《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》提出，改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián).這要求教師在教學實際中做到眼中有“樹木”，心中有“森林”.單元教學第一課，要在為什么學、學什么、怎么學，這三個維度上做探究.教師有意識地從單元整體視角設計教學，不僅有利于學生更深刻地理解數(shù)學知識，更有利于學生感受知識建構(gòu)的內(nèi)在邏輯關(guān)系.筆者就如何建構(gòu)單元整體教學，落實數(shù)學核心素養(yǎng)，結(jié)合蘇教版九年級下冊“5.1二次函數(shù)”課堂實錄，與同行交流.

1 課堂教學實錄

1.1 創(chuàng)設情境，引入新知

師：我們知道數(shù)學來源于生活，用數(shù)學的眼光看生活中的很多事情，就會有不一樣的發(fā)現(xiàn).

師：如圖1，在這個變化過程中，你能寫出哪些式子？

生1：c=2πr，s=πr2.

師：周長c是半徑r的函數(shù)嗎？面積S是r的函數(shù)嗎？

生1：是的.對于兩個變量x，y，一個變量y隨另一個變量x的確定而唯一確定，就稱y是x的函數(shù).c隨r的確定而唯一確定，S隨r的確定而唯一確定.c是r的函數(shù)，S也是r的函數(shù).

師：非常棒！同學們認可嗎？掌聲鼓勵一下！

師：我們再來看看下面生活中的例子，分別寫出它們的表達式.

（1）一個游泳池容積為5 000m3，注滿泳池所用的時間t（單位：h）與注水速度v（單位：m3/h）的關(guān)系是：t=.

（2）用長16m的籬笆圍成長方形的生物園飼養(yǎng)小兔，若長方形的長為xm，則面積y=.

（3）彈簧原長10cm，在彈性限度內(nèi)每掛1kg重物就伸長0.5cm，則彈簧總長y（單位：cm）與所掛重物質(zhì)量x（單位：kg）之間的關(guān)系式是y=.

（4）一面長與寬之比為2：1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是120元/m2，邊框的價格是30元/m，加工費為45元，設鏡面的寬為xm，則總費用y=.

師：這些是函數(shù)嗎？

生齊聲：是.

師：這些里面哪些是我們學過的函數(shù)？

生6：c=2πr，y=10+0.5x是一次函數(shù)，t=5 000v是反比例函數(shù).

師：什么是一次函數(shù)和反比例函數(shù)？

生7：形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)是一次函數(shù).

生8：形如y=kx（k為常數(shù)，k≠0）是反比例函數(shù).

師：很好！那這些我們還沒有學過的函數(shù)有什么共同點嗎？

生9：都有二次項.

生10：有點像一元二次方程.

生11：都是整式.

師：你能試著給它們起個名字嗎？

生12：二次函數(shù).

師：你能結(jié)合一元二次方程并類比一次函數(shù)和反比例函數(shù)給二次函數(shù)下個定義嗎？

生13：形如y=ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)且a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)（板書定義.）

師：非常聰明！我們把y=ax2+bx+c（a≠0）稱為二次函數(shù)的一般式，這里a，b，c分別是二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

師：為什么限制a≠0？

生14：a=0就沒有二次項了，所以a不能等于0，但b和c可以為0.

師：哦，b，c都為0時也是二次函數(shù).你有過類似的學習經(jīng)驗嗎？

生15：比如一次函數(shù)y=2x+1與y=2x.

師：一次函數(shù)y=kx+b，在b=0時是特殊的一次函數(shù)即正比例函數(shù)，所以二次函數(shù)中b=0或c=0時也是二次函數(shù).

師：值得一提的是，在實際問題中，還要注意自變量的取值范圍.你能說出這幾個函數(shù)自變量的取值范圍是什么嗎？

生16：第（2）題中0＜x＜8，其他實際問題都是x＞0就可以了.

師：非常好！請同學們判斷下面哪些是二次函數(shù)？如果是，請說出其中的a，b，c；如果不是，請說明理由.

