一種九電平整流器的分?jǐn)?shù)階滑?？刂?/h1>
2024-01-26 00:00:00朱藝鋒賈小磊周飛杉張紫陽李巖
電機(jī)與控制學(xué)報(bào) 2024年11期
摘 要：以含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，首先，在分析整流器九電平產(chǎn)生機(jī)理及其電容電壓自均衡原理的基礎(chǔ)上建立其數(shù)學(xué)模型。其次，針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂疲↖OSMC）存在的響應(yīng)速度慢、啟動(dòng)超調(diào)大等問題，提出一種可實(shí)現(xiàn)快速收斂的分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲‵OSMC）策略，在滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階微積分，通過分?jǐn)?shù)階微積分算子增加的自由度改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和收斂過程。最后，采用Lyapunov理論證明分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性，并就整數(shù)階滑模和分?jǐn)?shù)階滑模的系統(tǒng)收斂速度的差異性進(jìn)行理論分析。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提分?jǐn)?shù)階滑?？刂婆c傳統(tǒng)整數(shù)階滑模控制相比，具有系統(tǒng)收斂速度快、控制時(shí)間短、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。
關(guān)鍵詞：九電平整流器；電容電壓自均衡；分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲粎?shù)整定；收斂速度
DOI：10.15938/j.emc.2024.11.015
中圖分類號(hào)：TM461
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
文章編號(hào)：1007-449X（2024）11-0160-12
Fractional order sliding mode control of one kind of nine level rectifier
ZHU Yifeng1，2， JIA Xiaolei1，2， ZHOU Feishan1，2， ZHANG Ziyang1，2， LI Yan1，2
（1.School of Electrical Engineering and Automation， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， China;
2.Henan Key Laboratory of Intelligent Detection and Control of Coal Mine Equipment， Jiaozuo 454003， China）
Abstract：Taking the single-phase nine-level rectifier with coupling inductor as the research object， firstly， the mathematical model was established on the basis of analyzing the nine-level generation mechanism of the rectifier and its capacitor voltage self-equalization principle. Secondly， aiming at the problems of slow response speed and startup overshoot of traditional integer-order sliding mode control （IOSMC）， a fractional-order sliding mode control （FOSMC） strategy that can achieve fast convergence was proposed， and fractional-order calculus was introduced into sliding mode control. The increased degrees of freedom of fractional calculus operators improve the dynamic performance and convergence process of the control system. Finally， Lyapunov theory was used to prove the stability and convergence of the fractional sliding mode control system， and the difference between the convergence speed of integer-order sliding mode and fractional-order sliding mode system was theoretically analyzed. Simulation and experimental results show that compared with the traditional integer-order sliding mode control， the proposed fractional sliding mode control has the advantages of fast system convergence speed， short control time and strong robustness.
Keywords：nine-level rectifier; capacitor voltage self-equalization; fractional calculus; fractional sliding mode control; parameter tuning; convergence speed
0 引 言
多電平整流器相較于傳統(tǒng)兩電平整流器有諸多優(yōu)點(diǎn)，如降低開關(guān)器件上的電壓應(yīng)力，降低網(wǎng)側(cè)諧波含量，降低開關(guān)頻率，并且能夠以更小的體積獲得更高的電壓輸出[1-2]。所以，近年來多電平整流器被越來越多的學(xué)者關(guān)注，并應(yīng)用于中高壓場(chǎng)合改善電能質(zhì)量。
現(xiàn)今成熟的多電平整流器拓?fù)渲饕酗w跨電容、級(jí)聯(lián)H橋和二極管箝位3種類型[3-5]。還有不少多電平整流器拓?fù)涫窃谶@3種拓?fù)涞幕A(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，然而由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固有的特性，使得其電平數(shù)增加時(shí)存在若干問題[6-8]。其中，電容電壓平衡控制是很多多電平拓?fù)湫枰鉀Q的一個(gè)關(guān)鍵問題[9-10]。這是由于多電平拓?fù)渚哂休^多的分壓電容，通常需要額外的電容電壓平衡電路，一般方法是在調(diào)制算法中加入復(fù)雜的控制策略。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了改進(jìn)型同相層疊載波調(diào)制方法實(shí)現(xiàn)電容電壓的自均衡。文獻(xiàn)[12]提出一種基于子模塊投入優(yōu)先級(jí)的均壓策略。但是復(fù)雜的調(diào)制策略給多電平整流器的控制帶來很大的挑戰(zhàn)。
傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂疲╥nteger-order sliding mode control，IOSMC）是一種算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、響應(yīng)速度快的非線性控制策略，同時(shí)滑?？刂茖?duì)干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有魯棒性，因此被廣泛應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)[13-14]。文獻(xiàn)[15]針對(duì)網(wǎng)側(cè)換流器提出了一種反饋線性滑?？刂撇呗裕菍?shí)現(xiàn)困難，且存在超調(diào)。文獻(xiàn)[16]提出一種快速終端滑模算法，但是控制精度差，穩(wěn)態(tài)誤差并未消除。文獻(xiàn)[17]針對(duì)buck變換器電壓環(huán)設(shè)計(jì)了離散積分滑模算法，雖然實(shí)現(xiàn)了高精度控制，但是動(dòng)態(tài)性能有待進(jìn)一步提升。
隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子逼近方法的研究，近年來分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲╢ractional-order sliding mode control，F(xiàn)OSMC）算法被廣泛關(guān)注。分?jǐn)?shù)階滑模主要是通過在整數(shù)階滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階微積分，使整數(shù)階滑模控制增加一個(gè)額外的可調(diào)參數(shù)，從而使傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂菩阅艿玫礁纳?。文獻(xiàn)[18]針對(duì)并網(wǎng)逆變器設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階滑模算法，具有抗擾能力強(qiáng)和恢復(fù)時(shí)間短的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[19]針對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種可快速收斂的分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗?，使其在多種工況下的振蕩得到快速抑制，實(shí)現(xiàn)了快速收斂的目的。文獻(xiàn)[20]針對(duì)同步電機(jī)設(shè)計(jì)了電流環(huán)的離散型分?jǐn)?shù)階滑模控制策略，在減小抖振的同時(shí)又增加了控制精度和動(dòng)態(tài)性能。可以預(yù)見的是，分?jǐn)?shù)階滑?？刂圃谡髌魃暇哂泻芎玫膽?yīng)用前景。
針對(duì)以上問題，本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，以加快系統(tǒng)的收斂速度，提高系統(tǒng)的響應(yīng)能力為目標(biāo)，提出一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗浴Ｊ紫?，分析整流器的工作狀態(tài)及電壓自均衡原理，并建立dq坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型；然后，針對(duì)整流器的電壓環(huán)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗?，并對(duì)此控制策略下的系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂速度進(jìn)行分析；最后，將本文所提FOSMC算法與IOSMC算法和PI算法進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比。
1 主電路拓?fù)浼皵?shù)學(xué)建模
1.1 單相九電平整流器電路拓?fù)?/p>
