傅惠民， 郭建超， 付越帥， 李子昂

（北京航空航天大學(xué)小樣本技術(shù)研究中心， 北京 100191）

0 引言

為縮短試驗(yàn)周期， 工程上通常采用加速壽命試驗(yàn)來對(duì)高可靠長(zhǎng)壽命產(chǎn)品進(jìn)行可靠性評(píng)估。 然而傳統(tǒng)加速壽命試驗(yàn)方法通常需要在多個(gè)（5 個(gè)左右）加速應(yīng)力水平下進(jìn)行壽命試驗(yàn)，并采用最佳線性無偏估計(jì)（BLUEs）等方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析[1]，這導(dǎo)致試驗(yàn)工作量較大，特別是在較低的加速應(yīng)力水平還可能出現(xiàn)無失效數(shù)據(jù)情況。 此外，為評(píng)估可靠壽命的單側(cè)置信下限，需引入諸如指數(shù)分布平均壽命估計(jì)量服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布等假設(shè)[2]，進(jìn)一步帶來了誤差。

為此，本文提出一種小樣本加速壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)與評(píng)估方法，該方法僅需在兩個(gè)加速應(yīng)力水平下開展加速壽命試驗(yàn)，并分別求得兩個(gè)加速應(yīng)力水平下的可靠壽命單側(cè)置信限， 即可根據(jù)本文建立的正常使用應(yīng)力水平下可靠壽命的單側(cè)置信下限與兩個(gè)加速應(yīng)力水平下的可靠壽命置信限之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式， 對(duì)產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平下高置信度、高可靠度的可靠壽命進(jìn)行評(píng)估。由于根據(jù)單一加速應(yīng)力水平下的壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)評(píng)估該應(yīng)力水平下的可靠壽命單側(cè)置信限方法較多[3-8]，所以本文根據(jù)兩個(gè)加速應(yīng)力水平下的可靠壽命置信限評(píng)估正常使用應(yīng)力水平下的可靠壽命單側(cè)置信下限的方法，對(duì)完全數(shù)據(jù)、不完全數(shù)據(jù)以及各種分布均適用，并且易于計(jì)算。文中對(duì)工程上常見的指數(shù)分布、兩參數(shù)Weibull 分布（形狀參數(shù)已知）以及對(duì)數(shù)正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)差已知）的定數(shù)截尾加速壽命試驗(yàn)情況進(jìn)行了詳細(xì)討論。 嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚撏茖?dǎo)和大量的Monte Carlo模擬驗(yàn)證， 均證明了本文方法的正確性。 與傳統(tǒng)方法相比，本文方法在精度相同的條件下可以節(jié)省大量試驗(yàn)，而在試驗(yàn)量相同時(shí)則可顯著提高精度。

1 小樣本加速試驗(yàn)設(shè)計(jì)與評(píng)估方法

1.1 線性加速模型

加速壽命試驗(yàn)旨在通過高應(yīng)力水平下的可靠壽命外推得到正常使用應(yīng)力水平下的可靠壽命， 而這需要建立可靠壽命與應(yīng)力水平之間的關(guān)系，即加速模型。在失效機(jī)理不變的情況下， 產(chǎn)品可靠壽命與應(yīng)力水平之間的關(guān)系通?？捎萌缦戮€性加速模型來描述：

式中，tR為產(chǎn)品可靠壽命或其已知單調(diào)增函數(shù)，a 和b 為待定參數(shù)，φ（S）為應(yīng)力水平S 的已知函數(shù)，例如，當(dāng)加速應(yīng)力S為絕對(duì)溫度時(shí)，式（1）可采用阿倫尼斯模型：φ（S）=1/S，也可采用單應(yīng)力艾林模型，此時(shí)還需將式（1）中的tR換成其函數(shù)StR；當(dāng)加速應(yīng)力S 為電應(yīng)力（電壓、電流、功率等）、濕度、載荷等時(shí)，式（1）可采用逆冪律模型：φ（S）=lnS；當(dāng)加速應(yīng)力S 為電應(yīng)力、載荷時(shí)，式（1）也可采用指數(shù)模型：φ（S）=S。

進(jìn)一步可將式（1）變換為

式中，ω（S）=［φ（S2）-φ（S）］/［φ（S2）-φ（S1）］，tR1和tR2分別為應(yīng)力水平S1和S2（S2〉S1）下產(chǎn)品的可靠壽命。 對(duì)于阿倫尼斯模型和單應(yīng)力艾林模型，ω（S）為

