石佳佳

? 上海市復興高級中學

1 課程分析

函數(shù)是高中數(shù)學的核心內(nèi)容,也是難點部分.在函數(shù)的諸多性質(zhì)中,單調(diào)性無疑是非常重要的.2020年,上海市全面啟用滬教版新編高中數(shù)學教材(下文簡稱為新編教材).與舊版教材相比,新編教材更加注重數(shù)學知識的內(nèi)在邏輯和思想方法,教學概念解釋得更加清晰透徹,大幅提高了教材的可讀性.在新編教材中,“函數(shù)的單調(diào)性”安排在必修第一冊第5章第2節(jié)“函數(shù)的基本性質(zhì)”中,是在函數(shù)概念和表示方法之后,學習的函數(shù)的第二個基本性質(zhì).本節(jié)公開課的教學目標有以下兩點:一是學習函數(shù)單調(diào)性的抽象概念,二是學會根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷給定函數(shù)的單調(diào)性.

新編教材中,對函數(shù)單調(diào)性定義的描述具有一定的抽象性,學生難以準確理解和掌握單調(diào)性的含義.其實,函數(shù)的單調(diào)性普遍存在于一些具體、特殊的函數(shù)中.另外,學生在初中階段已學過一次函數(shù)、二次函數(shù)與反比例函數(shù)等具體函數(shù),對它們的圖象、性質(zhì)等比較熟悉.值得注意的是,學生在第4章已學習了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的函數(shù)值隨著自變量的變化而變化的規(guī)律,對這些類型的函數(shù)的圖象、性質(zhì)等比較熟悉.因此,在給出單調(diào)性的定義之前,筆者首先引導學生回顧指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)等,總結出它們的共同性質(zhì),即根據(jù)函數(shù)值隨著自變量變化而變化的現(xiàn)象,引導學生概括函數(shù)單調(diào)變化的規(guī)律,并用嚴格的數(shù)學語言加以描述,最終抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義.因此,學生在函數(shù)的單調(diào)性概念的學習中,經(jīng)歷從特殊到一般、從具體到抽象的認知過程,培養(yǎng)數(shù)學抽象、邏輯推理、直觀想象等核心素養(yǎng),有助于他們更好地掌握函數(shù)單調(diào)性的概念[1-2].采用上述從特殊到一般的正向過程,通過簡單的函數(shù)案例,總結出函數(shù)單調(diào)性的定義,再采用從一般到特殊的反向過程,帶領學生研究更多具體的函數(shù)單調(diào)性案例[3].此時學生已對函數(shù)的單調(diào)性有較多的認識,因此可適當增加探究案例的復雜程度,讓學生利用所學新概念解決更復雜的問題,增強數(shù)學知識的獲得感,進而提升學習抽象數(shù)學知識的積極性.

2 教學思想

筆者在“函數(shù)的單調(diào)性”教學中,靈活采用了特殊與一般的數(shù)學思想,先是從特殊到一般的正向過程,通過簡單的函數(shù)案例總結出函數(shù)單調(diào)性定義之后,再采用從一般到特殊的反向過程,帶領學生研究更多具體的函數(shù)單調(diào)性案例.2017年普通高等學校全國統(tǒng)一招生理科數(shù)學考試大綱中對特殊與一般的數(shù)學思想有明確的解釋[4]:“特殊與一般的數(shù)學思想是通過對問題的特殊情形(如特殊函數(shù)、特殊數(shù)列、特殊點、特殊位置、特殊值、特殊方程等)的解決,尋求對問題的一般的、抽象的、運動變化的解決思路.”特殊與一般的數(shù)學思想主要包括兩個方面,即從特殊到一般與從一般到特殊.如圖1所示,從特殊到一般,是指在學習抽象的數(shù)學概念、定理、性質(zhì)的過程中(如函數(shù)單調(diào)性),通過從具體的例子著手研究,歸納出知識的本質(zhì)屬性,采用歸納推理最終得出一般性結論.反之,從一般到特殊,是指將得到的一般性結論運用在實踐案例中,運用演繹法處理具體的新問題.

