宋曉程，李 陟，陳鵬飛，張 坤?，鄒 堯，賀 威

1) 北京電子工程總體研究所，北京 100854 2) 中國航天科工防御技術(shù)研究院，北京 100854 3) 北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191 4) 北京科技大學(xué)智能科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，北京 100083 5) 北京科技大學(xué)智能仿生無人系統(tǒng)感知與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京，100083

在現(xiàn)代化戰(zhàn)爭條件下，單獨(dú)的防空兵器很難完成作戰(zhàn)任務(wù)，只有建立有效的地面防空系統(tǒng)[1]，才能構(gòu)成嚴(yán)密的防控體系網(wǎng). 以協(xié)同作戰(zhàn)能力為核心的海軍一體化火力控制-制空[2]、陸軍一體化防空反導(dǎo)[3]等防空武器系統(tǒng)也面臨著高強(qiáng)度、高精度、多型一體化和全方位大縱深的飽和式空襲的挑戰(zhàn). 特別是在以陣地高隱蔽性為要求的現(xiàn)代化城市作戰(zhàn)中，實(shí)際可進(jìn)行武器部署的陣地十分稀缺. 為更加有效地保衛(wèi)地面資產(chǎn)，確保在相應(yīng)陣地武器部署下實(shí)現(xiàn)可保衛(wèi)的資產(chǎn)價(jià)值最大化，亟需將防御武器進(jìn)行優(yōu)化部署，使得在有限作戰(zhàn)條件下盡可能地發(fā)揮防御武器的效能.

隨著攻防武器裝備的快速發(fā)展，防御武器的有效防御面積與攔截面積也呈現(xiàn)出多變化、復(fù)雜化、不確定化的趨勢，使得我方防御武器配系部署建模變得較為困難. 針對該問題，目前主要有三類建模方式. 第一類是從現(xiàn)有的攔截排序原則[4-6]出發(fā)建立的基于排隊(duì)論的防御武器部署模型[7-9]. 例如，高建軍等[7]結(jié)合現(xiàn)代空襲和反空襲特點(diǎn)，提出了防空武器系統(tǒng)目標(biāo)攔截排序優(yōu)化模型；高志剛等[8]將來襲無人機(jī)集群中的每個(gè)作戰(zhàn)單元視為泊松流，構(gòu)建了基于排隊(duì)論的反無人機(jī)集群武器部署優(yōu)化模型；趙鵬蛟與李建國[9]基于排隊(duì)論給出空襲武器的突防概率計(jì)算模型，進(jìn)而導(dǎo)出多型防空武器扇形部署優(yōu)化模型. 第二類是防御武器系統(tǒng)組合部署模型[10-13]. 如唐子奇等[10]在建模時(shí)考慮了地面防空武器系統(tǒng)在環(huán)形、扇形、線形這三種典型布局[11]下的組合部署位置；吳家明[12]深入分析了殺傷區(qū)的特征值計(jì)算模型，建立了水平和垂直兩個(gè)方向的地面防空系統(tǒng)混合部署位置模型[13]. 第三類是基于攻防任務(wù)或?qū)ο蟮湫吞卣鞯姆烙淦鞑渴鹉Ｐ蚚14-16]，如李相民等建立的防御武器系統(tǒng)低空補(bǔ)盲部署模型[14]，雷宇曜等[15]提出的基于子目標(biāo)進(jìn)化算法的要地防空武器系統(tǒng)優(yōu)化部署模型，以及高志華等[16]設(shè)計(jì)的基于射擊次數(shù)模型的防空武器系統(tǒng)陣地部署模型. 總的來說，第一類模型更適用于確定戰(zhàn)場態(tài)勢的場景，第三類模型針對的是典型任務(wù)或?qū)ο筇卣鳎M管第二類模型應(yīng)用范圍更廣，但考慮到不同類型和特性的來襲目標(biāo)以及多元化的火力運(yùn)用方式（如大氣層外/內(nèi)防御武器），相關(guān)的防御武器配系部署建模技術(shù)還有待進(jìn)一步研究.

