1 提公因式法

提公因式法是一種常用的因式分解法，核心是要找出題目給出的每一項(xiàng)的一個(gè)公因式，將這個(gè)公因式提出來(lái)放在式子的前面，如此便可以將一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的因式乘積的形式，該方法的本質(zhì)就是乘法分配律問(wèn)題.

例1問(wèn)題提出：計(jì)算

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6.

問(wèn)題探究：為便于研究發(fā)現(xiàn)規(guī)律，我們可以將問(wèn)題一般化，即將算式中特殊的數(shù)字3用具有一般性的字母α代替，原算式化為

1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3+a（1+a）4+a（1+a）5+a（1+a）6.然后我們?cè)購(gòu)淖詈?jiǎn)單的情形入手，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找到解決問(wèn)題的方法.

①1+a+a（1+a）

=（1+a）+a（1+a）=（1+a）[J]5（1+a）=（1+a）2.

②由①知1+a+a（1+a）=（1+a）2，所以，

1+a+a（1+a）+a（1+a）2

=（1+a）2+a（1+a）2=（1+a）2（1+a）=（1+a）3.

（1）仿照②，寫(xiě)出將1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3進(jìn)行因式分解的過(guò)程．

發(fā)現(xiàn)規(guī)律：

（2）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=．

問(wèn)題解決：

（3）計(jì)算：

1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6=（結(jié)果用乘方表示）．

解析：（1）1+a+a（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）（1+a）+a（1+a）2+a（1+a）3

=（1+a）2（1+a）+a（1+a）3

=（1+a）3+a（1+a）3

=（1+a）3（1+a）

=（1+a）4.

（2）由②③發(fā)現(xiàn)規(guī)律：1+a+a（1+a）+a（1+a）2+……+a（1+a）n=（1+a）n+1.

（3）1+3+3（1+3）+3（1+3）2+3（1+3）3+3（1+3）4+3（1+3）5+3（1+3）6

=（1+3）7=47．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查因式分解的提取公因式法，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，把多項(xiàng)式一步步分解因式，將問(wèn)題一般化，最后化為積的形式是解題關(guān)鍵．

2 運(yùn)用公式法

公式法是因式分解中難度相對(duì)較大的一種方法.當(dāng)題目給出的各項(xiàng)沒(méi)有公因式時(shí)，我們經(jīng)常用到的就是使用公式法進(jìn)行因式分解，根據(jù)題目給出的項(xiàng)數(shù)的多少，恰當(dāng)選用公式進(jìn)行運(yùn)算.不過(guò)，部分學(xué)生對(duì)于平方差公式和完全平方公式的運(yùn)用不夠靈活.

例2下面是某同學(xué)對(duì)多項(xiàng)式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4進(jìn)行因式分解的過(guò)程．

設(shè)x2-4x=y.

原式=（y+2）（y+6）+4（第一步）

=y2+8y+16（第二步）

=（y+4）2（第三步）

=（x2-4x+4）2（第四步）

請(qǐng)問(wèn)：（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果是否正確？若不正確，請(qǐng)直接寫(xiě)出因式分解的最后結(jié)果．

（2）請(qǐng)你模仿以上方法嘗試對(duì)多項(xiàng)式（a2-2a）[J]5（a2-2a+2）+1進(jìn)行因式分解．

解析：（1）該同學(xué)因式分解的結(jié)果不正確.

設(shè)x2-4x=y.

原式=（x2-4x+4）2=（x-2）4.

（2）

設(shè)a2-2a=m.

原式=m（m+2）+1

=m2+2m+1=（m+1）2

=（a2-2a+1）2

=（a-1）4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了綜合運(yùn)用公式法分解因式，根據(jù)配方法及完全平方公式，結(jié)合交換律、結(jié)合律，問(wèn)題即可得到解決．

3 分組分解法

當(dāng)題目中給出的多項(xiàng)式不少于三項(xiàng)，且無(wú)法提取公因式，也無(wú)法使用公式法進(jìn)行因式分解時(shí)，可以考慮將所給多項(xiàng)式進(jìn)行分組，重新組合.