對(duì)于逆冪律模型，ω（S）為

對(duì)于指數(shù)模型，ω（S）為

1.2 小樣本加速壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在小樣本加速壽命試驗(yàn)中， 只需選取兩個(gè)加速應(yīng)力水平S1和S2，要求S2〉S1≥S，其中產(chǎn)品正常使用應(yīng)力水平仍以S 來表示。 現(xiàn)分別在S1和S2下對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，并分別求得產(chǎn)品置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR1和tR2的單側(cè)置信下限tRL1，γ和上限tRU2，γ，計(jì)算下限tRL1，γ和上限tRU2，γ的方法可參考文獻(xiàn)[3-8]等。 試驗(yàn)設(shè)計(jì)時(shí)， 應(yīng)保證S1和S2下的失效模式與正常使用應(yīng)力水平S下的失效模式相一致，并且S2應(yīng)盡量選得大一些，S1則需適當(dāng)拉開與S2的距離， 或適當(dāng)增加試樣數(shù)和失效數(shù)，避免因隨機(jī)性出現(xiàn)tRL1，γ≤tRU2，γ的情況。

1.3 可靠性評(píng)估方法

根據(jù)文獻(xiàn)[9]和式（2），可以推導(dǎo)出如下定理：

定理 設(shè)tR1和tR2分別為產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平S1和S2（S2〉S1）下可靠度為R 的可靠壽命，tRL1，γ和tRU2，γ分別是其置信度至少為γ 的單側(cè)置信下限和上限， 且tRL1，γ和tRU2，γ相互獨(dú)立，則可以證明，該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S（S≤S1）下置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限tRL由下式給出

進(jìn)一步還可通過下式精確計(jì)算式（6）給出的可靠壽命單側(cè)置信下限tRL的置信度γ*：

其數(shù)值計(jì)算公式為

式中，

實(shí)際計(jì)算時(shí)，首先按精度要求選取M（如104，105，106等），代入式（12）求得γk，然后由式（11）求得相應(yīng)的tRL2，γk，再將其代入式（10）計(jì)算，最后由式（9）求得置信度γ*。

進(jìn)一步通過調(diào)整式（6）中的γ 取值為γ**，使得式（8）中的γ*=γ， 即可通過下式求得該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限

與式（7）計(jì)算的tRL相比，式（14）給出的tRL，γ的置信度為γ，而前者是置信度至少為γ，即tRL，γ具有更高的精度，更加接近于可靠壽命真值tR，通常有tRL，γ≥tRL，這可以充分開發(fā)利用產(chǎn)品的壽命潛力。 而tRL偏于保守， 但其計(jì)算簡(jiǎn)單，避免了后面復(fù)雜的數(shù)值計(jì)算。

由式（14）和置信限曲線的等同性可知，當(dāng)給定時(shí)間t時(shí)， 該產(chǎn)品置信度為γ 的可靠度單側(cè)置信下限RL，γ由下式中的R 求得

2 指數(shù)分布定數(shù)截尾加速試驗(yàn)可靠性評(píng)估方法

設(shè)產(chǎn)品在應(yīng)力水平S 下的壽命t 遵循平均壽命為θ的指數(shù)分布：

2.1 小樣本試驗(yàn)設(shè)計(jì)

在小樣本加速壽命試驗(yàn)中， 選取兩個(gè)加速應(yīng)力水平S1和S2（S2〉S1），分別對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行樣本數(shù)為n、失效數(shù)為r的定數(shù)截尾試驗(yàn)，得到應(yīng)力水平Si（i=1，2）下的失效數(shù)據(jù)和未失效數(shù)據(jù)：

2.2 平均壽命單側(cè)置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗(yàn)得到式（17）給出的一組壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)， 則可以求得加速應(yīng)力水平S1和S2下置信度為γ 的平均壽命單側(cè)置信下限θL1，γ和上限θU2，γ分別為

根據(jù)本文定理， 該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下置信度至少為γ 的平均壽命θ 單側(cè)置信下限θL為

其置信度γ*數(shù)值計(jì)算公式為

式中，M 根據(jù)數(shù)值計(jì)算精度要求進(jìn)行取值（如104，105，106等），F(xiàn)2r（·）是自由度為2r 的χ2分布的累積分布函數(shù)。

進(jìn)一步通過調(diào)整式 （21） 中的γ 取值為γ**， 使得式（21） 中的γ*=γ， 即可求得該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S下置信度為γ 的平均壽命θ 單側(cè)置信下限θL，γ為

2.3 失效率單側(cè)置信上限

該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下置信度為γ 的失效率λ 單側(cè)置信上限λU，γ為

2.4 可靠壽命單側(cè)置信下限

該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限tRL，γ為

2.5 理論證明與仿真驗(yàn)證

本文定理一般情況的推導(dǎo)較為復(fù)雜且篇幅較長(zhǎng)，因此，為了便于理解掌握，下面針對(duì)指數(shù)分布定數(shù)截尾試驗(yàn)情況給出其理論證明和仿真驗(yàn)證。 首先，通過理論推導(dǎo)證明式（20）給出的θL置信度至少為γ，即驗(yàn)證γ≥50%時(shí)下式成立

