鄭金虎，徐炳生，沈赫男，于飛，3，陳建

（1 上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海 201800）

（2 中國科學院上海光學精密機械研究所 高功率激光單元技術實驗室，上海 201800）

（3 國科大杭州高等研究院 物理與光電工程學院，杭州 310024）

0 引言

多芯光纖/成像光纖束是實現(xiàn)柔性內(nèi)窺成像的關鍵器件。在成像應用中，多芯光纖可對入射至光纖端面的光場分布進行離散化采樣，代替自由空間實現(xiàn)光場的零衍射、遠距離、柔性定向傳輸。多芯成像傳輸?shù)墓鈴姾拖辔恍畔⒖赏ㄟ^成像系統(tǒng)實現(xiàn)重建，極大簡化光學成像系統(tǒng)并開辟復雜空間應用場景?；诙嘈竟饫w的內(nèi)窺成像系統(tǒng)在生物醫(yī)學研究、臨床醫(yī)學等領域發(fā)揮著重要的作用［1-6］。

多芯光纖目前主要應用于非相干成像領域。圖像光強信息經(jīng)多芯光纖中每個纖芯傳輸后，經(jīng)成像系統(tǒng)可實現(xiàn)遠端的圖像重建。在相干成像應用中，多芯光纖的彎曲會帶來傳輸相位的嚴重畸變。雖然可以通過對多芯光纖傳輸矩陣的先期標定和估計來對畸變相位進行數(shù)學上的恢復，但這將導致實時成像難以實現(xiàn)或者成像質(zhì)量下降［7-9］。CZARSKE J 等報道了一種校正光纖相位的方法，該方法使用空間光調(diào)制器（Spatial Light Modulator，SLM）和放置在光纖遠端的反射鏡測量出多芯光纖的傳輸矩陣［10-11］，進而校正相位畸變，但在光纖的動態(tài)使用中相位畸變的校正仍存在很大的困難。

近年來科研團隊提出使用螺旋多芯光纖設計解決成像光纖相位彎曲敏感的難題。在多芯光纖的拉制過程中，旋轉(zhuǎn)光纖預制棒并調(diào)控其旋轉(zhuǎn)速度、拉制速度，可以精準控制螺旋線的周期。2015年，英國巴斯大學ROPER J C 提出螺旋的多芯光纖設計，解決彎曲條件下超快脈沖傳輸?shù)倪h端重建困難。通過合理選擇螺旋纖芯周期和纖芯尺寸的徑向分布，入射脈寬為100 fs 的飛秒脈沖在多芯光纖中傳輸1 m 后，仍可以在遠端相干重組形成聚焦的掃描點［12］，證明了螺旋光纖的芯間群時延差對彎曲不敏感。2019年，TSVIRKUN V 等將螺旋多芯光纖設計引入相干成像實驗中并證明了在保證耦合條件不變的情況下，對于螺旋多芯成像光纖而言，在光纖彎曲半徑R=∞和R=0.06 m 兩種狀態(tài)下觀察到重建圖像只有輕微的平移，體現(xiàn)了螺旋多芯光纖對彎曲不敏感的優(yōu)異特性。非螺旋多芯光纖在彎曲半徑R=0.06 m 和R=0.6 m 的條件下，其出射后的光斑位置發(fā)生了較大的偏移，且匯聚光斑的形狀也發(fā)生了變化。結(jié)果表明螺旋多芯成像光纖可以進行幾乎構(gòu)象不變的顯微內(nèi)窺相干成像［13］。螺旋多芯成像光纖束可在受激拉曼散射（Stimulated Raman Scattering，SRS）［14-15］、相干反斯托克斯拉曼散（Coherent Anti-stokes Raman Scattering，CARS）［16］等生物醫(yī)學相干成像中發(fā)揮重要作用，彌補傳統(tǒng)成像光纖束在相干成像中的不足。

本文對螺旋成像光纖開展系統(tǒng)研究，建立纖芯軌跡的數(shù)學模型；根據(jù)變換光學原理，采用有限元方法建立螺旋多芯光纖的仿真模型，計算不同彎曲條件下的模式等效折射率。提出一種可應用于相干成像的螺旋多芯光纖設計，并系統(tǒng)分析不同彎曲條件下光纖芯間群時延差的變化規(guī)律和芯間串擾。

1 基于變換光學方法對螺旋多芯光纖的有限元仿真

由于螺旋光纖的復雜性，半解析模型和經(jīng)驗方法都不能完整描述螺旋光纖纖芯的模式特性［17］。因此使用全矢量有限元對螺旋光波導進行數(shù)值建模分析。

根據(jù)麥克斯韋方程組計算光場傳輸時，數(shù)學上參照系的坐標系變換可通過材料屬性（即磁導率μ和介電常數(shù)ε）的對應變換實現(xiàn)，而不改變電磁波傳輸特性。采用這種光學變換方法，將自然空間中的螺旋多芯光纖等效為螺旋坐標系下沿光纖長度方向具有平移不變性的多芯光纖進行計算，從而將較為復雜的三維空間數(shù)值建模簡化為二維空間，有效減小了計算復雜性和運算量［17］。圖1（a）為螺旋坐標系(ξ1-ξ2-ξ3)下多芯光纖的橫截面示意圖，圖1（b）為自然坐標系/觀察者坐標系(α-β-γ)下螺旋多芯光纖的三維結(jié)構(gòu)示意圖，其中P表示螺旋光纖的螺距，螺距定義為螺旋纖芯投影到光纖軸向上的周期性長度。

