何獻菊 廖雪剛

? 重慶市萬州區(qū)教師進修學院 ? 重慶市萬州職業(yè)教育中心

1 問題提出

最近幾年的高考全國卷數(shù)學試題,大大降低了“題海戰(zhàn)術(shù)”“機械刷題”的效益,部分學生在高考場上手足無措,覺得試題難度大,計算量大,思維量大,從而發(fā)揮失常.針對以上現(xiàn)象,在二輪復習中,可以嘗試對解析幾何、立體幾何、導數(shù)、數(shù)列、解三角形等模塊內(nèi)容進行“一題一課”教學,建立知識結(jié)構(gòu)框架,訓練學生靈活運用基礎(chǔ)知識解答問題的能力.下文中,以一道高考數(shù)列題為例嘗試進行二輪復習“一題一課”教學.

2 教學過程

2.1 精選例題,“一題”引入學習主題

教學實踐表明,在高考復習中,“一題一課”多解變式教學模式的運用應(yīng)常態(tài)化.學生經(jīng)過一輪復習,雖然知識體系系統(tǒng)化,解題方法通性化,但是一題多解不熟練,變式能力較欠缺.二輪復習精選試題,一題多解,變式變解,能激發(fā)學生的思維,加深學生對知識、題型間相互聯(lián)系的理解,從而提高學生應(yīng)對綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性考查的能力.

例(2020年·全國卷Ⅲ)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3,an+1=3an-4n.

(1)計算a2,a3,猜想{an}的通項公式并加以證明;

(2)求數(shù)列{2nan}的前n項和Sn.

試題分析：該試題起點低,背景深,是一道值得細品多悟的高考好題.第(1)問計算a2,a3,猜想{an},體現(xiàn)了特殊到一般的思想,數(shù)學歸納法順勢而生,解題思路直截了當.學生對于數(shù)學歸納法不熟悉,書寫格式模糊,是一個“會而不全”的典型試題.第(2)問為錯位相減求和,第(1)問即使不會證明也可進一步完成第(2)問,層次明顯,面向各個層次的學生.

2.2 巧設(shè)問題鏈,架構(gòu)“一課”學習序列

問題1(展示真題)請同學們迅速閱讀題目,思考第(1)(2)問的解題方法.

設(shè)計意圖：一方面,訓練學生的審題能力,相信解題的第一感覺,了解學生對基本解法的掌握情況;另一方面,第(1)問因?qū)W生對數(shù)學歸納法不熟練,書寫上不嚴謹,因此可以此為契機,改編條件,一石激起千層浪,進入主題.

問題2請改變條件“an+1=3an-4n”,變成大家熟悉的遞推公式,并根據(jù)a1=3,求{an}的通項公式.

生1:改為“an+1=3an”,則數(shù)列{an}是公比、首項均為3的等比數(shù)列,an=3n.

生2:改為“an+1=an-4”,則數(shù)列{an}是公差為-4,首項為3的等差數(shù)列,an=7-4n.

生3:改為“an+1=3an-4”,變形后利用待定系數(shù)法,得an+1-2=3(an-2),解得an=3n-1+2.

設(shè)計意圖：讓學生改變題目條件,回到熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列和利用待定系數(shù)法求通項公式,回歸基礎(chǔ),回憶通性通法.

問題3我們熟悉的形如“an+1=pan+q”的結(jié)構(gòu),涉及等差數(shù)列、等比數(shù)列,或者待定系數(shù)法.若將其中的q變?yōu)閒(n),即an+1=pan+f(n).當p≠1時,條件的改變中f(n)涉及了常數(shù)、指數(shù),均可用待定系數(shù)法求解.那么,對于該題中“p=3,f(n)=-4n”,請同學們嘗試解答.

生4:設(shè)an+1+λ=3(an+λ),得λ=-2n,則an+1-2n=3(an-2n),求得an=3n-1+2n.

思考：根據(jù)這個結(jié)果計算可得a2=7,但題目條件得a2=5,問題出在哪里?