圖1是含耦合電感的單相九電平整流器的電路原理圖，其在二極管箝位三電平整流器的基礎(chǔ)上添加一個(gè)耦合電感及2個(gè)功率開關(guān)管組成。
其中：us為電網(wǎng)電壓；is為網(wǎng)側(cè)輸入電流；Ls為網(wǎng)側(cè)電感；ib、ic為流過耦合電感上的電流；Lb、Lc為2個(gè)順接的耦合電感；C1、C2為直流側(cè)的2個(gè)電容；u1、u2分別為直流側(cè)兩支撐電容C1、C2上的電壓；i1、i2是直流母線上正向和負(fù)向電流；R為純電阻負(fù)載；Udc為直流母線電壓；S1～S10為10個(gè)功率開關(guān)管。將第一橋臂中a點(diǎn)與兩耦合電感公共端點(diǎn)d點(diǎn)連接，耦合電感Lb左端點(diǎn)b點(diǎn)和耦合電感Lc的右端點(diǎn)c點(diǎn)分別與第二、三橋臂相連接，則a點(diǎn)與d點(diǎn)之間的電壓即為單相九電平整流器拓?fù)漭斎攵穗妷簎ad。
1.2 單相九電平整流器工作原理
根據(jù)圖1中電壓和電流的關(guān)系，可以得到兩耦合電感上面的電壓：
（M+Lσ）dibdt－Mdicdt=ubn－udn；
（M+Lσ）dicdt－Mdibdt=ucn－udn。（1）
式中：Lσ為耦合電感的漏感；M為耦合電感互感；ubn、udn、ucn分別為b點(diǎn)、d點(diǎn)和c點(diǎn)與參考點(diǎn)n之間的電壓。
由基爾霍夫電流定律有
ib+ic=is。（2）
將式（1）代入式（2），可得
udn=12（ubn+ucn+Lσdisdt）。（3）
忽略漏感，根據(jù)式（3）可得輸入電壓uad為
uad=uan－udn=uan－ubn+ucn2。（4）
該整流器拓?fù)溆?個(gè)橋臂，左起第1個(gè)橋臂的2個(gè)開關(guān)管為互補(bǔ)導(dǎo)通工作，只有2種開關(guān)狀態(tài)。第二、三橋臂上下4個(gè)開關(guān)管中的第1個(gè)開關(guān)管與第3個(gè)開關(guān)管、第2個(gè)開關(guān)管與第4個(gè)開關(guān)管為互補(bǔ)導(dǎo)通的工作方式，有3種開關(guān)狀態(tài)。令T1、T2、T3分別表示第一、二、三橋臂的開關(guān)狀態(tài)，則邏輯開關(guān)函數(shù)可表示為：
T1=1，S1導(dǎo)通，S2斷開；－1，S2導(dǎo)通，S1斷開。（5）
T2=1，S3、S4導(dǎo)通，S5、S6斷開；0，S4、S5導(dǎo)通，S3、S6斷開；
－1，S5、S6導(dǎo)通，S3、S4斷開。（6）
T3=1，S7、S8導(dǎo)通，S9、S10斷開；
0，S8、S9導(dǎo)通，S7、S10斷開；
－1，S9、S10導(dǎo)通，S7、S8斷開。（7）
將式（5）～式（7）代入式（4）可得：
S=T1－（T2+T3）/2；
uad=SUdc/2。（8）
式中S表示開關(guān)函數(shù)。
若整流器器件處于理想狀態(tài)，忽略整流器損耗，根據(jù)功率守恒可得：
uadis=u1i1－u2i2；
u1=u2=Udc/2。（9）
將式（8）代入式（9）中，可得
i1－i2=Sis。（10）
由上述分析可得出整流器正負(fù)半周期內(nèi)開關(guān)狀態(tài)與各電壓之間的關(guān)系，如表1所示。
表1中，由于整流器在（1 1 -1）、（1 -1 1）、（0 1 -1）、（1 -1 1）這4種開關(guān)狀態(tài)工作時(shí)，耦合電感上電壓最大，導(dǎo)致基波含量最大。在滿足整流器輸入端電壓uad九電平的前提下，耦合電感上的電流越小越好，所以這幾種開關(guān)狀態(tài)一般在調(diào)制中不做選擇。
1.3 電容電壓自均衡分析
由于正半周期和負(fù)半周期的對(duì)稱關(guān)系，直流側(cè)電容C1兩端的電壓u1在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞增，在網(wǎng)側(cè)輸入電流負(fù)半周期內(nèi)遞減；電容C2兩端的電壓u2在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞減，在網(wǎng)側(cè)輸入電流負(fù)半周期內(nèi)遞增，且增減的速率保持一致，即電容C1和電容C2充電和放電的速率一致。一個(gè)基波周期內(nèi)，電容C1和電容C2在正半周期和負(fù)半周期交替進(jìn)行充放電并且給負(fù)載供能。若兩電容充放電時(shí)長(zhǎng)一樣，那么兩電容電荷變化量也一致。所以電容C1和電容C2兩端的的電壓在1個(gè)周期內(nèi)能夠達(dá)到平衡。圖1所示的單相九電平整流器中直流母線兩支撐電容C1、C2上的電壓u1、u2有自均衡的效果，不需要額外的中點(diǎn)電壓平衡控制。
1.4 數(shù)學(xué)建模
忽略內(nèi)阻，取C1=C2=C，由圖1電路根據(jù)電路定理可得：
Lsdisdt=us－uad；
Cd（u1+u2）dt=i1－i2－2UdcR。（11）
由于單相系統(tǒng)無法進(jìn)行坐標(biāo)變換，需要構(gòu)造虛擬正交信號(hào)，利用構(gòu)造的正交虛擬電壓、電流信號(hào)分別與實(shí)際的電壓、電流值疊加之后即是交流側(cè)電壓、電流矢量us和is。本文選用原理簡(jiǎn)單且動(dòng)態(tài)性能好的二階廣義積分（second-order generalized integral，SOGI）算法[21]來構(gòu)造虛擬正交電壓、電流信號(hào)。
經(jīng)過αβ/dq坐標(biāo)變換，得到網(wǎng)側(cè)電壓us和網(wǎng)側(cè)電流is以及輸入端電壓uad在dq坐標(biāo)系下的表達(dá)式為：
us=usdcos（ωt）－usqsin（ωt）；
is=idcos（ωt）－iqsin（ωt）；
uad=udcos（ωt）－uqsin（ωt）。（12）
結(jié)合式（10）～式（12），可以得到整流器在dq坐標(biāo)系下的動(dòng)態(tài)方程為：
Lsdiddt=usd－ud+ωLiq；
Lsdiqdt=usq－uq+ωLid；
Cd（u1+u2）dt=（Sdid+Sqiq）－2UdcR。（13）
式中：usd、usq分別為網(wǎng)側(cè)電壓在dq坐標(biāo)系下的分量；ud、uq、id、iq分別為整流器輸入端電壓、輸入端電流在dq坐標(biāo)系下的變量。
2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 整數(shù)階滑模設(shè)計(jì)
傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂撇呗缘暮诵乃枷胧峭ㄟ^調(diào)節(jié)控制律使系統(tǒng)狀態(tài)迅速收束到所設(shè)定的滑模面，并沿滑模面按照預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡做滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差在有限時(shí)間內(nèi)的最小化。在本文中，為改善直流側(cè)輸出電壓的動(dòng)態(tài)性能，將滑?？刂扑惴☉?yīng)用于電壓環(huán)的控制當(dāng)中。
令e（t）表示參考電壓與實(shí)際電壓的誤差項(xiàng)，其表達(dá)式為
e（t）=U*dc－Udc。（14）
為減小系統(tǒng)抖振，可設(shè)計(jì)整數(shù)階滑模面為
s1=e（t）+k1e·（t）。（15）
對(duì)式（15）求導(dǎo)，并將Udc=u1+u2代入式（13）可得
s·1（t）=－dUdcdt+k1e··（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（16）
為了使整流器直流側(cè)電壓狀態(tài)變量能夠平滑的進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，本文選用冪次趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)。即
s·1（t）=－k|s1（t）|αsgns1（t）。（17）
式中：sgn（x）=－1，xlt;00，x=01，xgt;0；k、α為趨近律的系數(shù)，k gt;0，0lt;αlt;1。
結(jié)合式（16）、式（17）可得
－k|s1（t）|αsgns1（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（18）
當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)有did/dt=diq/dt=0，iq=0，usq=0，同時(shí)ud=SdUdc/2，uq=SqUdc/2，代入式（13）中可得：
Sd=2usdUdc；
Sq=2ωLidUdc。（19）
將式（19）代入式（18）中，可以得到內(nèi)環(huán)電流的參考值為
i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s1（t）|αsgns1（t）+k1CUdc2usde··（t）。（20）
2.2 分?jǐn)?shù)階滑模設(shè)計(jì)
2.2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
分?jǐn)?shù)階微積分即是將經(jīng)典微積分理論拓展到整數(shù)階以外的階次，所以相較于整數(shù)階微積分具有更加普遍的意義。而今的控制系統(tǒng)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的3種分?jǐn)?shù)階微積分定義為Riemann-Liouville（RL）型、Grunwald-Letnikov（GL）型、Caputo型。本文引入RL型分?jǐn)?shù)階微積分設(shè)計(jì)FOSMC算法，其積分和微分的表達(dá)式為：
aD－λtf（t）=1Γ（λ）∫ta（t－τ）λ－1f（τ）dτ;（21）
aDλtf（t）=Dn［aD－σtf（t）］=
1Γ（σ）dndtn［∫ta（t－τ）σ－1f（τ）dτ］。（22）
式中：aD-λt表示分?jǐn)?shù)階微積分算子，λ是分?jǐn)?shù)階次且λgt;0，a、t是算子最大、最小值；σ= n-λ，n是比λ大的最小整數(shù)；Γ（λ）是伽瑪函數(shù)，其定義式為
Γ（λ）=∫∞0e－tτλ－1dτ。（23）
定理1：設(shè)n為自然數(shù)m-1lt;μlt;m，且μ≠ngt;0，f（t）存在r（r=max{m，n}）階導(dǎo)數(shù)，則有
Dn［aDμtf（t）］=aDn+μtf（t）。（24）
定理2：RL型分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace變換為：
L［0Dλtf（t）］=sλF（s）－∑n－1j=0［0Dλ－j－1tf（t）］t=0sj;
L［0D－λtf（t）］=s－λF（s）。（25）
式中n-1lt;λ≤n。
定理3：設(shè)α、βgt;0，Mittag-Leffler函數(shù)Eα，β（x）=∑∞k=0［xk/Γ（αk+β）］的Laplace變換為
∫∞0e－sttαk+β－1E（k）α，β（±atα）dt=k！sα－β（sαa）k+1。（26）
2.2.2 分?jǐn)?shù)階滑模控制策略實(shí)現(xiàn)
針對(duì)整數(shù)階滑?？刂浦惺諗克俣嚷约按嬖诔{(diào)現(xiàn)象的問題，考慮在傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ㄖ幸敕?jǐn)?shù)階微積分。通過分?jǐn)?shù)階微積分算子增加的自由度改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力，同時(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制?？芍匦略O(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面s2為
s2（t）=e（t）+k2aDλte（t）。（27）
對(duì)式（27）求導(dǎo)得到
s·2（t）=e·（t）+k2D1［aDλte（t）］。（28）
根據(jù)RL型微積分定理1可得
s·2（t）=e·（t）+k2aDλ+1te（t）。（29）
