劉粲辰 劉子奕 王楨宇

摘要：通過一道新情境下解析幾何試題命制的過程，揭示解析幾何試題對(duì)于直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)價(jià)值，探索科學(xué)備考途徑.

關(guān)鍵詞：解析幾何；試題命制；數(shù)學(xué)運(yùn)算

1 原創(chuàng)試題

圖1是一款新型多功能無人機(jī)，兼具航拍、監(jiān)測(cè)、跟蹤、定位、巡邏等功能.無人機(jī)機(jī)架采用對(duì)稱排列結(jié)構(gòu)便于抵消反扭距，所以旋翼多采用偶數(shù)對(duì)稱排列.其機(jī)架形狀的俯視圖可看作曲線Γ：x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1（λ>0）的一部分（圖2）.

（1）求曲線Γ上一點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值.

（2）過曲線Γ上一點(diǎn)P作兩條直線l3和l4，與已知直線l1：y=x和l2：y=－x，有l(wèi)2∩l3=A，l1∩l4=B，l3∥l1且l4∥l2.同時(shí)l3，l4分別與Γ交于兩點(diǎn)C，D.曲線Γ是否存在無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得SOAPB=S△CDB.若存在，請(qǐng)求出該面積的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

2 設(shè)計(jì)思路

命題的初衷是以解析幾何為載體，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象核心素養(yǎng)，把高考的導(dǎo)向考出來，把

教學(xué)的成果考出來，把學(xué)生的能力區(qū)分開，把學(xué)生的努力考出來.考查內(nèi)容為雙曲線的圖形、性質(zhì)、直線的平行與垂直、斜率、點(diǎn)到直線距離公式、面積公式、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等，涉及的方法主要是坐標(biāo)法，即用代數(shù)的方法研究幾何問題.由于設(shè)置了問題背景，因此需要學(xué)生通過閱讀材料提取信息，并完成解答.

3 試題命制過程

3.1 學(xué)習(xí)探究階段

命制思路來自于筆者研究的北京卷 “心形曲線”（圖3），它其實(shí)是兩個(gè)斜橢圓（圖4）的拼接，站在橢圓的角度去理解題目，可以清晰看到設(shè)計(jì)思路，且容易完成解答.將焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓轉(zhuǎn)化為斜橢圓，可以采用復(fù)數(shù)或向量的方法進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，這均是課本內(nèi)容，學(xué)生較容易理解，而通過旋轉(zhuǎn)，可以將常規(guī)問題變得不常規(guī)，實(shí)現(xiàn)考查數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

3.2 類比遷移階段

拋物線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以變成我們熟悉的二次函數(shù)，在新教材人教A版選擇性必修一第133頁“探究與發(fā)現(xiàn)”中對(duì)該內(nèi)容做過解釋，那么等軸雙曲線呢？等軸雙曲線旋轉(zhuǎn)過后就是反比例函數(shù)圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，“旋轉(zhuǎn)”的操作可以將解析幾何和函數(shù)有機(jī)結(jié)合在一起，甚至在某些時(shí)刻二者可以互相補(bǔ)充，合力解決問題.

3.3 模型確定階段

本題中研究的是等軸雙曲線，并將面積定值問題確定為考查方向，這是反比例函數(shù)中比較常見的定值模型，但將反比例函數(shù)旋轉(zhuǎn)變換后，對(duì)學(xué)生能力的要求就相應(yīng)提高了.同樣，在真正的運(yùn)算求解中，本題也將“坐標(biāo)法”確定為考查重點(diǎn)，這是強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，更是解析幾何問題的核心.

最初確定方程為x2－y2=±2，然后推廣到更一般的形式，即本題中的方程.

3.4 情境創(chuàng)設(shè)階段

教育部《關(guān)于做好2021年普通高校招生工作的通知》指出：高考命題要堅(jiān)持立德樹人，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展的考查和引導(dǎo).要優(yōu)化情境設(shè)計(jì)，增強(qiáng)試題開放性、靈活性，充分發(fā)揮高考命題的育人功能和積極導(dǎo)向作用，引導(dǎo)減少“死記硬背”和“機(jī)械刷題”現(xiàn)象.

所以在題目確定完畢后，筆者決定為其選擇適合的情境，當(dāng)時(shí)備選的是三個(gè)圖形（圖5），而無人機(jī)人盡皆知，背景公平，又有科技發(fā)展的導(dǎo)向性，于是選擇“無人機(jī)曲線”.

4 試題分析

本題作為一道解析幾何題，問題設(shè)置為兩問，但學(xué)生認(rèn)識(shí)問題需要經(jīng)歷三個(gè)階段.

