? 西華師范大學(xué) 姚山雪 李紅梅(通訊作者)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出以素養(yǎng)為導(dǎo)向,落實(shí)“立德樹人”的根本任務(wù).波利亞在《怎樣解題》中提出“中學(xué)數(shù)學(xué)首要的任務(wù)就是加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”,因此培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

目標(biāo)意識是指對目標(biāo)重要性的認(rèn)識,解題活動(dòng)就是在目標(biāo)意識的監(jiān)控下進(jìn)行的有目的的思維過程.但在應(yīng)試教育的影響下,許多教師不能將解題的重點(diǎn)放在分析目標(biāo)上,而是將大量時(shí)間花費(fèi)在技巧歸類、總結(jié)題型的套路上,導(dǎo)致學(xué)生解題能力得不到有效提升.下面以一道幾何題為例,分析目標(biāo)意識在解題中的應(yīng)用.希望能引起教師對學(xué)生目標(biāo)意識培養(yǎng)的重視.

1 例析目標(biāo)意識在解題過程中的應(yīng)用

俗話說“解題不在于多,而在于精”.解題教學(xué)中,若選用過多類型的例題來剖析,學(xué)生一方面要多解題,另一方面要體會目標(biāo)意識的作用,則會手忙腳亂.筆者認(rèn)為一題多解類題目更能幫助學(xué)生從整體直觀地體會解題過程中目標(biāo)意識所發(fā)揮的作用.同時(shí),一題多解類題目也可培養(yǎng)學(xué)生從多角度思考問題的能力,是最能鍛煉學(xué)生思維能力的題目類型.

“圖形與幾何”是初中數(shù)學(xué)的重要模塊之一.然而對學(xué)生來講,平面幾何的學(xué)習(xí)是一個(gè)挑戰(zhàn).首先,幾何概念的抽象加大了理解難度;其次,幾何語言的表達(dá)難以規(guī)范;最后,復(fù)雜圖形分析難度高.因此,平面幾何可以很好地考查學(xué)生的綜合解題能力.基于此,本文中將通過一道幾何題的一題多解來分析目標(biāo)意識是如何幫助我們解題的.

1.1 例題呈現(xiàn)

如圖1,在△ABC中,AC=CB,∠ACB=120°,點(diǎn)D在AB邊上,∠EDF=60°,當(dāng)D為AB的中點(diǎn)且∠EDF的兩邊分別交線段AC,BC于點(diǎn)E,F時(shí),求證:DE=DF.

圖1

1.2 例題分析及解答

思路1：要證DE=DF,即證兩條線段相等,根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)要證明線段相等,可以通過證明三角形全等來實(shí)現(xiàn).圖1中DF與DE所在的三角形只有△ADE和△DFB,根據(jù)所給條件無法證明這兩個(gè)三角形全等.此時(shí)可以通過添加輔助線來構(gòu)造三角形,過點(diǎn)D作AC,BC的高線構(gòu)造兩個(gè)直角三角形即可證明.

目標(biāo)意識分析：圖中沒有直角三角形,如何構(gòu)造?思維遇到死角.當(dāng)目標(biāo)難以從正面接近,可逆向思考,將試題中的結(jié)論反置為條件,以結(jié)論為解題的抓手.如本題中將證明DE=DF轉(zhuǎn)化為證明三角形全等(包含DE,DF邊的兩個(gè)三角形).要實(shí)現(xiàn)新目標(biāo),結(jié)合題設(shè)條件D為AB的中點(diǎn),可過點(diǎn)D作高構(gòu)造直角三角形.作高構(gòu)造直角三角形在中學(xué)幾何題目中是十分常見的方法,學(xué)生很容易想到.

證明：如圖2,過點(diǎn)D作DM⊥AC,DN⊥BC,垂足分別為M,N,可得∠DMA=∠DNB=90°.由AC=CB,得∠A=∠B.再由D是AB的中點(diǎn),得DA=DB.因此在△ADM與△BDN中,∠A=∠B,∠DMA=∠DNB、DA=DB,所以△ADM≌△BDN(AAS),則DM=DN.又∠ACB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠DFN=180°.因?yàn)椤螪EC+∠DEM=180°,所以∠DEM=∠DFN.在△DME與△DNF中,∠DME=∠DNF,∠DEM=∠DFN,DM=DN.所以△DME≌△DNF(AAS).證得DE=DF.