選用冪次趨近律并結(jié)合式（13）、式（29）可得
－k|s2（t）|αsgns2（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k2aDλ+1te（t）。（30）
將式（19）代入式（30）中，可以得到內(nèi)環(huán)電流的參考值為
i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s2（t）|αsgns2（t）+k2CUdc2usdaDλ+1te（t）。（31）
3 穩(wěn)定性和系統(tǒng)收斂速度分析
3.1 穩(wěn)定性分析
為分析所提FOSMC策略的穩(wěn)定性和收斂性，構(gòu)造正定Lyapunov函數(shù)如下：
V=12STS。（32）
對(duì)其求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為
V·=dVdt=s2（t）s·2（t）=
s2（t）［e·（t）+k10Dλ+1te（t）］=s2（t）［－k10Dλ+1te（t）－k|s2（t）|αsgns2（t）+k10Dλ+1te（t）］=
s2（t）［－k|s2（t）|αsgns2（t）］=
－k|s2|α+1lt;0。（33）
根據(jù)式（33）可以看出，V·lt;0，即V·是負(fù)定的。由Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)可知，受控系統(tǒng)是穩(wěn)定且收斂的，系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠收斂至分?jǐn)?shù)階滑模面上。
3.2 系統(tǒng)收斂速度分析
若系統(tǒng)的誤差項(xiàng)到達(dá)滑模面所需的時(shí)間為tr，則s（tr）=0，由定理2對(duì)其進(jìn)行Laplace變換，可得
E（s）+k2sλE（s）－k2e（t）t=tr=0。（34）
式中：E（s）為誤差項(xiàng)e（t）在復(fù)頻域的表達(dá)式；e（t）t=tr代表系統(tǒng)到達(dá)滑模面的起始誤差。由式（34）可得E（s）的表達(dá)式為
E（s）=e（t）t=trsλ+1k2。（35）
由定理3可知，在分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡拢到y(tǒng)誤差在時(shí)域內(nèi)可表示為
e（t）=e（t）t=trEλ，λ［－（t－tr）λk2］。（36）
當(dāng)λ=1時(shí)（整數(shù)階滑模），系統(tǒng)誤差在時(shí)域內(nèi)可表示為
e0（t）=e（t）t=tre－t－trk2。（37）
根據(jù)式（37）可以看出，當(dāng)采用整數(shù)階滑?？刂茣r(shí)，若滑模面的參數(shù)一旦被確定后，則整個(gè)系統(tǒng)的收斂速度也是確定唯一的，已不可調(diào)整。而當(dāng)采用分?jǐn)?shù)階滑?？刂茣r(shí)，由式（36）可知，滑模面的參數(shù)被確定之后，仍可通過調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階微積分算子λ調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所以，分?jǐn)?shù)階滑?？刂仆ㄟ^引入分?jǐn)?shù)階微積分算子增加了控制系統(tǒng)的自由度，使傳統(tǒng)整數(shù)階滑模具備了更加靈活的調(diào)節(jié)性能，為提高系統(tǒng)的收斂速度創(chuàng)造了條件。為了更加清晰地比較整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡孪到y(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，圖2展示了時(shí)域誤差e0（t）與e（t）取不同階次時(shí)的函數(shù)曲線。根據(jù)圖2可以看出，相同條件下，分?jǐn)?shù)階滑模收斂速度明顯快于整數(shù)階滑模，動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力更加優(yōu)異，且其收斂速度隨階次（λ）減小而加快。
3.3 分?jǐn)?shù)階次（λ）的整定
根據(jù)式（31）可知，分?jǐn)?shù)階滑模控制器參數(shù)有k、k2、α、λ，相比整數(shù)階滑?？刂破鞫嗔?個(gè)可調(diào)參數(shù)λ。其中k是滑模面切換增益，若取值太大會(huì)加劇抖振，太小會(huì)影響控制器精度。k2、α影響系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度。圖3給出了控制器參數(shù)λ的整定流程圖，首先調(diào)節(jié)k、k2、α三個(gè)參數(shù)與整數(shù)階滑?？刂破鲄?shù)保持一致，在此基礎(chǔ)上進(jìn)而調(diào)整階次λ直至整流器系統(tǒng)收斂速度和控制精度達(dá)到最優(yōu)，以此來彌補(bǔ)整數(shù)階滑模運(yùn)用到九電平拓?fù)浯嬖诘娜毕?。本文中分?jǐn)?shù)階微積分算子的計(jì)算采取Oustaloup濾波器擬合方法實(shí)現(xiàn)，該方法通過配置整數(shù)階傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)從而實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子的全局逼近，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且逼近精度高。
為了方便配置整數(shù)階傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的階次一般選取為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，所以只需采用Oustaloup濾波器擬合方法近似九組分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)，選出使系統(tǒng)控制性能達(dá)到最優(yōu)的階次即可，即本文分?jǐn)?shù)階次整定工作最多重復(fù)9次。最終的控制器參數(shù)為：k=30、k2=8、α=1、λ=0.3。
3.4 九電平整流器分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ǖ膶?shí)現(xiàn)
圖4是九電平整流器采用分?jǐn)?shù)階滑模控制的實(shí)現(xiàn)框圖。首先，根據(jù)直流側(cè)電壓參考值與實(shí)際值的誤差形成輸入分?jǐn)?shù)階滑模控制的狀態(tài)變量，計(jì)算出滑模面s2，然后根據(jù)式（31）計(jì)算得到dq坐標(biāo)軸下內(nèi)環(huán)電流的參考值i*d，并結(jié)合內(nèi)環(huán)控制輸出控制信號(hào)，最后將控制信號(hào)反變換后送到空間矢量調(diào)制模塊，經(jīng)調(diào)制后的觸發(fā)信號(hào)送至各開關(guān)管實(shí)現(xiàn)對(duì)整流器的控制。
4 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
4.1 仿真分析
為驗(yàn)證所提FOSMC策略的正確性及其控制性能，在仿真軟件上搭建了基于單相九電平整流器的PI算法、IOSMC算法以及FOSMC算法。針對(duì)3種控制策略下的整流器的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行對(duì)比研究。其中各模塊的仿真參數(shù)如表2所示。
圖5為施加FOSMC算法下的九電平整流器的穩(wěn)態(tài)仿真波形。圖5（a）為輸入端電壓uad的仿真波形，可以看出為九電平，且與上文所分析產(chǎn)生九電平的原理相對(duì)應(yīng)。圖5（b）是FOSMC算法控制下直流側(cè)電壓Udc和上下電容電壓u1、u2的仿真波形，可以看出，直流側(cè)電容C1兩端電壓u1在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞增，在負(fù)半周期內(nèi)遞減；電容C2兩端電壓u2在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞減，在負(fù)半周期內(nèi)遞增，且兩電容電壓u1、u2有效值均為直流側(cè)電壓Udc的一半，單相九電平整流器能夠?qū)崿F(xiàn)電容電壓自均衡。
圖6是分別采用PI、IOSMC以及FOSMC 3種不同控制算法下的輸出電壓仿真波形。圖6（a）為3種控制算法的直流側(cè)啟動(dòng)時(shí)電壓對(duì)比波形，可以看出，3種控制策略下，直流側(cè)電壓最終都穩(wěn)定在給定值，但是分?jǐn)?shù)階滑模控制算法相比于其他2種算法，收斂至穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間最短，沒有起動(dòng)超調(diào)，既保證了系統(tǒng)的快速起動(dòng)，又能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的高精度跟蹤。圖6（b）是給定電壓突增時(shí)的輸出電壓波形，可以看出，給定值突變后，PI和IOSMC算法都要經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間重新跟蹤上給定值，而FOSMC算法很快就能夠跟蹤上給定值，使系統(tǒng)重新恢復(fù)穩(wěn)定。圖6（c）是直流側(cè)負(fù)載突變時(shí)的輸出電壓波形，可以看出，相比于PI算法和IOSMC算法，F(xiàn)OSMC算法下直流側(cè)電壓波動(dòng)最小，對(duì)外部干擾不敏感，魯棒性最強(qiáng)。
圖7是3種控制算法下網(wǎng)側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流波形，可以看出，PI、IOSMC、FOSMC 3種算法下整流器網(wǎng)側(cè)和網(wǎng)側(cè)電流相位差均為0，即整流器都能夠?qū)崿F(xiàn)單位功率因數(shù)運(yùn)行。
圖8是3種控制算法下網(wǎng)側(cè)輸入電流的快速傅里葉分析（FFT）結(jié)果圖，可以看出，PI控制下整流器輸入端電流的總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）為2.95%，IOSMC的THD為2.90%，F(xiàn)OSMC的THD為2.87%。相比于其他2種算法，F(xiàn)OSMC算法下整流器的網(wǎng)側(cè)電流總諧波畸變率最小。
4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為了更加深入驗(yàn)證所提算法的有效性和可行性，搭建了DSP+RT-LAB的半實(shí)物平臺(tái)，對(duì)PI算法、傳統(tǒng)整數(shù)階滑模算法和本文所提分?jǐn)?shù)階滑模算法這3種控制算法的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。其中，DSP采用TI公司的TMS320F28335，RT-LAB由上位機(jī)、運(yùn)算單元、模擬板和數(shù)字模塊組成，如圖9所示。實(shí)驗(yàn)中主電路各模塊參數(shù)選擇與仿真一致，詳見表2。
圖10給出了在電網(wǎng)電壓存在5%的3次諧波和5%的5次諧波工況下3種控制算法的實(shí)驗(yàn)波形?？梢钥闯?，3種控制算法在電網(wǎng)電壓含有低次諧波工況下都能夠?qū)崿F(xiàn)單位功率因數(shù)運(yùn)行，但FOSMC算法相較于PI算法和IOSMC算法網(wǎng)側(cè)電流畸變程度更小，且正弦度最高，穩(wěn)態(tài)性能更加優(yōu)秀。