階段1：方程解讀.

學(xué)生需要理解題意，能夠?qū)η€方程x4λ2+y4λ2=2x2y2λ2+1進(jìn)行整理.如果完全遵從之前研究類似未知曲線的方法，僅從對(duì)稱性、特殊點(diǎn)等方向入手，又會(huì)被復(fù)雜式子嚇到，不敢化簡，則無法進(jìn)行后續(xù)的研究.

敢于化簡該方程的學(xué)生，都不會(huì)遇到阻礙，尤其是有圖2的輔助，原本容易發(fā)生的丟正負(fù)號(hào)的錯(cuò)誤也會(huì)大幅減少.

階段2：雙曲線基本性質(zhì).

題目配圖2已經(jīng)提示了共軛雙曲線的特征，這一點(diǎn)從方程也可發(fā)現(xiàn).第（1）問設(shè)置較為簡單，考查了雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值問題，這是雙曲線的簡單性質(zhì)，視學(xué)生水平也可以將原點(diǎn)改為焦點(diǎn)，則計(jì)算稍稍復(fù)雜一點(diǎn).

第（1）問并非簡單意義的送分題，而是在考查性質(zhì)的同時(shí)，給學(xué)生提供了坐標(biāo)化的導(dǎo)向，這為第（2）問中面積的表示指明了方向.雖然題目背景較新穎，但考查解析幾何計(jì)算的本質(zhì)沒有改變.

階段3：數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象核心素養(yǎng).

第（2）問是題目的主體部分，涉及點(diǎn)線較多，容易給學(xué)生造成心理壓力，但其算理是非常清晰的，根據(jù)題目設(shè)方程、聯(lián)立、求坐標(biāo)、表示面積，并沒有需要思維跳躍的地方，這也是由本題設(shè)計(jì)的初衷即考查數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的命題目標(biāo)確定的.

同時(shí)，第（2）問也給了數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高的學(xué)生以空間，審題時(shí)畫出圖形后，如果能夠?qū)⒃嚲硇D(zhuǎn)一下觀察就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這是大家較為熟悉的反比例函數(shù)問題，口算即可完成.這需要學(xué)生有較強(qiáng)的直觀想象能力，也正是命題中常說的多想少算原則.詳見圖6、圖7中的思維導(dǎo)圖分析.

5 思維導(dǎo)圖

第（1）問的思維導(dǎo)圖（圖6）：

方程轉(zhuǎn)化性質(zhì)分析距離表示化簡消元求出最值

第（2）問的思維導(dǎo)圖（圖7）：

6 從試題解答看思維層次差異

第（1）問所求的最小值為λ（過程略）.下面重點(diǎn)分析第（2）問的解法.

方法1：基于點(diǎn)線關(guān)系的解析法.

解：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）在Γ上半支，則y20－x20=λ.設(shè)直線l3：y－y0=x－x0，聯(lián)立x2－y2=λ，y－y0=x－x0，可得x2－（x+y0－x0）2=λ，解得xC=λ+（x0－y0）22（x0－y0），yC=λ－（x0－y0）22（x0－y0）.

同理，可得xD=λ+（x0+y0）22（x0+y0），yD=（x0+y0）2－λ2（x0+y0）.

由于CP⊥DP，因此S△BCD=12|BD|·|CP|.因?yàn)閘1∩l4=B，于是聯(lián)立y=x，y－y0=－（x－x0），解方程組可得xB=x0+y02，yB=x0+y02.根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，算出|BD|=

x0+y02－λ+（x0+y0）22（x0+y0）2+x0+y02－（x0+y0）2－λ2（x0+y0）2，化簡，可得|BD|=λ2|x0+y0|.

同理，可得|CP|=2λ|x0－y0|.

所以S△BCD=12·λ2|x0+y0|·2λ|x0－y0|=λ22|－λ|=λ2.

又l3∥l1，l4∥l2，且l1⊥l2，所以四邊形OAPB為矩形.分別求出點(diǎn)P到l1和l2的距

離d1=|x0－y0|2和d2=|x0+y0|2，于是SOAPB=d1d2=λ2.

綜上所述，曲線Γ存在無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

上述方法1是學(xué)生容易選擇的解法，這也是解析幾何機(jī)械刷題的產(chǎn)物，并未注意觀察圖形結(jié)構(gòu)以及合理簡化運(yùn)算.下面通過兩個(gè)角度對(duì)方法1進(jìn)行優(yōu)化.

方法1-1：基于對(duì)稱關(guān)系的解析法優(yōu)化.