要實(shí)現(xiàn)防御武器系統(tǒng)的高效部署，除了依賴于有效的部署模型外，實(shí)時(shí)地完成武器系統(tǒng)的配置也是一大關(guān)鍵，這就要求對防御武器配系部署優(yōu)化模型進(jìn)行快速求解. 在優(yōu)化問題求解方面，障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法具有收斂速度快、適用性廣的優(yōu)勢，在工程上得到了大量應(yīng)用. 例如，在無線供電系統(tǒng)磁芯布局優(yōu)化方面，錢思堯[17]基于內(nèi)罰函數(shù)法確定了磁芯數(shù)量、長度和擺放位置的設(shè)計(jì)參數(shù)；在動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)計(jì)方面，周淑娟[18]研究了基于罰函數(shù)法的汽車動(dòng)力傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)優(yōu)化匹配方法；施洋等[19]在傳統(tǒng)的牛頓法中結(jié)合罰函數(shù)法，提出了一種航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性方程組求解新方法；在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化方面，倫淑嫻與胡海峰[20]設(shè)計(jì)了基于罰函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的泄露積分型回聲狀態(tài)網(wǎng)的參數(shù)優(yōu)化算法；楊霖等[21]結(jié)合罰函數(shù)算法配置了配電網(wǎng)電壓波動(dòng)最優(yōu)模型；在導(dǎo)航與控制方面，賀姍與師昕[22]針對非線性不等式狀態(tài)約束方程，提出一種基于內(nèi)點(diǎn)法[23]的不敏卡爾曼濾波算法，引入障礙項(xiàng)近似化受約束目標(biāo)函數(shù)，經(jīng)過迭代快速搜索出非線性不等式狀態(tài)約束問題的近似最優(yōu)解；曾霞[24]針對障礙驗(yàn)證條件求解混雜系統(tǒng)模型計(jì)算復(fù)雜度高的問題，提出線性抽象的構(gòu)造方法，避免了通過直接求解原系統(tǒng)障礙驗(yàn)證條件所造成的計(jì)算復(fù)雜度；滕游等[25]等針對具有控制量和可視性約束的機(jī)器人視覺伺服系統(tǒng)，采用內(nèi)點(diǎn)法和圖像反饋實(shí)現(xiàn)了視覺伺服預(yù)測控制. 雖然障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法在上述諸多工程問題中得到了較好的應(yīng)用，但由于防御武器配系部署優(yōu)化的混合整數(shù)非線性、約束強(qiáng)耦合、變量規(guī)模大等特征，使得障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法無法直接應(yīng)用，極大地限制了防御武器配系部署優(yōu)化模型的求解速度.

針對上述問題，本文進(jìn)一步研究了防御武器配系部署建模與優(yōu)化方法. 首先建立了考慮復(fù)雜目標(biāo)來襲特性和多元化火力運(yùn)用方式的防御武器配系部署模型，然后基于障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法將防御武器最優(yōu)部署問題轉(zhuǎn)化為性能指標(biāo)為凸函數(shù)的無約束優(yōu)化問題，并設(shè)計(jì)了防御武器最優(yōu)配置求解算法. 本文的主要?jiǎng)?chuàng)新點(diǎn)如下：

（1）充分考慮了來襲目標(biāo)的不同類型、異構(gòu)特性以及大氣層內(nèi)外防御的多元化火力運(yùn)用方式，構(gòu)建了一種防御武器配系部署動(dòng)態(tài)模型；

（2）針對具有混合整數(shù)非線性、約束強(qiáng)耦合、變量規(guī)模大等特征的防御武器配系部署模型，提出了一種基于障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的防御武器最優(yōu)配置算法.

1 問題描述

本文所研究的陣地武器部署問題中，假設(shè)多個(gè)保衛(wèi)目標(biāo)d1,d2,···,dM已經(jīng)確定，目標(biāo)周圍可以部署的武器陣地z1,z2,···,zN已經(jīng)確定. 每個(gè)陣地需滿足一定的承載容量限制，其中陣地zj對大氣層外防御武器承載容量限制為hmax(zj)，對大氣層內(nèi)防御武器承載容量限制為lmax(zj)，每個(gè)陣地最多部署的兩種武器數(shù)量不能超過這個(gè)限制. 本文的優(yōu)化目標(biāo)是在有限的作戰(zhàn)條件下，對陣地防御武器進(jìn)行優(yōu)化部署，追求可保衛(wèi)的資產(chǎn)價(jià)值最大化，決策變量是確定陣地zj針對于資產(chǎn)di進(jìn)行部署的大氣層外防御武器數(shù)量h(zij)、大氣層內(nèi)防御武器數(shù)量l(zij). 防御武器的配系部署場景如圖1 所示.

