摘 要：針對(duì)傳統(tǒng)值解析法、有限元等作為分析模型進(jìn)行電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，存在建模難度大、時(shí)間成本高的問(wèn)題，提出一種基于代理模型的電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)框架，該框架由遺傳算法優(yōu)化的極限學(xué)習(xí)機(jī)（GA-ELM）以及多目標(biāo)粒子群優(yōu)化（MOPSO）算法組成，并用于一臺(tái)永磁直線同步電機(jī)（PMLSM）的結(jié)構(gòu)優(yōu)化?；趩巫兞繏呙?、主效應(yīng)分析以及試驗(yàn)設(shè)計(jì)（DOE）的方法建立了模型訓(xùn)練樣本庫(kù)，在保證樣本質(zhì)量的同時(shí)降低了樣本容量、節(jié)約了建模時(shí)間；采用GA-ELM搭建了電機(jī)的代理模型，進(jìn)一步提高了原模型精度；基于MOPSO優(yōu)化算法引入擾亂子完成對(duì)模型的多目標(biāo)尋優(yōu)，獲得了三維Pareto最優(yōu)前沿解集。最后依據(jù)優(yōu)化結(jié)果加工樣機(jī)，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該優(yōu)化設(shè)計(jì)框架所得優(yōu)化結(jié)果的正確性，且結(jié)果表明優(yōu)化后的電機(jī)平均推力提高了11.19%，推力波動(dòng)降低了21.95%。

關(guān)鍵詞：永磁直線同步電機(jī)；優(yōu)化設(shè)計(jì)框架；多目標(biāo)優(yōu)化；代理模型；極限學(xué)習(xí)機(jī)；多目標(biāo)粒子群優(yōu)化

DOI：10.15938/j.emc.2024.11.013

中圖分類號(hào)：TM359.4

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1007-449X（2024）11-0139-12

Multi-objective optimization of permanent magnet linear synchronous motor based on surrogate model

XU Xiaozhuo， GUO Guobin， FENG Haichao， DU Baoyu， ZHAO Yunji

（School of Engineering and Automation， Henan Polytechnic University， Jiaozuo 454003， China）

Abstract：Aiming at the problems of difficult modeling and high time cost in traditional multi-objective optimization design of motors with analysis method and finite element as analysis models， a motor optimization design framework based on surrogate model was proposed. The framework consists of a genetic algorithm extreme learning machine （GA-ELM） and a multiple objective particle swarm optimization （MOPSO） and is used for structural optimization of a permanent magnet linear synchronous motor （PMLSM）. Based on univariate scanning， main effect analysis and design of experiment （DOE）， a model training sample library was established， which reduces the sample size and saves the modeling time while ensuring the sample quality; The surrogate model built using GA-ELM further improves the accuracy of the original model. Using MOPSO as an optimization algorithm， a multi-objective optimization of the model was conducted， and a three-dimensional Pareto optimal frontier solution set was obtained. Finally， the prototype was processed according to the optimization results. The experiment verifies the correctness of the optimization results obtained by the optimization design framework. The results show that the average thrust of the optimized motor is increased by 11.19%， and the thrust ripple is reduced by 21.95%.

Keywords：permanent magnet linear synchronous motor; framework for motor optimization design; multi-objective optimization; surrogate model; extreme learning machine; multiple objective particle swarm optimization

0 引 言

由直線電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)的直驅(qū)無(wú)繩提升系統(tǒng)，能夠?qū)崿F(xiàn)無(wú)配重、無(wú)提升高度限制、無(wú)提升速度限制、無(wú)中間傳動(dòng)機(jī)構(gòu)、無(wú)曳引鋼繩的“五無(wú)”提升模式，永磁直線同步電機(jī)（permanent magnet linear synchronous motor， PMLSM）具有推力密度大、響應(yīng)速度快、加工裝配簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，使得PMLSM驅(qū)動(dòng)的無(wú)繩提升系統(tǒng)在近年來(lái)得到了快速發(fā)展^[1-]。

