孫寶慶

摘要：復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)自身的延伸與拓展，也是“數(shù)”“形”結(jié)合的很好例證.結(jié)合復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用的一些常見場(chǎng)景實(shí)例，結(jié)合概念、運(yùn)算、綜合問題以及創(chuàng)新問題等方面，剖析復(fù)數(shù)幾何意義應(yīng)用的內(nèi)涵實(shí)質(zhì)，歸納總結(jié)解題規(guī)律與技巧，本文中指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；幾何意義；概念；運(yùn)算；綜合

通過建立平面直角坐標(biāo)系，引入復(fù)平面，就可以把相應(yīng)的復(fù)數(shù)（代數(shù)問題）轉(zhuǎn)化為復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（幾何問題）來分析與研究，建立了數(shù)形結(jié)合的通道，實(shí)現(xiàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，為進(jìn)一步利用復(fù)數(shù)來解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題提供了方便.建立了復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）、向量OZ=（a，b）與復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）三者之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，為我們用復(fù)數(shù)方法解決幾何問題、復(fù)數(shù)方法解決向量問題、向量方法解決復(fù)數(shù)問題，以及它們反過來解決對(duì)應(yīng)的問題等創(chuàng)造了條件.

1 復(fù)數(shù)中的概念問題

例1? 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=－sin 2－icos 2的共軛復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（? ）.

A.第一象限????? B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，確定對(duì)應(yīng)三角函數(shù)值的正負(fù)，再利用共軛復(fù)數(shù)的概念，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部的正負(fù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義等判斷相應(yīng)點(diǎn)的位置.

解析：因?yàn)?弧度對(duì)應(yīng)的角的終邊在第二象限，則有sin 2>0，cos 2<0.

又復(fù)數(shù)z=－sin 2－icos 2的共軛復(fù)數(shù)為z=－sin 2+icos 2，可得－sin 2<0，cos 2<0.

結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)z=－sin 2+icos 2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.

故選：C.

點(diǎn)評(píng)：借助復(fù)數(shù)的幾何意義，合理構(gòu)建起復(fù)數(shù)z=a+bi（a，b∈R）在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)Z（a，b），結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，利用點(diǎn)Z（a，b）所滿足的條件來判斷復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的幾何特征等.涉及復(fù)數(shù)的基本概念問題，要充分把握概念的實(shí)質(zhì)，挖掘概念的內(nèi)涵，不要產(chǎn)生混淆，否則容易出錯(cuò).

2 復(fù)數(shù)中的線性運(yùn)算問題

例2? 已知復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量OZ1的終點(diǎn)在第四象限，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量OZ2的終點(diǎn)也在第四象限，那么復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的向量OZ的終點(diǎn)在（? ）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合兩復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量的終點(diǎn)均在第四象限，利用復(fù)數(shù)的幾何意義以及對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，從幾何視角來直觀分析與處理，進(jìn)而確定兩復(fù)數(shù)的和所對(duì)應(yīng)的向量的終點(diǎn)位置.

解析：依題意可知，復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的向量OZ1的終點(diǎn)在第四象限，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的向量OZ2的終點(diǎn)也在第四象限，結(jié)合復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算的幾何意義，借助平行四邊形法則，可知復(fù)數(shù)z1+z2對(duì)應(yīng)的向量OZ的終點(diǎn)一定在復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)的向量所在的直線的之間位置，即其終點(diǎn)也是在第四象限.

故選：D.

另解：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R）.

由題意可知，復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則a＞0，b＜0.

同理c＞0，d＜0.

又z1+z2=a+bi+c+di=（a+c）+（b+d）i，所以a+c＞0，b+d＜0.

故z1+z2對(duì)應(yīng)的向量OZ的終點(diǎn)在第四象限.

點(diǎn)評(píng)：直接抓住復(fù)數(shù)加法運(yùn)算的幾何意義，從“形”的視角切入，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的向量問題，直觀明了，易于分析.特別地，涉及兩個(gè)復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算，借助對(duì)應(yīng)的幾何意義解題時(shí)，既可以使用平行四邊形法則，也可以使用三角形法則.

3 復(fù)數(shù)中的綜合運(yùn)算問題

例3? 復(fù)數(shù)z=1+i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A，將點(diǎn)A向右平移一個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，將點(diǎn)B繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，再將點(diǎn)C向上平移一個(gè)單位長度得到點(diǎn)D，則點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，由條件中給出的復(fù)數(shù)確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換等依次確定對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而由點(diǎn)的坐標(biāo)還原對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).

