王冬月

? 哈爾濱師范大學教師教育學院

1 問題提出

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》重視培養(yǎng)高中生數(shù)學核心素養(yǎng),著重邏輯推理素養(yǎng),數(shù)學課程承擔著培養(yǎng)學生數(shù)學思維品質(zhì)、創(chuàng)新能力和發(fā)現(xiàn)問題能力等的重任.幾何課程中邏輯推理素養(yǎng)的研究較多,但“數(shù)與代數(shù)”“統(tǒng)計與概率”教學中邏輯推理素養(yǎng)的研究卻寥寥無幾.邏輯性和推理論證是數(shù)學最突出的特性,為了更好地落實邏輯推理素養(yǎng),“統(tǒng)計與概率”是很好的實施素材和載體.下面以“組合”教學過程為例,引導學生在邏輯推理的過程中吸收知識,提升自身能力;在體驗知識生成的過程中,培養(yǎng)思維,發(fā)展素養(yǎng),增進問題解決技巧.

2 教學片段

2.1 創(chuàng)設(shè)情境,溫故知新

師:上節(jié)課我們剛剛學習了排列的知識,下面一起回顧一下.

問題1從我們班語數(shù)外物化生六位老師中選出兩位老師參加活動,一名帶隊,一名協(xié)助,可以有多少種不同的選法?

師:選擇使用排列方法分析、解決問題的理由是什么呢?

預設(shè):要從中選出不同的老師,并且安排不一樣的任務(wù).

師:我們能列出所有可能的30種不同方案,列舉時要思考差異性——元素的差異性及位置的差異性,先取后排.

2.2 實例分析,概念辨析

問題2從這6位老師中選出2位組織下午的課外活動,可以有多少種不同的選法?

追問:問題1與問題2一樣嗎?

預設(shè):問題1有位置的差異性,問題2沒有.

師:那大家認為有多少種不同的方案?

預設(shè):15種.從6位中選2位,且工作不同有30種選法,但問題2中2個人的工作沒有差異,應(yīng)該用30除以2,是15種.

師:問題2中從6個不同元素中選2個元素,直接合成一組,不需要按順序排成一列,即使變換元素的位置或順序,也不影響最后的選擇.這就是我們今天要學習的組合問題.

組合的概念:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.

2.3 不斷深化,概念理解

師:思考“兩個相同的組合滿足什么條件”?

預設(shè):元素相同.

師:那兩個相同的排列呢?

預設(shè):元素相同且相同元素的位置也相同.

師:排列與組合共同點——兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素;不同點——排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).

問題3結(jié)合組合的定義,判斷下面的問題是排列問題,還是組合問題?

平面中有A,B,C,D,E共5個點.

(1)以其中2個點為端點的線段共有多少條?

(2)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?

問題4判斷一個問題是排列問題或是組合問題的依據(jù)是什么?

師生合作:排列問題需要考慮元素的差異性和位置的差異性;組合問題只需考慮元素的差異性,不需要考慮位置的差異性.

設(shè)計意圖：在分析和練習中讓學生熟悉組合和組合數(shù)的概念,進而靈活運用排列數(shù)解決問題.數(shù)學推理的表現(xiàn)是問題解決的過程,在此過程中要注重發(fā)展學生邏輯推理等核心素養(yǎng).

師:問題2的選法種數(shù)可以表示成什么?

師:這個猜想是否正確呢?下面我們一起證明這個猜想.

2.4 合作探究,嚴謹證明

師:每一種取法對應(yīng)多少種排法?

師:怎么用排列數(shù)求出對應(yīng)的組合數(shù)?

師:我們驗證了之前的猜想是正確的!因此,可以得到組合數(shù)的公式

3 教學反思

3.1 讀懂吃透教材,教學內(nèi)容整體分析

排列、組合是兩類重要的計數(shù)問題,也是培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)的好素材,要讀懂吃透教材,對內(nèi)容整體分析后再開始教學.本節(jié)課教學中,先提出學習任務(wù),然后通過實例概括出組合的概念,最后應(yīng)用分步計數(shù)原理和排列數(shù)公式推出組合數(shù)公式[1].在教學中,難點是學生對問題背景的理解,不然會導致重復或遺漏.這是個數(shù)學化的過程,學生需要掌握一些技巧,如“插空法”“捆綁法”“先分類、后分步”等,可以通過不同情境進行訓練和辨析,結(jié)合具體問題的對比來啟發(fā)學生,抓住“順序”這個不同點來區(qū)別排列問題與組合問題.

3.2 融合關(guān)鍵要素,落實邏輯推理素養(yǎng)

在教學過程中培養(yǎng)學生邏輯推理素養(yǎng)要融合邏輯推理素養(yǎng)的關(guān)鍵要素,組合的教學設(shè)計片段中就是按照“定義與命題的表達、推理的一般形式、歸納推理及演繹推理的思維過程”這四個關(guān)鍵要素[2]來進行培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)的教學.首先創(chuàng)設(shè)情境,讓學生體會排列與組合間的共性和差異,抽象現(xiàn)實背景,抽象成數(shù)學問題,用數(shù)學的語言表達組合的定義,對概念進行辨析,進一步明確組合問題的概念.其次在解決問題時,應(yīng)該明白推理過程具有動態(tài)性,通過歸納推理尋找規(guī)律并形成數(shù)學命題,再通過演繹推理驗證所得數(shù)學命題的正確性.從特殊、具體的排列數(shù)與組合數(shù)之間的關(guān)系,歸納推理得到一般性規(guī)律,獲得猜想,理解歸納推理得到命題具有或然性,需要數(shù)學證明來證明準確性.最后通過公式的推導,歸納得到一般性的規(guī)律,再演繹推理進行驗證,潛移默化落實邏輯推理素養(yǎng).

3.3 理解感悟思考,緊抓教學設(shè)計重點

創(chuàng)設(shè)合適的情境、提出啟發(fā)性的數(shù)學問題是促進學生邏輯思維發(fā)展的有效方法,教學過程不能單純依靠教師的講述.對于高中數(shù)學教師來說,創(chuàng)設(shè)合適的教學情境和提出合適的數(shù)學問題的關(guān)鍵在于深刻理解數(shù)學知識的本質(zhì),理解概念或方法產(chǎn)生的必要性和應(yīng)用性.教師應(yīng)注重定義和命題的準確表達,明確推理的一般形式,清晰闡明演繹推理和歸納推理的思維過程,鼓勵學生進行思考和推理,培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力和解決問題的能力.這樣的教學方式可以促進學生對數(shù)學的深入理解,并且能夠使他們在實際問題中更好地運用所學的概念和方法.在“理解”與“感悟”的基礎(chǔ)上學會思考,最終發(fā)展和落實邏輯推理核心素養(yǎng),是一線數(shù)學教師進行教學設(shè)計所必須思考的重點.