摘要：義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準的基本理念是以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素養(yǎng)，指出要面向全體學(xué)生，實現(xiàn)不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.在濱湖區(qū)初中數(shù)學(xué)儲東花”希望之星班”教學(xué)活動中，以“反比例函數(shù)”單元復(fù)習(xí)課為例，嘗試開放式設(shè)計，讓學(xué)生自主提出問題、分析與解決問題，在探究性學(xué)習(xí)過程中獲得發(fā)展，并由此提出了幾點教學(xué)思考.

關(guān)鍵詞：開放式設(shè)計；解決問題；探究；發(fā)展

1 教學(xué)簡錄

1.1 以圖導(dǎo)入，梳理知識

問題1觀察圖1，你可以得到什么結(jié)論？

生1：這是反比例函數(shù)圖象的一支，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，圖象與坐標(biāo)軸無交點.

生2：在第一象限，kgt;0，還有一個分支在第三象限并且與第一象限的分支關(guān)于原點中心對稱.（教師追問反比例函數(shù)的對稱性：關(guān)于原點對稱，關(guān)于直線y=x，y=-x對稱.）

生3：在每個象限內(nèi)，y隨著x的增大而減小.

師：如果想求雙曲線的解析式，要添加什么條件？

生4：添加一點的坐標(biāo)，例如添加點A（1，6）.

1.2 關(guān)聯(lián)探究，強化應(yīng)用

師：同學(xué)們還能說出函數(shù)圖象上的其他點嗎？

生5：B（-2，-3），點（2，3），（-3，-2）.（教師追問點所在象限及這些點之間的對稱性.）

問題2連接AB，如此在反比例函數(shù)y1=6x的圖象上又添加了一條直線，對于圖2，你可以提出什么問題？

生6：求直線AB的解析式.（AB：y2=3x+3.）

生4：若y1lt;y2，則x的范圍是什么？

（請學(xué)生板演講解：首先在圖象上畫出分界線，y軸是天然的分水嶺，另外一條由交點產(chǎn)生，y1lt;y2的幾何意義是反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的下方，根據(jù)圖象即可寫出范圍.）

歸納：在這道題目中，我們是用形來助數(shù)，又用數(shù)來表示形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.

生5：可以寫出方程y1=y2的解嗎？

生6：求△AOB的面積.（學(xué)生板演：割補法、鉛垂法.）

問題3研究完反比例函數(shù)與一次函數(shù)的關(guān)系，那反比例函數(shù)還能和什么函數(shù)結(jié)合呢？它們之間又會有怎樣的“化學(xué)反應(yīng)”呢？延長BO交反比例函數(shù)圖象于點C，你能求出點C的坐標(biāo)嗎？

師：連接AC，你能求出圖3中△ABC的面積嗎？

生7：根據(jù)點的對稱性，可得OB=OC，由底邊相等又可得到三角形的面積相等，所以S△AOC=S△AOB=92.

問題4你還可以怎樣對這個圖形“添磚加瓦”呢？還能求出哪些圖形的面積？

生8：過點A作AD垂直y軸于點D，過點C作CE垂直x軸于點E，可得S△AOD=S△COE=|k|2=3.

師：繼續(xù)補全矩形，如圖4，點A，C有何特征？

生齊：A是DF的中點，C是EF的中點.

問題5請同學(xué)們進一步思考，這個結(jié)論是偶然的還是必然的呢？如圖5所示，反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，且k≠0）與DF相交于點A，與EF交于點C，若A為DF的中點，那么點C是EF的中點嗎？（請學(xué)生板演不同的方法.）

師生歸納：反比例函數(shù)綜合題可從兩個角度入手.用幾何方法，利用k的幾何意義進行求解；也可以用坐標(biāo)法求解.

1.3 開放拓展，提升能力

問題6以上我們研究的都是由一個反比例函數(shù)所產(chǎn)生的幾何圖形的面積，那么兩個反比例函數(shù)圖象可以給我們帶來什么驚喜呢？兩個反比例函數(shù)可以怎么分布？請同學(xué)們動手設(shè)計幾何圖形并求其面積.（學(xué)生設(shè)計的圖形如圖6所示.）

2 教學(xué)思考

新課標(biāo)的基本理念是以學(xué)生的發(fā)展為本，倡導(dǎo)動手實踐、自主探索、合作交流等學(xué)習(xí)方式.在單元復(fù)習(xí)課中如何實施？現(xiàn)行單元復(fù)習(xí)課，大多是通過基礎(chǔ)訓(xùn)練加典型問題，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，強化重點內(nèi)容及思想方法.而本課設(shè)計則另辟蹊徑，采用探究性學(xué)習(xí)方式，注重開放性設(shè)計，以圖導(dǎo)入，讓學(xué)生通過觀察獲取信息，通過聯(lián)想加工信息，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、提出問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生思維能力.

