張旭堯 崔 祚 尹存宏 程安楠

* (貴州大學機械工程學院,貴陽 550025)

? (貴州理工學院航空航天工程學院,貴陽 550003)

引言

在自然界中,大部分魚類采用波動推進模式,通過神經(jīng)信號激活魚體兩側(cè)肌肉,利用魚體的柔性波動特性及其與流體環(huán)境的相互作用,實現(xiàn)快速高效游動[1-2].魚類在波動推進過程中可通過收縮/拉伸肌肉的方式調(diào)整身體剛度,以獲得更高的推進速度和游動效率[3].例如,Luo 等[4]發(fā)現(xiàn)可通過調(diào)整仿生機器魚的尾部剛度來提升推進性能.Shelton 等[5]發(fā)現(xiàn)柔性魚體比剛性魚體更容易實現(xiàn)快速游動.Tytell 等[6]和Wang 等[7]進一步發(fā)現(xiàn)同時調(diào)整驅(qū)動頻率和魚體剛度可更好地提升魚類游動速度.太陽魚生物實驗發(fā)現(xiàn)當擺動頻率相同時,低魚體剛度會導致游動速度下降[8].雖然上述研究均表明魚體剛度和驅(qū)動等參數(shù)對魚類推進性能有著重要影響,但它們之間的交互影響機理分析還不深入.

波動推進魚類由魚體肌肉、脊椎、骨骼系統(tǒng)、肌腱和皮膚等彈性組織組成,通過肌肉收縮和伸長實時改變魚體彎曲剛度,從而提升游動性能[9-10].從動力學角度看,魚類在水中游動過程實質(zhì)是魚體內(nèi)部動力學和外部流體環(huán)境相互作用的結(jié)果,其推進性能由魚體主動彎曲和流體的反作用力共同決定[11-12].柔性魚體可看作由彈性材料組成的變截面梁,楊氏模量可用來描述魚體剛度.所以探究魚體變剛度特性首先需要構(gòu)建耦合魚體內(nèi)部動力學的游動模型,然后分析剛度特性對推進性能的影響.

在魚類游動建模方面,魚游模型可大致分為理論動力學模型和數(shù)值CFD 模型兩類[13].魚游理論動力學模型指利用經(jīng)典流體力學理論,如Taylor 抗力理論、Lighthill 細長體理論和動作盤理論等,耦合魚體動力學模型實現(xiàn)魚游過程.而數(shù)值CFD 模型通常利用數(shù)值方法求解流體方程,并通過耦合求解魚體動力學方程實現(xiàn)魚游的模擬.例如,Tytell 等[13]建立了三維鰻魚游模型,研究表明魚體剛度直接影響鰻魚游動速度和啟動加速度,并預測魚體大剛度更容易得到更大的游動速度,但會降低啟動加速度.Wei等[14]在CFD 魚游模型基礎(chǔ)上,利用效率優(yōu)化方法發(fā)現(xiàn)鲹科魚類在高斯特勞哈爾數(shù)和低雷諾數(shù)下容易實現(xiàn)高效率游動.

目前,魚類游動模型大多采用魚體波曲線(如文獻[14])或魚體內(nèi)部激活波為驅(qū)動,缺少肌肉驅(qū)動模型的深入分析.McMillen 等[15-16]結(jié)合生物學實驗,構(gòu)建了基于鈣離子模型的肌肉力非線性驅(qū)動模型,并結(jié)合Taylor 抗力理論建立了魚游模型,研究了鰻鱺科魚類激活波和彎曲波的滯后現(xiàn)象.后續(xù)沈昊嫣等[17]、Williams 等[18]、Blight[19]和Long 等[20]研究進一步發(fā)現(xiàn)魚體彎曲曲率、肌肉激活波等與魚體剛度調(diào)整有關(guān).但是目前缺少魚體肌肉驅(qū)動、魚體剛度變化和游動性能的耦合關(guān)系的深入研究,也沒有討論魚體驅(qū)動力幅值的影響.

鑒于上述分析,本文以鰻鱺科魚類(如七鰓鰻、盲鰻和鰻魚等)為研究對象,利用鈣離子肌肉力驅(qū)動模型,基于黏彈性梁動力學模型建立了魚游模型,采用數(shù)值模擬方法分析魚體驅(qū)動條件、剛度特性與游動性能的耦合關(guān)系.