圖1 防御武器配系部署模型Fig.1 Modeling of defensive weapon systems

保衛(wèi)目標(biāo)確定后，要使保衛(wèi)目標(biāo)處于陣地武器系統(tǒng)部署的有效防御區(qū)內(nèi). 假定對于保衛(wèi)目標(biāo)di, 陣地zj中部署的大氣層外和大氣層內(nèi)武器防御能力函數(shù)分別記為fh和fl,其形式如式(1)所示. 進(jìn)而得到，對于每個(gè)保衛(wèi)資產(chǎn)目標(biāo)di，具備防御能力的陣地武器系統(tǒng)集合. 另外，假設(shè)大氣層外防御武器對一般目標(biāo)的平均攔截概率kh，大氣層內(nèi)防御武器對一般目標(biāo)的平均攔截概率為kl，大氣層外防御武器的成本為Oh, 大氣層內(nèi)防御武器的成本為Ol，部署的防御武器總成本上限為Omax，本文考慮對每個(gè)保衛(wèi)目標(biāo)的打擊武器只有一種.

基于上述變量的定義，定義優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)及其約束條件如下：

約束條件為

2 基于障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的防御武器配系部署建模與智能優(yōu)化算法

我方防御武器建模與部署優(yōu)化本質(zhì)上是一類對于目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問題，其核心在于確定待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)、邊界條件以及約束條件，在確定上述基本優(yōu)化模型之后便可以使用尋優(yōu)算法對其進(jìn)行優(yōu)化求解.

2.1 防御武器配系部署建模

基于前文問題描述中的模型，可將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為

對于Rij，若Rij=0 ， 則設(shè)置h(zij)=0 ， 且在后續(xù)計(jì)算中剔除該變量；對于Sij，若Sij=0 ， 則設(shè)置l(zij)=0，且在后續(xù)計(jì)算中剔除該變量；通過以上步驟剔除后的變量為h(zi,t(i,j))和l(zi,g(i,j))， 其中，t(i,j)和g(i,j)分別表示h(zij)和l(zij)中變量替換后的新下標(biāo).

約束條件為

指數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格下凸函數(shù)，f0(x)是若干個(gè)正系數(shù)指數(shù)函數(shù)之和，因此f0(x)為嚴(yán)格下凸函數(shù)，可采用凸優(yōu)化方法求解該問題的最優(yōu)非整數(shù)解. 因此，先討論求解該不等式約束最優(yōu)化問題的非整數(shù)解.

利用障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法，把不等式約束放進(jìn)目標(biāo)函數(shù)里，可將原問題的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)橐韵滦问剑?/p>

其中，I-是非正實(shí)數(shù)的示性函數(shù)，滿足

本文采用示性函數(shù)I-的近似函數(shù)可知，當(dāng)t越大時(shí)，越接近于I-(u).

約束條件為

2.2 防御武器配系部署優(yōu)化求解

針對障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法設(shè)計(jì)的優(yōu)化問題（11），本文提出如下求解該優(yōu)化問題的思路：首先，給定一個(gè)初值，求解子問題，得到一個(gè)局部最優(yōu)解；其次，將得到的最優(yōu)解作為t下一步迭代的初值，進(jìn)一步求解新問題的最優(yōu)解. 通過兩個(gè)步驟的不斷迭代，最終找到收斂的解，即為該問題的最優(yōu)解x?(t). 基于這兩步迭代過程，設(shè)計(jì)的防御武器配系部署優(yōu)化算法的詳細(xì)步驟如下.

在該算法中，采用牛頓迭代法計(jì)算F(x)最小值所對應(yīng)的局部最優(yōu)解x?(t)，本文給出如下的計(jì)算過程. 令F(x)=t f0(x)+?(x)，那么可以得到迭代等式為：

其 中H(F)為F(x) 的Hessian 矩 陣， ?F為F(x)的 梯度. ?F中各元素可由下所示.

