陳 央 劉曉軍 彭旭龍 陳得良

(長沙理工大學(xué)土木工程學(xué)院,長沙 410114)

引言

為開發(fā)性能更優(yōu)的輕量化結(jié)構(gòu),人們開始結(jié)合仿生復(fù)合材料進行結(jié)構(gòu)創(chuàng)新[1],通過模仿天然骨骼和木材引入內(nèi)部孔隙,從而改變材料的密度.功能梯度材料[2](functionally graded materials,FGM)與孔隙結(jié)合就是重要的發(fā)展趨勢之一.多孔FGM 結(jié)構(gòu)具有分離過濾、阻燃防爆等功能,在航空航天、土木工程、海洋工業(yè)等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[3-6].

功能梯度材料在溫度和濕度不斷變化的復(fù)雜環(huán)境中服役時,其材料特性會發(fā)生變化.近年來,許多學(xué)者研究了復(fù)雜環(huán)境下FGM 結(jié)構(gòu)的力學(xué)行為.李世榮等[7]研究了熱環(huán)境中粘貼壓電層功能梯度材料矩形梁的自由振動問題.許新等[8]研究了FGM 矩形截面微梁的熱彈性阻尼.范紀華等[9]研究了熱環(huán)境下FGM 變截面矩形梁的動力學(xué)問題.Nikrad 等[10]研究了多孔FGM 矩形截面曲梁的面內(nèi)熱彈性響應(yīng).Akbas[11]分析了濕熱環(huán)境下FGM 懸臂矩形梁的非線性彎曲行為.Tang 等[12]研究了濕熱環(huán)境下FGM 矩形梁的非線性振動問題.Ansari 等[13]對濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形梁進行振動分析.Wang 等[14]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形梁的熱彈性動力響應(yīng)問題.李清祿等[15]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM矩形梁的后屈曲和屈曲問題.Wang 等[16]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形微梁的屈曲行為.Wang 等[17]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形微梁的彎曲和自由振動特性.Jouneghani 等[18]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形微梁的彎曲行為.戴婷等[19]研究了濕熱環(huán)境下旋轉(zhuǎn)變厚度多孔FGM 圓板的濕熱力學(xué)響應(yīng)問題.Pham 等[20]研究了濕熱環(huán)境下多孔FGM 矩形截面曲梁的自由振動問題.

上述文獻中研究的是矩形截面梁和圓板.圓管作為一種常見且重要的基本結(jié)構(gòu),廣泛應(yīng)用于管道、支柱、橫梁、機械設(shè)備和機器等部件中.已有許多學(xué)者采取不同的梁理論對圓管進行研究.基于Euler 梁理論,部分學(xué)者研究了圓管的靜動力學(xué)問題[21-23].為考慮短粗梁中的橫向剪切變形,Timoshenko梁理論被廣泛應(yīng)用于圓管的非線性靜動力學(xué)問題[24-26].Euler 梁理論只適用于細長梁,Timoshenko 梁理論可以分析含橫向剪切變形的短粗梁,然而Timoshenko梁理論針對不同的梁截面需要選取合適的剪切修正因子.且上述兩種梁理論均不能滿足圓管內(nèi)外表面剪應(yīng)力為0 的邊界條件.為此,Zhang 等[27]提出了一種適用于圓管的高階剪切變形梁理論,該梁理論可以滿足內(nèi)外表面剪應(yīng)力消失的應(yīng)力邊界條件,能很好地反映圓截面的幾何特征.基于該梁理論,Liu 等[28]研究了在不同分布載荷作用下層合管的非線性彎曲.She 等[29-30]研究了多孔納米管的非線性彎曲和振動[29]、屈曲和后屈曲[30]特性.

綜上所述,采用修正的高階剪切變形梁理論對濕熱環(huán)境下多孔FGM 圓管的非線性彎曲行為的研究較少.本文采用修正的高階梁模型,對多孔FGM圓管在濕熱環(huán)境中的非線性彎曲行為進行研究.基于修正的高階剪切變形梁理論,考慮溫度對材料屬性的影響,通過最小勢能原理,得到濕熱環(huán)境下多孔FGM 圓管的非線性彎曲控制方程,采用二次攝動法對控制方程進行求解,并與已有文獻的結(jié)果進行對比以驗證本文方法的正確性,通過數(shù)值算例討論不同參數(shù)對多孔FGM 圓管的非線性彎曲行為的影響.