1 魚類游動動力學建模

1.1 魚體動力學方程

鰻鱺科魚類在游動過程中,肌肉激活行波沿魚體頭部向尾部逐漸傳遞,激活魚體兩側(cè)肌肉產(chǎn)生肌肉收縮或伸長的驅(qū)動力,從而使得魚體彎曲變形.將魚體看作水中受到流體力作用的黏彈性梁,魚體波動推進過程受到內(nèi)部彎矩和流體動力的相互作用.

如圖1,鰻鱺科魚類在水中的游動可以簡化為一個平面問題,將魚體的擺動平面設為投影平面,并在慣性參考系下建立魚體的直角坐標(x,y),以弧長s和轉(zhuǎn)動角φ建立魚體曲線坐標.一般鰻鱺科的魚體橫截面近似為橢圓形,魚體的高度和寬度沿體長逐漸減小.根據(jù)鰻鱺科魚類的體態(tài)特征,設定模型長度L=21 cm,魚頭長為0.1L,魚身長為0.6L,魚尾長度為0.3L;魚體橫截面為橢圓,其高度方向為長軸,寬度方向為短軸,則短半軸a(s)和長半軸b(s)沿著魚體長度的分布可描述為

圖1 基于黏彈性變截面梁的魚游模型Fig.1 The dynamic model of fish body based on the viscoelastic rod with variable cross-sections

為確保魚體彎曲變形過程中長度不發(fā)生變化,引入不可伸長條件,描述為

式中,弧長s表示魚體全長,轉(zhuǎn)動角φ表示魚體中線上任意一點的切線與x軸夾角.

如圖1,黏彈性桿上任意一處節(jié)段都會受到接觸力F=(f,g)、彎矩M、流體力W=(Wx,Wy)的作用,其中接觸力和彎矩是施加在魚體上任意節(jié)段區(qū)域內(nèi)的力,而流體力來自與外部流體環(huán)境的相互作用,平衡線動量方程和角動量方程后,建立魚體運動學和彎曲變形方程,描述為

式中,ρ為魚體密度;A為魚體截面積,A=πab;I為橢圓截面慣性矩,I=πab3/4;Wx和Wy分別為沿x軸和y軸方向的流體力,f和g分別代表沿x軸和y軸方向的接觸力,M為魚體彎矩大小.

柔性魚體與周圍流場的相互作用力W可利用Taylor 抗力理論進行分析,描述為

其中,流體力W的法向n和切向t的分量分別為

式中,ρf為流體密度,μ為流體黏性系數(shù);Cn為法向系數(shù),設置為Cn=1;vn和vt分別為法向速度和切向速度.

方程(5)中的彎矩M包含彈性應力、黏性應力產(chǎn)生的力矩和肌肉激活波,描述為

式中,EI為彎曲剛度;δ為黏性阻尼;K為魚體肌肉激活行波函數(shù).

1.2 魚游動力學模型離散化

根據(jù)1.1 節(jié)的設定,現(xiàn)將魚體擺動平面設為投影平面,并建立魚體的直角坐標(x,y).如圖2,將鰻鱺科魚體離散成冗余串并聯(lián)結(jié)構(gòu),各串并聯(lián)結(jié)構(gòu)單元距離為h,并由鉸鏈連接.多剛體串聯(lián)結(jié)構(gòu)代表魚體脊椎以描述魚體的波動運動情況.并聯(lián)在魚體兩側(cè)的線性彈簧、阻尼器、驅(qū)動器代表魚體肌肉驅(qū)動及魚體黏彈性動力學特性,用以分析魚體變剛度特性.

圖2 鰻鱺科魚體離散化模型Fig.2 The discretization model of anguilliform fish

在慣性坐標系(x,y) 下,離散不可伸長條件方程(2),如下

在慣性坐標系(x,y) 下,離散魚體運動學方程式(3)～式(4)和彎曲變形方程(5),如下

式中,Ji為魚體離散體的轉(zhuǎn)動慣量,Ji=ρIih;mi為離散體質(zhì)量,mi=ρAih.