防御武器配系部署優(yōu)化迭代算法：初始化：x t μ>1 ε>0 1．給定初始值 , ，調(diào)節(jié)參數(shù) ，設(shè)置算法誤差閾值運(yùn)行：F(x) x?(t)步驟1． 通過牛頓迭代法計(jì)算 最小值所對應(yīng)的局部最優(yōu)解步驟2． 運(yùn)行如下迭代過程：b t <ε x?=x?(t)若 ，則令最優(yōu)解t=μt否則 令 ，轉(zhuǎn)到步驟1算法結(jié)束

H(F) 中各元素可由下式表示：

通過xn得到xn+1后，進(jìn)一步基于牛頓迭代法進(jìn)行迭代，計(jì)算出該t值下的最優(yōu)解x?(t). 進(jìn)一步再增大t，繼續(xù)迭代，直至滿足誤差要求b/t<ε，得到最終的解x?，其中b為 不等式約束的個(gè)數(shù)， ε為誤差閾值.

由于f0(x)為嚴(yán)格凸函數(shù)，整數(shù)最優(yōu)解在非整數(shù)最優(yōu)解的周圍，通過回溯法遍歷非整數(shù)最優(yōu)解周圍的所有整數(shù)解即可求得最優(yōu)整數(shù)解，進(jìn)而可以得到我方防御武器最優(yōu)防御面積以及該條件下的部署.

3 陣地武器部署仿真分析

3.1 模型參數(shù)配置

假設(shè)有5 個(gè)保衛(wèi)目標(biāo)，各保衛(wèi)目標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)值分別為 Valued1=3.34 ， Valued2=2.56 ， Valued3=2.51，Valued4=3.65 ，Valued5=5.67. 有4 個(gè)可進(jìn)行防御武器部署的陣地，其中各陣地可部署的大氣層內(nèi)外防御武器最大數(shù)量分別為hmax=[5, 4, 6, 3]、lmax=[4,7, 2, 5]. 大氣層外防御武器的殺傷概率為kh=0.85，武器成本為Oh=5.345. 大氣層內(nèi)防御武器的殺傷概率為kl=0.7 ， 武器成本為Ol=3.4944，防御武器的總成本上限為Omax=120. 此外，各陣地部署的大氣層內(nèi)外防御武器對資產(chǎn)的防御能力如表1 所示.

表1 各陣地部署的大氣層內(nèi)外防御武器對資產(chǎn)的防御能力Table 1 Defense capability of endo-/extra-atmospheric defense weapons deployed at various positions against different assets

3.2 仿真計(jì)算結(jié)果

3.2.1 最優(yōu)非整數(shù)解

給定模型中各參數(shù)后，根據(jù)上文建立的優(yōu)化模型得到具體的待優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)與不等式約束.為更好地觀察模型的優(yōu)化性能，不考慮陣地針對于資產(chǎn)進(jìn)行部署的武器數(shù)量需為非負(fù)整數(shù)的約束條件，分別采用障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法結(jié)合牛頓迭代法（簡稱NT 或本文方法）、自適應(yīng)梯度下降法（簡稱GD 或?qū)Ρ确椒ǎ┣蠼獠坏仁郊s束最優(yōu)化問題的非整數(shù)解，具體結(jié)果如表2 所示.

表2 各陣地針對各資產(chǎn)部署大氣層內(nèi)外武器數(shù)量Table 2 Number of extra-/intra-atmospheric weapons deployed at each position for each asset

表2 為4 個(gè)陣地針對5 個(gè)保衛(wèi)資產(chǎn)部署的大氣層內(nèi)外武器數(shù)量(h(zij),l(zij))分布情況. 根據(jù)表1給出的各陣地部署的大氣層外防御武器、大氣層內(nèi)防御武器對資產(chǎn)的防御能力，對不具備資產(chǎn)防御能力的組合情況不進(jìn)行武器部署，并將相應(yīng)變量的值置為0. 最后，根據(jù)表2 給出的陣地武器部署情況可算出在本文所建立的優(yōu)化模型下，基于文中提出的求解算法，保衛(wèi)資產(chǎn)的總損失量為0.0036，剩余資產(chǎn)價(jià)值為17.7264，兩種武器部署耗費(fèi)的總成本為119.9999；基于自適應(yīng)梯度下降求解算法，保衛(wèi)資產(chǎn)的總損失量為0.00397，剩余資產(chǎn)價(jià)值為17.72603，兩種武器部署耗費(fèi)的總成本為118.8202；可見本文所提優(yōu)化求解算法性能更優(yōu).