隨著直驅(qū)無(wú)繩提升系統(tǒng)對(duì)電機(jī)成本、推力密度等要求的不斷提高，高性能PMLSM的設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)也變得復(fù)雜多樣，在進(jìn)行電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，復(fù)雜的電機(jī)結(jié)構(gòu)一方面增加了精確解析模型的建模難度；另一方面大量的結(jié)構(gòu)參數(shù)使得有限元計(jì)算時(shí)間成本激增，導(dǎo)致傳統(tǒng)的基于解析法、有限元等作為分析模型進(jìn)行的多目標(biāo)優(yōu)化變得困難^[4-6]。因此，如何在降低優(yōu)化模型建模難度的同時(shí)提高電機(jī)優(yōu)化效率已成為電機(jī)設(shè)計(jì)領(lǐng)域關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題^[7-9]。

文獻(xiàn)[10]利用響應(yīng)面建立了管狀直線感應(yīng)電機(jī)關(guān)于電機(jī)重量和推力的解析模型，并采用遺傳算法作為搜索工具對(duì)該電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，極大地縮短了電機(jī)優(yōu)化周期。文獻(xiàn)[11]將反向傳播（back propagation，BP）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入到電機(jī)機(jī)殼拉伸成型質(zhì)量的預(yù)測(cè)代理模型中，結(jié)合電機(jī)殼體拉伸成形實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該代理模型的精度。文獻(xiàn)[12]為了進(jìn)一步提高BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的建模效率，提出了一種基于數(shù)據(jù)預(yù)處理的建模方法，與傳統(tǒng)BP網(wǎng)絡(luò)相比有效減少了網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)量、增強(qiáng)了網(wǎng)絡(luò)泛化能力，但在訓(xùn)練過(guò)程中仍需不斷反向調(diào)整網(wǎng)絡(luò)權(quán)值和閾值。文獻(xiàn)[1]提出了基于Kriging代理模型的考慮精度和計(jì)算時(shí)間的兩步優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。通過(guò)所提出的流程設(shè)計(jì)的超高速表貼永磁同步電機(jī)與初始模型相比，在滿足電氣規(guī)格的同時(shí)，減小了尺寸，提高了效率。文獻(xiàn)[14]基于深度學(xué)習(xí)算法并以純數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的方式構(gòu)建了永磁同步電機(jī)的溫度預(yù)測(cè)模型，數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)極大地降低了模型的構(gòu)造難度，但是，更多的數(shù)據(jù)需求無(wú)疑增加了前期建模成本。

ELM由于良好的學(xué)習(xí)能力，近年來(lái)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，對(duì)模型的研究主要集中在改進(jìn)算法本身、拓展ELM應(yīng)用領(lǐng)域兩方面，前者包括自適應(yīng)差分進(jìn)化極限學(xué)習(xí)機(jī)（SaDE-ELM）、粒子群優(yōu)化的極限學(xué)習(xí)機(jī)（PSO-ELM）、卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)極限學(xué)習(xí)機(jī)（CNN-ELM）等^[15-17]，后者極限學(xué)習(xí)機(jī)的應(yīng)用大多使用其分類功能^[18]，利用其預(yù)測(cè)功能應(yīng)用于工程問(wèn)題的實(shí)例較少，多集中于流量、速度、效率、壽命等方面的預(yù)測(cè)。

對(duì)于電氣工程領(lǐng)域，尤其是電機(jī)設(shè)計(jì)中，怎樣利用ELM的預(yù)測(cè)功能，建立較為準(zhǔn)確、快速、便捷的代理模型，完成對(duì)電機(jī)的應(yīng)力分析、溫度預(yù)測(cè)、多目標(biāo)優(yōu)化等工作，具有很大的研究空間。文獻(xiàn)[19]對(duì)一臺(tái)變壓器的雜質(zhì)損耗進(jìn)行了研究，并在此基礎(chǔ)上加裝了磁屏蔽結(jié)構(gòu)，最后基于ELM以及PSO算法，以總損耗為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)該結(jié)構(gòu)的兩個(gè)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行了單目標(biāo)優(yōu)化，優(yōu)化后屏蔽結(jié)構(gòu)的性能指標(biāo)得到提高，但研究?jī)?nèi)容多集中在損耗的分析及抑制上，且工程設(shè)計(jì)中多為多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題。在電機(jī)多目標(biāo)優(yōu)化中，文獻(xiàn)[20]采用了ELM來(lái)建立電機(jī)的優(yōu)化模型，并基于灰狼算法完成了一臺(tái)PMLSM的優(yōu)化，結(jié)果表明ELM具有比SVM更高的精度且得到了電機(jī)最佳的優(yōu)化參數(shù)，盡管構(gòu)建樣本庫(kù)時(shí)有限元采用2D進(jìn)行求解，但是全因子的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法需要至少5⁴=625個(gè)樣本數(shù)據(jù)，造成樣本庫(kù)過(guò)于龐大，增加了建模時(shí)間成本。

