李世榮

(南通理工學(xué)院土木工程學(xué)院,江蘇南通 226002)

(揚(yáng)州大學(xué)建筑科學(xué)與工程學(xué)院,江蘇揚(yáng)州 225127)

引言

熱彈性阻尼(thermoelastic damping,TED) 是諧振器在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)由熱彈性耦合變形引起的內(nèi)部耗能,它不能通過(guò)外部條件的改善而消除[1-2].隨著諧振尺寸達(dá)到微/納尺度,TED 將會(huì)變得更加顯著.在通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)最大限度地消除外部阻尼的情況下,TED 將會(huì)決定諧振器品質(zhì)因子的上限.因此,精確地分析和預(yù)測(cè) TED 對(duì)高品質(zhì)微/納諧振器的研究和設(shè)計(jì)具有重要意義.

隨著微/納機(jī)電系統(tǒng) (MEMS/NEMS)科技以及材料科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,除了傳統(tǒng)的均勻各向同性材料諧振器,復(fù)合材料諧振器也已得到廣泛應(yīng)用.例如,在陶瓷基底上鋪設(shè)金屬或壓電層來(lái)增強(qiáng)諧振器的功能.因此,在理論上精確地分析和預(yù)測(cè)層熱彈性阻尼對(duì)復(fù)合材料諧振器的優(yōu)化設(shè)計(jì)就顯得十分必要.自從 Bishop 等[3-4]首先采用能量法研究多層微/納結(jié)構(gòu)的 TED 以來(lái),已有大量的文獻(xiàn)研究了雙層和多層微/納梁板的TED.鑒于本文的研究主題和篇幅所限,下面只介紹關(guān)于復(fù)合材料微/納梁式諧振的TED 研究現(xiàn)狀[3-16].

Bishop 等[3-4]首次將Zener[1]關(guān)于均勻材料微/納梁諧振器TED 分析的能量法推廣應(yīng)用到了具有完善和非完善界面復(fù)合材料多層微/納梁/板諧振器的TED 研究中,并通過(guò)計(jì)算一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)由不可逆?zhèn)鳠岙a(chǎn)生的總熱量與總彈性勢(shì)能之比給出了層合結(jié)構(gòu)的逆品質(zhì)因子解析解,具體分析了對(duì)稱鋪設(shè)三層矩形截面微梁的TED.接著,已有不少作者采用能量法分別研究了雙層和三層微梁中的TED.其中,Vengllatore[5]和Prabhakar 等[6]分別預(yù)測(cè)了對(duì)稱鋪設(shè)三層和雙層微梁中的TED,通過(guò)數(shù)值結(jié)果分析了具有不同分層厚度(體積分?jǐn)?shù))的微梁中的TED 隨著等溫固有頻率的變化規(guī)律.Vahdat 等[7]基于包含一個(gè)松弛參數(shù)的廣義二維熱傳導(dǎo)方程采用復(fù)頻率法分析了上下表面粘貼壓電層的三層微梁的TED,數(shù)值結(jié)果表明可以通過(guò)改變外加電壓來(lái)調(diào)整諧振器的TED 以及臨界厚度.Zamanian 等[8]分析了表層不完全覆蓋的雙層微梁在靜電場(chǎng)作用下的熱彈性耦合自由振動(dòng)響應(yīng),其中考慮了靜電場(chǎng)的吸入電壓(pullin voltage)產(chǎn)生的靜態(tài)非線性彎曲變形以及軸線伸長(zhǎng)對(duì)層合微梁中TED 的影響.Nourmohammadi 等[9]在對(duì)雙層微梁的TED 分析中發(fā)現(xiàn)以SiO2/Si 分層組成的微梁中的TED 隨著等溫頻率的增加會(huì)出現(xiàn)雙峰值現(xiàn)象.Zuo 等[10]推導(dǎo)出了非對(duì)稱鋪設(shè)三層微梁中TED 的解析解,并在SiO2/Si/Zn 三層微梁的TED隨頻率變化曲線中也發(fā)現(xiàn)了多峰值現(xiàn)象.Yang 等[11-13]進(jìn)一步基于二維熱傳導(dǎo)方程分別研究了具有頂層完全覆蓋[11]和部分覆蓋[12-13]的雙層微梁中的TED,數(shù)值結(jié)果中進(jìn)一步分析了SiO2/Si 微梁TED 的雙峰值現(xiàn)象.