1 基本方程

考慮處于濕熱環(huán)境中,并受橫向均布載荷q作用的多孔FGM 圓管,其長度為L,內(nèi)半徑為Ri,外半徑為Ro,為便于研究,建立直角坐標系O(x,y,z)和柱坐標系O(x,r,θ),如圖1 所示.顯然,y=rcosθ,z=rsinθ,r2=y2+z2.

圖1 多孔功能梯度材料圓管的示意圖Fig.1 Schematic diagram of the FGM porous tube

考慮均勻和非均勻的兩種孔隙分布模型[30],如圖1 所示.

均勻孔隙分布模型(type 1)如下

非均勻孔隙分布模型(type 2)如下

式中,ζ(ζ ?1)表示孔隙率,N是一個非負的梯度指數(shù),P表示材料屬性,包括楊氏模量E、質(zhì)量密度 ρ、熱膨脹系數(shù) α和濕膨脹系數(shù) β等.下標f,m和c分別表示多孔FGM、金屬和陶瓷.

基于Zhang 等[27]的高階剪切變形梁模型,位移場如下

其中,u1和u3是任意一點沿著x和z方向的位移,u0和w分別為多孔FGM 圓管中平面x方向和z方向的位移,φ為橫截面的轉(zhuǎn)角,下標","表示對后面變量求偏導(dǎo).當f=0時,該梁模型退化為Timoshenko 梁模型; 當f=?z時,該梁模型退化為Euler 梁模型.

由von Kármán 非線性應(yīng)變?位移關(guān)系可得軸向應(yīng)變 εx、剪切應(yīng)變 γxy和 γxz為

考慮濕熱環(huán)境下多孔FGM 圓管的物理方程為

其中,σx表示軸向應(yīng)力,τxy和 τxz表示剪應(yīng)力,G表示剪切模量,ΔT和ΔC為溫度和濕度的變化量.

多孔FGM 圓管的非線性彎曲控制方程可由最小勢能原理導(dǎo)出,其總勢能為

其中,U為應(yīng)變能,Ue為外力勢能,A表示多孔FGM 圓管的橫截面面積.

根據(jù)最小勢能原理 δΠ=0,可得由內(nèi)力表示的平衡方程

其中,內(nèi)力為

由式(9)可得

其中,NT和NC是由熱載荷和濕載荷引起的軸力,其表達式為

且Ai(i=0,1,2,3,4)的表達式為

考慮具有兩端簡支面內(nèi)不可動支撐的多孔FGM圓管,其邊界條件為

由方程組(8) 的第一式和邊界條件(12) 中的u0(0)=u0(L)=0,可得

將式(5)和式(6)代入式(8),可得由位移分量w,φ表示的控制方程

為方便研究,引入如下無量綱參數(shù)

式中E0為梯度指數(shù)N=0時圓管的彈性模量.

將式(15)代入式(14),得到無量綱控制方程為

2 求解方法

式(16)為非線性常微分方程組,采用二次攝動法[31]進行求解.位移W、位移 Φ和載荷 λq展開為

其中,ε為小攝動參數(shù).

將式(17)代入式(16),并按照 ε的同次冪進行離散展開,逐階求解,可得漸進解形式為

其中,Wm為梁的中點撓度.

將式(20)代入式(19),可得

3 數(shù)值分析

表1 為陶瓷(Si3N4)和金屬(SUS304)的材料參數(shù).材料的溫度相關(guān)性可由以下非線性方程描述

表1 陶瓷(Si3N4)和金屬(SUS304)的材料屬性Table 1 Material properties for Si3N4 and SUS304

其中,P?1,P0,P1,P2,P3是與溫度有關(guān)的材料系數(shù).

考慮濕?熱均勻分布

其中,T和C分別表示溫度和濕度,T0和C0表示無應(yīng)力狀態(tài)時的參考溫度和濕度,取T0=300 K,C0=0%.