在慣性坐標系(x,y)下,離散魚體彎矩方程(8),如下

進一步,根據(jù)圖2 的離散魚體幾何尺寸關(guān)系,離散的彎矩方程(14)便改寫為如下形式

式中,FRi和FLi分別為右、左側(cè)的阻尼力、彈簧力和驅(qū)動力的合力;LRi和LLi分別為魚體左、右側(cè)到旋轉(zhuǎn)中心的力臂;Ki為魚體肌肉激活行波函數(shù),1.3 節(jié)中有詳細介紹;γ為阻尼器的阻尼,γ=aiμ/2;λ為線性彈簧的剛度,λ=aibiε;Hi為第i節(jié)魚體的截面寬度,為了近似于肌肉的均勻分布設置Hi=bi/2;其中μ為阻尼系數(shù),ε為彈性系數(shù),ai為第i節(jié)魚體的短半軸長度,bi為第i節(jié)魚體的長半軸長度.上述相關(guān)參數(shù)和式(15)的具體含義和推導詳細內(nèi)容參見文獻[15].結(jié)合方程(14)可知在方程(15)中,等式右邊第3 項為彎曲剛度項,即EIi=2aiε/4.在圖1 的橢圓截面魚體中,若將Ii=πai/4 帶入彎曲剛度項,則彈性系數(shù)變?yōu)棣?Eπ/2,其中E為楊氏模量,則魚體彎曲剛度Gi可變?yōu)槿缦滦问?/p>

式中,通過改變楊氏模量E便可統(tǒng)一變化魚體的彎曲剛度,且魚體的彎曲剛度與橫截面積、楊氏模量呈正比關(guān)系,這一設置符合生物學[16,21],因為肌肉收縮會在橫截面上產(chǎn)生應變[22],進而引起橫截面的變化,并且越大的彎曲曲率會帶來越大的應變,而應變對推進性能的主要影響在于變化了魚體的身體剛度,即越大的應變會帶來越大的身體剛度[23].

1.3 魚體肌肉力驅(qū)動模型

本文的肌肉力生成采用Williams 等[15]的鈣離子肌肉力模型,其包括線性化的Hill 肌肉模型和鈣動力學模型兩部分組成.

在線性化的Hill 肌肉模型中,一束肌肉纖維被視作一組串聯(lián)組成的收縮元件和彈性元件.從頭至尾傳播的運動神經(jīng)元激活行波促使肌肉收縮.當肌肉未被激活時,收縮和彈性元件不運動,它們兩者產(chǎn)生力的大小相等.當肌肉被激活時,收縮元件縮短帶動彈性元件伸長.在整個肌肉激活過程中,收縮和彈性元件產(chǎn)生力的大小相等,且收縮量等于伸長量.

設置彈性元件產(chǎn)生力P與其伸長量成線性關(guān)系,其對應圖2 中的線性彈簧,表達式為

式中,μs為肌肉纖維彈性系數(shù);ls為肌肉纖維變形后長度,即彈性元件伸長后的長度;ls0為肌肉纖維初始長度,即彈性元件的初始長度.

設置收縮元件產(chǎn)生力Pc隨時間的變化呈倒鐘形非線性關(guān)系,其影響因素有收縮長度、收縮速度和鈣離子結(jié)合過程,表達式為

式中,P0為實驗測得最佳肌肉力[13],60.86 mN/mm2;lc為肌肉收縮元件長度,vc為肌肉收縮速度,λ(lc)和α(vc)是生物學擬合常數(shù);RCaf為肌肉細絲上鈣離子結(jié)合位數(shù)量和細絲結(jié)合位數(shù)量的比值,由鈣動力學模型給出.上述參數(shù)的具體含義和鈣動力學模型詳細內(nèi)容參見文獻[15].

本文鈣動力學模型均采用生物學試驗數(shù)據(jù),由于實驗數(shù)據(jù)肌肉激活頻率不高于2 Hz,所以本文研究肌肉激活頻率均不大于2 Hz.此外,肌肉收縮過程所需的時間,由下式描述

式中,kt為時間常數(shù),100 s?1;P外彈性元件產(chǎn)生的力,其對應圖2 中的線性彈簧(左側(cè)為PLi,右側(cè)為PRi),即肌肉驅(qū)動力;Pc為收縮元件產(chǎn)生的力.

