? 福建省漳州第一中學(xué) 戴興達(dá)

因式分解是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),中考專門考查這一知識(shí)點(diǎn)的試題并不多,主要滲透在其他試題的考查中.本文中主要從因式分解與最值、新定義、圖形體積、換元法等方面說明中考中對因式分解的拓展考查.

1 因式分解與最值

利用因式分解求最值,通常是指將一個(gè)二次三項(xiàng)式配方出一個(gè)完全平方式,然后根據(jù)(a±b)2一定是非負(fù)數(shù)求得最值.當(dāng)多項(xiàng)式配方為a(x±b)2+c時(shí),此多項(xiàng)式一定有最小值c,此時(shí)完全平方式為0;當(dāng)多項(xiàng)式配方為-(x±b)2+c時(shí),此多項(xiàng)式一定有最大值c,此時(shí)完全平方式為0.

例1閱讀理解并解答:(1)我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2叫做完全平方式,一個(gè)多項(xiàng)式能否運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解,關(guān)鍵是判斷這個(gè)多項(xiàng)式是否是完全平方式.欲求一個(gè)多項(xiàng)式的最大值或最小值,將這個(gè)多項(xiàng)式的局部化成完全平方式是必須的.

如①x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2.

因?yàn)?x+1)2是非負(fù)數(shù),所以(x+1)2+2≥2.

所以這個(gè)代數(shù)x2+2x+3的最小值是______,這時(shí)相應(yīng)的x的值是______.

②3x2-12x+5=3(x2-4x)+5=3(x2-4x+4-4)+5=3(x-2)2-12+5=3(x-2)2-7.

因?yàn)?x-2)2是非負(fù)數(shù),所以3(x-2)2-7≥-7.

所以這個(gè)代數(shù)式3x2-12x+5的最小值是______,這時(shí)相應(yīng)的x的值是______.

(2)仿照上述方法求代數(shù)式-x2-14x+10的最大(或最小)值,并寫出相應(yīng)的x的值．

解析：(1)①因?yàn)閤2+2x+3=(x+1)2+2,所以x2+2x+3的最小值是2,此時(shí)x的值是-1．

②因?yàn)?x2-12x+5=3(x-2)2-7,所以3x2-12x+5的最小值是-7,此時(shí)x的值是2．

(2)-x2-14x+10=-(x2+14x+49)+49+10=-(x2+14x+49)+59=-(x+7)2+59.

因?yàn)?x+7)2是非負(fù)數(shù),所以-(x+7)2≤0,從而-(x+7)2+59≤59.

因此,-x2-14x+10的最大值是59,此時(shí)x的值是-7．

點(diǎn)評(píng)：如何將一個(gè)二次三項(xiàng)式配出一個(gè)完全平方式?首先通過提取公因式,將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?,然后在括號(hào)內(nèi)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,最后寫成完全平方式,并化簡.

2 因式分解與新定義

在整數(shù)世界里,有一些特殊的數(shù).如,相鄰兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字,右邊的比左邊大1,這樣的數(shù)稱為“美數(shù)”;一個(gè)四位數(shù),前兩位數(shù)字之和等于后兩位數(shù)字之和,這樣的數(shù)稱為“和平數(shù)”;一個(gè)多位數(shù),從左向右或從右向左都是一樣的,這樣的數(shù)稱為“軸對稱數(shù)”.這些特殊的數(shù)都有一些特殊的性質(zhì),要證明這些特殊的性質(zhì),都需要用到因式分解.

例2生活中軸對稱的例子很多,如自然景觀、分子結(jié)構(gòu)、建筑物、日常用品等.根據(jù)軸對稱的特征,我們把形如mm,mnm,mnpnm(m,n,p∈N*且m,n,p≤9)這樣的正整數(shù)叫做軸對稱數(shù),如69596等.

(1)請寫出一個(gè)最小的四位數(shù)的軸對稱數(shù).

(2)把任意一個(gè)軸對稱數(shù)的形式設(shè)置為“efe”,其中e為首位數(shù)字與末位數(shù)字,f是去掉首末兩個(gè)數(shù)后的(n-2)位數(shù),那么這個(gè)軸對稱數(shù)減去個(gè)位數(shù)字的11倍,結(jié)果能被10整除.如:3 553-3×11=3×1 000+55×10+3-3×11=3 520.

①根據(jù)上面的算式,填空:86 368-8×11=______.

②寫出(2)的證明過程.

解析：(1)最小的四位數(shù)軸對稱數(shù)是1001.

(2)①86 368-8×11=8×10 000+636×10+8-8×11=86 280.

②證明:efe-11e=e×10n-1+f×10+e-11e=e×10n-1+f×10-10e=10[e×(10n-2-1)+f],所以結(jié)果能被10整除,上述說法正確.

