數(shù)學探究是指學生圍繞某個數(shù)學問題，自主探究、學習的過程.該過程包括觀察分析數(shù)學事實、提出有意義的數(shù)學問題、猜測和探求適當?shù)臄?shù)學結論或規(guī)律，給出解釋或證明.

筆者從“探結論—證結論—用結論”三個環(huán)節(jié)展開幾何探究課，逐步發(fā)展學生的核心素養(yǎng)，具體研究框架如圖1.

學生獨立完成一個較復雜數(shù)學問題的深入探究是存在困難的，教師作為學生學習的組織者、引導者和合作者，應以學生數(shù)學現(xiàn)實為基礎，構建符合學情的腳手架，在學生自主探究的過程中適時引導與總結.

下面以一節(jié)九年級幾何探究課為例進行教學策略研究.

1 探結論：問題鏈助力結論探索

設計有層次的問題鏈可以讓學生更高效地進行數(shù)學探究.“探索結論環(huán)節(jié)”主要是讓學生在已有經(jīng)驗基礎上經(jīng)歷結論的引入過程和結論的一般化過程，為結論的證明作好鋪墊.

1.1 搭建知識框架，引入特殊模型

單一的解題教學會讓學生覺得枯燥乏味，無法激發(fā)學生的學習興趣與求知欲.教師可以從幫助學生理清知識的來龍去脈，搭建數(shù)學知識的框架入手，引入學生熟悉的特殊模型，從而進一步開展數(shù)學探究活動.

課堂中可先整合三種全等變化的常見模型（如圖2），讓學生感悟與體會三角形是平面幾何中簡單多邊形的研究起點與基礎，然后用正方形中的“半角模型”問題引入.

問題如圖3，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊BC的中點，F(xiàn)在CD邊上，且∠EAF=45°，連接EF，則DF的長為.

1.2 回顧解題思路，明確所證結論

每個學生的理解能力和接收能力各不相同，教師應做到讓不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展.“半角模型”的運用對一部分學生來說仍然具有挑戰(zhàn)性，因此在課堂中需要幫助學生先回顧解題思路，然后再循序漸進地引導學生進行總結和探究.

師：在正方形中看到半角應該怎么辦？

生1：旋轉(zhuǎn).

師：怎么旋轉(zhuǎn)？目的是什么？

生1：比如可以將△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，目的是為了構造全等，轉(zhuǎn)化線段，然后通過勾股定理建立方程求出線段的長度（學生進行板演求出結果）.

師：剛才大家求出了線段DF的長度，現(xiàn)在請分別計算Rt△ABE與Rt△DAF的短直角邊與長直角邊的比值.

生2：BEAB=12，DFAD=13.

師：若把BEAB=12，∠EAF=45°

作為條件，DFAD=13作為結論，你能把這個命題敘述出來嗎？

生3：在正方形ABCD中，若∠EAF=45°（其中E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上），BEAB=12，則DFAD=13.

數(shù)學探究不是一個獨立的環(huán)節(jié)，而是由多個環(huán)節(jié)串聯(lián)構成的研究過程.

1.3 弱化圖形條件，提出結論猜想

從特殊到一般是幾何推理中重要的思維方式之一.教師要設計好問題研究的一般化路徑，逐步將有關特殊條件一般化，引發(fā)學生思考，在已獲得的結論基礎上進一步激發(fā)學生的創(chuàng)造性思維.

師：剛才同學們總結得很好.如果把這個命題中的正方形改成矩形，那么該命題是否成立呢？若成立，請說明理由;若不成立，請舉出反例.

（學生沒有給出回應.）

師：我們不妨先根據(jù)條件畫個圖形，然后通過測量圖形中的線段長度猜測該結論是否成立.

生1：我畫的圖是成立的.（其他學生也認同.）

師：請?zhí)岢瞿愕牟孪?，并小組討論該如何證明.

生1：如圖4，在矩形ABCD中，如果∠EAF=45°（其中E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上），BEAB=12，那么DFAD=13.

學生需要通過觀察、猜測、實驗、計算、推理等步驟發(fā)現(xiàn)并證明數(shù)學結論，教師適時給予引導，化抽象為具體，降低思考難度.