圖1 特殊與一般的數(shù)學思想

3 公開課實錄

3.1 創(chuàng)設情境,引出課題

德國心理學家艾賓浩斯,曾對人類記憶遺忘程度進行了實踐研究.經(jīng)過實際測試,得到表1所示的一些數(shù)據(jù):

表1

師:請同學們用描點法畫出“艾賓浩斯遺忘曲線”,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?

生:記憶量隨著時間的增長而減小,從圖象上來看,呈下降趨勢.

師:仔細觀察遺忘曲線,能給我們怎樣的啟示呢?

生:當我們學了一個新知識暫時記住之后,很快就會開始遺忘,而且在記住后的兩天內(nèi)就會遺忘大部分.隨著時間的推移,保留的記憶量越來越少,遺忘的越來越多.因此,可以總結出人腦的記憶保留量隨著時間的增長而逐漸遞減;反之,記憶遺忘量隨著時間的增長而逐漸增多.艾賓浩斯遺忘曲線告訴我們,學習完一個新的知識要及時復習,這樣才能提高學習效率.

師:非常好!回歸到本節(jié)課內(nèi)容,圖象呈上升或下降趨勢反映了函數(shù)的一個基本性質(zhì),即本節(jié)所研究的函數(shù)的單調(diào)性.

師生互動:教師提出問題,學生思考回答,教師補充并引出本節(jié)課題.

設計意圖：一個好的問題能引起學生興趣,啟迪學生的思考,將思維引向深刻.利用“艾賓浩斯遺忘曲線”引入新課,可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,引發(fā)探究數(shù)學知識的欲望.

3.2 從特殊到一般

師:我們已經(jīng)學習了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,它們的單調(diào)性如何?

生:指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)在區(qū)間(-∞,+∞)上是嚴格增函數(shù).圖象由左至右是上升的,函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大.

師:如何用符號語言描述指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)在區(qū)間(-∞,+∞)上是嚴格增函數(shù)?

生:任取x1,x2∈(-∞,+∞),當x11)在(-∞,+∞)上是嚴格增函數(shù).

師:很好!那對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)的單調(diào)性呢?

生:對數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)在區(qū)間(0,+∞)上是嚴格增函數(shù).圖象由左至右是上升的,函數(shù)值y隨著自變量x的增大而增大,即任取x1,x2∈(0,+∞),當x11)在區(qū)間(0,+∞)上是嚴格增函數(shù).

師:結合指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)在給定區(qū)間上是嚴格增函數(shù)的符號語言,能給一般函數(shù)y=f(x),x∈D下一個嚴格增函數(shù)的定義嗎?

生:任意x1,x2∈D,當x1

師:有沒有不同的意見?是所有的函數(shù)在定義域上都是嚴格增函數(shù)嗎?你能舉出反例嗎?

生:y=x2的定義域為R,而它在區(qū)間[0,+∞)上是嚴格增函數(shù).

師:非常好!所以我們需要修訂定義中的區(qū)間,不妨設區(qū)間I是D的一個子集.下面給出課本上對一般函數(shù)單調(diào)性下的定義:“對于定義在D上的函數(shù)y=f(x),設區(qū)間I是D的一個子集.對于區(qū)間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2,當x1

師:類比嚴格增函數(shù)的定義,你能否給嚴格減函數(shù)下一個定義?

生:對于定義在D上的函數(shù)y=f(x),設區(qū)間I是D的一個子集,對于區(qū)間I上的任意給定的兩個自變量的值x1,x2,當x1f(x2),就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是嚴格減函數(shù);如果總有f(x1)≥f(x2),就稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù).

師:非常好!上述我們定義的“嚴格增”“嚴格減”“增”及“減”統(tǒng)稱為函數(shù)的單調(diào)性.

師:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義,嚴格增函數(shù)是增函數(shù)嗎?增函數(shù)是嚴格增函數(shù)嗎?

生:嚴格增函數(shù)是增函數(shù),但增函數(shù)未必是嚴格增函數(shù).

設計意圖：引導學生采用從特殊到一般的數(shù)學思想,用符號語言定義函數(shù)的單調(diào)性.