例3八年級(jí)課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：將2a-3ab-4+6b因式分解．經(jīng)過(guò)小組合作交流，得到了如下的解決方法：

解法一：原式=（2a-3ab）-（4-6b）

=a（2-3b）-2（2-3b）

=（2-3b）（a-2）.

解法二：原式=（2a-4）-（3ab-6b）

=2（a-2）-3b（a-2）

=（a-2）（2-3b）.

小明由此體會(huì)到，對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式，無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法等方法達(dá)到因式分解的目的．這種方法可以稱(chēng)為分組分解法．（溫馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解為止.）

請(qǐng)你也試一試?yán)梅纸M分解法進(jìn)行因式分解：

（1）因式分解：x2-a2+x+a；

（2）因式分解：ax+a2-2ab-bx+b2．

解析：（1）x2-a2+x+a

=（x2-a2）+（x+a）

=（x-a）（x+a）+（x+a）

=（x+a）（x-a+1）.

（2）ax+a2-2ab-bx+b2

=（ax-bx）+（a2-2ab+b2）

=x（a-b）+（a-b）2

=（a-b）（x+a-b）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分組分解法，特別注意要按照系數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行分組分解，然后直接提出公因式或者利用公式進(jìn)行求解即可．

4 十字相乘法

十字相乘法是先利用十字交叉線將系數(shù)進(jìn)行分解，然后對(duì)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解的一種策略.這種方法在解決一元二次方程或分式問(wèn)題時(shí)，能夠提高解題的準(zhǔn)確率和效率，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程.

例4閱讀理解完成任務(wù)：教材的閱讀與思考中有一種因式分解的方法叫十字相乘法，根據(jù)課本上給出的十字交叉法的定義和方法，我們就可以得到：x2+3x+2=（x+1）（x+2）.

某同學(xué)看完教材沒(méi)完全懂，問(wèn)老師后就懂了，老師講解如下：利用十字相乘法分解6x2+7x-3，首先分解二次項(xiàng)系數(shù)6，可分解為1×6或2×3或（-1）×（-6）或（-2）×（-3），分別用十字交叉法寫(xiě)在其中一條對(duì)角線的位置；然后分解另外一項(xiàng)-3，可分解為-1×3或1×（-3），分別寫(xiě)在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，這樣就會(huì)出現(xiàn)16種情況（如分解圖1），代數(shù)和等于一次項(xiàng)系數(shù)7，符合的分解圖有兩種（就是方框框起的兩種情況）．所以得到：6x2+7x-3=（2x+3）（3x-1）或6x2+7x-3=（-2x-3）（-3x+1）．

十字相乘法公式：abx2+（ad+bc）x+cd=（ax+c）（bx+d）（其中，a，b，c，d均為常數(shù)）.

閱讀以上材料，完成以下任務(wù)：請(qǐng)用十字相乘法分解下列多項(xiàng)式，要求寫(xiě)出一種符合的分解圖．

（1）x2-7x+12；

（2）2x2+3x+1．

解析：

（1）分解圖如圖2：

所以x2-7x+12=（x-3）（x-4）.

（2）分解圖如圖3：

所以2x2+3x+1=（2x+1）（x+1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查十字相乘法，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的特點(diǎn)，然后依據(jù)十字相乘法的定義進(jìn)行分解，同時(shí)要注意分解后各數(shù)前面的符號(hào).

5 結(jié)語(yǔ)

對(duì)于因式分解問(wèn)題，核心就是把多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)因式的乘積的形式，因此我們要從題目給出的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)特征出發(fā)，靈活地選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?因式分解在初中數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛，技巧性較強(qiáng)，因此需要學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中注意積累總結(jié)，不斷提高自身的數(shù)學(xué)思維和解題能力.

參考文獻(xiàn)：

[1]張炳瑞.初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談[J].求知導(dǎo)刊，2021（18）：62-63.

[2]薛山.初中數(shù)學(xué)因式分解的思想方法[J].現(xiàn)代中學(xué)生（初中版），2021（18）：15-16.