聯(lián)立方程式(17)～式(19)和鈣動力學模型便可求解出肌肉驅(qū)動力P.結(jié)合本文的冗余串并聯(lián)魚體結(jié)構(gòu)和肌肉力驅(qū)動模型,將式(15)中的魚體激活驅(qū)動函數(shù)Ki定義為如下形式

式中,bi為第i節(jié)橢圓截面長半軸尺寸;D為肌肉驅(qū)動幅值系數(shù),被用來縮放肌肉驅(qū)動力;PLi和PRi為第i個結(jié)構(gòu)單元左、右兩側(cè)的肌肉驅(qū)動力.值得注意的是,激活驅(qū)動函數(shù)受左、右側(cè)肌肉驅(qū)動力PRi和PLi的差異影響,使得運動控制存在冗余性,具體表現(xiàn)是降低了肌肉的驅(qū)動激活,從而減少彎曲剛度,事實上這是符合生物學中的肌肉收縮,因為當左右側(cè)的肌肉被同時激活時,肌肉會產(chǎn)生分布式的軸向壓縮載荷[1],引用經(jīng)典的歐拉屈曲(Euler buckling)問題可以解釋為外部施加的軸向載荷取消了彎曲剛度.

本文的鰻鱺科魚游模型涉及了多個方程,為明晰求解流程,在圖3 中給出了鰻鱺科魚游模型的求解流程圖.

圖3 鰻鱺科魚游模型求解流程圖Fig.3 The solution flowchart of anguilliform fish model

2 魚游模型驗證

文獻[1]和文獻[24]均采用與本文相同的離散化方法,文獻[1]中設置鏈節(jié)數(shù)為10,驗證了結(jié)果的收斂,只是游動速度下降了40%,文獻[24]中設置鏈節(jié)數(shù)為21,得到了更貼近鰻鱺科生物動力學行為的結(jié)果,所以本文設定的離散節(jié)數(shù)N=21.

本文采用等距生物實驗擬合肌肉驅(qū)動力數(shù)據(jù)[15],設定肌肉激活行波的波速為1 BL/s (體長/秒).基于生物學實驗數(shù)據(jù)[25],確定鰻鱺科魚類,肌肉激活位置神經(jīng)信號持續(xù)時間為0.36 s,肌肉激活頻率為1 Hz.本文模擬結(jié)果,若無其他特殊說明,模型輸入?yún)?shù)默認均采用表1 數(shù)據(jù).

表1 鰻鱺科魚體模型參數(shù)Table 1 The parameters of anguilliform fish model

如圖4,在無量綱化的肌肉驅(qū)動力結(jié)果中,從肌肉激活開始,肌肉驅(qū)動力在0.36 個周期時發(fā)展到最高,隨后的0.64 個周期逐漸減少,體現(xiàn)了魚體肌肉從激活到生成驅(qū)動力的過程.依據(jù)文獻[24]中生物學實驗數(shù)據(jù),肌肉驅(qū)動幅值確定的范圍為0.05 ±0.02 N/m3,不妨設定本文的默認肌肉驅(qū)動幅值系數(shù)為0.03 N/m3,實際上該數(shù)值會隨魚體的游動狀態(tài)而發(fā)生改變,詳細討論見3.1.該過程與McMillen 等[15]和Williams 等[16]的生物學肌肉力數(shù)據(jù)相匹配,表明本模型使用的肌肉力模型符合生物學驅(qū)動過程.

圖4 基于鈣離子肌肉力模型產(chǎn)生的驅(qū)動力Fig.4 The driving force generated based on the kinetic model of calcium ions

如圖5,游動速度結(jié)果中黑線表示游動速度曲線,紅線表示擬合后的魚體平均漸進游動速度曲線.藍線為相同輸入?yún)?shù)下,McMillen 等[15]模擬的魚類最大平均漸進游動速度0.40 BL/s,與本文計算結(jié)果0.39 BL/s 非常接近.

圖5 游動速度結(jié)果Fig.5 Results of swimming speeds

如圖6,魚體波結(jié)果在頭部和尾部有明顯上翹,并且包絡線沿著身體逐漸變高,這些都符合鰻鱺科魚體波的生物學觀察.與McMillen 等[15]在相同的模型輸入?yún)?shù)下的模擬結(jié)果相比,無論是包絡線發(fā)展趨勢,還是頭部和尾部的上翹,都有著相近的結(jié)果.

圖6 魚體波結(jié)果Fig.6 Results of fish midline motions

如圖7,是模擬得到的激活波和彎曲波結(jié)果,其中激活波的波速為1 BL/s,模擬得到的波速比(彎曲波波速/激活波波速)為0.782,在相同的模型輸入?yún)?shù)配置下,與McMillen 等[15]模擬的波速比結(jié)果0.780相近,并且彎曲波隨時間的發(fā)展相同.