（1）y=3x2-2；

（2）y=x2+1x；

（3）y=（x－2）2+1；

（4）y=2x3－3x2+x+1；

（5）y=（x－3）2－x2；

（6）y=ax2+bx+c.

師：項和系數(shù)一定要帶上前面的符號，并且注意二次函數(shù)左邊是因變量y，右邊化簡后是關(guān)于x的二次整式.

1.2 立足本位，統(tǒng)領(lǐng)全章

師：接下來我們還會研究哪些方面？

生17：圖象、性質(zhì)、應用.

師：你是怎么想到的？

生18：之前就是這樣學習一次函數(shù)和反比例函數(shù)的.

師：這位同學說得非常好，這里體現(xiàn)了什么樣的思想方法？

生：類比思想?。ㄟ@時班級大部分同學已經(jīng)想到了類比學習.）

師：那我們就直接研究y=ax2+bx+c（a≠0）？

生19：不是的，應該從最簡單的開始研究.

師：哦，最簡單的？哪個二次函數(shù)是最簡單的？你是怎么想到的？

生20：y=ax2（a≠0），從特殊到一般嘛.

生21：老師我覺得最簡單的應該是y=x2.

師：你還給a賦了個值對吧？最簡單的二次函數(shù)就是y=x2，我們先從這個函數(shù)開始研究，看能不能得到y(tǒng)=ax2的性質(zhì)，同學們同意嗎？

生：同意！

師：接下來研究什么？

生22：接下來研究y=ax2+c或者y=ax2+bx.

師：為什么呢？

生23：因為要從最簡單的開始，剛才y=ax2中b，c都等于0，下面就依次取b=0或c=0就可以了.

師：大家贊同嗎？

生24：老師，我覺得是不是可以把y=ax2上下左右平移，因為之前我們學過一次函數(shù)的平移，“上加下減，左加右減！”（班級好多同學回憶起來了，都表示贊同.）

師：掌聲鼓勵！他能想到類比一次函數(shù)來學習二次函數(shù)，還幫我們回憶了之前學習的函數(shù)圖象平移的口訣“上加下減，左加右減”.太厲害了！

師：函數(shù)圖象是由無數(shù)個點組成的，想一想，如果一個點上下平移的話，橫坐標不變，縱坐標改變，那么反映在關(guān)系式上應該是怎樣的？

生25：y=ax2+b（a≠0）.

師：很好，這里為防止與一般式中的b搞混，將y=ax2上下平移后記為y=ax2+k的形式.

師：那么左右平移后表達式又是什么樣的？

生26：左右平移橫坐標發(fā)生改變，縱坐標不變，反映在式子上應該是y=a（x+h）2形式.

師：非常好.那么接下來呢？又會研究什么？

生：上下左右一起平移.

師：那一起平移，表達式應該是怎樣的？

生27：y=a（x+h）2+k.

師：大家看這個式子熟悉嗎？

生28：熟悉！這就是配方嘛！

師：對，就是對函數(shù)右邊配方，這樣的函數(shù)表達式稱為二次函數(shù)的頂點式.展開就是二次函數(shù)的一般式了.

師：這樣，我們整個研究函數(shù)的脈絡就十分清楚了.本章基本的研究思路就是這樣的，但是具體到對每個函數(shù)進行研究的時候，還是要先畫出函數(shù)圖形，然后由圖象得到性質(zhì).這就是數(shù)形結(jié)合.

1.3 反思盤點，小結(jié)梳理

師：今天我們一起研究了一個新的數(shù)學模型——二次函數(shù)，做了一個初步的探究，通過這節(jié)課的學習，你有什么收獲？

生29：我知道了二次函數(shù)的一般式和頂點式.

生30：我知道二次函數(shù)y=ax2+bx+c中a不能為0，但是b和c可以.

生31：我知道二次函數(shù)要研究它的概念、圖象、性質(zhì)，以及路徑是從最簡單的開始，然后對最簡單的二次函數(shù)圖象進行上下左右平移從而得到一般的二次函數(shù)的性質(zhì).