2 證結論：已有經(jīng)驗助力結論證明

長期的經(jīng)驗積累有助于學生解題思路的形成.“證明結論環(huán)節(jié)”主要是讓學生經(jīng)歷通過小組合作運用已有的知識經(jīng)驗完成數(shù)學證明的過程，為結論的應用作好鋪墊.

2.1 回歸模型源頭，感受數(shù)學本質(zhì)

模型的運用可以為實際問題的解決提供指導與方法，深度思考模型的變化形式可以加深學生對數(shù)學的本質(zhì)理解.

小組1：我們是受到半角模型的啟發(fā)，雖然這個幾何圖形是矩形，但是它含有45°角，只需要將矩形補成正方形（如圖5）就可以輕松證明該結論了.

易證△ABE∽△AGH，可以得出GH∶AG=BE∶AB=1∶2，然后就回到了最開始問題的證明，易得DFAD=13.

學生之所以能形成這樣的證明思路，是因為對半角模型的認識足夠深刻，抓住了半角模型的特征，巧妙地將問題進行了轉(zhuǎn)化.

2.2 巧借網(wǎng)格背景，架構思維橋梁

學生在數(shù)學學習過程中的任何活動體驗都可以形成一定的經(jīng)驗，它是一個組合體.在解決數(shù)學問題時，學生突如其來的靈感就是以積累的經(jīng)驗作為基礎.

小組2：我們小組發(fā)現(xiàn)其實這個結論在網(wǎng)格背景的問題中早就遇見過，雖然忘記了具體的問題背景，但在網(wǎng)格中如果放置一個頂點在格點上的等腰直角三角形，那么要證的這個結論是成立的.

受到網(wǎng)格的啟發(fā)，我們嘗試構造了如圖6所示的一個結構，這樣就能完成證明了.

如圖6，過點F作FH⊥AE，交AE的延長線于點H，構造一個等腰直角三角形AHF，然后按圖補全矩形后，該圖就是左邊的結構，這樣就能夠得出DF∶AD=1∶3.當然，其實也可以這樣證明：

設GH的長度為a，易得△ABE∽△AGH，則GH∶AG=BE∶AB=1∶2，所以AG=2a.易證△AGH≌△HMF，則HM=AG=2a，MF=GH=a，所以GM=3a.由于四邊形AGMD為矩形，則有DM=AG=2a，AD=GM=3a，所以DF=DM-FM=a.故DF∶AD=1∶3.

數(shù)學教學中需要適當通過解題來加深學生對數(shù)學知識的理解，既要注重學生活動經(jīng)驗的積累，更要重視學生運用已有經(jīng)驗解決問題的過程，這可以幫助學生架構解決新問題的思維橋梁，發(fā)展學生的“四基”與“四能”.

2.3 立足圖形變換，轉(zhuǎn)化研究路徑

有效的探究活動可以開拓學生的視野，激發(fā)學生的求知欲與探索欲.

小組3：我們受到第一小組的啟發(fā)，既然這個結構可以補全成半角模型，那不妨嘗試在正方形的半角模型上，

以A為公共頂點，構造一個滿足已知條件的矩形AGHM，如圖7所示，使得該矩形的AG邊和正方形的AB邊在同一直線上.此時可以發(fā)現(xiàn)，無論構造的矩形多大，始終存在△AGJ∽△ABE，△ADF∽△AMN，則GJ∶AG=BE∶AB=1∶2，MN∶AM=DF∶AD=1∶3.

通過這種證法可以發(fā)現(xiàn)，如果AF與MH的交點在MH的延長線上，而不是在線段MH上，這個結論也是成立的.

方法的選擇、思考的路徑、圖形的理解等都是影響探索的因素.如果嘗試轉(zhuǎn)化研究路徑，找到圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，便能實現(xiàn)柳暗花明.

3 用結論：多情境助力結論運用

多情境的知識應用可以加深學生對知識的理解.“運用結論環(huán)節(jié)”主要是讓學生經(jīng)歷在多個不同的問題情境中運用本節(jié)課積累的活動經(jīng)驗解決復雜問題的過程，感受數(shù)學之美，

3.1 抓住結構特征，遷移已有結論

學生對知識的運用需要一個過程.為讓學生初步體會運用結論解決問題的便捷之處，筆者設計了一道一星題，引導學生抓住結論的結構特征，直接運用結論快速解決復雜的數(shù)學問題.