眾所周知,在層合微梁的物理中面偏離幾何中面的情況下(典型的如由分層材料性質(zhì)不同的雙層微梁),微梁在振動(dòng)過(guò)程中將會(huì)產(chǎn)生拉完耦合變形.于是,由熱?彈耦合振動(dòng)導(dǎo)致的變溫場(chǎng)在橫截面內(nèi)不僅會(huì)形成熱彎矩,而且還會(huì)產(chǎn)生熱軸力.然而,在上述關(guān)于雙層梁和不對(duì)稱鋪設(shè)的三層微梁的TED 預(yù)測(cè)中[6,8-13]熱軸力全被忽略了,其中只考慮了熱彎矩的耗能效應(yīng).由于未計(jì)熱軸力,上述研究中都采用物理中面法將軸向位移用撓度來(lái)表示,從而在數(shù)學(xué)上消去了拉?彎耦合,簡(jiǎn)化了問(wèn)題的數(shù)學(xué)分析和求解.然而,忽略熱軸力對(duì)層合微梁TED 的預(yù)測(cè)精度的影響至今沒(méi)有任何的定量分析和討論.

不同于材料性質(zhì)橫向階梯型變化的層合微梁,功能梯度材料微梁的物性參數(shù)是沿著高度連續(xù)變化的.例如典型的金屬?陶瓷組分的矩形截面功能梯度梁,其材料性質(zhì)可設(shè)計(jì)為從上表面的純陶瓷沿厚度連續(xù)變化為下表面的純金屬.因此,功能梯度材料微梁的熱?彈耦合橫向振動(dòng)伴隨拉?彎耦合變形.文獻(xiàn)[14-16]基于Euler-Bernoulli 梁理論和經(jīng)典的準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論研究功能梯度材料微梁的熱?彈耦合自由振動(dòng)響應(yīng).采用分層均勻化方法獲得了變系數(shù)熱傳導(dǎo)方程的半析解.進(jìn)而通過(guò)求解結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)的復(fù)特征值問(wèn)題,獲得了用逆品質(zhì)因子表示的TED解析解,精確地考慮了熱軸力對(duì)TED 的貢獻(xiàn)[15-16].Zhang 等[16]還基于修正的偶應(yīng)力理論分析了尺度效應(yīng)對(duì)TED 的影響.

綜上所述,熱軸力對(duì)層合微/納梁諧振器熱彈性阻尼的影響依然是復(fù)合材料微結(jié)構(gòu)熱?彈耦合振動(dòng)響應(yīng)研究的新課題.本文基于Euler-Bernoulli 梁理論和準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論研究雙層微梁諧振器的熱彈耦合振動(dòng)響應(yīng),精確考慮熱軸力,建立熱?彈耦合兼拉?彎耦合變形的復(fù)特征值問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型,尋求溫度場(chǎng)、位移場(chǎng)、復(fù)頻率以及逆品質(zhì)因子的解析解,通過(guò)數(shù)值算例定量分析熱軸力對(duì)TED 的影響程度和規(guī)律,給出更加精確的TED 預(yù)測(cè).

1 問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型

1.1 運(yùn)動(dòng)方程

考慮矩形截面雙層微梁,長(zhǎng)為l、寬為b、高為h=h1+h2,其中h1和h2分別為分層厚度 (如圖1 所示).兩個(gè)分層分別由兩種材料性質(zhì)不同的均勻各向同性材料組成.(x,y,z) 分別表示長(zhǎng)度、寬度和高度方向的直角坐標(biāo),z=0 為幾何中面.