圖11給出了在電網(wǎng)電壓跌落工況下的實(shí)驗(yàn)波形，電壓源幅值由311 V突降為255 V。由圖可知，3種控制算法在電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓Udc都會(huì)產(chǎn)生一定的電壓波動(dòng)，網(wǎng)側(cè)電流is需要逐漸增大以補(bǔ)償電網(wǎng)電壓突降對(duì)直流側(cè)功率產(chǎn)生的影響。但是圖11（a）中PI算法下在電網(wǎng)電壓跌落后需要經(jīng)過88 ms才能夠重新穩(wěn)定，網(wǎng)側(cè)電流也需要同樣時(shí)間過渡到穩(wěn)態(tài)，用時(shí)較長(zhǎng)且直流側(cè)電壓具有較大的波動(dòng)。圖11（b）中IOSMC算法下在電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流都需要30 ms重新恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，相比PI算法控制時(shí)間有所改善，但是仍然存在較大電壓波動(dòng)。圖11（c）中當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓僅需要7 ms就能夠重新穩(wěn)定下來，同時(shí)網(wǎng)側(cè)電流幾乎不需要過渡過程就穩(wěn)定下來，且直流側(cè)電壓無明顯波動(dòng)。綜上所述，分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ㄔ诜抢硐牍r下相比于其他2種算法具有更加優(yōu)越的控制性能。
圖12給出了給定電壓由500 V突增到550 V時(shí)的3種控制算法下的直流側(cè)電壓Udc和網(wǎng)側(cè)電流is變化情況?？梢钥闯?種控制策略都能夠使直流側(cè)電壓重新跟蹤上給定值，網(wǎng)側(cè)電流也重新恢復(fù)穩(wěn)定。但是由圖12（a）可以看出，PI控制時(shí)直流側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流大約需要110 ms才能夠重新達(dá)到給定值，相較于另外2種算法，用時(shí)最長(zhǎng)。由圖12（b）可以看出，施加IOSMC算法時(shí)直流側(cè)約需60 ms重新達(dá)到給定值，網(wǎng)側(cè)電流約55 ms穩(wěn)定下來，恢復(fù)時(shí)間較長(zhǎng)。而圖12（c）中，當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，僅需約28 ms直流側(cè)電壓就能夠重新達(dá)到給定值，網(wǎng)側(cè)電流也能夠重新恢復(fù)穩(wěn)定，所需時(shí)間最短。所以相較于其他2種算法，分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ň哂懈觾?yōu)越的動(dòng)態(tài)性能。
圖13給出了直流側(cè)負(fù)載突變時(shí)3種控制算法下的直流側(cè)電壓Udc和網(wǎng)側(cè)電流is變化曲線圖，負(fù)載由40 Ω突變?yōu)?0 Ω?？梢钥闯?，圖13（a）中PI控制時(shí)直流側(cè)電壓需要約140 ms才能重新跟蹤給定電壓，且存在很大的電壓波動(dòng)，電流也需要相同的時(shí)間過渡到穩(wěn)態(tài)；由圖13（b）可以看出IOSMC控制時(shí)直流側(cè)電壓重新達(dá)到給定值約需45 ms，電壓波動(dòng)有所減小，電流過渡到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間也相應(yīng)減少，但仍不理想；從圖13（c）中可以看出當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，直流側(cè)電壓重新回到給定值僅需約8 ms，基本沒有電壓波動(dòng)，網(wǎng)側(cè)電流幾乎無需過渡時(shí)間就能夠重新穩(wěn)定。所以，相較于其他2種算法，分?jǐn)?shù)階滑模算法擁有更快的收斂速度，且抗干擾能力更強(qiáng)。
圖14給出了突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)整數(shù)階滑模面和分?jǐn)?shù)階滑模面s值的變化曲線。通過對(duì)比可知，圖14（a）中采用IOSMC算法時(shí)，在受到擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面的程度更大，且重新收束到滑模面需要更長(zhǎng)的時(shí)間。而圖14（b）中采用FOSMC算法時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)幾乎一直沿著滑模面運(yùn)動(dòng)，對(duì)參數(shù)攝動(dòng)性更小，收斂速度更快，魯棒性更強(qiáng)。
5 結(jié) 論
本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂茟?yīng)用于此拓?fù)浯嬖诘膯栴}，詳細(xì)研究了一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗裕?yīng)用到整流器的控制系統(tǒng)中，得到如下結(jié)論：
1）通過引入分?jǐn)?shù)階微積分算子可以增加整流器控制系統(tǒng)的自由度，使滑?？刂凭邆涓屿`活的調(diào)節(jié)性能，為提高整流器系統(tǒng)的控制性能創(chuàng)造條件。
2）分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗韵啾扔谡麛?shù)階滑模控制和比例積分控制，響應(yīng)時(shí)間更短，系統(tǒng)收斂速度更快。同時(shí)解決了整數(shù)階滑模在整流器控制中存在的超調(diào)過大問題，實(shí)現(xiàn)了高精度控制。此外，分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗栽诙喾N工況下都能夠快速跟蹤給定值使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，抗干擾能力強(qiáng)，有力地增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性。
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（編輯：劉琳琳）
摘 要：以含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，首先，在分析整流器九電平產(chǎn)生機(jī)理及其電容電壓自均衡原理的基礎(chǔ)上建立其數(shù)學(xué)模型。其次，針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂疲↖OSMC）存在的響應(yīng)速度慢、啟動(dòng)超調(diào)大等問題，提出一種可實(shí)現(xiàn)快速收斂的分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲‵OSMC）策略，在滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階微積分，通過分?jǐn)?shù)階微積分算子增加的自由度改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能和收斂過程。最后，采用Lyapunov理論證明分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡到y(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性，并就整數(shù)階滑模和分?jǐn)?shù)階滑模的系統(tǒng)收斂速度的差異性進(jìn)行理論分析。仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明所提分?jǐn)?shù)階滑?？刂婆c傳統(tǒng)整數(shù)階滑模控制相比，具有系統(tǒng)收斂速度快、控制時(shí)間短、魯棒性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。
關(guān)鍵詞：九電平整流器；電容電壓自均衡；分?jǐn)?shù)階微積分；分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲粎?shù)整定；收斂速度
DOI：10.15938/j.emc.2024.11.015
中圖分類號(hào)：TM461
文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A
文章編號(hào)：1007-449X（2024）11-0160-12
Fractional order sliding mode control of one kind of nine level rectifier
ZHU Yifeng1，2， JIA Xiaolei1，2， ZHOU Feishan1，2， ZHANG Ziyang1，2， LI Yan1，2
（1.School of Electrical Engineering and Automation， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， China;
2.Henan Key Laboratory of Intelligent Detection and Control of Coal Mine Equipment， Jiaozuo 454003， China）
Abstract：Taking the single-phase nine-level rectifier with coupling inductor as the research object， firstly， the mathematical model was established on the basis of analyzing the nine-level generation mechanism of the rectifier and its capacitor voltage self-equalization principle. Secondly， aiming at the problems of slow response speed and startup overshoot of traditional integer-order sliding mode control （IOSMC）， a fractional-order sliding mode control （FOSMC） strategy that can achieve fast convergence was proposed， and fractional-order calculus was introduced into sliding mode control. The increased degrees of freedom of fractional calculus operators improve the dynamic performance and convergence process of the control system. Finally， Lyapunov theory was used to prove the stability and convergence of the fractional sliding mode control system， and the difference between the convergence speed of integer-order sliding mode and fractional-order sliding mode system was theoretically analyzed. Simulation and experimental results show that compared with the traditional integer-order sliding mode control， the proposed fractional sliding mode control has the advantages of fast system convergence speed， short control time and strong robustness.