問題4若用待定系數(shù)法,對于“a1=3,an+1=3an-4n”,如何求{an}的通項公式?

生5:根據(jù)f(n)=-4n是一次式結(jié)構(gòu),設(shè)

an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B).

于是an+1=3an+2An+2B-A.

故an+1-2(n+1)-1=3(an-2n-1).

又a1-2×1-1=0,所以數(shù)列{an-2n-1}為常數(shù)列,解得an=2n+1.

設(shè)計意圖：暴露“待定系數(shù)法”中的共性、高頻錯誤(生4的解法),以錯糾錯.抓住待定系數(shù)法相鄰項的結(jié)構(gòu)一致求解問題,為利用待定系數(shù)法解決錯位相減類型求和問題做鋪墊.

問題5請用錯位相減法求數(shù)列{2n(2n+1)}的前n項和Sn.

生6:記Sn=3×21+5×22+……+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n,2Sn=3×22+5×23+……+(2n-1)2n+(2n+1)2n+1,所以-Sn=3×21+2×22+……+2×2n-(2n+1)2n+1.化簡,得

Sn=(2n-1)2n+1+2.

設(shè)計意圖：回歸通性通法,提高計算能力,便于與待定系數(shù)法進行比較.

問題6請思考如何利用待定系數(shù)法求數(shù)列{2n(2n+1)}的前n項和Sn.

生7:考慮到2n(2n+1)中“2n+1”為一次式,設(shè)

2n(2n+1)=2n+1[A(n+1)+B]-2n(An+B),

即2n(2n+1)=2n(An+2A+B).

2n(2n+1)=2n+1[2(n+1)-3]-2n(2n-3).

所以Sn=2n+1(2n-1)+2.

設(shè)計意圖：靈活運用待定系數(shù)法解決錯位相減類型求和問題,感悟待定系數(shù)法的妙處,思維遷移.

生8:第一感覺想用錯位相減法,但發(fā)現(xiàn)還必須再使用一次錯位相減才能完成.因此嘗試利用待定系數(shù)法,考慮到分子為n2,所以設(shè)

設(shè)計意圖：增加難度,“逼迫”學生想辦法解決問題,避免生搬硬套.學生在變式中要敢于利用通性通法,大膽嘗試,積極思考;同時,在變式中靈活選擇解題方法,深度思考問題.

2.3 回望梳理過程,悟出解題思路

問題8請同學們梳理思路,然后自由發(fā)揮,解答例題第(2)問.(學生多種解答方法略.)

數(shù)列解答題的通性通法較多,學生難以發(fā)散思維,靈活運用通法解答變式創(chuàng)新題,幫助學生在二輪復習中建構(gòu)數(shù)列解題體系.環(huán)節(jié)一(問題1～2),從學生熟悉的等差數(shù)列、等比數(shù)列入手改編真題,步步為“營”,改變條件,增加難度,拓展思維,促進學生思維的靈活性,提煉出解答數(shù)列一般題型的本質(zhì)即待定系數(shù)法.環(huán)節(jié)二(問題3～7),在環(huán)節(jié)一的鋪墊下,學生求解真題.環(huán)節(jié)三(問題8),一題多解,提升解題能力.此過程重點是教師對問題的“架構(gòu)”,關(guān)鍵是讓學生經(jīng)歷解題全過程,形成自己的“領(lǐng)悟”.

3 課后反思

高三二輪復習主要關(guān)系到兩個方面:一是在解題教學中,如何構(gòu)建兼顧數(shù)學核心素養(yǎng)培育與高考應(yīng)試能力培養(yǎng)的教學模式;二是在教學中如何落實數(shù)學核心素養(yǎng)的培育[1].萬變不離其宗,“問題是數(shù)學的心臟”.如何借題發(fā)力,培育學生的核心素養(yǎng),楊孝斌教授認為,借助波利亞解題思想與“三教”理念,可構(gòu)建“一題一課多解變式”教學模式.高三二輪復習“一題一課”,有一題多解、一題多變、一題多說三種教學模式,教師可在實踐中摸索以上教學模式.