圖1 雙層微梁的幾何尺寸和坐標(biāo)系Fig.1 Geometry and coordinates of a bi-layered micro beam

基于Euler-Bernoulli 梁理論,位移場(chǎng)可表示為

其中u0(x,t) 和w0(x,t) 分別為幾何中面上點(diǎn)的軸向和橫向位移;u和w分別為梁內(nèi)任意一點(diǎn)的位移分量;t為時(shí)間坐標(biāo).

小振幅振動(dòng)下的應(yīng)變與位移的關(guān)系為

由胡克定律給出各分層的正應(yīng)力

其中Ej和 αj(j=1,2) 分別為分層的材料彈性模量和熱膨脹系數(shù);θj(x,z,t)=Tj(x,z,t)?T0為熱彈性耦合振動(dòng)產(chǎn)生的變溫場(chǎng),T0和Tj分別為初始溫度和瞬態(tài)溫度場(chǎng).

忽略軸向慣性力,層合梁自由振動(dòng)微分方程為

其中,Ieq為等效慣性參數(shù);FN和M分別為軸力和彎矩,可表示為

其中NT為熱軸力,MT為熱彎矩;S0,S1和S2分別為拉伸、拉?彎耦合和彎曲剛度.慣性參數(shù)、剛度參數(shù)以及熱軸力和熱彎矩分別由下式計(jì)算

由式(4)可知軸力為常數(shù).考慮到對(duì)于小振幅自由振動(dòng)的微梁不考慮軸向慣性力,且有一端為軸向可移約束,則有FN(l,t)=0 (或FN(0,t)=0),由此可斷定FN(x,t)=0 (0＜x＜l).于是由式(6a)可得

其中z0=S1/S0為物理中面的位置.在已有文獻(xiàn)[6,8-13]中,上式中的熱軸力NT卻被不加說(shuō)明地忽略了.即在式(8)中令NT=0,并將其代入式(2)后可得正應(yīng)變下近似表示

從而消去了拉?彎耦合,簡(jiǎn)化了溫度場(chǎng)的求解[6,8-13].

將式(6b)代入式(5)并利用式(8),得到只用撓度表示的運(yùn)動(dòng)微分方程

1.2 熱傳導(dǎo)方程

忽略溫度梯度在軸向的變化,微梁的傅里葉熱傳導(dǎo)方程可分別在兩個(gè)分層給出[1,2,5-11]

其中 κj為熱傳導(dǎo)系數(shù);Cj為比熱;是第j層的體積應(yīng)變,具體表示為[2]

將式(12)代入式(11),相比單位1 忽略高階微量Ejαj2T0/(ρjCj),得到用位移分量和變溫場(chǎng)表示的熱?彈耦合的熱傳導(dǎo)方程

2 問(wèn)題的求解

假設(shè)諧振器的位移場(chǎng)和溫度場(chǎng)的自由振動(dòng)響應(yīng)為

式中,χj=κj/(ρjCj) 為 材料的熱擴(kuò)散系數(shù),(ρjCj)為彈性模量的松弛強(qiáng)度.

首先,可求得熱傳導(dǎo)方程(16)的通解

其中Aj和Bj是運(yùn)動(dòng)學(xué)參數(shù) d/dx和 d2/dx2的表達(dá)式,形式上可表示為

其中Akj和Bkj(k,j=1,2) 是與微梁的幾何尺寸、材料性質(zhì)以及固有頻率有關(guān)的常數(shù).

假設(shè)上下表面為絕熱,則變溫場(chǎng)的邊界條件和界面處的連續(xù)性條件分別為

將式(18)和式(19) 代入式(20)和式(21),利用d/dx和 d2/dx2的任意性可得關(guān)于式(19) 中8 個(gè)待定系數(shù)的代數(shù)方程組,由此容易求得這8 個(gè)常數(shù).然后將式(19)代入式(18),最終可得分層的變溫場(chǎng)解析解

進(jìn)一步可將式(14)和式(22)代入式(7c)得到用位移量表示的熱軸力和熱彎矩的振幅

顯然,如果要忽略熱軸力,則只需要在式(24)中令βu=βw=0.