訓練1（★）如圖8，在矩形ABCD中，AB=2，AD=8，點E，F(xiàn)在BC上，點G是射線DC與射線AF的交點.若BE=1，∠EAF=45°，則AG的長為.

課堂中，筆者經(jīng)過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)只有2位學生沒有解題思路，隨機選取一名舉手的學生分享解題思路.其思路如下：

在矩形ABCD中，BE∶AB=1∶2，∠EAF=45°，根據(jù)剛才證明的結論，馬上可得到DG∶AD=1∶3.由AD=8，就能求出DG的長度，然后利用勾股定理即可求出AG的長度.（在課堂中也有學生指出有別的解題思路，筆者也予以肯定和表揚.）

審題是解決數(shù)學問題的關鍵一步，抓住了關鍵信息就有利于解題思路的形成.

3.2 挖掘隱含條件，啟發(fā)合理聯(lián)想

根據(jù)已知條件進行合理聯(lián)想是解決問題過程中的重要一步.為了進一步加深學生對結論的理解，筆者設計了一道兩星題，引導學生在發(fā)現(xiàn)熟悉的結論特征后，挖掘題中隱藏的條件，指向性地進行聯(lián)想，運用結論解決問題.

訓練2（★★）如圖9，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在矩形的邊AB，AD上，將矩形紙片沿CE，CF折疊，點B落在H處，點D落在G處.點C，H，G恰好在同一條直線上，若AB=6，AD=4，BE=2，則DF的長為.

生：通過觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，這和前面探究的結構很像，根據(jù)題目的已知條件，可知在矩形ABCD中，BE∶BC=1∶2，所以我就想能不能證明∠ECF=45°.如果可以證明，那直接就由結論得到DF∶CD=1∶3，即可求出DF的長度.雖然題目沒有直接給出∠ECF=45°，但是根據(jù)折疊能推導出∠ECF=45°，因此這個問題也就變得很容易解決了.

折疊問題的本質(zhì)是圖形的軸對稱變化，半角模型的本質(zhì)是圖形的旋轉(zhuǎn)變化，它們都屬于圖形的全等變化.

3.3 重視思維生長，感悟結論拓展

能根據(jù)已有經(jīng)驗選擇合適的方法解決數(shù)學問題，這是學生具備靈活思維能力的表現(xiàn).為了讓學生體會數(shù)學探究的價值和學習數(shù)學的樂趣，筆者設計了一道三星題，讓學生在解決問題的過程中提高思維能力，提升核心素養(yǎng).

訓練3（★★★）如圖10，點A（2，3）在反比例函數(shù)y=kx的圖象上，經(jīng)過點A的直線AB：y=12x+b繞點A按逆時針旋轉(zhuǎn)45°，與反比例函數(shù)的圖象相交于點C，則點C的坐標是.

生：點A的坐標是用來求反比例函數(shù)與直線AB的函數(shù)表達式的，要求點C的坐標，我就想能不能先求出直線AC的函數(shù)表達式，然后再求點C的坐標.已經(jīng)有點A的坐標了，則還需要知道直線上另一點的坐標，才能利用待定系數(shù)法求解直線AC的函數(shù)表達式，但是一開始我找不到這樣的點.當發(fā)現(xiàn)45°角之后，經(jīng)過本題圖形和結論中圖形的對比，于是構造了一個結論中的結構.

如圖11，過點A向y軸作了一條垂線段AE，向x軸作了一條垂線段AF.容易得到點B的縱坐標為2，則BE=1.又因為AE=2，所以BE∶AE=1∶2，由此馬上得出FG∶AF=1∶3.由AF=3，得FG=1，則OG=1，所以G（1，0），即可求出直線AC的函數(shù)表達式了.

函數(shù)與幾何的結合，讓學生充分感受到數(shù)學的學習最終走向一個系統(tǒng)的整體.

4 總結

常規(guī)復習課讓學生感到枯燥，探究課吸引了學生興趣，引發(fā)了學生思考，改善了課堂氛圍，也從一定程度上提高了學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題與解決問題的能力.在數(shù)學探究的過程中，讓學生像數(shù)學家一樣去探索與思考，逐步落實“三會”的核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]李沐慧.“問題提出”引領下的數(shù)學探究活動——以“正方體的截面”教學為例[J].中國數(shù)學教育，2023（12）：18-22.