王秋娟

(福建省三明市將樂縣水南中學(xué),福建 三明 353300)

解題策略在中考數(shù)學(xué)中起著至關(guān)重要的作用,它不僅幫助學(xué)生有效解決具體的數(shù)學(xué)問題,更重要的是培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力[1-2].在全國各地中考數(shù)學(xué)試題中,最后一道題常常會(huì)是較難或綜合性較強(qiáng)的問題,這就是通常所說的“壓軸題”.這些題目不僅需要學(xué)生熟練掌握數(shù)學(xué)基本概念和基本技能,還需要學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)的知識(shí),將數(shù)學(xué)思想內(nèi)化為解題的基本策略,方能熟練應(yīng)對(duì)中考數(shù)學(xué)壓軸題,從而更加深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),提高學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力,進(jìn)而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效.

1 認(rèn)真審題,加深理解

隨著新課程改革的不斷深入,中考數(shù)學(xué)試題的形式發(fā)生了較大變化,尤其是中考數(shù)學(xué)壓軸題的形式和內(nèi)容都發(fā)生很大的變化.認(rèn)真審題是理解問題本質(zhì)的關(guān)鍵一步,審題的目的是全面理解題目中已知量與所求量之間的邏輯關(guān)系,確定下一步的解題思路,具體解題思路如圖1所示.在理清解題思路的基礎(chǔ)上,需結(jié)合問題特征選擇合適的數(shù)學(xué)方法和思維策略解決問題,提高解題效率和準(zhǔn)確性[3].

圖1 解題思路模型圖

1.1 認(rèn)真閱讀題目

認(rèn)真反復(fù)閱讀題目,并注意題目中的每個(gè)細(xì)節(jié)、要求和關(guān)鍵點(diǎn),這有助于學(xué)生整體理解數(shù)學(xué)問題,避免因遺漏信息而導(dǎo)致的錯(cuò)誤解答.在閱讀過程中,要有意識(shí)地將“大”問題分解為“小”問題,這有助于幫助學(xué)生找到問題的關(guān)鍵點(diǎn).

1.2 學(xué)會(huì)理解問題

在解決問題的過程中,要注意將數(shù)學(xué)問題分解為關(guān)鍵要素,包括已知條件、未知量和問題的核心要求.嘗試著從不同的角度和不同思維方式理解問題.也可以嘗試提出自己的問題,反問題目中的條件和要求,這有助于幫助學(xué)生深入思考問題,更全面地理解數(shù)學(xué)問題,并確定數(shù)學(xué)問題的解題方向.

1.3 弄清問題類型

在解決問題的過程中,要注意判斷問題是屬于哪一類數(shù)學(xué)問題,如代數(shù)、幾何、概率等,這樣可以為選擇合適的解題方法提供線索.同時(shí),有些題目可能包含一些隱含的信息或假設(shè),會(huì)提供一些模式或規(guī)律,通過觀察這些特征,可能可以推測出問題的解決思路,以擴(kuò)展對(duì)問題的理解.

1.4 繪制圖表或示意圖

對(duì)于幾何問題或涉及復(fù)雜關(guān)系的數(shù)學(xué)問題,繪制圖表或示意圖可以幫助學(xué)生更好地理解題目本質(zhì),并找到解題的線索和關(guān)鍵點(diǎn).

1.5 確定解題方法

在解決問題的過程中,根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求,選擇合適的數(shù)學(xué)思想、公式或定理解決問題.這可能需要運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算、幾何圖形的性質(zhì)、概率與統(tǒng)計(jì)等數(shù)學(xué)基本技能.

2 探究解題策略,內(nèi)化數(shù)學(xué)思想

中考數(shù)學(xué)壓軸題一般為代數(shù)與幾何的綜合題.在這類綜合題中,通常涉及較多的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),并且滲透多種數(shù)學(xué)思想方法.題目中往往涉及代數(shù)、幾何、概率、統(tǒng)計(jì)等多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域的相關(guān)知識(shí)[4].將多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來,學(xué)生要靈活運(yùn)用不同的數(shù)學(xué)思想方法解決問題,如分類討論、數(shù)形結(jié)合、推理推導(dǎo)等思想[5].這樣不僅能夠讓學(xué)生復(fù)習(xí)掌握各個(gè)領(lǐng)域的知識(shí),還能夠鍛煉他們將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行融會(huì)貫通的能力.因此,要掌握中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題策略,這意味著學(xué)生需要在解題過程中綜合運(yùn)用多個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想解決問題,需具備扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和強(qiáng)大的理解能力.