圖7 波速比結(jié)果Fig.7 Results of wave speed ratios

3 游動性能影響因素分析

3.1 驅(qū)動力系數(shù)的影響

當驅(qū)動幅值系數(shù)從10?2N/m3變化到1 N/m3時,魚體肌肉驅(qū)動系數(shù)對游動速度的影響如圖8 所示.當肌肉激活頻率為1 Hz 時,游動速度會隨著肌肉幅值系數(shù)增大而先增大后減小;但隨著肌肉激活頻率不斷增大(如2 Hz),游動速度會隨著肌肉幅值系數(shù)增大而增大并逐漸趨于穩(wěn)定.在不同肌肉激活頻率下,魚體獲得最大游動速度的肌肉驅(qū)動幅值也逐漸增大,如表2 所示.

表2 不同驅(qū)動幅值對應最優(yōu)速度表Table 2 Table of the optimal speeds varied with different driving amplitudes

圖8 不同頻率下肌肉驅(qū)動幅值系數(shù)對游動速度的影響Fig.8 The effects of muscle force coefficient on swimming speed at different frequencies

由圖8 和表2 可知,鰻鱺科魚類可通過肌肉驅(qū)動幅值來匹配合適的擺動頻率,較大魚體肌肉力驅(qū)動對應較大的擺動頻率.由于楊氏模量間接變化了魚體剛度,可進一步預測,在魚體剛度固定情況下,魚類極可能通過實時調(diào)整肌肉力驅(qū)動幅值來匹配最佳游動速度,滿足其最佳的游動效率.上述結(jié)論與Williams 等[24]研究結(jié)論相同,這也間接驗證了本文所建魚游模型的正確性.

3.2 魚體剛度與驅(qū)動力關(guān)系的分析

生物學研究發(fā)現(xiàn),七鰓鰻魚體的楊氏模量為47～99 kPa[8];鰻魚的楊氏模量約為0.1 MPa[15];盲鰻的楊氏模值約為0.24 MPa[26].由于鰻鱺科魚類的楊氏模量實驗數(shù)據(jù)有限,本文為研究魚體剛度變化對游動性能的影響,所以有目的適當擴大魚體楊氏模量的變化范圍,設其變化范圍為1 kPa～1 MPa 之間.

游動魚類游動的速度計算采用文獻[1]中的計算方法,即單位時間內(nèi)游動位移的變化率,單位有兩種,一個是BL/s (體長/秒),一個是cm/s.如圖9,當肌肉驅(qū)動力幅值D等于0.01 N/m3時,游動速度呈先增大后降低的變化趨勢,存在最優(yōu)游動速度;當D＞0.03 N/m3時,魚體游動速度隨楊氏模量的增大緩慢上升并逐漸趨于穩(wěn)定.值得注意的是,當D=0.03 N/m3時,魚體在不同楊氏模量條件下均可獲得最佳游動速度.

圖9 不同驅(qū)動幅值下魚體剛度對游動速度的影響Fig.9 The effects of Young’s modulus of fish body on swimming speed under different driving amplitudes

游動魚類的加速度計算,采用文獻[13]中的計算方法,即魚體在一個尾部節(jié)拍周期內(nèi)游動速度的變化率.如圖10,當D=0.03 N/m3時,啟動加速度會隨楊氏模量的增大而先增大后降低,且高于其他驅(qū)動幅值.當D＞ 0.03 N/m3時,啟動加速度隨楊氏模量增大而緩慢增大并趨于穩(wěn)定.當D=0.01 N/m3時,啟動加速度總體數(shù)值偏小.