2.1 精心選編開放性問題

探究性學(xué)習(xí)的過程，往往要通過問題驅(qū)動，而起始的問題則舉足輕重.開放性問題給學(xué)生提供多種選擇，能讓學(xué)生從不同角度回答，既可以活躍課堂氛圍，也能激活學(xué)生的創(chuàng)新思維.本課教師精心選編了一組開放性問題，“觀察圖1，你能得到哪些結(jié)論？”以簡單的反比例函數(shù)圖象導(dǎo)入，起點低，但頗具開放性，答案豐富多樣.學(xué)生從函數(shù)的圖象、性質(zhì)、解析式等多方面入手思考，在教師的追問下逐步構(gòu)建嚴密的知識體系；在圖象不斷豐富的過程中，教師開放性地引導(dǎo)不同水平的學(xué)生提出并解決適合自己的問題.學(xué)源于思，思起于疑.在課堂結(jié)束之際，通過提問“在兩個反比例函數(shù)圖象中，你能設(shè)計出哪些圖形并求出面積？”考慮到不同學(xué)生之間的差異，以開放題結(jié)尾，讓不同的學(xué)生設(shè)計出有層次性的模型，深入學(xué)習(xí)，從中都有獲得感.

2.2 引導(dǎo)學(xué)生開展合理的探究活動

數(shù)學(xué)探究需要做足過程，除了精選問題外，還要考慮探究的形式.本課基于初中學(xué)生的認知特點，采用了“問題+對話探究”的形式.依據(jù)學(xué)情，通過一組循序漸進的開放性問題，學(xué)生思考回答，師生對話完成.其中，教師通過學(xué)生的回答情況判斷他們對舊知的掌握程度，以學(xué)定教，用活生成資源，以求達到優(yōu)效.在復(fù)習(xí)課上立足于豐富后的圖形的中點特征，先討論其特殊性，再轉(zhuǎn)向一般性探究，讓學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般的全過程.如此，學(xué)生儼然成為了課堂舞臺的主角，以圖象為劇本，積極提問，主動思考，合力解決，使課堂靈動起來，不斷有精彩.

探究性學(xué)習(xí)，不能止步于問題的解決，還要引導(dǎo)學(xué)生挖掘并總結(jié)規(guī)律——升華.其一，在解決問題后，師生挖掘面積問題蘊含的數(shù)學(xué)方法——“鉛垂法”和“割補法”，總結(jié)解決函數(shù)問題的兩類基本策略——坐標(biāo)法和幾何法.其二，在探究過程中，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合和從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.其三，課堂總結(jié)可以幫助學(xué)生理清脈絡(luò)，整體把握知識結(jié)構(gòu)，本課的總結(jié)則是展示學(xué)生自制的思維導(dǎo)圖，讓學(xué)生在自我反思后形成自身的認知結(jié)構(gòu).這樣，讓學(xué)生體會到“怎樣學(xué)”，以提升對數(shù)學(xué)問題的認識.

2.3 在探究過程中促進學(xué)生思維的發(fā)展

數(shù)學(xué)是思維的學(xué)科，學(xué)生思維的發(fā)展是其全面發(fā)展的核心.教者提供素材，給學(xué)生機會發(fā)現(xiàn)和提出問題，在探究性學(xué)習(xí)的過程中分析和解決問題，頗有價值.其一，這是在踐行新課標(biāo)，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的“四能”；其二，由于是開放性設(shè)計，不同學(xué)生有不同的發(fā)現(xiàn)，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性；其三，先讓學(xué)生經(jīng)歷對知識網(wǎng)絡(luò)的探究過程（從特殊到一般），隨后經(jīng)歷習(xí)題變式探究，一題多解與多解歸一相結(jié)合，將具體的習(xí)題模型化，尋求一般性規(guī)律，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的斂散性和獨創(chuàng)性，使每個學(xué)生在思維上都得到發(fā)展.

在單元復(fù)習(xí)課上，借力開放性教學(xué)設(shè)計，實施探究式學(xué)習(xí)，追求學(xué)生潛能的發(fā)現(xiàn)和思維的發(fā)展，這要求教師關(guān)注每位學(xué)生的成長，讓學(xué)生對未知、多變的課堂充滿期待.因此，教師要順應(yīng)和幫助學(xué)生，關(guān)注課堂的生成，即時調(diào)整，以學(xué)定教，讓思維在靈動的課堂中飛揚，真正讓課堂成為實現(xiàn)理想的精神舞臺.