李強(qiáng)

摘要：基本不等式及其應(yīng)用，是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，也是一個(gè)基本解題工具.結(jié)合基本不等式的應(yīng)用與關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，借助合理分拆、巧妙拼裝、正確配湊、準(zhǔn)確合成等方式加以綜合與應(yīng)用，剖析應(yīng)用基本不等式的技巧與方式，開拓解題思路，提升數(shù)學(xué)品質(zhì).

關(guān)鍵詞：基本不等式；分拆；拼裝；配湊；合成

基本不等式作為高中數(shù)學(xué)“不等式”章節(jié)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，一直是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中考查的重點(diǎn)與熱點(diǎn).在具體考查中，有時(shí)以簡(jiǎn)單問(wèn)題的形式單獨(dú)考查基本不等式，有時(shí)與其他相關(guān)知識(shí)加以交匯與融合來(lái)綜合考查與應(yīng)用，是每年高考必考的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn).其中涉及基本不等式的應(yīng)用技巧與策略比較強(qiáng)，需要對(duì)條件進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?，合理?gòu)建出適用基本不等式的條件——“一正、二定、三相等”，進(jìn)而結(jié)合基本不等式及其變形公式等加以多視角、多層面的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)最值的確定與不等式的確定等＼.

下面就基本不等式的應(yīng)用過(guò)程中幾個(gè)基本的變換技巧與策略加以實(shí)例剖析，進(jìn)行分拆處理、拼裝轉(zhuǎn)化、配湊構(gòu)建、合成組合等，拋磚引玉，供參考與學(xué)習(xí).

1 分拆

根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理分拆相關(guān)的項(xiàng)，或平均分拆，或根據(jù)系數(shù)關(guān)系按比例分拆等，與其他相關(guān)的項(xiàng)重新合理組合，進(jìn)而滿足應(yīng)用基本不等式的條件，為進(jìn)一步巧妙利用基本不等式來(lái)合理放縮處理提供條件并指明方向＼.

例1? （2021年高考數(shù)學(xué)天津卷第13題）已知a>0，b>0，則1a+ab2+b的最小值為.

分析：根據(jù)所求目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合基本不等式的應(yīng)用條件，合理分拆處理，巧妙利用基本不等式加以放縮與變形，即可求解對(duì)應(yīng)代數(shù)式的最值.解決問(wèn)題時(shí)兩次利用基本不等式，要注意等號(hào)成立的條件.

解析：根據(jù)題設(shè)條件，由a>0，b>0，合理分拆相關(guān)的項(xiàng)，并利用基本不等式，可得1a+ab2+b=1a+b2+ab2+b2≥21a×b2+2ab2×b2=2b2a+2a2b=2ba+2ab≥22ba×2ab=22，當(dāng)且僅當(dāng)1a=b2且ab2=b2，即a=b=2時(shí)，等號(hào)成立.

所以1a+ab2+b的最小值為22.

故填答案：22.

點(diǎn)評(píng)：合理分拆，構(gòu)建能利用基本不等式的基本條件，為進(jìn)一步利用基本不等式進(jìn)行放縮提供場(chǎng)景.充分挖掘題目目標(biāo)代數(shù)式的參數(shù)、系數(shù)等的數(shù)字特征，為構(gòu)建“和定值”或“積定值”進(jìn)行必要的分拆處理.特別地，兩次及以上利用基本不等式時(shí)，要注意確定滿足等號(hào)成立的條件之間的一致性.

2 拼裝

根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理拼裝相關(guān)的項(xiàng)，或移項(xiàng)處理，或合理組合等，構(gòu)建符合利用基本不等式的基本條件，借助基本不等式來(lái)合理轉(zhuǎn)化與變形，合理放縮應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

例2? 〔2022屆浙江省寧波市高三第二學(xué)期高考模擬考試（寧波二模）數(shù)學(xué)試卷·8〕正實(shí)數(shù)a，b，c互不相等且滿足a2+b2+c2=2ab+bc，則下列結(jié)論成立的是（? ）.

A.2a>b>c

B.2a>c>b

C.2c>a>b

D.2c>b>a

分析：根據(jù)題設(shè)條件中的代數(shù)關(guān)系式，通過(guò)不同視角的拼裝，利用基本不等式來(lái)放縮，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)判斷相應(yīng)兩變量所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式之間的大小，進(jìn)而得以確定不等式結(jié)論成立的選項(xiàng).

解析：由a2+b2+c2=2ab+bc，利用基本不等式，可得2ab+bc-c2=a2+b2≥2ab.

由于正實(shí)數(shù)a，b互不相等，因此2ab+bc-c2>2ab，即bc-c2>0，可得c（b-c）>0，則有b>c.

又由a2+b2+c2=2ab+bc，利用基本不等式，可得2ab+bc-b2=a2+c2≥2ac.

由于正實(shí)數(shù)a，c互不相等，因此2ab+bc-b2>2ac，即b（2a-b）+c（b-2a）>0，可得

（2a-b）（b-c）>0.

結(jié)合b>c，則有2a>b.