圖10 不同驅(qū)動幅值下魚體剛度對啟動加速度的影響Fig.10 The effects of Young’s modulus of fish body on the start acceleration under different driving amplitudes

綜合上述研究表明,魚類可通過肌肉產(chǎn)生合適的驅(qū)動幅值,以獲得最大游動速度或最大啟動加速度,且過大或過小的肌肉驅(qū)動幅值系數(shù)都會降低游動速度和啟動加速度.在本文算例中,獲得最大游動速度和啟動加速度的魚體最佳驅(qū)動幅值系數(shù)為0.03 N/m3.在Tytell 等[13]研究中,發(fā)現(xiàn)當魚體剛度增大時,游動速度和啟動加速度都呈現(xiàn)先增大后減小的變化趨勢,該結(jié)論與本文D=0.03 N/m3的變化趨勢相一致.但D＞ 0.03 N/m3時,游動速度或啟動加速度并不會隨魚體剛度增加而先增大后下降,這也說明魚類肌肉在過驅(qū)動狀態(tài)下,雖然游動速度和加速度還可以維持較高水平,但肌肉消耗功率較大,魚類將不在優(yōu)先選擇該狀態(tài)進行波動推進.綜合上述討論,本文后續(xù)肌肉驅(qū)動幅值系數(shù)選擇0.03 N/m3開展研究.

3.3 魚體剛度對游動速度的影響研究

如圖11,對于不同肌肉激活頻率,魚類游動速度隨楊氏模量的增大而增大,而后當E＞ 0.01 MPa 時,游動速度隨楊氏模量的增大而緩慢減小.如表3 所示,結(jié)果表明存在最優(yōu)楊氏模量,使得魚類在確定驅(qū)動條件下獲得最快游動速度.

表3 不同肌肉驅(qū)動頻率和楊氏模量條件下的魚體最優(yōu)速度Table 3 The optimal velocity of fish body under different muscle drive frequencies and Young's modulus

圖11 不同肌肉驅(qū)動頻率下魚體剛度對游動速度的影響Fig.11 The effects of fish body stiffness on swimming speed under different muscle driving frequencies

當楊氏模量在0.08 MPa 附近時,肌肉激活頻率越大對應的游動速度也越大,這是因為高激活頻率會造成肌肉在收縮過程還未結(jié)束便被再次激活拉長,使得整個魚體肌肉激活過程不完整,使魚體擺動幅值變小,游動速度降低,這與文獻[18]研究結(jié)論相一致.

如圖12,對比固定剛度(E=0.001 MPa)和變剛度(E=0.1 MPa)條件下的魚體游動速度結(jié)果,發(fā)現(xiàn)魚類可通過改變剛度,有效提升魚類的游動速度.以2 Hz 肌肉激活頻率為例,通過改變剛度,游動速度由0.72 BL/s 增加到1.12 BL/s,提升了0.55 倍.該結(jié)論充分體現(xiàn)了魚類變剛度特性對游動性能的重要影響,也為后續(xù)變剛度仿生機器魚設計提供理論依據(jù).

圖12 魚體變剛度特性對游動速度的影響Fig.12 The effects of the variable stiffness of fish body on the swimming speed

3.4 魚體剛度對加速度的影響研究

本文還研究了鰻鱺科魚類在不同肌肉激活頻率下,魚體楊氏模量對啟動加速度的影響.如圖13 所示,對于不同激活頻率,啟動加速度隨楊氏模量的增大而迅速增大,當E＞ 0.1 MPa 時,加速度會出現(xiàn)緩慢下降趨勢.當楊氏模量在0.1 MPa 左右時,各肌肉激活頻率都有一個最大啟動加速度,如表4 所示.

表4 不同肌肉驅(qū)動頻率和楊氏模量條件下的魚體最優(yōu)啟動加速度Table 4 The optimal start acceleration of fish body under different muscle drive frequencies and Young's modulus

圖13 不同肌肉驅(qū)動頻率下魚體剛度對加速度的影響Fig.13 The effects of fish body stiffness on the start acceleration under different muscle driving frequencies

對比表3 和表4,發(fā)現(xiàn)在不同肌肉激活頻率下,獲得最大游動速度的楊氏模量普遍大于獲得最大啟動加速度的楊氏模量.該結(jié)果表明不同肌肉激活頻率下,魚體通過增大剛度來獲得更快游動速度,減小剛度得到更快啟動加速度,該結(jié)論與Tytell 等[13]的預測相符.

圖14 中展示了魚體變剛度對加速度的影響.圖中黑色曲線是楊氏模量在0.01 MPa 時加速度擬合曲線,紅色曲線是各個頻率下最優(yōu)楊氏模量條件下加速度的曲線擬合,其中所采用的擬合方法是Akima插值擬合算法.表明可通過提升魚體剛度方式來更快達到穩(wěn)態(tài)速度.總體上,隨著肌肉激活頻率的增加,加速度的增幅也越大.魚體變剛度特性對啟動加速度有著顯著影響,以2 Hz 激活頻率為例,變剛度魚體加速度從0.41 BL/s2到0.94 BL/s2提升了1.29 倍.