Keywords：nine-level rectifier; capacitor voltage self-equalization; fractional calculus; fractional sliding mode control; parameter tuning; convergence speed
0 引 言
多電平整流器相較于傳統(tǒng)兩電平整流器有諸多優(yōu)點(diǎn)，如降低開關(guān)器件上的電壓應(yīng)力，降低網(wǎng)側(cè)諧波含量，降低開關(guān)頻率，并且能夠以更小的體積獲得更高的電壓輸出[1-2]。所以，近年來多電平整流器被越來越多的學(xué)者關(guān)注，并應(yīng)用于中高壓場(chǎng)合改善電能質(zhì)量。
現(xiàn)今成熟的多電平整流器拓?fù)渲饕酗w跨電容、級(jí)聯(lián)H橋和二極管箝位3種類型[3-5]。還有不少多電平整流器拓?fù)涫窃谶@3種拓?fù)涞幕A(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)，然而由于拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)固有的特性，使得其電平數(shù)增加時(shí)存在若干問題[6-8]。其中，電容電壓平衡控制是很多多電平拓?fù)湫枰鉀Q的一個(gè)關(guān)鍵問題[9-10]。這是由于多電平拓?fù)渚哂休^多的分壓電容，通常需要額外的電容電壓平衡電路，一般方法是在調(diào)制算法中加入復(fù)雜的控制策略。文獻(xiàn)[11]設(shè)計(jì)了改進(jìn)型同相層疊載波調(diào)制方法實(shí)現(xiàn)電容電壓的自均衡。文獻(xiàn)[12]提出一種基于子模塊投入優(yōu)先級(jí)的均壓策略。但是復(fù)雜的調(diào)制策略給多電平整流器的控制帶來很大的挑戰(zhàn)。
傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂疲╥nteger-order sliding mode control，IOSMC）是一種算法簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、響應(yīng)速度快的非線性控制策略，同時(shí)滑?？刂茖?duì)干擾和未建模動(dòng)態(tài)具有魯棒性，因此被廣泛應(yīng)用于非線性控制系統(tǒng)[13-14]。文獻(xiàn)[15]針對(duì)網(wǎng)側(cè)換流器提出了一種反饋線性滑?？刂撇呗裕菍?shí)現(xiàn)困難，且存在超調(diào)。文獻(xiàn)[16]提出一種快速終端滑模算法，但是控制精度差，穩(wěn)態(tài)誤差并未消除。文獻(xiàn)[17]針對(duì)buck變換器電壓環(huán)設(shè)計(jì)了離散積分滑模算法，雖然實(shí)現(xiàn)了高精度控制，但是動(dòng)態(tài)性能有待進(jìn)一步提升。
隨著對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子逼近方法的研究，近年來分?jǐn)?shù)階滑?？刂疲╢ractional-order sliding mode control，F(xiàn)OSMC）算法被廣泛關(guān)注。分?jǐn)?shù)階滑模主要是通過在整數(shù)階滑?？刂浦幸敕?jǐn)?shù)階微積分，使整數(shù)階滑模控制增加一個(gè)額外的可調(diào)參數(shù)，從而使傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂菩阅艿玫礁纳?。文獻(xiàn)[18]針對(duì)并網(wǎng)逆變器設(shè)計(jì)了模糊分?jǐn)?shù)階滑模算法，具有抗擾能力強(qiáng)和恢復(fù)時(shí)間短的特點(diǎn)。文獻(xiàn)[19]針對(duì)風(fēng)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種可快速收斂的分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗?，使其在多種工況下的振蕩得到快速抑制，實(shí)現(xiàn)了快速收斂的目的。文獻(xiàn)[20]針對(duì)同步電機(jī)設(shè)計(jì)了電流環(huán)的離散型分?jǐn)?shù)階滑模控制策略，在減小抖振的同時(shí)又增加了控制精度和動(dòng)態(tài)性能。可以預(yù)見的是，分?jǐn)?shù)階滑?？刂圃谡髌魃暇哂泻芎玫膽?yīng)用前景。
針對(duì)以上問題，本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，以加快系統(tǒng)的收斂速度，提高系統(tǒng)的響應(yīng)能力為目標(biāo)，提出一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗浴Ｊ紫?，分析整流器的工作狀態(tài)及電壓自均衡原理，并建立dq坐標(biāo)系下的數(shù)學(xué)模型；然后，針對(duì)整流器的電壓環(huán)設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗?，并對(duì)此控制策略下的系統(tǒng)穩(wěn)定性和收斂速度進(jìn)行分析；最后，將本文所提FOSMC算法與IOSMC算法和PI算法進(jìn)行仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比。
1 主電路拓?fù)浼皵?shù)學(xué)建模
1.1 單相九電平整流器電路拓?fù)?/p>
圖1是含耦合電感的單相九電平整流器的電路原理圖，其在二極管箝位三電平整流器的基礎(chǔ)上添加一個(gè)耦合電感及2個(gè)功率開關(guān)管組成。
其中：us為電網(wǎng)電壓；is為網(wǎng)側(cè)輸入電流；Ls為網(wǎng)側(cè)電感；ib、ic為流過耦合電感上的電流；Lb、Lc為2個(gè)順接的耦合電感；C1、C2為直流側(cè)的2個(gè)電容；u1、u2分別為直流側(cè)兩支撐電容C1、C2上的電壓；i1、i2是直流母線上正向和負(fù)向電流；R為純電阻負(fù)載；Udc為直流母線電壓；S1～S10為10個(gè)功率開關(guān)管。將第一橋臂中a點(diǎn)與兩耦合電感公共端點(diǎn)d點(diǎn)連接，耦合電感Lb左端點(diǎn)b點(diǎn)和耦合電感Lc的右端點(diǎn)c點(diǎn)分別與第二、三橋臂相連接，則a點(diǎn)與d點(diǎn)之間的電壓即為單相九電平整流器拓?fù)漭斎攵穗妷簎ad。
1.2 單相九電平整流器工作原理
根據(jù)圖1中電壓和電流的關(guān)系，可以得到兩耦合電感上面的電壓：
（M+Lσ）dibdt－Mdicdt=ubn－udn；
（M+Lσ）dicdt－Mdibdt=ucn－udn。（1）
式中：Lσ為耦合電感的漏感；M為耦合電感互感；ubn、udn、ucn分別為b點(diǎn)、d點(diǎn)和c點(diǎn)與參考點(diǎn)n之間的電壓。
由基爾霍夫電流定律有
ib+ic=is。（2）
將式（1）代入式（2），可得
udn=12（ubn+ucn+Lσdisdt）。（3）
忽略漏感，根據(jù)式（3）可得輸入電壓uad為
uad=uan－udn=uan－ubn+ucn2。（4）
該整流器拓?fù)溆?個(gè)橋臂，左起第1個(gè)橋臂的2個(gè)開關(guān)管為互補(bǔ)導(dǎo)通工作，只有2種開關(guān)狀態(tài)。第二、三橋臂上下4個(gè)開關(guān)管中的第1個(gè)開關(guān)管與第3個(gè)開關(guān)管、第2個(gè)開關(guān)管與第4個(gè)開關(guān)管為互補(bǔ)導(dǎo)通的工作方式，有3種開關(guān)狀態(tài)。令T1、T2、T3分別表示第一、二、三橋臂的開關(guān)狀態(tài)，則邏輯開關(guān)函數(shù)可表示為：
T1=1，S1導(dǎo)通，S2斷開；－1，S2導(dǎo)通，S1斷開。（5）
T2=1，S3、S4導(dǎo)通，S5、S6斷開；0，S4、S5導(dǎo)通，S3、S6斷開；
－1，S5、S6導(dǎo)通，S3、S4斷開。（6）
T3=1，S7、S8導(dǎo)通，S9、S10斷開；
0，S8、S9導(dǎo)通，S7、S10斷開；
－1，S9、S10導(dǎo)通，S7、S8斷開。（7）
將式（5）～式（7）代入式（4）可得：
S=T1－（T2+T3）/2；
uad=SUdc/2。（8）
式中S表示開關(guān)函數(shù)。
若整流器器件處于理想狀態(tài)，忽略整流器損耗，根據(jù)功率守恒可得：
uadis=u1i1－u2i2；
u1=u2=Udc/2。（9）
將式（8）代入式（9）中，可得
i1－i2=Sis。（10）
