劉雪亮

? 江蘇省揚州市江都區(qū)育才中學

在“導數(shù)及其應用”的大單元教學中,為了有效優(yōu)化教學效果,筆者以習題課的形式展開復習,對大單元教學與復習進行大膽創(chuàng)新與嘗試,具體的教學設計分為四個環(huán)節(jié).

1 引導回憶,構建體系

首先帶領學生通過回憶的形式,構建知識網(wǎng)絡體系,如圖1所示.

圖1

2 知識要點,技巧方法

2.1 知識回顧

(1)導數(shù)的幾何意義.

(2)導數(shù)的基本運算法則,求導的常見技巧方法.

(3)導數(shù)的基本應用:與幾何意義、單調性、極值(或最值)以及實際應用等有關的問題.要注意的是,導數(shù)常常與不等式、方程等有機結合,形成綜合性試題.

(4)利用導數(shù)解決實際應用問題時,首先要注意自變量的取值范圍,即考慮問題的實際意義.在應用問題的設計上,高考多設置為單峰函數(shù),以降低要求.

(5)高考對本單元的考查要求:會利用函數(shù)與導數(shù)知識來處理導數(shù)的幾類基本應用問題.

2.2 技巧方法

函數(shù)與導數(shù)問題中,主要涉及求解函數(shù)的單調區(qū)間、可導函數(shù)的極值、函數(shù)的最值等的技巧方法與基本步驟,這里略.

特別在解決問題中,一定要注意正確把握函數(shù)的極值與函數(shù)的最大(小)值之間的聯(lián)系與區(qū)別,不能混淆.函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質,而函數(shù)的最大(小)值是相對整個定義域而言的.求在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)函數(shù)f(x)的最大(小)值時,需要注意開區(qū)間(a,b)內極大(小)值與端點函數(shù)值f(a),f(b)的比較.

3 主題串講,綜合提高

3.1 導數(shù)的運算

導數(shù)運算求值問題中,在函數(shù)求導時,應仔細觀察和分析函數(shù)的結構特征,緊扣導數(shù)的四則運算法則以及基本函數(shù)的求導公式,有時還要適當?shù)葍r變形.

例1已知函數(shù)f(x)=(2x+1)·ex,f′(x)為f(x)的導函數(shù),則f′(0)的值為______.

分析：利用積的求導法則對函數(shù)求導,代入即可解決相應的求值問題.

解析：對函數(shù)f(x)求導,得f′(x)=(2x+3)ex.

所以f′(0)=(2×0+3)·e0=3.

故填答案:3.

點評：本題考查導數(shù)的運算,屬于基礎題型,熟練掌握對應的導數(shù)公式與運算法則是關鍵.

3.2 導數(shù)的幾何意義

導數(shù)的幾何意義及其應用是函數(shù)與導數(shù)部分的一個重要考點,能夠有機“串聯(lián)”起函數(shù)、導數(shù)、平面解析幾何等相關知識,成為高考中比較常見的一個基本考點,往往涉及與切線有關的綜合應用等.

例2已知f(x)為偶函數(shù),當x≤0時,f(x)=e-x-1―x,則曲線y=f(x)在點(1,2)處的切線方程為______.

分析：根據(jù)題設條件,結合函數(shù)的基本性質,先確定x>0時函數(shù)的解析式,再利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率.

解析：當x>0時,―x<0,則f(―x)=ex-1+x,又f(x)為偶函數(shù),所以f(x)=f(―x)=ex-1+x.

當x>0時,f′(x)=ex-1+1,則在點(1,2)處的切線斜率為k=f′(1)=2.

所以切線方程為y―2=2(x―1),即y=2x.

故填答案:y=2x.

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的解析式,導數(shù)的幾何意義,直線的方程.此類問題主要考查導數(shù)的幾何意義及其綜合應用問題,關鍵在于挖掘問題的本質與內涵,綜合利用相關的知識來分析與應用.其實,本題還可以利用函數(shù)的對稱性直接求切線斜率.