綜上分析，可得2a>b>c.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：充分挖掘題目條件，構(gòu)建利用基本不等式的條件與結(jié)論，注意對(duì)條件中的代數(shù)關(guān)系式進(jìn)行必要的恒等變形，正確地拼裝，為合理利用基本不等式進(jìn)行放縮處理與恒等變形提供條件.在以上問(wèn)題的解析中，要注意利用基本不等式時(shí)，由于參數(shù)之間互不相等，因此等號(hào)不成立.

3 配湊

根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理配湊相關(guān)的項(xiàng).配湊的技巧主要有常數(shù)代換、換元引參、配添分離、升次降冪等.合理的配湊主要是為了構(gòu)建“和定值”或“積定值”，滿足利用基本不等式的條件，進(jìn)而合理應(yīng)用基本不等式來(lái)處理問(wèn)題＼.

例3? 若正數(shù)a，b滿足a>1，b>1，且a+b=3，則1a-1+4b-1的最小值為（? ）.

A.4

B.6

C.9

D.16

分析：根據(jù)題設(shè)條件中的代數(shù)關(guān)系式與目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理配湊組合，利用乘“1”法進(jìn)行常數(shù)代換，構(gòu)建滿足基本不等式的條件，進(jìn)而利用基本不等式的放縮處理來(lái)確定對(duì)應(yīng)目標(biāo)代數(shù)式的最值.

解析：根據(jù)題設(shè)條件，正數(shù)a，b滿足a>1，b>1，且a+b=3，進(jìn)行合理配湊，可得a-1+b-1=1，a-1>0，b-1>0.

所以，由基本不等式，可得1a-1+4b-1=1a-1+4b-1［（a-1）+（b-1）］=5+b-1a-1+4（a-1）b-1≥5+2b-1a-1×4（a-1）b-1=5+4=9，當(dāng)且僅當(dāng)b-1a-1=4（a-1）b-1，即b-1=2（a-1），亦即b=53，a=43時(shí)，等號(hào)成立.

所以1a-1+4b-1的最小值為9.

故選擇答案：C.

點(diǎn)評(píng)：合理配湊，題目類型多樣，技巧方法眾多，關(guān)鍵是要抓住基本不等式的條件，借助相關(guān)的方法配湊對(duì)應(yīng)參數(shù)之間滿足“和定值”或“積定值”，恒等變形來(lái)構(gòu)建目標(biāo)代數(shù)式，為進(jìn)一步利用基本不等式來(lái)分析與處理奠定基礎(chǔ).當(dāng)然，該問(wèn)題也可以直接利用常數(shù)代換，通過(guò)分式的合理配湊來(lái)轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，也可以達(dá)到求解的目的.

4 合成

根據(jù)題設(shè)條件與目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理合成相關(guān)的項(xiàng)，或平方處理，或構(gòu)建對(duì)偶式，或取倒反推，合理創(chuàng)設(shè)條件來(lái)滿足利用基本不等式的場(chǎng)景，進(jìn)一步借助合成過(guò)程的逆向處理來(lái)解決問(wèn)題.

例4? 已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，則a+1+b+1的最大值為（? ）.

A.22

B.4

C.42

D.16

分析：根據(jù)所求目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)合成進(jìn)行所求代數(shù)式的平方處理，利用代數(shù)式的恒等變形與基本不等式的應(yīng)用加以轉(zhuǎn)化，結(jié)合條件確定對(duì)應(yīng)的最值，再利用開方處理來(lái)確定所求代數(shù)式的最值.

解析：根據(jù)題設(shè)條件，因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b滿足a+b=2，所以利用基本不等式，可得

（a+1+b+1）2=（a+1）+（b+1）+2a+1·b+1≤（a+1）+（b+1）+（a+1）+（b+1）=2（a+b+2）=8，

當(dāng)且僅當(dāng)a+1=b+1，即a=b=1時(shí)，等號(hào)成立.

于是a+1+b+1≤22，

所以a+1+b+1的最大值為22.

故選擇答案：A.

點(diǎn)評(píng)：合理合成處理，改變條件中代數(shù)關(guān)系式或目標(biāo)代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，方便進(jìn)一步利用基本不等式來(lái)合理變形與轉(zhuǎn)化.合成代數(shù)式的依據(jù)主要是結(jié)合題目條件與所求結(jié)論的代數(shù)式之間的聯(lián)系，巧妙構(gòu)建二者之間的關(guān)聯(lián)，同時(shí)注意合成的逆向處理.

5 結(jié)束語(yǔ)

在利用基本不等式來(lái)分析與解決相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，首先要合理構(gòu)建吻合基本不等式的適用條件（即等號(hào)成立的條件——“一正、二定、三相等”），進(jìn)而結(jié)合題設(shè)中相關(guān)代數(shù)式結(jié)構(gòu)特征的合理變化與轉(zhuǎn)化，從多個(gè)視角、多個(gè)層面加以恒等變換與巧妙處理，創(chuàng)新性地利用基本不等式進(jìn)行放縮與變形，有效開拓解題思路，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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[3]郭小松.巧用配湊法解決基本不等式相關(guān)問(wèn)題＼.數(shù)理天地（高中版），2022（18）：6-7.