解：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）在Γ上支，由點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于y=－x對(duì)稱，可得C（－y0，－x0），所以

|PC|=（x0+y0）2+（y0+x0）2=2|x0+y0|.

又由點(diǎn)P與點(diǎn)D關(guān)于y=x對(duì)稱，得D（y0，x0），所以|BD|=22|x0－y0|.

因?yàn)辄c(diǎn)P（x0，y0）在Γ上支，所以y20－x20=λ.

通過該式代換|BD|，|PC|，可以得到與方法1相同的結(jié)果，因無需聯(lián)立解方程組，所以計(jì)算過程要簡單很多，后同方法1即可.

方法1-2：融入證明的解析法優(yōu)化.

解：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0）在第一象限Γ的上支，因?yàn)閘3∥l1，l4∥l2且l1⊥l2，首先由對(duì)稱性來證明面積相等.

因?yàn)镾△BCD=12|BD|·|CP|且|PC|=2|PA|，|PB|=|BD|，

所以S△BCD=12|PB|·2|PA|=|PB|·|PA|=SOAPB.所以曲線Γ存在無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得SOAPB=S△BCD.后同方法1，證明面積相等后，則可以選擇其中一個(gè)圖形計(jì)算面積，其對(duì)計(jì)算過程的優(yōu)化是非常明顯的.

方法2：旋轉(zhuǎn)變換法.

人民教育出版社普通高中教科書必修第二冊(cè)第87頁講到了復(fù)數(shù)的三角表示及其幾何意義.據(jù)此可以通過復(fù)數(shù)乘法將圖8中的所有點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4得到圖9，進(jìn)而在圖9中研究該問題，可以大幅簡化運(yùn)算.

解：根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義，可知點(diǎn)（x′，y′）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π4后變成

22（x′－y′），22（x′+y′），代入x2－y2=±λ，得變換之后方程為y′=±λ2x′（如圖9）.

旋轉(zhuǎn)變換之后，l1和l2與坐標(biāo)軸重合，且所求圖形面積不變，設(shè)P（x0，y0），則

SOAPB=|x0y0|=λ2.

因?yàn)镃（－x0，y0），D（x0，－y0），結(jié)合S△CDB=S△OBC+S△OBD，可得

S△CDB=2×12|OB||DB|=λ2.

綜上所述，曲線Γ存在無數(shù)個(gè)這樣的點(diǎn)P，使得SOAPB=S△CDB=λ2.

7 試題測(cè)試反饋與分析

試題命制完成后，在我校高二年級(jí)的階段學(xué)情調(diào)研中進(jìn)行了考查，測(cè)試結(jié)果如表1所示：

從試題的解答來看，大多數(shù)學(xué)生并未受到情境的干擾，能較快地整理出雙曲線方程，但題

干對(duì)于部分學(xué)生還是具有比較強(qiáng)的干擾性，這從大量的0分學(xué)生人數(shù)即可看出.從計(jì)算過程來看，思路比較明確，符合多想少算的原則，思維能力較強(qiáng)的學(xué)生能夠輕松求解，而“機(jī)械刷題”的學(xué)生將面對(duì)巨大困難.

從學(xué)生解答來看，選擇方法1的比較多，但只有極少數(shù)學(xué)生能夠完成運(yùn)算，滿分學(xué)生大多都是通過方法1-1和1-2的方式簡化了運(yùn)算，體現(xiàn)了較強(qiáng)的思維能力.對(duì)于方法2的旋轉(zhuǎn)變換，沒有學(xué)生選擇.當(dāng)然，這和日常教學(xué)的導(dǎo)向有關(guān)，也和高考的考查方向有關(guān)，但是對(duì)于優(yōu)秀的學(xué)生，還是要讓他們認(rèn)識(shí)到這些特殊的變換對(duì)解題有幫助.同樣地，教學(xué)中也要經(jīng)常呈現(xiàn)一些橢圓通過伸縮變換轉(zhuǎn)化成圓解決問題的例子，這些還是要讓優(yōu)秀學(xué)生了解的.

以上是筆者對(duì)新情境下解析幾何試題命制的思考，從做題的學(xué)生角色轉(zhuǎn)換為命題的教師角色，切實(shí)感受到了視角不同帶來的思維躍升，因而對(duì)解析幾何有了新的理解，也逐漸嘗試在學(xué)習(xí)解題的過程中，觸摸試題的溫度，體味命題者的思想.這真是奇妙的歷程，或許更是學(xué)習(xí)的捷徑.

我愛數(shù)學(xué)，未來一起加油！