利用式(14a)則式(8)可改寫(xiě)為

進(jìn)一步將式(24a)代入式(26)得到

其中 η=(S1+βw)/(S0?βu).再將式(27)代入式(24)可得

最后,將式(28)代入式(15),得到只用撓度的振幅表示的結(jié)構(gòu)振動(dòng)方程

這里 ψNT=?z0(ηβu+βw)/2,ψMT=(ηγu+γw)/2均為復(fù)頻率 ω 的復(fù)函數(shù),分別反映熱軸力和熱彎矩引起的內(nèi)耗能效應(yīng).

如果令 ψ=0,則方程(29)退化為層合微梁無(wú)阻尼自由振動(dòng)的控制方程

其中 ω0和分別為無(wú)阻尼(等溫)微梁的固有頻率和振幅.根據(jù)梁振動(dòng)理論無(wú)阻尼固有頻率可表示為[12-15]

利用方程(29)和式(31)之間的相似性可得特征值之間的關(guān)系

然而,由式(17)、式(23)～式(25)可知方程(33)是關(guān)于復(fù)頻率 ω 的超越方程.為了簡(jiǎn)化計(jì)算,采用文獻(xiàn)[2,14-17] 中的近似計(jì)算方法,在式(33) 中令ψ(ω)=ψ(ω0) 即可得到復(fù)頻率 ω 的解析解.然后,利用復(fù)頻率法[2,12-19]可得用逆品質(zhì)因子表示的雙層微梁的熱彈性組尼

其中 Re(ω) 和 I m(ω) 分別為復(fù)頻率的實(shí)部和虛部.若在式(30)中令 ψu(yù)=0,則式(34)退化為忽略熱軸力時(shí)的TED 解答[5,7,9].

3 數(shù)值結(jié)果與討論

本節(jié)通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)定量分析熱軸力對(duì)TED 的影響.作為數(shù)值算例,選取由第一層氮化硅(Si3N4)和第2 層銀(Ag)組成的層合微梁.陶瓷和金屬分層所占的體積分?jǐn)?shù)分別為H1=h1/h和H2=h2/h.在表1 中列出了參考溫度T0=300 K 的條件下分層材料的物性參數(shù).設(shè)雙層(Ag/Si3N4)微梁的支承為兩端夾緊 (clamped-clamped,或C-C).于是微分方程(29)和式(31)的邊界條件可記為

表1 分層材料的物性參數(shù) (T0=300 K)Table 1 Material properties of the laminas (T0=300 K)

其中“ (·)′”表示關(guān)于坐標(biāo)x的導(dǎo)數(shù).對(duì)應(yīng)上述邊界條件的前3階的無(wú)量綱固有頻率參數(shù)分別為=22.373,61.670,120.90.

為了定量地顯示熱軸力對(duì)層合微梁TED 的影響規(guī)律,同時(shí)也為其他研究者提供便于進(jìn)行比較的數(shù)據(jù),首先在表2 中給出了長(zhǎng)度l=300 μm、具有不同厚度(h) 和銀層體積分?jǐn)?shù)(H2) 的雙層微梁的TED (Q?1)值.其中,對(duì)應(yīng)一個(gè)H2值,前兩行數(shù)據(jù)分別為忽略和考慮熱軸力時(shí)的TED,第3 行數(shù)據(jù)為二者之間的相對(duì)誤差.從表2 中結(jié)果可見(jiàn),總體上熱軸力使得熱彈性阻尼增大.而且在兩種材料的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí),熱軸力對(duì)TED 的貢獻(xiàn)顯著增大,忽略熱軸力后導(dǎo)致的最大相對(duì)誤差可達(dá)到16.3%.隨著金屬銀的體積分?jǐn)?shù)的增大,層合梁TED 的最大值不斷增大.同樣幾何尺寸的純銀梁的TED 的最大值為1.215×10?3,遠(yuǎn)大于純氮化硅梁的TED 最大值1.112×10?4.隨著分層體積分?jǐn)?shù)的改變,層合梁的TED 將在上述兩個(gè)數(shù)值之間變化.

