種方法適應(yīng)面比較窄,理解的人覺得非常簡單,不理解的人甚至不得其門而入,它著眼于提升和創(chuàng)新.平時在反比例函數(shù)的教學(xué)中挖掘并補(bǔ)充的很多知識,比如,圖4、圖8的模型等,利用這些知識點(diǎn)解決問題就是特解巧法,一般比通性通法方便.關(guān)鍵在于平時積累,形成知識網(wǎng)絡(luò),并能靈活匹配.

當(dāng)今數(shù)學(xué)教學(xué)的主導(dǎo)精神是科學(xué)化、體系化,通性通法自然被視為解題的首選,但若只要求學(xué)生學(xué)習(xí)通性通法,一定程度會限制他們的創(chuàng)造力和個人表達(dá)的空間;而寄希望于向?qū)W生灌輸解題技巧,鋌而走險(xiǎn)追求需要苛刻的天資才能支撐起來的創(chuàng)造性思維,則有?？煽啃缘脑瓌t.只有兼顧通解和巧解,學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)才能得到更好的發(fā)展.二者就像雕刻家手中的兩種工具,通解如同鑿子,用于揭示問題的大致輪廓,巧解如同刻刀,在細(xì)節(jié)的刻畫上更加精確,缺少鑿子和刻刀中任何一個,雕像終究是有缺憾的.