圖2

思路2：主抓條件∠DEF=60°,聯(lián)想60°通常在等邊三角形中出現(xiàn),考慮在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.

目標(biāo)意識分析：抓住條件∠DEF=60°,確定解題目標(biāo)為在底角為30°的等腰三角形ABC中構(gòu)造等邊三角形.考慮在BF邊上取一點(diǎn)G,使得∠BDG=30°,則DG=GB.再根據(jù)等腰三角形三線合一性,CD是AB邊的高線,所以△CDB是直角三角形.再由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,發(fā)現(xiàn)G為BC中點(diǎn).又∠DGF=∠DCG=60°,所以CG=DG,等邊三角形DCG構(gòu)造完成.

證明：如圖3,連接DC,取BC的中點(diǎn)G,連接DG.又CD是AB邊的高線,所以△CDB是直角三角形,則CG=DG=GB,于是∠B=∠BDG=30°,∠DGF=60°,所以△DCG為等邊三角形,可知∠CDG=60°,DC=DG.由∠EDF=60°,知∠EDC+∠CDF=60°,又∠FDG+∠CDF=60°,所以∠EDC=∠FDG.又∠DCE=∠DGF=60°,所以△DEC≌△DFG(ASA).證得DE=DF.

圖3

思路3：主抓條件∠A=∠B,AD=BD,出現(xiàn)邊角重合,考慮可以通過構(gòu)造折疊圖形來證明全等.

目標(biāo)意識分析：抓住已知條件∠A=∠B(角重合),D為AB的中點(diǎn)(邊重合),因此,新目標(biāo)為構(gòu)造全等三角形.如BD邊所在的三角形有△DFB,就可考慮將△DFB按照角進(jìn)行折疊,在AC邊取與BF相等的線段構(gòu)造全等三角形,或者找AD邊所在的三角形ADE,通過折疊,在BC邊構(gòu)造全等三角形.因此本題可以分為兩種證法.(1)在AC上截取AH=BF.(2)在BC上截取BH=AE.

證明：如圖4,在AC上截取AH=BF.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以AD=BD.在△ADH與△BDF中,AD=BD,∠A=∠B,AH=BF,所以△ADH≌△BDF(SAS),則DH=DF,∠AHD=∠BFD.因?yàn)椤螦CB=120°,∠EDF=60°,所以∠DEC+∠CFD=180°.又∠DFB+∠CFD=180°,所以∠DEC=∠BFD,即∠AHD=∠DEC.所以∠EHD=∠DEH,從而證得DE=DF.

圖4

思路4：因?yàn)椤螦CB=120°,∠EDF=60°,可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)D,E,C,F四點(diǎn)共圓.

目標(biāo)意識分析：題設(shè)條件中∠ACB,∠EDF兩角互補(bǔ),發(fā)現(xiàn)D,E,C,F四點(diǎn)共圓.解題的目標(biāo)轉(zhuǎn)化為在圓中證明兩條弦相等,把DE,DF兩弦放在△DEF中,此時(shí)新的解題目標(biāo)就成為證明∠DEF=∠DFE.

證明：因?yàn)椤螦CB+∠EDF=180°,所以D,E,C,F四點(diǎn)共圓.如圖5所示,在圓中,∠DEF=∠DCF,∠DFE=∠DCE.又因?yàn)樵诘妊切蜛BC中,CD平分∠ACB,所以∠DCF=∠DCE=60°,從而∠DEF=∠DFE,證得DE=DF.

圖5

2 解題反思

2.1 加強(qiáng)目標(biāo)意識培養(yǎng),提升解題能力

目標(biāo)意識與解題活動(dòng)相輔相成.教師應(yīng)在解題活動(dòng)中,著力培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識,提升學(xué)生解題能力.

(1)引導(dǎo)學(xué)生重視目標(biāo)導(dǎo)向性,明確解題目標(biāo)

重視目標(biāo)的導(dǎo)向性,有利于學(xué)生對問題的深刻剖析,在解題過程中,有些問題目標(biāo)往往表達(dá)含蓄、難于把握.因此,應(yīng)使目標(biāo)“看得見”“摸得著”,進(jìn)而找到解題的突破口.