由于

所以

式中，Xi=2Ti/θi～χ2（2r），X1和X2相互獨(dú)立，0≤[1-1/ω（S）]〈1。

下面分兩種情況對(duì)式（30）進(jìn)行討論：

1）ln［X2/（2r）］≥0 時(shí)，有

2）ln［X2/（2r）］〈0 時(shí)，有

式中，F(xiàn)＝（X1/2r）/（X2/2r）～F（2r，2r），F(xiàn)γ（2r，2r）是其γ 下側(cè)分位點(diǎn)。由于γ≥50%時(shí)，可以證明Fγ（2r，2r）≤（2r）/，因此，式（32）在γ≥50%時(shí)成立。

由全概率公式可知，式（26）在γ≥50%時(shí)成立，即本文給出的θL置信度至少為γ。

然后，通過仿真驗(yàn)證式（23）給出的θL，γ的置信度為γ，即驗(yàn)證下式成立

亦即

為了驗(yàn)證式（34），在每次仿真試驗(yàn)中，分別從X1和X2的母體中進(jìn)行隨機(jī)抽樣，重復(fù)仿真107次，統(tǒng)計(jì)式（34）中不等式成立的頻率作為仿真置信度γ′， 并使之與設(shè)定置信度γ 進(jìn)行比較，即可驗(yàn)證本文方法的正確性。

例如，設(shè)定失效數(shù)r=3，不同置信度要求及應(yīng)力水平設(shè)定下的仿真計(jì)算結(jié)果如表1 所示。

表1 指數(shù)分布置信度仿真結(jié)果

可以看到， 仿真置信度γ′均與設(shè)定置信度γ 非常接近。 倘若增加仿真次數(shù)，提高計(jì)算精度，仿真置信度γ′將與設(shè)定置信度γ 完全相等，即式（33）成立。 從而驗(yàn)證了本文定理在指數(shù)分布定數(shù)截尾試驗(yàn)情況的正確性。

3 Weibull 分布定數(shù)截尾加速試驗(yàn)可靠性評(píng)估方法

對(duì)于產(chǎn)品壽命t 服從兩參數(shù)Weibull 分布的情況，由于工程實(shí)際中形狀參數(shù)α0通常可由以往試驗(yàn)數(shù)據(jù)或經(jīng)驗(yàn)獲得，例如波音公司統(tǒng)計(jì)得到：鋁合金結(jié)構(gòu)α0＝4；鈦合金結(jié)構(gòu)α0＝3；鋼結(jié)構(gòu)α0＝2.2。 因此，下面給出形狀參數(shù)α0已知情況下的Weibull 分布小樣本加速壽命試驗(yàn)方法。

設(shè)產(chǎn)品在應(yīng)力水平S 下的壽命t 遵循兩參數(shù)Weibull分布：

式中，α0為已知的形狀參數(shù)，β 為尺度參數(shù)。 令

則在應(yīng)力水平S 下y 遵循平均壽命為βα0的指數(shù)分布。

3.1 可靠壽命單側(cè)置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗(yàn)得到式（17）給出的一組壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，代入式（36），得

則將其轉(zhuǎn)換為指數(shù)分布y 的一組壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 根據(jù)式（20），求得在正常使用應(yīng)力水平S 下，該產(chǎn)品置信度至少為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限tRL為

3.2 可靠度單側(cè)置信下限

根據(jù)置信限曲線等同性原理和式（39），可以求得該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下給定時(shí)刻t 處的置信度為γ 的可靠度R 單側(cè)置信下限RL，γ為

4 正態(tài)分布定數(shù)截尾加速試驗(yàn)可靠性評(píng)估方法

設(shè)某產(chǎn)品在應(yīng)力水平S 下的對(duì)數(shù)壽命x=lgt 遵循標(biāo)準(zhǔn)差為σ0（已知）的正態(tài)分布：

式中，μ 為對(duì)數(shù)壽命均值，Φ（·）為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)。

4.1 可靠壽命單側(cè)置信下限

若通過小樣本加速壽命試驗(yàn)得到式（17）給出的一組壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)，則加速應(yīng)力水平S1和S2下置信度為γ、可靠度為R 的對(duì)數(shù)可靠壽命單側(cè)置信下限xRL1，γ和上限xRU2，γ分別為[8]

根據(jù)本文定理，在正常使用應(yīng)力水平S 下，該產(chǎn)品置信度至少為γ、 可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限tRL由下式給出