圖14 魚體變剛度特性對啟動加速度的影響Fig.14 The effects of the variable stiffness of fish body on the start acceleration

文中擬合以及參數(shù)分析得到的分數(shù)階次范圍都超過1,這與驅(qū)動方式有關(guān),因為同是作鰻鱺科游動分析,文獻[24]中采用肌肉力驅(qū)動,得到了類似的結(jié)果,而文獻[1]中提前設置的正弦曲率驅(qū)動并沒有出現(xiàn)類似的情況.

4 變剛度特性實驗驗證

本章為了驗證本文仿真得出的變剛度特性結(jié)論,忽略阻尼影響,設計了變剛度實驗平臺.如圖15(a)和圖15(b),整個機器魚由彈性的硅膠包裹,因為鰻鱺科類仿生機器魚的設計困難,所以設計了固定在機架上由5 個逐漸減小等距的(相距50 mm)魚體關(guān)節(jié)總長為200 mm 以代表魚身,并在平臺連接處采用帶軸承的鉸鏈連接,以減小摩擦損失;連接在平臺5 上的硅膠魚尾長100 mm;舵機中心到平臺1 的距離為33 mm 以代表魚頭.在整個實驗過程中,固定在機架上的推力傳感器將推力數(shù)據(jù)實時傳至上位機.為了模擬鰻鱺科魚類收縮兩側(cè)肌肉彎曲身體的過程,而采用舵機經(jīng)拉繩驅(qū)動最后一節(jié)關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)帶動魚體彎曲的方式,并且連接關(guān)節(jié)的線性彈簧長度隨著彎曲的變化而變化,從而模擬肌肉收縮過程.

圖15 變剛度實驗平臺Fig.15 The experimental platform of variable stiffness

如圖15(c),實驗所設計的各關(guān)節(jié)魚體在實際擺動彎曲時,因為各個關(guān)節(jié)間的角度變化并不大,最大值為10°位于尾部,且任意兩平臺間橢圓截面的短半軸和半長軸都只相差4 mm,所以當魚體處在中性位(實驗中相對轉(zhuǎn)角q=0、支腳長度Lc=L1=L2,其中L1和L2為左、右兩側(cè)的彈簧支腳長度)時,在式(15)中采用如下設置,Hi=Hi+1,sin(ψi/2)=ψi/2,cos(ψi/2)=1,并結(jié)合圖15(c)的三角關(guān)系可以推導出,當機構(gòu)處于中性位時,轉(zhuǎn)動剛度Q的計算方程如下

式中,k為實驗彈簧剛度;ΔL為實驗線性彈簧伸長量;rb為下平臺寬度;Lh為實驗鏈節(jié)長度.

由于本章實驗為驗證性實驗,所以在選擇實驗彈簧剛度k時,遵循以下兩點要求: (1) 魚體處在中性位時,實驗計算出的彈簧力k·ΔL范圍要涵括模擬計算出的彈簧力λ·Δl范圍,其中ΔL和k為實驗彈簧的伸長量和剛度;Δl和λ為模擬彈簧的相對伸長量和剛度.當機構(gòu)在中性位時,Δl=(lc?ls0)/ls0=1,ΔL=Lc?Ls0,其中l(wèi)s0和lc為模擬彈簧初始長度和拉伸后長度;Ls0和Lc為實驗彈簧初始長度和拉伸后長度.(2) 魚體處在中性位時,模擬的魚體彎曲剛度Gi和實驗的魚體轉(zhuǎn)動剛度Qi分布規(guī)律應相同,其中彎曲剛度由式(16)求解,轉(zhuǎn)動剛度由式(21)求解.當機構(gòu)處于中性位時,各關(guān)節(jié)的具體尺寸如表5 所示.