3.2.2 最優(yōu)整數(shù)解

在解決實(shí)際問題時(shí)，需考慮到各陣地部署的武器數(shù)量要滿足非負(fù)整數(shù)的約束條件，因此在仿真時(shí)需要實(shí)現(xiàn)求解變量的非負(fù)整數(shù)約束. 本文方法和對比方法求出的各陣地防御武器配系部署方案最優(yōu)整數(shù)解如圖2 所示. 圖中，紅色矩形表示本文方法下的部署方案，藍(lán)色矩陣表示對比方法下的部署方案，純色填充表示大氣層外武器，條形填充表示大氣層內(nèi)武器.

圖2 各陣地針對各資產(chǎn)部署大氣層內(nèi)外武器數(shù)量. (a) 陣地1；(b) 陣地2；(c) 陣地3；(d) 陣地4Fig.2 Number of extra-/intra-atmospheric weapons deployed at each position for each asset: (a) Battlefield 1; (b) Battlefield 2; (c) Battlefield 3;(d) Battlefield 4

圖2 為4 個(gè)陣地針對5 個(gè)保衛(wèi)資產(chǎn)實(shí)際部署的大氣層內(nèi)/外武器數(shù)量分布圖情況，根據(jù)圖中結(jié)果計(jì)算可知：本文方法可充分調(diào)動(dòng)現(xiàn)有大氣層內(nèi)/外武器，該方法下保衛(wèi)資產(chǎn)的總損失量為0.004，剩余資產(chǎn)價(jià)值為17.726，兩種武器部署耗費(fèi)的總成本為118.8202.

3.3 收斂性能分析

圖3 顯示了整個(gè)運(yùn)算過程中不同時(shí)刻（t）下所需的牛頓迭代次數(shù)和對偶間隙變化情況. 可以看出，隨著t值增大，所需迭代次數(shù)越小，對偶間隙越小. 當(dāng)t>300 時(shí)，對偶間隙已經(jīng)趨近于0，這說明對偶問題逐漸收斂為原問題，且收斂到最優(yōu)解. 當(dāng)t>100000 時(shí)，所需迭代次數(shù)趨于穩(wěn)定.

圖3 不同t 下所需牛頓迭代次數(shù)和對偶間隙變化情況. (a) 不同t 下所需牛頓迭代次數(shù)；(b) 不同t 下對偶間隙變化情況Fig.3 Number of Newton iterations required and the variation of the pairwise gap at different t: (a) number of Newton iterations required at different t;(b) the variation of the pairwise gap at different t

4 結(jié)論

本文針對防空任務(wù)中我方多陣地、多平臺、多武器對抗條件下的有效防御武器配系部署建模和優(yōu)化問題開展了研究，構(gòu)建了一種有效的防御武器配系部署動(dòng)態(tài)模型，可描述充分考慮來襲目標(biāo)的不同類型、異構(gòu)特性以及大氣層內(nèi)外防御的多元化火力運(yùn)用方式；提出了一種基于障礙函數(shù)內(nèi)點(diǎn)法的防御武器最優(yōu)配置算法，能快速地求解具有混合整數(shù)非線性、約束強(qiáng)耦合、變量規(guī)模大等特征的防御武器配系部署模型，并通過數(shù)值仿真驗(yàn)證了本文所提出方法的有效性與優(yōu)越性. 未來工作將基于本文考慮的敵我雙方武器動(dòng)態(tài)對抗博弈場景，增加敵我雙方武器平臺機(jī)動(dòng)、偽裝、突防等復(fù)雜行為的描述，豐富文中算法的應(yīng)用范圍.