其置信度γ*數(shù)值計(jì)算公式為

式中，M 根據(jù)數(shù)值計(jì)算精度要求進(jìn)行取值（如104，105，106等）。進(jìn)一步調(diào)整式（50）中的γ 取值為γ**，使得γ*=γ，即可求得該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下置信度為γ、可靠度為R 的可靠壽命tR單側(cè)置信下限tRL，γ為

特別是，在加速應(yīng)力水平S1和S2上的試驗(yàn)壽命均為完全數(shù)據(jù)時(shí)， 能夠直接根據(jù)回歸分析得到其精確的可靠壽命單側(cè)置信下限，可以證明，此時(shí)由本文式（52）給出的結(jié)果與之完全相同。

4.2 可靠度單側(cè)置信下限

根據(jù)置信限曲線等同性原理， 該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平S 下給定時(shí)刻t 處的置信度為γ 的可靠度R 單側(cè)置信下限RL，γ由下式求得

5 算例

為了與真值進(jìn)行比較，下面給出一仿真算例。設(shè)某機(jī)電產(chǎn)品壽命遵循形狀參數(shù)α0＝3.8 的兩參數(shù)Weibull 分布，電流應(yīng)力Ι 是導(dǎo)致其失效的主要因素。 現(xiàn)以電流應(yīng)力作為加速應(yīng)力對(duì)其開展小樣本加速壽命試驗(yàn)。 設(shè)加速模型為lnβ=15-4lnI。 現(xiàn)選取兩個(gè)加速應(yīng)力水平分別為I1=9mA，I2=12mA， 每個(gè)應(yīng)力水平下進(jìn)行樣本數(shù)n=5 的完全壽命試驗(yàn)，仿真結(jié)果如表2 所示。下面采用本文方法對(duì)該產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平I=5mA 下的可靠性進(jìn)行評(píng)估。

表2 某機(jī)電產(chǎn)品加速壽命試驗(yàn)仿真結(jié)果

首先，分別求得該產(chǎn)品在加速應(yīng)力水平I1和I2下置信度為0.9、 可靠度為0.99 的可靠壽命單側(cè)置信下限tRL1,γ和上限tRU2,γ分別為

根據(jù)式（38），可以求得正常使用電流應(yīng)力水平I 下該產(chǎn)品置信度至少為0.9、 可靠度為0.99 的可靠壽命單側(cè)置信下限tRL為

根據(jù)式（21），精確計(jì)算式（57）中tRL的置信度為

進(jìn)一步調(diào)整置信度γ 取值為γ**=0.8193， 使得γ*=γ，最終求得該產(chǎn)品在I=5mA 正常使用電流應(yīng)力下置信度為0.9、可靠度為0.99 的可靠壽命單側(cè)置信下限tRL，γ為

可以看到，tRL，γ=1090.2h 高于tRL=871.2h， 但二者均低于可靠壽命真值tR=1558.8h，工程上可以安全使用。 并且tRL，γ比tRL具有更高精度，而tRL計(jì)算簡(jiǎn)單。

6 結(jié)論

針對(duì)工程上常用的線性加速模型， 建立了正常使用應(yīng)力水平下可靠壽命的單側(cè)置信下限與兩個(gè)加速應(yīng)力水平下的可靠壽命置信限之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。

提出的小樣本加速壽命試驗(yàn)設(shè)計(jì)與評(píng)估方法，只需在兩個(gè)加速應(yīng)力水平下進(jìn)行加速壽命試驗(yàn)，即可對(duì)產(chǎn)品在正常使用應(yīng)力水平下高置信度、高可靠度的可靠壽命進(jìn)行評(píng)估。

對(duì)工程上常見的指數(shù)分布、兩參數(shù)Weibull 分布（形狀參數(shù)已知）和對(duì)數(shù)正態(tài)分布（標(biāo)準(zhǔn)差已知）的定數(shù)截尾加速壽命試驗(yàn)情況進(jìn)行了詳細(xì)討論， 給出了相應(yīng)的正常使用應(yīng)力水平下高置信度、 高可靠度的可靠壽命單側(cè)置信下限計(jì)算公式。

工程實(shí)際中，通常有S2〉S1≥S，對(duì)于S2≥S≥S1的特殊情況，只需將本文定理中的上限tRU2，γ和tRU2，γ**換成下限tRL2，γ和tRL2，γ**即可。

加速壽命試驗(yàn)中，應(yīng)力水平越高，壽命分散性往往越小。但是傳統(tǒng)的加速壽命試驗(yàn)方法通常假設(shè)方差相同，這必然帶來誤差，而本文方法對(duì)方差相同、不相同、已知或未知情況均適用，很好地克服了傳統(tǒng)方法的不足。