表5 魚體關(guān)節(jié)尺寸參數(shù)Table 5 The joint parameters of fish body

因為圖9～圖14 中游動性能圖都在E=0.1～0.05 MPa 范圍內(nèi)出現(xiàn)峰值,所以采用E=0.1 MPa和E=0.05 MPa 計算出的彈簧力作為模擬彈簧力的范圍.按照1.1 的魚體設定,魚頭、魚身、魚尾的長度比滿足1: 6: 3,則在模擬的21 節(jié)魚體中選用N=3,6,9,12 等距的4 個節(jié)段作為魚身以滿足比例要求,而實驗設計的魚身尺寸已滿足比例要求.實驗選擇4 組長度為45 mm、外徑為5 mm、不同線徑(0.3 mm,0.4 mm,0.5 mm,0.6 mm)的掛鉤彈簧,彈簧的剛度分別為k1=0.61 N/cm,k2=2.08 N/cm,k3=5.54 N/cm,k4=12.52 N/cm.采用上述設置,得到彈簧力和剛度計算結(jié)果,如表6～表9所示.表6～表7 模擬得到彈簧力的范圍涵括了實驗得到彈簧力的范圍;表8～表9 模擬魚體各節(jié)彎曲剛度和實驗魚體各節(jié)轉(zhuǎn)動剛度的比例相同,即G3:G6:G9:G12=Q1:Q2:Q3:Q4.上述計算結(jié)果表明,本章所選用的4 組彈簧剛度k1,k2,k3,k4滿足實驗驗證要求,實驗選擇了5 組不同的舵機驅(qū)動頻率(1 Hz,1.25 Hz,1.5 Hz,1.75 Hz,2 Hz),推力實驗數(shù)據(jù)如圖16.

表6 實驗中彈簧力k·ΔL 計算結(jié)果Table 6 Results of the spring force k·ΔL in the experiments

表7 模型中彈簧力λ·Δl 計算結(jié)果Table 7 Results of spring force λ·Δl in the simulations

表8 實驗中轉(zhuǎn)動剛度Q 計算結(jié)果Table 8 Results of the rotational stiffness Q in the experiments

表9 模型中彎曲剛度G 計算結(jié)果Table 9 Results of the bending stiffness G in the simulations

圖16 實驗測得的推力數(shù)據(jù)Fig.16 Thrust data measured in the experiments

圖17 中的推力值是根據(jù)圖16 的推力數(shù)據(jù)擬合出的最大平均值.圖中隨著彈簧剛度k的增加,推力曲線被隨之抬升,當剛度達到k4時,推力曲線下移,在2 Hz 的驅(qū)動頻率下,剛度為k4的推力為1.39 N,其推力相比于剛度為k1的推力值0.34 N 提升了3 倍.推力曲線隨著頻率的增加而不斷爬升,特別是剛度等于k3時,推力由1 Hz 驅(qū)動頻率下的0.39 N增加至2 Hz 驅(qū)動頻率下的1.39 N,提升了2.5 倍,通過實驗驗證,魚體的變剛度特性能顯著提升魚類推進性能.

圖17 變剛度條件下推力隨驅(qū)動頻率變化的實驗結(jié)果Fig.17 Experiment results of the thrust varied with driving frequency under the condition of variable body stiffness

5 結(jié)論

本文基于串并聯(lián)機構(gòu)建立了鰻鱺科魚類游動模型,結(jié)合鈣離子肌肉驅(qū)動模型,研究肌肉驅(qū)動力幅值、擺動頻率和游動性能之間的影響關(guān)系,得到主要結(jié)論如下.

(1)針對魚體肌肉驅(qū)動,魚類通過增大肌肉驅(qū)動幅值來匹配更高驅(qū)動頻率,以獲得更快游動速度.當魚體肌肉力驅(qū)動確定時,過高或過低驅(qū)動頻率都會導致游動速度降低.

(2)當肌肉驅(qū)動力確定時,魚類游動速度和啟動加速度隨彈性模量的增大而增大;當E＞ 0.01 MPa時,游動速度和啟動加速度隨彈性模量的增大而緩慢減小.

(3)魚體變剛度特性能顯著提升魚類游動速度和啟動加速度,結(jié)果表明在低頻游動狀態(tài)下(頻率小于2 Hz),通過調(diào)整魚體剛度大小,最大可提升0.55倍游動速度和1.29 倍啟動加速度.該結(jié)論充分展現(xiàn)了魚體變剛度對游動性能的重要影響.

(4)在不同激活頻率下,魚體獲得最大游動速度的楊氏模量普遍大于獲得最大啟動加速度的楊氏模量.該結(jié)果表明魚體可通過增大剛度獲得更快游動速度,減小剛度得到更快啟動加速度,該結(jié)論與Tytell 等在文獻[13]中預測結(jié)果相符.