解析：依題意可知，點(diǎn)A為（1，1），將點(diǎn)A向右平移一個(gè)單位得到點(diǎn)B（2，1），而將點(diǎn)B繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C，結(jié)合對(duì)稱性知，點(diǎn)C為（－1，2），再將點(diǎn)C向上平移一個(gè)單位長度得到點(diǎn)D（－1，3）.

所以點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1+3i.

故填答案：－1+3i.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的平移變換、旋轉(zhuǎn)變換（以90°旋轉(zhuǎn)等）、對(duì)稱變換（以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱變換，以坐標(biāo)軸、象限的角平分線等為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱變換）等，巧妙融入復(fù)數(shù)或平面向量的相關(guān)知識(shí)，借助復(fù)數(shù)的幾何意義加以綜合.

4 復(fù)數(shù)的綜合問題

例4? 已知復(fù)數(shù)z=3+ai（a∈R），且滿足|z|<4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的模的條件，可以從代數(shù)思維與幾何思維視角切入，分別通過模的代數(shù)運(yùn)算與不等式求解，以及復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用等來分析與解決，各有千秋，殊途同歸.

解法一：代數(shù)思維.

依題意可知，z=3+ai（a∈R），可得|z|=32+a2.

由已知可得32+a2<42，即a2<7，解得－7

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

解法二：幾何思維.

如圖1所示，由|z|<4知，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)（不包括邊界）.

由z=3+ai知，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x=3上，所以線段AB（除去端點(diǎn)）為動(dòng)點(diǎn)Z的集合，由圖可得－7

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－7，7）.

故填答案：（－7，7）.

點(diǎn)評(píng)：涉及復(fù)數(shù)的模的綜合問題，有其“數(shù)”的基本屬性，也有其“形”的結(jié)構(gòu)特征，具有對(duì)應(yīng)的幾何意義.借助復(fù)數(shù)的幾何意義來解決一些與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的綜合問題，可以進(jìn)一步拓展復(fù)數(shù)中的代數(shù)本質(zhì)，以更直觀形象的視角來挖掘復(fù)數(shù)中的幾何內(nèi)涵，為綜合問題的解決提供更加廣闊的空間.

5 復(fù)數(shù)的創(chuàng)新問題

例5? 18世紀(jì)末，挪威測(cè)量學(xué)家維塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來表示復(fù)數(shù)，使復(fù)數(shù)及其運(yùn)算具有了幾何意義，例如|z|=|OZ|，也即復(fù)數(shù)z的模的幾何意義為z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，i為虛數(shù)單位，則|z+3－4i|的最小值為.

分析：根據(jù)題設(shè)條件，由題設(shè)場(chǎng)景中給出的復(fù)數(shù)z的模的幾何意義，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何問題，利用圖形直觀，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系加以分析與判斷，進(jìn)而確定相應(yīng)的最值問題.

解析：依題意可設(shè)z=x+yi（x，y∈R）.

由題意可知|z|=1，利用復(fù)數(shù)的模的概念可知，x2+y2=1，其幾何意義為以O(shè)（0，0）為圓心，半徑為r=1的圓.

由于|z+3－4i|的幾何意義是圓O上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（－3，4）的距離，又

|OP|=32+42=5，因此根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可知，|z+3－4i|的最小值為|OP|－r=5－1=4.

故填答案：4.

點(diǎn)評(píng)：我們知道，復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算等都具有各自對(duì)應(yīng)的幾何意義，有其“形”的幾何特征，充分挖掘并利用這些相關(guān)要素的幾何意義，可以很好地將相應(yīng)的“代數(shù)”問題巧妙轉(zhuǎn)化為“幾何”問題，從不同思維視角、不同知識(shí)層面等方面來分析、解決問題，實(shí)現(xiàn)問題的突破與應(yīng)用.

復(fù)數(shù)的幾何意義是復(fù)數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”之間銜接的橋梁，是“數(shù)”與“形”結(jié)合的體現(xiàn).通過復(fù)數(shù)幾何意義的引入與應(yīng)用，淡化了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算和技巧方法訓(xùn)練，可以更好地體會(huì)數(shù)學(xué)體系的建構(gòu)過程、數(shù)形結(jié)合思想以及理性思維在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用，達(dá)到利用復(fù)數(shù)幾何意義的“形”的意識(shí)，結(jié)合復(fù)數(shù)的基本概念、四則運(yùn)算等，明確現(xiàn)實(shí)生活中存在的“數(shù)”，真正達(dá)到數(shù)形結(jié)合.