由上述分析可得出整流器正負(fù)半周期內(nèi)開關(guān)狀態(tài)與各電壓之間的關(guān)系，如表1所示。
表1中，由于整流器在（1 1 -1）、（1 -1 1）、（0 1 -1）、（1 -1 1）這4種開關(guān)狀態(tài)工作時(shí)，耦合電感上電壓最大，導(dǎo)致基波含量最大。在滿足整流器輸入端電壓uad九電平的前提下，耦合電感上的電流越小越好，所以這幾種開關(guān)狀態(tài)一般在調(diào)制中不做選擇。
1.3 電容電壓自均衡分析
由于正半周期和負(fù)半周期的對(duì)稱關(guān)系，直流側(cè)電容C1兩端的電壓u1在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞增，在網(wǎng)側(cè)輸入電流負(fù)半周期內(nèi)遞減；電容C2兩端的電壓u2在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞減，在網(wǎng)側(cè)輸入電流負(fù)半周期內(nèi)遞增，且增減的速率保持一致，即電容C1和電容C2充電和放電的速率一致。一個(gè)基波周期內(nèi)，電容C1和電容C2在正半周期和負(fù)半周期交替進(jìn)行充放電并且給負(fù)載供能。若兩電容充放電時(shí)長(zhǎng)一樣，那么兩電容電荷變化量也一致。所以電容C1和電容C2兩端的的電壓在1個(gè)周期內(nèi)能夠達(dá)到平衡。圖1所示的單相九電平整流器中直流母線兩支撐電容C1、C2上的電壓u1、u2有自均衡的效果，不需要額外的中點(diǎn)電壓平衡控制。
1.4 數(shù)學(xué)建模
忽略內(nèi)阻，取C1=C2=C，由圖1電路根據(jù)電路定理可得：
Lsdisdt=us－uad；
Cd（u1+u2）dt=i1－i2－2UdcR。（11）
由于單相系統(tǒng)無法進(jìn)行坐標(biāo)變換，需要構(gòu)造虛擬正交信號(hào)，利用構(gòu)造的正交虛擬電壓、電流信號(hào)分別與實(shí)際的電壓、電流值疊加之后即是交流側(cè)電壓、電流矢量us和is。本文選用原理簡(jiǎn)單且動(dòng)態(tài)性能好的二階廣義積分（second-order generalized integral，SOGI）算法[21]來構(gòu)造虛擬正交電壓、電流信號(hào)。
經(jīng)過αβ/dq坐標(biāo)變換，得到網(wǎng)側(cè)電壓us和網(wǎng)側(cè)電流is以及輸入端電壓uad在dq坐標(biāo)系下的表達(dá)式為：
us=usdcos（ωt）－usqsin（ωt）；
is=idcos（ωt）－iqsin（ωt）；
uad=udcos（ωt）－uqsin（ωt）。（12）
結(jié)合式（10）～式（12），可以得到整流器在dq坐標(biāo)系下的動(dòng)態(tài)方程為：
Lsdiddt=usd－ud+ωLiq；
Lsdiqdt=usq－uq+ωLid；
Cd（u1+u2）dt=（Sdid+Sqiq）－2UdcR。（13）
式中：usd、usq分別為網(wǎng)側(cè)電壓在dq坐標(biāo)系下的分量；ud、uq、id、iq分別為整流器輸入端電壓、輸入端電流在dq坐標(biāo)系下的變量。
2 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)
2.1 整數(shù)階滑模設(shè)計(jì)
傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂撇呗缘暮诵乃枷胧峭ㄟ^調(diào)節(jié)控制律使系統(tǒng)狀態(tài)迅速收束到所設(shè)定的滑模面，并沿滑模面按照預(yù)定運(yùn)動(dòng)軌跡做滑動(dòng)模態(tài)運(yùn)動(dòng)從而實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)誤差在有限時(shí)間內(nèi)的最小化。在本文中，為改善直流側(cè)輸出電壓的動(dòng)態(tài)性能，將滑?？刂扑惴☉?yīng)用于電壓環(huán)的控制當(dāng)中。
令e（t）表示參考電壓與實(shí)際電壓的誤差項(xiàng)，其表達(dá)式為
e（t）=U*dc－Udc。（14）
為減小系統(tǒng)抖振，可設(shè)計(jì)整數(shù)階滑模面為
s1=e（t）+k1e·（t）。（15）
對(duì)式（15）求導(dǎo)，并將Udc=u1+u2代入式（13）可得
s·1（t）=－dUdcdt+k1e··（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（16）
為了使整流器直流側(cè)電壓狀態(tài)變量能夠平滑的進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)，本文選用冪次趨近律進(jìn)行設(shè)計(jì)。即
s·1（t）=－k|s1（t）|αsgns1（t）。（17）
式中：sgn（x）=－1，xlt;00，x=01，xgt;0；k、α為趨近律的系數(shù)，k gt;0，0lt;αlt;1。
結(jié)合式（16）、式（17）可得
－k|s1（t）|αsgns1（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k1e··（t）。（18）
當(dāng)系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)有did/dt=diq/dt=0，iq=0，usq=0，同時(shí)ud=SdUdc/2，uq=SqUdc/2，代入式（13）中可得：
Sd=2usdUdc；
Sq=2ωLidUdc。（19）
將式（19）代入式（18）中，可以得到內(nèi)環(huán)電流的參考值為
i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s1（t）|αsgns1（t）+k1CUdc2usde··（t）。（20）
2.2 分?jǐn)?shù)階滑模設(shè)計(jì)
2.2.1 分?jǐn)?shù)階微積分
分?jǐn)?shù)階微積分即是將經(jīng)典微積分理論拓展到整數(shù)階以外的階次，所以相較于整數(shù)階微積分具有更加普遍的意義。而今的控制系統(tǒng)領(lǐng)域中應(yīng)用最廣泛的3種分?jǐn)?shù)階微積分定義為Riemann-Liouville（RL）型、Grunwald-Letnikov（GL）型、Caputo型。本文引入RL型分?jǐn)?shù)階微積分設(shè)計(jì)FOSMC算法，其積分和微分的表達(dá)式為：
aD－λtf（t）=1Γ（λ）∫ta（t－τ）λ－1f（τ）dτ;（21）
aDλtf（t）=Dn［aD－σtf（t）］=
1Γ（σ）dndtn［∫ta（t－τ）σ－1f（τ）dτ］。（22）
式中：aD-λt表示分?jǐn)?shù)階微積分算子，λ是分?jǐn)?shù)階次且λgt;0，a、t是算子最大、最小值；σ= n-λ，n是比λ大的最小整數(shù)；Γ（λ）是伽瑪函數(shù)，其定義式為
Γ（λ）=∫∞0e－tτλ－1dτ。（23）
定理1：設(shè)n為自然數(shù)m-1lt;μlt;m，且μ≠ngt;0，f（t）存在r（r=max{m，n}）階導(dǎo)數(shù)，則有
Dn［aDμtf（t）］=aDn+μtf（t）。（24）
定理2：RL型分?jǐn)?shù)階微積分的Laplace變換為：
L［0Dλtf（t）］=sλF（s）－∑n－1j=0［0Dλ－j－1tf（t）］t=0sj;
L［0D－λtf（t）］=s－λF（s）。（25）
式中n-1lt;λ≤n。
定理3：設(shè)α、βgt;0，Mittag-Leffler函數(shù)Eα，β（x）=∑∞k=0［xk/Γ（αk+β）］的Laplace變換為
∫∞0e－sttαk+β－1E（k）α，β（±atα）dt=k！sα－β（sαa）k+1。（26）
2.2.2 分?jǐn)?shù)階滑模控制策略實(shí)現(xiàn)
針對(duì)整數(shù)階滑?？刂浦惺諗克俣嚷约按嬖诔{(diào)現(xiàn)象的問題，考慮在傳統(tǒng)滑?？刂扑惴ㄖ幸敕?jǐn)?shù)階微積分。通過分?jǐn)?shù)階微積分算子增加的自由度改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力，同時(shí)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的高精度控制?？芍匦略O(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模面s2為
s2（t）=e（t）+k2aDλte（t）。（27）
對(duì)式（27）求導(dǎo)得到
s·2（t）=e·（t）+k2D1［aDλte（t）］。（28）
根據(jù)RL型微積分定理1可得
s·2（t）=e·（t）+k2aDλ+1te（t）。（29）