3.3 函數(shù)的基本性質

函數(shù)的基本性質問題,往往是基于函數(shù)的單調性加以拓展與綜合,特別是函數(shù)的極值與最值等,為深入研究函數(shù)的基本性質提供條件.

例3(2023年高考數(shù)學全國乙卷理科·16)設a∈(0,1),若函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是______.

分析：借助導數(shù),將函數(shù)f(x)的單調性問題有效轉化為f′(x)≥0在區(qū)間(0,+∞)上恒成立問題,通過不等式的求解來確定參數(shù)的取值范圍.

解析：由函數(shù)f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,可得

f′(x)=axlna+(1+a)xln(1+a)≥0.

①

在(0,+∞)上恒成立.

令函數(shù)g(x)=axlna+(1+a)xln(1+a),可得g′(x)=axln2a+(1+a)xln2(1+a)>0.

所以,函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

當f′(0)=lna+ln(1+a)≥0,即ln [a(1+a)]≥0,亦即a(1+a)≥1時,①式在(0,+∞)上恒成立.

點評：將函數(shù)的單調性問題轉化為對應的不等式恒成立問題,這是解決問題的關鍵,其中融入函數(shù)與導數(shù)的應用,以及導數(shù)的運算等.正確構建不等式是解決問題的重點與難點,也是問題突破的靈魂之處,要加以靈活掌握,同時要注意等價轉化與正確構建.

3.4 函數(shù)的綜合應用

函數(shù)與導數(shù)的綜合應用問題是歷年高考中的主要考點,綜合性強,交匯性高,成為全面考查考生數(shù)學關鍵能力與基本素養(yǎng)的重要載體之一,要引起高度重視.

例4〔2024年重慶市開州中學高三(上)月考數(shù)學試卷〕設函數(shù)f(x)=2lnx-mx2+1.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;

(2)當m=1時,若在f(x)的定義域內存在兩實數(shù)x1,x2,滿足x12.

分析：(1)通過確定函數(shù)的定義域,利用參數(shù)的分類討論,研究導函數(shù)的正負取值情況,進而判斷函數(shù)f(x)的單調性.(2)利用函數(shù)的單調性,結合對稱構造法構建新函數(shù),利用新函數(shù)的單調性的判斷與性質來分析與證明對應的不等式.

當m≤0時,f′(x)>0,則f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增.

(2)證明：當m=1時,f(x)=2lnx-x2+1.

由(1)知f(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減.

又實數(shù)x1,x2滿足x1

當0

所以F(x)在(0,1)上單調遞增.

所以?x∈(0,1),都有F(x)

又0

又1<2-x1<2,x2>1,f(x)在(1,+∞)上單調遞減,所以x2>2-x1,即x1+x2>2.

點評：在解決一些涉及函數(shù)與不等式綜合應用問題時,或證明不等式成立,或利用不等式恒成立等,都可以很好地把函數(shù)與導數(shù)的綜合應用、不等式等相關知識合理交匯與融合,進而借助導數(shù)思維來分析與處理,巧妙實現(xiàn)問題的破解.

4 方法指導,提煉思想

導數(shù)及其應用蘊涵著豐富的數(shù)學思想,涉及一般與特殊、類比等數(shù)學思維方法:

(1)轉化與化歸思想在導數(shù)及其應用中主要用來解決有關不等式恒成立、函數(shù)的單調性等問題.

(2)函數(shù)與方程思想在導數(shù)及其應用中主要用來解決生活中的優(yōu)化問題以及構造函數(shù)證明等式或不等式.

(3)分類討論思想在導數(shù)及其應用中主要用來求解單調區(qū)間、參數(shù)范圍、極值、最值以及不等式恒成立問題等.

(4)數(shù)形結合思想在導數(shù)及其應用中主要用來解決有關方程的根的問題.