表2 兩端夾緊雙層微梁的熱彈性阻尼(Q?1×105)隨總厚度 h 和體積分?jǐn)?shù) H2 的變化(l=300 μm)Table 2 TED (Q?1×105) in clamped-clamped (C-C) bilayer micro beam for some specified values of h and H2 (l=300 μm)

為了更加清晰地反映具有不同分層體積分?jǐn)?shù)的層合微梁的TED 隨總厚度的變化規(guī)律,在圖2 中分別繪出了給定金屬銀的體積分?jǐn)?shù)H2不同值時(shí)層合微梁的Q?1值隨厚度h連續(xù)變化的曲線.其中紅色實(shí)線和藍(lán)色點(diǎn)畫(huà)線分別代表忽略和考慮熱軸力時(shí)的TED 曲線.相比表2,圖2 更加直觀地反映了層合梁的TED 隨厚度和分層體積分?jǐn)?shù)的變化規(guī)律.從圖中可見(jiàn),當(dāng)H2＜0.5 時(shí),曲線的形態(tài)與均勻(單層)微梁的Q?1～h曲線類(lèi)似.在H2=0.6,0.7 時(shí)曲線具有明顯的雙峰值.與表2 中的數(shù)據(jù)所反映的變化規(guī)律相同,當(dāng)分層的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí)熱軸力對(duì)TED 的影響顯著.另外,從圖2 中可以看出曲線的峰值(Q?m1ax)對(duì)應(yīng)的厚度(稱臨界厚度hcr)隨著金屬銀層的體積分?jǐn)?shù)的增加而增大.為便于研究者進(jìn)行數(shù)據(jù)比較,在表3 中列出了圖2 中各曲線(藍(lán)色點(diǎn)畫(huà)線)的熱彈性阻尼最大值和相應(yīng)的臨界厚度.由此可見(jiàn),隨著銀層體積分?jǐn)?shù)的增大臨界厚度單調(diào)增加.

表3 對(duì)應(yīng)于不同體積分?jǐn)?shù) H2 的TED 最大值×105 和臨界厚度 hcr (l=300 μm)Table 3 The maximum,×105 and the critical thickness,hcr for different values of H2 (l=300 μm)

表3 對(duì)應(yīng)于不同體積分?jǐn)?shù) H2 的TED 最大值×105 和臨界厚度 hcr (l=300 μm)Table 3 The maximum,×105 and the critical thickness,hcr for different values of H2 (l=300 μm)

圖2 具有不同體積分?jǐn)?shù) H2 的雙層微梁的TED (Q?1×104)隨固有頻率 ω0 的變化曲線 (l=300 μm,一階模態(tài))Fig.2 Continuously variation of the TED (Q?1×104) with the frequency ω0 of a bi-layered micro beam for some specified values of H2(l=300 μm,1st mode)

圖3 進(jìn)一步展示了給定總厚度的雙層微梁的TED 隨體積分?jǐn)?shù)H2連續(xù)變化的特性曲線.由此可見(jiàn),大約在 0.3＜H2＜0.8 的區(qū)間,熱軸力對(duì)熱彈性阻尼的影響變得顯著.圖4 給出了表2 中定義的相對(duì)誤差隨金屬銀的體積分?jǐn)?shù)連續(xù)變化的曲線.清晰地顯示了最大誤差對(duì)應(yīng)的分層體積分?jǐn)?shù)值(H2).