選用冪次趨近律并結(jié)合式（13）、式（29）可得
－k|s2（t）|αsgns2（t）=2UdcCR－Sdid+SqiqC+k2aDλ+1te（t）。（30）
將式（19）代入式（30）中，可以得到內(nèi)環(huán)電流的參考值為
i*d=U2dcRusd+kCUdc2usd|s2（t）|αsgns2（t）+k2CUdc2usdaDλ+1te（t）。（31）
3 穩(wěn)定性和系統(tǒng)收斂速度分析
3.1 穩(wěn)定性分析
為分析所提FOSMC策略的穩(wěn)定性和收斂性，構(gòu)造正定Lyapunov函數(shù)如下：
V=12STS。（32）
對(duì)其求時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為
V·=dVdt=s2（t）s·2（t）=
s2（t）［e·（t）+k10Dλ+1te（t）］=s2（t）［－k10Dλ+1te（t）－k|s2（t）|αsgns2（t）+k10Dλ+1te（t）］=
s2（t）［－k|s2（t）|αsgns2（t）］=
－k|s2|α+1lt;0。（33）
根據(jù)式（33）可以看出，V·lt;0，即V·是負(fù)定的。由Lyapunov穩(wěn)定性判據(jù)可知，受控系統(tǒng)是穩(wěn)定且收斂的，系統(tǒng)狀態(tài)變量能夠收斂至分?jǐn)?shù)階滑模面上。
3.2 系統(tǒng)收斂速度分析
若系統(tǒng)的誤差項(xiàng)到達(dá)滑模面所需的時(shí)間為tr，則s（tr）=0，由定理2對(duì)其進(jìn)行Laplace變換，可得
E（s）+k2sλE（s）－k2e（t）t=tr=0。（34）
式中：E（s）為誤差項(xiàng)e（t）在復(fù)頻域的表達(dá)式；e（t）t=tr代表系統(tǒng)到達(dá)滑模面的起始誤差。由式（34）可得E（s）的表達(dá)式為
E（s）=e（t）t=trsλ+1k2。（35）
由定理3可知，在分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡拢到y(tǒng)誤差在時(shí)域內(nèi)可表示為
e（t）=e（t）t=trEλ，λ［－（t－tr）λk2］。（36）
當(dāng)λ=1時(shí)（整數(shù)階滑模），系統(tǒng)誤差在時(shí)域內(nèi)可表示為
e0（t）=e（t）t=tre－t－trk2。（37）
根據(jù)式（37）可以看出，當(dāng)采用整數(shù)階滑?？刂茣r(shí)，若滑模面的參數(shù)一旦被確定后，則整個(gè)系統(tǒng)的收斂速度也是確定唯一的，已不可調(diào)整。而當(dāng)采用分?jǐn)?shù)階滑?？刂茣r(shí)，由式（36）可知，滑模面的參數(shù)被確定之后，仍可通過調(diào)節(jié)分?jǐn)?shù)階微積分算子λ調(diào)節(jié)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。所以，分?jǐn)?shù)階滑?？刂仆ㄟ^引入分?jǐn)?shù)階微積分算子增加了控制系統(tǒng)的自由度，使傳統(tǒng)整數(shù)階滑模具備了更加靈活的調(diào)節(jié)性能，為提高系統(tǒng)的收斂速度創(chuàng)造了條件。為了更加清晰地比較整數(shù)階和分?jǐn)?shù)階滑?？刂葡孪到y(tǒng)狀態(tài)的收斂速度，圖2展示了時(shí)域誤差e0（t）與e（t）取不同階次時(shí)的函數(shù)曲線。根據(jù)圖2可以看出，相同條件下，分?jǐn)?shù)階滑模收斂速度明顯快于整數(shù)階滑模，動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力更加優(yōu)異，且其收斂速度隨階次（λ）減小而加快。
3.3 分?jǐn)?shù)階次（λ）的整定
根據(jù)式（31）可知，分?jǐn)?shù)階滑模控制器參數(shù)有k、k2、α、λ，相比整數(shù)階滑?？刂破鞫嗔?個(gè)可調(diào)參數(shù)λ。其中k是滑模面切換增益，若取值太大會(huì)加劇抖振，太小會(huì)影響控制器精度。k2、α影響系統(tǒng)進(jìn)入滑模面的速度。圖3給出了控制器參數(shù)λ的整定流程圖，首先調(diào)節(jié)k、k2、α三個(gè)參數(shù)與整數(shù)階滑?？刂破鲄?shù)保持一致，在此基礎(chǔ)上進(jìn)而調(diào)整階次λ直至整流器系統(tǒng)收斂速度和控制精度達(dá)到最優(yōu)，以此來彌補(bǔ)整數(shù)階滑模運(yùn)用到九電平拓?fù)浯嬖诘娜毕?。本文中分?jǐn)?shù)階微積分算子的計(jì)算采取Oustaloup濾波器擬合方法實(shí)現(xiàn)，該方法通過配置整數(shù)階傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)從而實(shí)現(xiàn)對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分算子的全局逼近，實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且逼近精度高。
為了方便配置整數(shù)階傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)，分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)的階次一般選取為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，所以只需采用Oustaloup濾波器擬合方法近似九組分?jǐn)?shù)階傳遞函數(shù)，選出使系統(tǒng)控制性能達(dá)到最優(yōu)的階次即可，即本文分?jǐn)?shù)階次整定工作最多重復(fù)9次。最終的控制器參數(shù)為：k=30、k2=8、α=1、λ=0.3。
3.4 九電平整流器分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ǖ膶?shí)現(xiàn)
圖4是九電平整流器采用分?jǐn)?shù)階滑模控制的實(shí)現(xiàn)框圖。首先，根據(jù)直流側(cè)電壓參考值與實(shí)際值的誤差形成輸入分?jǐn)?shù)階滑模控制的狀態(tài)變量，計(jì)算出滑模面s2，然后根據(jù)式（31）計(jì)算得到dq坐標(biāo)軸下內(nèi)環(huán)電流的參考值i*d，并結(jié)合內(nèi)環(huán)控制輸出控制信號(hào)，最后將控制信號(hào)反變換后送到空間矢量調(diào)制模塊，經(jīng)調(diào)制后的觸發(fā)信號(hào)送至各開關(guān)管實(shí)現(xiàn)對(duì)整流器的控制。
4 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析
4.1 仿真分析
為驗(yàn)證所提FOSMC策略的正確性及其控制性能，在仿真軟件上搭建了基于單相九電平整流器的PI算法、IOSMC算法以及FOSMC算法。針對(duì)3種控制策略下的整流器的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行對(duì)比研究。其中各模塊的仿真參數(shù)如表2所示。
圖5為施加FOSMC算法下的九電平整流器的穩(wěn)態(tài)仿真波形。圖5（a）為輸入端電壓uad的仿真波形，可以看出為九電平，且與上文所分析產(chǎn)生九電平的原理相對(duì)應(yīng)。圖5（b）是FOSMC算法控制下直流側(cè)電壓Udc和上下電容電壓u1、u2的仿真波形，可以看出，直流側(cè)電容C1兩端電壓u1在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞增，在負(fù)半周期內(nèi)遞減；電容C2兩端電壓u2在網(wǎng)側(cè)輸入電流正半周期內(nèi)遞減，在負(fù)半周期內(nèi)遞增，且兩電容電壓u1、u2有效值均為直流側(cè)電壓Udc的一半，單相九電平整流器能夠?qū)崿F(xiàn)電容電壓自均衡。
圖6是分別采用PI、IOSMC以及FOSMC 3種不同控制算法下的輸出電壓仿真波形。圖6（a）為3種控制算法的直流側(cè)啟動(dòng)時(shí)電壓對(duì)比波形，可以看出，3種控制策略下，直流側(cè)電壓最終都穩(wěn)定在給定值，但是分?jǐn)?shù)階滑模控制算法相比于其他2種算法，收斂至穩(wěn)態(tài)所需時(shí)間最短，沒有起動(dòng)超調(diào)，既保證了系統(tǒng)的快速起動(dòng)，又能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的高精度跟蹤。圖6（b）是給定電壓突增時(shí)的輸出電壓波形，可以看出，給定值突變后，PI和IOSMC算法都要經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間重新跟蹤上給定值，而FOSMC算法很快就能夠跟蹤上給定值，使系統(tǒng)重新恢復(fù)穩(wěn)定。圖6（c）是直流側(cè)負(fù)載突變時(shí)的輸出電壓波形，可以看出，相比于PI算法和IOSMC算法，F(xiàn)OSMC算法下直流側(cè)電壓波動(dòng)最小，對(duì)外部干擾不敏感，魯棒性最強(qiáng)。