點(diǎn)評(píng)：如果一個(gè)多位數(shù)可以寫作abcd,那么這個(gè)多位數(shù)就等于a×103+b×102+c×10+d,也可以表示為(ab)×102+cd,或者表示為(abc)×10+d.

3 因式分解與圖形體積

根據(jù)平面圖形的面積,可得二次多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果,如a2-b2=(a+b)(a-b),a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2,a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b)等;根據(jù)立體圖形的體積,可得三次多項(xiàng)式因式分解的結(jié)果,如a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)等.

例3知識(shí)再現(xiàn):在一個(gè)邊長為a的正方形中剪去一個(gè)邊長為b的小正方形(如圖1),然后,把剩下的部分剪開成兩個(gè)長方形,再拼成一個(gè)長方形(如圖2),根據(jù)這兩個(gè)圖形,請寫出一個(gè)代數(shù)恒等式.

圖1

圖2

知識(shí)遷移:在空間范圍內(nèi),把一個(gè)棱長為a的正方體去掉一個(gè)棱長為b的小正方體,再把剩余的部分切割成三個(gè)長方體,再拼成一個(gè)幾何體,那么圖3中幾何體的體積是多少?圖4中的呢?根據(jù)它們之間的體系關(guān)系,請寫出一個(gè)關(guān)于a,b的代數(shù)恒等式.

圖3

圖4

知識(shí)運(yùn)用:根據(jù)立體圖形得到的代數(shù)恒等式,(1)將多項(xiàng)式27x3-8因式分解;(2)已知a-b=8,ab=4,你能求出a3-b3的值嗎?

解析：根據(jù)平面圖形,可得代數(shù)恒等式為

a2-b2=(a+b)(a-b).

根據(jù)立體圖形,可得代數(shù)恒等式為

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).

(1)由a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2),得

27x3-8=(3x)3-23=(3x-2)(9x+6x+4).

(2)由a-b=8,ab=4,得

a2+b2=(a-b)2+2ab=64+8=72.

所以,可得a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=8×(72+4)=608.

點(diǎn)評(píng)：由例3可以看出,兩數(shù)的立方差,等于這兩數(shù)的差乘這兩數(shù)的平方和與它們的積的和;兩數(shù)的立方和,等于這兩數(shù)的和乘這兩數(shù)的平方和與它們積的差.

4 因式分解與換元法

解一些復(fù)雜的因式分解問題,使用換元法也是一個(gè)不錯(cuò)的選擇,也就是把結(jié)構(gòu)復(fù)雜的多項(xiàng)式中的某一部分看作一個(gè)整體,用一個(gè)字母置換,這樣可以使問題變得簡單、明朗,它可以減少多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù),降低多項(xiàng)式結(jié)構(gòu)的復(fù)雜程度.

例4先閱讀材料再解決問題:(Ⅰ)利用換元法可以從形式上簡化式子,在解一元高次方程時(shí),利用換元法可以達(dá)到轉(zhuǎn)化與化歸的目的.如解一元四次方程x4-8x2+16=0時(shí),設(shè)y=x2,則原方程可以變形為y2-8y+16=0,解得y=4,所以x=±2.

(Ⅱ)楊輝三角形是中國數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就,在《詳解九章算法》中就出現(xiàn)了,它是一些特定系數(shù)在三角形中有規(guī)律的排列,如圖5所示.

……

(1)根據(jù)換元法的思路,解方程:(x2+3x-1)2+2(x2+3x-1)=3.

(2)觀察楊輝三角,可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律,設(shè)第n行的第2個(gè)數(shù)為an(n≥4),設(shè)第n行的第3個(gè)數(shù)為bn,第(n-1)行的第3個(gè)數(shù)為cn,你能根據(jù)換元法的思路,將4(bn-an)·cn+1因式分解嗎?

解析：(1)令t=x2+3x-1,則原方程可轉(zhuǎn)化為t2+2t=3,解得t=1或t=-3.

當(dāng)t=-3時(shí),x2+3x-1=-3,解得x=-1或x=-2.

所以4(bn-an)·cn+1=(n-1)(n-4)(n-2)·(n-3)+1=(n2-5n+4)(n2-5n+6)+1=(n2-5n+4)2+2(n2-5n+4)+1=(n2-5n+5)2.

點(diǎn)評(píng)：與楊輝三角聯(lián)系最緊密是二項(xiàng)展開式的系數(shù)規(guī)律,即二項(xiàng)式定理;其次,楊輝三角(圖5)的第n行所有數(shù)的和為2n-1.

華羅庚說:“新的數(shù)學(xué)方法和概念,常常比解決數(shù)學(xué)問題本身更重要.”本文中分別介紹了因式分解與求最值、新定義、圖形體積、換元法之間的密切聯(lián)系,既可以拓寬學(xué)生的思維,又為學(xué)生解決問題開辟了新的思路與方法.