圖3 具有不同厚度的雙層微板的TED (Q?1)隨銀層的體積分?jǐn)?shù)(H2)連續(xù)變化的特性曲線(l=300 μm)Fig.3 Curves of the TED (Q?1) in bilayer micro beam varying continuously with the volume fraction of the silver layer (H2)(l=300 μm)

圖4 考慮和忽略熱軸力時(shí)的熱彈性阻尼之間的相對(duì)誤差隨 H2 的變化曲線(l=300 μm)Fig.4 Curves of the relative error between the TEDs with considering and neglecting the thermal axial force versus H2 (l=300 μm)

由式(30)可知,熱軸力產(chǎn)生的熱彈性阻尼取決于復(fù)函數(shù) ψNT(ω0) 的虛部.圖5 繪出了具有不同厚度的 Im(ψNT) 隨體積分?jǐn)?shù)H2的連續(xù)變化曲線.結(jié)果再次表明當(dāng)兩個(gè)分層的體積分?jǐn)?shù)相近時(shí)阻尼效應(yīng)顯著.

圖5 熱軸力產(chǎn)生的阻尼函數(shù) Im(ψNT) 隨銀層體積分?jǐn)?shù)(H2)以及厚度(h)的變化Fig.5 Variation of damping function Im(ψNT) produced by thermal axial force with H2 and h

熱軸力是由物理中面與幾何中面的偏離引起的.最后,圖6 繪出了物理中面的位置(ζ0=z0/h)與分層體積分?jǐn)?shù)H2的關(guān)系曲線.顯然,在兩個(gè)分層的體積分?jǐn)?shù)相近的區(qū)間物理中面偏離幾何中面顯著,熱彈性阻尼相對(duì)誤差的最大值正是出現(xiàn)在該區(qū)間.這是因?yàn)樵诖朔N情況下層合梁的材料性質(zhì)在橫向的非均勻程度最強(qiáng),從而拉?彎耦合變形最顯著,由此產(chǎn)生的熱軸力也顯著.

圖6 物理中面的位置(ζ0=z0/h) 隨銀層體積分?jǐn)?shù)(H2)的變化Fig.6 Position of the physical neutral surface (ζ0=z0/h) changing with the volume fraction of the silver layer (H2)

4 結(jié)論

首次定量地分析了熱軸力對(duì)雙層微梁熱彈性阻尼的影響程度和規(guī)律.基于Euler-Bernoulli 梁理論和準(zhǔn)一維熱傳導(dǎo)理論,建立了包含了熱軸力的雙層微梁熱?彈耦合自由振動(dòng)微分方程.給出了系統(tǒng)振動(dòng)的復(fù)頻率以及用逆品質(zhì)因子表示的熱彈性阻尼解析解.以銀(Ag)和氮化硅(Si3N4)分層組成的雙層微梁為例,分別計(jì)算了考慮和忽略熱軸力后的熱彈性阻尼以及二者之間的相對(duì)誤差,詳細(xì)地定量分析了熱彈性阻尼隨分層體積分?jǐn)?shù)和梁的總厚度的變化以及熱軸力對(duì)熱彈性阻尼的影響規(guī)律.本文得到主要結(jié)論如下.

(1) 忽略熱軸力將會(huì)低估雙層微梁的熱彈性阻尼.隨著兩分層體積分?jǐn)?shù)接近,熱軸力對(duì)熱彈性阻尼的影響變得顯著.在金屬銀的體積分?jǐn)?shù)為70% (氮化硅的體積分?jǐn)?shù)為30%)時(shí),如果忽略熱軸力,則對(duì)熱彈性阻尼低估比例將達(dá)到16.3%.

(2) 由于熱軸力是由物理中面偏離幾何中面引起的,在此種情況下層合梁的材料性質(zhì)在橫向的非均勻程度最強(qiáng),從而拉?彎耦合變形最顯著,由此產(chǎn)生的熱軸力也最大.因此,在物理中面的位置偏離幾何中面顯著時(shí),忽略熱軸力將會(huì)嚴(yán)重低估雙層微梁的熱彈性阻尼.

(3) 當(dāng)Si3N4/Ag 雙層微梁的分層體積分?jǐn)?shù)相近時(shí),TED 隨總厚度的變化曲線存在雙峰值.