為驗證本文模型和方法的正確性,不考慮濕度和孔隙,取材料參數(shù)和材料尺寸與文獻[32]一致,并將本文與其結(jié)果進行了對比,如圖2 所示.其中橫坐wm/Ro是無量綱的撓度.由圖2 可知,兩文結(jié)果吻合,表明了本文所采用的理論模型和求解方法的有效性.標

圖2 圓管的非線性彎曲響應(yīng)曲線的對比Fig.2 Comparisons of nonlinear bending responses for tube

圖3 給出了不同梁模型下多孔FGM 圓管的非線性彎曲響應(yīng)曲線.當L=5Ro時,本文的高階剪切梁模型和Euler 梁模型所得的結(jié)果有一定差異; 當L=20Ro時,不同梁模型的結(jié)果基本相同.這表明當圓管的長細比較小時,圓管的橫向剪切變形影響較為明顯,需要考慮剪切變形對彎曲的影響.

圖3 不同梁模型多孔FGM 圓管的非線性彎曲響應(yīng)Fig.3 Nonlinear bending responses of FGM porous tubes under different beam models

圖4 和圖5 分別為孔隙率 ζ對多孔FGM 圓管非線性和線性彎曲響應(yīng)的影響.由兩圖可知,隨著孔隙率 ζ的增加,圓管的彎曲變形增大,這是因為孔隙的增多導(dǎo)致圓管的彎曲剛度降低,從而使圓管更容易發(fā)生變形; 當孔隙率越大,均勻孔隙圓管的彎曲響應(yīng)明顯大于非均勻孔隙圓管的彎曲響應(yīng),這表明在高孔隙率的情況下,非均勻孔隙分布可以有效提高圓管的抗彎曲變形能力.將圖4 和圖5 對比可知,在彎曲變形較大時,考慮非線性彎曲是十分必要的.

圖4 孔隙率 ζ對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響Fig.4 Effect of porosity on nonlinear bending responses of FGM porous tubes

圖6 為梯度指數(shù)對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響.由圖可知,隨著梯度指數(shù)的增加,圓管的彎曲變形越明顯,原因是隨著梯度指數(shù)的增加,圓管的彈性模量會降低,使得梁更容易發(fā)生變形.

圖6 梯度指數(shù)對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響Fig.6 Effect of volume fraction index on nonlinear bending responses of FGM porous tubes

圖7 揭示了圓管內(nèi)半徑Ri對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響.由圖可知,圓管內(nèi)半徑Ri的增大導(dǎo)致其彎曲變形程度越明顯,原因是圓管內(nèi)半徑Ri的增大會使圓管薄壁化,這種薄壁化使得圓管的彎曲剛度降低,讓圓管更容易發(fā)生變形.

圖7 內(nèi)半徑 Ri 對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響Fig.7 Effect of inner radius Ri on nonlinear bending responses of FGM porous tubes

圖8 給出了濕度對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響.由圖可知,濕度越大,圓管彎曲變形越大,但濕度對于圓管彎曲變形影響很小,這是因為材料的濕膨脹系數(shù)很低,對濕度變化不敏感.

圖8 濕度對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響Fig.8 Effect of humidities on nonlinear bending responses of FGM porous tubes

圖9 研究了溫度對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響.溫度的升高會使得圓管彎曲變形增加.

圖9 溫度對多孔FGM 圓管非線性彎曲響應(yīng)的影響Fig.9 Effect of temperature on nonlinear bending responses of FGM porous tubes

4 結(jié)論

本文基于一種修正的高階剪切變形梁理論,討論了孔隙分布模型、孔隙率、梯度指數(shù)、內(nèi)半徑、濕度和溫度對濕熱環(huán)境下多孔FGM 圓管的非線性彎曲行為的影響,主要結(jié)論如下:

(1) 二次攝動法可以準確高效求解非線性彎曲問題,并且能得到問題的半解析解,便于對此類問題進行定量和定性的討論;

(2) 當孔隙率較大時,非均勻孔隙分布可以有效提升圓管的抗彎曲變形能力,因此在實際輕量化設(shè)計過程時,孔隙分布優(yōu)先采用非均勻分布模型;

(3) 短粗梁需要考慮橫向剪切變形,采用的修正的高階梁模型可以精確研究不同長細比的圓截面梁問題;

(4) 隨著濕?熱加劇,多孔FGM 圓管的彎曲變形越大,考慮溫度和濕度的影響對服役過程中的多孔FGM 圓管十分必要.