例如在本題中,教師通過以下三方面培養(yǎng)學(xué)生的目標(biāo)意識,幫助學(xué)生明確解題目標(biāo).

方面一:抓住已知條件,明確解題的目標(biāo).

“注重已知”是波利亞對解題的建議.在解題時(shí),一定要抓住題設(shè)條件,思考是否有類似的結(jié)論或命題.可以進(jìn)行大膽的猜想,考慮是否可以構(gòu)造條件來與已知條件相輔,由一般到特殊,再從特殊到一般,一番思考后,解題思路將逐步清晰,解題目標(biāo)也就隨之形成.本題中主抓條件AC=CB,∠ACB=120°,容易得到△ABC為等腰三角形,∠A=∠B.再由條件D為AB的中點(diǎn),得到AD=BD.根據(jù)∠A=∠B,AD=BD兩條件發(fā)現(xiàn)邊、角重合,明確解題目標(biāo)為構(gòu)造折疊圖形證明全等(思路3).若主抓條件∠EDF=60°,將解題目標(biāo)確定為構(gòu)造等邊三角形(思路2).

方面二:利用整體觀點(diǎn),明確解題目標(biāo).

在解題過程中,如果目標(biāo)特征難以確定時(shí),全局意識可幫助我們由條件導(dǎo)出整體結(jié)構(gòu),發(fā)現(xiàn)簡便的解法,達(dá)到解題的目的.本題中,發(fā)現(xiàn)條件中∠ACB,∠EDF兩角互補(bǔ),看起來毫無關(guān)聯(lián),但當(dāng)我們利用整體觀點(diǎn)時(shí),就會發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角是四邊形DECF的對角,根據(jù)圓的性質(zhì),得出四點(diǎn)是共圓的(思路4).此思路簡約自然,最大限度地合理利用了已知條件.

方面三:借助反置思維,明確解題目標(biāo).

反置思維就是把試題中的結(jié)論反置為條件,以結(jié)論為解題的抓手,并與題設(shè)的部分(或整體)條件有機(jī)結(jié)合,通過轉(zhuǎn)化,得出一個(gè)題設(shè)條件的“結(jié)論”,這個(gè)“結(jié)論”便是解題的目標(biāo).本題中,從題設(shè)入手無法快速確定解題目標(biāo),可將結(jié)論DE=DF當(dāng)為條件,結(jié)合D為AB的中點(diǎn),過點(diǎn)D作高構(gòu)造直角三角形,通過轉(zhuǎn)化得到解題目標(biāo)為證明包含DE,DF邊的三角形全等.

(2)引導(dǎo)學(xué)生評判解題的過程,優(yōu)化思維結(jié)果

目標(biāo)意識隨時(shí)監(jiān)控著思維活動(dòng),評價(jià)解題的過程.例如,所選方法能否成功解題,解題過程是否繁雜,是否存在最優(yōu)解法,等等,這些都需要目標(biāo)意識的調(diào)控.目標(biāo)意識幫助我們避開彎路,尋找捷徑,使解題過程更簡潔優(yōu)化.例如本例題中,首先,目標(biāo)意識確保了我們所選的四種方法都“走得下去”;其次,當(dāng)我們的解題步驟繁瑣時(shí),目標(biāo)意識會驅(qū)使我們重新審題,檢查是否漏了條件或過程錯(cuò)誤;最后,在解題完成后,目標(biāo)意識促使我們進(jìn)行反思,還有沒有其他的方法,最優(yōu)解法是什么等,針對本題的目標(biāo),思路4是最優(yōu)解題路徑,證明過程最為簡捷.

2.2 關(guān)注一題多解訓(xùn)練,培養(yǎng)發(fā)散思維

大部分的中考試題其實(shí)都源于教材上的例習(xí)題,這些題目往往蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)知識與思想.教師在解題教學(xué)中要認(rèn)真研讀課標(biāo)、教材,要善于利用“一題多解”,對問題進(jìn)行不同角度的剖析,拓寬學(xué)生思維的深度與廣度.

同時(shí),教師更要充分挖掘例題的功能和價(jià)值,讓學(xué)生在有限的解題教學(xué)中“做一題,學(xué)一法,會一類,通一片”,發(fā)展數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力,提升核心素養(yǎng).