圖1 螺旋光纖幾何模型Fig.1 Helical fiber geometry model

不失一般性地，螺旋坐標系(ξ1-ξ2-ξ3)與自然坐標系(α-β-γ)的變換關系可表示為

式中，L0為螺旋坐標系下的光纖長度，li表示自然坐標系下的光纖長度，i表示纖芯編號。

在光纖無彎曲條件下，li可簡單表示為

圖2 COMSOL 仿真光纖模式分布Fig.2 COMSOL simulated optical fiber mode distribution

螺旋旋轉(zhuǎn)帶來光纖橫截面不同位置空間路徑的差異，可等效為材料折射率的空間再分布，從而帶來模式等效折射率的變化。由于螺旋旋轉(zhuǎn)帶來波導模式特性的變化，因此本文中螺旋纖芯等效折射率均采用變換光學的方法進行精確計算。

2 螺旋多芯光纖的設計和特性分析

2.1 螺旋多芯光纖設計方案

應用于相干成像時，螺旋多芯光纖的設計應滿足：1）螺旋線周期遠小于使用的最小彎曲半徑，以最小化纖芯間群時延差，降低光纖出射波前補償算法與硬件的復雜度；2）選取合適芯間距，保持光場空間采樣率和纖芯間串擾的平衡。由此提出螺旋多芯光纖設計如圖3所示。

圖3 多芯光纖端面分布示意圖Fig.3 Stacking of multi-core fiber

圖3 中螺距P為10 cm，橫截面內(nèi)纖芯采用六角密堆的方式，纖芯從內(nèi)到外可分為6 層，芯間距D=20 μm。光纖共有91 個纖芯，直徑為270 μm，其中光纖整體的纖芯部分直徑為220 μm。由于光纖螺旋，光纖內(nèi)層的纖芯長度要小于光纖外層的纖芯長度，為了纖芯間群時延差有較小的差異，需要對纖芯尺寸進行控制，因此，6 層纖芯共需要拉制6 種不同芯包比的光纖預制棒進行堆疊制備。纖芯間距為20 μm 時，相鄰層纖芯直徑相差不到1 μm。當芯間距減小時，各層纖芯尺寸之間的差異將進一步減小，這將提高光纖的制備難度，帶來更長的制備周期和較高的制備成本。表1 總結(jié)了各層纖芯的尺寸半徑。

表1 螺距為10 cm，纖芯間距為20 μm 時，各層纖芯半徑Table 1 The dimension radius of each layer of fiber core when the pitch is 10 cm and the core spacing is 20 μm

該光纖采用摻鍺石英玻璃作為纖芯材料，折射率分布滿足平方律折射率漸變分布，如圖4所示，即

圖4 摻鍺纖芯材料的折射率分布示意圖Fig.4 Schematic diagram of refractive index distribution

2.2 纖芯間群時延差的仿真計算

利用不同微擾條件下，多芯光纖芯間群時延差的變化來描述對于傳輸相面帶來的畸變。螺旋多芯光纖中任意纖芯i群時延表示為

采用COMSOL 對非彎曲條件下單位長度螺旋多芯光纖的纖芯間群時延差進行了數(shù)值仿真。利用式（8）計算得到每一層纖芯與中間纖芯的群時延差，結(jié)果如圖5所示。將中間纖芯的光程作為基準，用不同顏色表示群時延差的大小，顏色越深則群時延差越大。選取紅色虛線所在的一排纖芯，右側(cè)給出了各個纖芯具體的群時延差值。設計的螺旋多芯光纖在非彎曲條件下單位長度的纖芯間最大群時延差為6 fs/m。

圖5 單位長度的直螺旋光纖纖芯間的群時延差Fig.5 Group delay difference between straight helical fiber cores per unit length

2.3 彎曲對于纖芯間群時延差的影響

假設螺旋多芯光纖在自然坐標系中，平行于α-o-β面彎曲。不失一般性地，設x0(t)、y0(t)、z0(t)表示自然坐標系下中心軸曲線的參數(shù)方程，由此得到自然坐標系下螺旋多芯光纖中第i纖芯的軌跡方程一般表達式為

式中，φi為橫截面上的局域旋轉(zhuǎn)角，A為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，描述在螺旋多芯光纖上任意位置的局域坐標系，即自由曲線的Frenet 坐標系（X-Y-Z）與自然坐標系（α-β-γ)的變換關系，有