圖7是3種控制算法下網(wǎng)側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流波形，可以看出，PI、IOSMC、FOSMC 3種算法下整流器網(wǎng)側(cè)和網(wǎng)側(cè)電流相位差均為0，即整流器都能夠?qū)崿F(xiàn)單位功率因數(shù)運(yùn)行。
圖8是3種控制算法下網(wǎng)側(cè)輸入電流的快速傅里葉分析（FFT）結(jié)果圖，可以看出，PI控制下整流器輸入端電流的總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）為2.95%，IOSMC的THD為2.90%，F(xiàn)OSMC的THD為2.87%。相比于其他2種算法，F(xiàn)OSMC算法下整流器的網(wǎng)側(cè)電流總諧波畸變率最小。
4.2 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證
為了更加深入驗(yàn)證所提算法的有效性和可行性，搭建了DSP+RT-LAB的半實(shí)物平臺(tái)，對(duì)PI算法、傳統(tǒng)整數(shù)階滑模算法和本文所提分?jǐn)?shù)階滑模算法這3種控制算法的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比。其中，DSP采用TI公司的TMS320F28335，RT-LAB由上位機(jī)、運(yùn)算單元、模擬板和數(shù)字模塊組成，如圖9所示。實(shí)驗(yàn)中主電路各模塊參數(shù)選擇與仿真一致，詳見表2。
圖10給出了在電網(wǎng)電壓存在5%的3次諧波和5%的5次諧波工況下3種控制算法的實(shí)驗(yàn)波形?？梢钥闯?，3種控制算法在電網(wǎng)電壓含有低次諧波工況下都能夠?qū)崿F(xiàn)單位功率因數(shù)運(yùn)行，但FOSMC算法相較于PI算法和IOSMC算法網(wǎng)側(cè)電流畸變程度更小，且正弦度最高，穩(wěn)態(tài)性能更加優(yōu)秀。
圖11給出了在電網(wǎng)電壓跌落工況下的實(shí)驗(yàn)波形，電壓源幅值由311 V突降為255 V。由圖可知，3種控制算法在電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓Udc都會(huì)產(chǎn)生一定的電壓波動(dòng)，網(wǎng)側(cè)電流is需要逐漸增大以補(bǔ)償電網(wǎng)電壓突降對(duì)直流側(cè)功率產(chǎn)生的影響。但是圖11（a）中PI算法下在電網(wǎng)電壓跌落后需要經(jīng)過88 ms才能夠重新穩(wěn)定，網(wǎng)側(cè)電流也需要同樣時(shí)間過渡到穩(wěn)態(tài)，用時(shí)較長(zhǎng)且直流側(cè)電壓具有較大的波動(dòng)。圖11（b）中IOSMC算法下在電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流都需要30 ms重新恢復(fù)到穩(wěn)定狀態(tài)，相比PI算法控制時(shí)間有所改善，但是仍然存在較大電壓波動(dòng)。圖11（c）中當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，電網(wǎng)電壓跌落后直流側(cè)電壓僅需要7 ms就能夠重新穩(wěn)定下來，同時(shí)網(wǎng)側(cè)電流幾乎不需要過渡過程就穩(wěn)定下來，且直流側(cè)電壓無明顯波動(dòng)。綜上所述，分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ㄔ诜抢硐牍r下相比于其他2種算法具有更加優(yōu)越的控制性能。
圖12給出了給定電壓由500 V突增到550 V時(shí)的3種控制算法下的直流側(cè)電壓Udc和網(wǎng)側(cè)電流is變化情況?？梢钥闯?種控制策略都能夠使直流側(cè)電壓重新跟蹤上給定值，網(wǎng)側(cè)電流也重新恢復(fù)穩(wěn)定。但是由圖12（a）可以看出，PI控制時(shí)直流側(cè)電壓和網(wǎng)側(cè)電流大約需要110 ms才能夠重新達(dá)到給定值，相較于另外2種算法，用時(shí)最長(zhǎng)。由圖12（b）可以看出，施加IOSMC算法時(shí)直流側(cè)約需60 ms重新達(dá)到給定值，網(wǎng)側(cè)電流約55 ms穩(wěn)定下來，恢復(fù)時(shí)間較長(zhǎng)。而圖12（c）中，當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，僅需約28 ms直流側(cè)電壓就能夠重新達(dá)到給定值，網(wǎng)側(cè)電流也能夠重新恢復(fù)穩(wěn)定，所需時(shí)間最短。所以相較于其他2種算法，分?jǐn)?shù)階滑?？刂扑惴ň哂懈觾?yōu)越的動(dòng)態(tài)性能。
圖13給出了直流側(cè)負(fù)載突變時(shí)3種控制算法下的直流側(cè)電壓Udc和網(wǎng)側(cè)電流is變化曲線圖，負(fù)載由40 Ω突變?yōu)?0 Ω?？梢钥闯?，圖13（a）中PI控制時(shí)直流側(cè)電壓需要約140 ms才能重新跟蹤給定電壓，且存在很大的電壓波動(dòng)，電流也需要相同的時(shí)間過渡到穩(wěn)態(tài)；由圖13（b）可以看出IOSMC控制時(shí)直流側(cè)電壓重新達(dá)到給定值約需45 ms，電壓波動(dòng)有所減小，電流過渡到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間也相應(yīng)減少，但仍不理想；從圖13（c）中可以看出當(dāng)采用FOSMC算法時(shí)，直流側(cè)電壓重新回到給定值僅需約8 ms，基本沒有電壓波動(dòng)，網(wǎng)側(cè)電流幾乎無需過渡時(shí)間就能夠重新穩(wěn)定。所以，相較于其他2種算法，分?jǐn)?shù)階滑模算法擁有更快的收斂速度，且抗干擾能力更強(qiáng)。
圖14給出了突加負(fù)載擾動(dòng)時(shí)整數(shù)階滑模面和分?jǐn)?shù)階滑模面s值的變化曲線。通過對(duì)比可知，圖14（a）中采用IOSMC算法時(shí)，在受到擾動(dòng)時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面的程度更大，且重新收束到滑模面需要更長(zhǎng)的時(shí)間。而圖14（b）中采用FOSMC算法時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)幾乎一直沿著滑模面運(yùn)動(dòng)，對(duì)參數(shù)攝動(dòng)性更小，收斂速度更快，魯棒性更強(qiáng)。
5 結(jié) 論
本文以一種含耦合電感的單相九電平整流器為研究對(duì)象，針對(duì)傳統(tǒng)整數(shù)階滑?？刂茟?yīng)用于此拓?fù)浯嬖诘膯栴}，詳細(xì)研究了一種分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗裕?yīng)用到整流器的控制系統(tǒng)中，得到如下結(jié)論：
1）通過引入分?jǐn)?shù)階微積分算子可以增加整流器控制系統(tǒng)的自由度，使滑?？刂凭邆涓屿`活的調(diào)節(jié)性能，為提高整流器系統(tǒng)的控制性能創(chuàng)造條件。
2）分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗韵啾扔谡麛?shù)階滑模控制和比例積分控制，響應(yīng)時(shí)間更短，系統(tǒng)收斂速度更快。同時(shí)解決了整數(shù)階滑模在整流器控制中存在的超調(diào)過大問題，實(shí)現(xiàn)了高精度控制。此外，分?jǐn)?shù)階滑?？刂撇呗栽诙喾N工況下都能夠快速跟蹤給定值使系統(tǒng)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)，抗干擾能力強(qiáng)，有力地增強(qiáng)了系統(tǒng)對(duì)參數(shù)攝動(dòng)的魯棒性。
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（編輯：劉琳琳）