3.3 從一般到特殊

(1)常值函數(shù)的單調(diào)性

師:下面探究常值函數(shù)y=c(c∈R)的單調(diào)性,請同學們分小組討論.

生:結合函數(shù)單調(diào)性的定義,常值函數(shù)y=c(c∈R)在定義域(-∞,+∞)上既是增函數(shù)也是減函數(shù).

(2)二次函數(shù)的單調(diào)性

師:探究二次函數(shù)y=x2-2x的單調(diào)性,并加以證明.

生:先結合該二次函數(shù)的圖象得出初步結論,再通過函數(shù)單調(diào)性的定義給出證明.

令f(x)=x2-2x,設x1

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x1+x2-2)>0,

因此f(x1)>f(x2).故y=x2-2x在(-∞,1]上為嚴格減函數(shù).

同理,y=x2-2x在[1,+∞)上為嚴格增函數(shù).

師:你能歸納出利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟嗎?

生:①設x1,x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個實數(shù),且x1

②比較f(x1)與f(x2)的大小;

③給出結論.

師:上述二次函數(shù)y=x2-2x在區(qū)間[-2,2]上是嚴格減函數(shù)嗎?

生:不是.當x=1時,f(x)=-1;x=2時,f(x)=0.

師:你能構造一個二次函數(shù),使得它在區(qū)間[-2,2]上是嚴格減函數(shù)嗎?

生:若二次函數(shù)的圖象開口向上,則只需對稱軸在區(qū)間[-2,2]的右側即可.

師:結合上述特殊的二次函數(shù),探究一般二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a<0)的單調(diào)性,并加以證明.

設計意圖：利用函數(shù)單調(diào)性的定義,探究常值函數(shù)、二次函數(shù)等特殊函數(shù)的單調(diào)性問題,鞏固了函數(shù)單調(diào)性的定義,更體現(xiàn)出一般到特殊的數(shù)學思想.

3.4 課堂小結

師:這節(jié)課主要學習了什么?有何收獲?

生:通過“艾賓浩斯遺忘曲線”的引入,結合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等特殊的例子,學習了函數(shù)單調(diào)性的定義,并掌握了利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法與步驟.

師:本節(jié)課體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想?

生:從“特殊到一般”、再從“一般到特殊”的辯證數(shù)學思想.

4 舉一反三

新編教材著重強調(diào)培養(yǎng)學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng),擺在第一位的便是數(shù)學抽象能力,即從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構,并用抽象的數(shù)學語言予以表征.在結構安排上,新編教材在介紹抽象概念之前,會先介紹相關具體化的概念.例如,在必修第一冊第5章介紹函數(shù)性質(zhì)之前,先在第4章介紹指數(shù)與對數(shù)函數(shù);在必修第二冊第7章介紹三角函數(shù)之前,先在第6章介紹三角的數(shù)學概念;等等.特殊與一般的思想方法不僅符合學生對新概念的認知規(guī)律,也符合新編教材編排規(guī)律與課程標準提出的提高學生推理能力的要求[5].因此,在新知識、新概念的教學過程中,結合具體授課內(nèi)容特點,靈活實施特殊與一般的數(shù)學思想,注重在分析、歸納與概括的過程中形成概念,并在概念形成之后,運用具體練習強化對新學概念的理解,最終能提升學生掌握新編教材中抽象數(shù)學知識的能力[6].

5 小結

綜上可知,滬教版新編數(shù)學教材加強了對學生數(shù)學抽象能力的培養(yǎng),對一線教師的教學能力與水平提出了更高的要求.本文中以函數(shù)單調(diào)性的抽象定義教學為例,提出利用從“特殊到一般”、再從“一般到特殊”的數(shù)學思想,引導學生在具體案例與一般定義之間靈活轉換思維,使抽象的數(shù)學定義形象化,破解學生對抽象數(shù)學知識的學習障礙.在實際教學當中,教師應深挖新編教材的結構規(guī)律,了解學生已掌握的知識背景,合理安排與選取典型的教學案例,促使學生全面提升掌握抽象數(shù)學概念的能力.