式中，a31、a32、a33表示Frenet 坐標系中Z軸在自然坐標系中三個坐標軸方向的投影［17］，即

式中，x′0(t)，y′0(t)，z′0(t)表示x0(t)，y0(t)，z0(t)對參數(shù)t的一階導數(shù)。由于矩陣A為正交矩陣，其他元素可由a31、a32、a33得到。

自然坐標系下螺旋纖芯i的幾何長度表示為

在彎曲半徑遠大于波長條件下，忽略彎曲引發(fā)的模式等效折射率的變化，此時纖芯彎曲引發(fā)的芯間群時延差的改變Δ(Δτi)由纖芯幾何長度的改變而決定，即

式中，ΔOPLi表示纖芯i的光程變化，ΔOPL0表示纖芯0 的光程變化/m。

圖6所示為由式（9）～（12）計算得到單位長度螺旋光纖在彎曲半徑為0.5 m 和0.05 m 的芯間群時延差的變化。從圖6 中可以看出，在兩種不同的彎曲條件下，芯間群時延差的變化幾乎一致，說明改變彎曲狀態(tài)不會引起傳輸?shù)墓鈭鱿嗝娴拿黠@改變，通過對螺旋多芯光纖結(jié)構(gòu)的精心設計可實現(xiàn)良好的抗彎性能。

圖6 彎曲條件下纖芯間群時延的變化Fig.6 Change of inter-core group delay under bending conditions

3 螺旋多芯光纖的纖芯間串擾

采用在彎曲、扭轉(zhuǎn)等擾動情況下多芯光纖芯間平均功率耦合系數(shù)的解析表達式［19］來計算螺旋多芯光纖芯間串擾。

該模型中，纖芯間的耦合系數(shù)κpq表達式為［20］

式中，ω表示電磁場的角頻率，ε0表示材料的相對介電常數(shù)，Eq表示纖芯q在纖芯p中的電場分布，Ep表示纖芯p在纖芯q中的電場分布，Hp表示纖芯p中的磁場分布。

由芯間耦合系數(shù)κpq得到功率耦合系數(shù)為

式中，d為相關長度，k為波數(shù)，Δneff為纖芯p和q的有效折射率差。當光纖束以角速度γ扭曲時，功率耦合系數(shù)可以修改為［21］

光纖長度為L下的纖芯間串擾表示為［22］

圖7 中給出了光纖總長L=100 m，扭轉(zhuǎn)速率γ=20 π/m，纖芯間距D=20 μm 時，各個鄰近纖芯之間的串擾。圖7（a）～（e）給出了不同纖芯尺寸之間的串擾。由于纖芯尺寸的區(qū)別，不同層間纖芯的模式相位失配隨彎曲發(fā)生的變化規(guī)律略有區(qū)別，當滿足相位匹配條件時將存在一個彎曲下串擾的極大值。當彎曲半徑小于相位匹配時的彎曲半徑時，纖芯之間的串擾幾乎不再對彎曲半徑敏感，XT 很小且穩(wěn)定不變。圖7（f）表示具有相同尺寸的纖芯間的串擾，串擾隨著彎曲半徑的增大而增大，這是由于彎曲半徑增大時，纖芯間的相位失配變小，從而導致纖芯間串擾增加。當R趨近于最大值時，光纖處于筆直狀態(tài)，此時纖芯間相位匹配，XT將達到最大［20］。同層纖芯（同芯徑尺寸）之間的串擾依然維持在極低水平。在等芯間距分布的設計條件下，由于不同層的纖芯大小變化極小，因此同層纖芯串擾的計算結(jié)果幾乎與所在層數(shù)無關。

圖7 纖芯間的串擾Fig.7 Crosstalk between cores

在本文的設計中，每一層纖芯尺寸有微小的差別，纖芯間距較大，且纖芯具有螺旋結(jié)構(gòu)，這導致纖芯間串擾具有極低值。纖芯間極低的串擾可有效提高多芯成像光纖的成像質(zhì)量。

4 結(jié)論

本文提出了一種螺旋多芯光纖設計，能夠有效抑制彎曲等微擾引發(fā)的傳輸相面的畸變。彎曲前，該螺旋多芯光纖的纖芯之間的群時延差最大為6 fs/m；彎曲半徑為0.5 m、0.05 m 時，纖芯之間的群時延差增加到最大為32 fs/m，但纖芯間相對群時延差的改變基本相同，有助于利用成像硬件與算法恢復彎曲引發(fā)的相面畸變。由于光纖具有較大的纖芯間距、采用多種光纖半徑尺寸以及20 π/m 的扭轉(zhuǎn)率，導致光纖在100 m 長度上纖芯之間的串擾達到了-550 dB，因此可以忽略串擾對成像造成的影響。利用光學變換原理，使用商用有限元軟件對螺旋多芯光纖模式特性進行建模研究的方法可普遍應用于旋轉(zhuǎn)光纖的光學特性研究。提出的螺旋多芯光纖設計可為光纖顯微成像、超快成像等領域提供新的思路或方法。