師：嗯，體現(xiàn)了從特殊到一般的思想.

生32：我知道二次函數(shù)的研究是類比一次函數(shù)的學習，體現(xiàn)了類比的思想.

師：同學們總結(jié)得非常棒！今天大家一起學習一個新的模型——二次函數(shù)，無論是研究的內(nèi)容還是研究方法都是類比一次函數(shù).通過類比，我們知道函數(shù)的研究從定義、圖象、性質(zhì)幾個角度展開.后面我們還將繼續(xù)研究二次函數(shù)的應用.在思想方法層面，我們用到了建模思想、類比思想、數(shù)形結(jié)合思想.那么，二次函數(shù)的圖象是什么樣的？a，b，c的取值不同對函數(shù)圖象有什么影響？二次函數(shù)有什么具體的性質(zhì)？還可以幫助我們解決哪些生活中的問題？讓我們一起期待后面的學習！謝謝大家本節(jié)課的精彩發(fā)言！

本節(jié)課板書如圖2所示.

2 教學反思

2.1 借助相同情境，引出不同模型

學習函數(shù)以及一次函數(shù)的概念時，我們曾見過“一石激起千層浪”這幅圖片.二次函數(shù)概念的引入也用了這幅圖片，只不過我們關(guān)注的焦點由“一個變化的過程，有兩個變量”轉(zhuǎn)向“不斷向外擴展的圓的周長是該圓半徑的函數(shù)”，再轉(zhuǎn)為“圓的面積是該圓半徑的函數(shù)”.我們通過研究這兩個函數(shù)表達式的差異引出二次函數(shù)的概念，然后通過不斷提問進一步理解二次函數(shù)的概念.從簡單的、熟悉的實際問題中抽象出二次函數(shù)的模型，感受二次函數(shù)與生活實際的密切聯(lián)系，既揭示了生活與數(shù)學的聯(lián)系，又體現(xiàn)了教材前后呼應的整體性.學生經(jīng)歷數(shù)學概念的形成過程，抽象能力和歸納概括能力得到了培養(yǎng).這樣的設計，突破了本節(jié)課的重點和難點.

2.2 強化數(shù)學思想，進行整體建構(gòu)

二次函數(shù)是繼一次函數(shù)和反比例函數(shù)之后初中階段系統(tǒng)研究的另一個基本函數(shù)，既繼承了二者的研究思路及方法，又有多處體現(xiàn)了其自身的獨特性.本節(jié)課的設計從整體建構(gòu)的視角出發(fā)，運用問題串的形式，引導學生類比、思考、討論.對于一個新的函數(shù)應該研究哪些內(nèi)容、如何研究等，學生能做到心中有數(shù).從整體上認識二次函數(shù)的概念、圖象、性質(zhì)，為本章后續(xù)的深入研究做好充分的準備.教師設計好問題，學生親身經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的環(huán)節(jié)，這也充分體現(xiàn)了“學生為主體，教師為主導”的教學理念.通過層層深入的問題引導，學生不僅獲得了知識，還學會了思考及如何進行數(shù)學學習，并能用數(shù)學的語言進行表達與交流.

2.3 關(guān)注單元整體，拓展認知高度

單元起始課不應拘泥于教材中第一節(jié)課的教學內(nèi)容，其功能與價值在于為本單元學習提供更加廣闊的視角，在數(shù)學知識、技能和思想層面，形成一個“整體”，為本單元的后繼學習與探究確定目標、設計路線、明確方法.整體把握教學內(nèi)容，注重前后內(nèi)容、方法之間的聯(lián)系，才能讓學生深刻了解數(shù)學知識的產(chǎn)生和來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價值與意義，從而提煉出能打通數(shù)學知識之間關(guān)聯(lián)、發(fā)揮核心作用的數(shù)學概念和思想方法，給學生營造“既見樹木，又見森林”的整體感.