2.1 試題呈現(xiàn)及分析

筆者以2023年福建省中考數(shù)學(xué)第25題為例,探究解決中考數(shù)學(xué)壓軸題的基本策略.通過問題的解決,說明靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想,可將復(fù)雜的問題簡單化,從而有效地解決中考數(shù)學(xué)壓軸題.

如圖2,在△ABC中,∠BAC= 90°,AB=AC,D是AB邊上不與A、B重合的一個(gè)定點(diǎn).AO⊥BC于點(diǎn)O,交CD于點(diǎn)E.DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,FD,CA的延長線相交于點(diǎn)M.

圖2 壓軸題圖

(1)求證:△ADE∽△FMC;

(2)求∠ABF的度數(shù);

(3)若N是AF的中點(diǎn),如圖3,求證ND=NO.

圖3 問題(3)圖

分析本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理能力、空間觀念、幾何直觀、運(yùn)算能力、創(chuàng)新意識(shí)等,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.對(duì)于問題(1),學(xué)生需根據(jù)已知條件,善于用相似三角形判定定理去證明;對(duì)于問題(2),要求學(xué)生求∠ABF的度數(shù),那么需要學(xué)生能夠找到相關(guān)聯(lián)的相似三角形,然后根據(jù)邊角關(guān)系,巧用轉(zhuǎn)換思想進(jìn)行解答;對(duì)于問題(3),學(xué)生需構(gòu)造輔助線,根據(jù)平行線的性質(zhì)找到對(duì)應(yīng)角的關(guān)系,然后運(yùn)用全等三角形的判定、等腰三角形、直角三角形性質(zhì)等知識(shí)解決問題.因此,解答本題需要有較強(qiáng)的綜合解題能力和靈活的數(shù)學(xué)思維.

2.2 善用相似三角形判定定理

對(duì)于問題(1),主要考查相似三角形的判定定理,即兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.

如圖2,因?yàn)镈F是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的,所以∠FDC=90°,FD=CD,∠DFC=45°.因?yàn)锳B=AC,AO⊥BC,所以∠BAC=2∠BAO.因?yàn)椤螧AC=90°,所以∠BAO=∠ABC=45°,所以∠BAO=∠DFC.因?yàn)椤螮DA+∠ADM=90°,∠M+∠ADM=90°,所以∠EDA=∠M,所以△ADE∽△FMC.

2.3 巧用關(guān)系轉(zhuǎn)換思想

對(duì)于問題(2),題目主要考查相似三角形的性質(zhì),即相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例.解決此問題需巧用轉(zhuǎn)換思想,分別求出∠ABC和∠CBF的度數(shù).具體求解過程如下:

圖4 問題(2)解答圖

2.4 妙用平面幾何思維

對(duì)于問題(3),一是考查全等三角形判定定理,即兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的三角形是全等三角形,兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的三角形全等;二是考查等腰三角形性質(zhì),即等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合;三是考查直角三角形性質(zhì),即直角三角形的兩個(gè)銳角互余,直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.具體證明過程如下:

圖5 問題(3)解答圖

3 結(jié)束語

在中考試題中,壓軸題承載著一定的選拔性功能,具有一定的難度,綜合性較強(qiáng).為了幫助學(xué)生更好地解決中考數(shù)學(xué)壓軸題,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握其解題策略.為此,學(xué)生需要先進(jìn)行認(rèn)真審題,深度理解題目中已知量與所求量之間的邏輯關(guān)系,只有這樣,才能在千變?nèi)f化的題目中靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能解決問題.數(shù)學(xué)思想方法在解決中考數(shù)學(xué)壓軸題時(shí)非常有效,在解決問題過程中,學(xué)生可結(jié)合已經(jīng)學(xué)習(xí)過的數(shù)學(xué)概念、公式、定理等,靈活運(yùn)用它們簡化問題,分析問題的解決思路.因此,掌握解題策略和內(nèi)化數(shù)學(xué)思想對(duì)于解決中考數(shù)學(xué)壓軸題非常重要.通過合理應(yīng)用這些策略,才能夠更系統(tǒng)、有條理地解決問題,充分發(fā)揮學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解題技巧.