為了進(jìn)一步探究ELM在電機(jī)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用，提高代理模型精度和泛化能力、降低建模時(shí)間成本和構(gòu)造難度，本文提出一種遺傳算法優(yōu)化的極限學(xué)習(xí)機(jī)（genetic algorithm extreme learning machine，GA-ELM）作為代理模型，多目標(biāo)粒子群優(yōu)化（multiple objective particle swarm optimization，MOPSO）作為優(yōu)化算法的電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)框架。首先，通過(guò)關(guān)鍵參數(shù)的選取、敏感性分析以及合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)（design of experiment，DOE）選擇來(lái)構(gòu)建模型訓(xùn)練樣本庫(kù)；其次，基于GA-ELM神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)搭建了三目標(biāo)代理模型，并基于MOPSO算法引入擾亂算子完成對(duì)代理模型的多目標(biāo)尋優(yōu)，將優(yōu)化前、后的數(shù)據(jù)、模型進(jìn)行對(duì)比；最后，制作樣機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

1 電機(jī)結(jié)構(gòu)與工作原理

1.1 電機(jī)結(jié)構(gòu)及參數(shù)定義

本文針對(duì)直驅(qū)無(wú)繩提升系統(tǒng)用的混合勵(lì)磁凸極直線同步電機(jī)（hybrid excited salient-pole linear synchronous motor，HES-LSM）開展多目標(biāo)優(yōu)化研究。其結(jié)構(gòu)如圖1所示，由雙邊初級(jí)和一個(gè)次級(jí)組成，初級(jí)由三相交流勵(lì)磁繞組和鐵心組成，交流繞組采用雙層分?jǐn)?shù)槽集中繞組結(jié)構(gòu)，次級(jí)繞組由永磁體、凸鐵和直流勵(lì)磁繞組組成。該結(jié)構(gòu)利用次級(jí)凸鐵作為電勵(lì)磁磁通路徑，通過(guò)直流勵(lì)磁調(diào)節(jié)雙邊氣隙均衡，實(shí)現(xiàn)電機(jī)無(wú)接觸運(yùn)行。表1和圖2給出了電機(jī)的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)。

1.2 工作原理

HES-LSM的運(yùn)行原理與傳統(tǒng)PMLSM相同，初級(jí)三相繞組通電后產(chǎn)生行波磁場(chǎng)與永磁磁場(chǎng)相互作用而產(chǎn)生推力，該電機(jī)的法向力調(diào)節(jié)功能通過(guò)混合勵(lì)磁結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)。為了便于闡明其運(yùn)行原理，忽略初次級(jí)鐵心磁阻和漏磁磁阻的影響，簡(jiǎn)化為線性等效磁路，分別對(duì)混合勵(lì)磁次級(jí)的永磁體和直流勵(lì)磁繞組兩個(gè)磁勢(shì)源進(jìn)行單獨(dú)分析，然后通過(guò)磁場(chǎng)疊加的方法獲得兩者共同作用時(shí)的磁場(chǎng)分布情況。

圖3所示依次為僅永磁勵(lì)磁，僅直流繞組勵(lì)磁，永磁和直流繞組共同勵(lì)磁時(shí)的主磁通路徑。次級(jí)永磁體磁勢(shì)源形成兩個(gè)并聯(lián)磁路，如圖3 （a）中實(shí)線1、2所示，其中每個(gè)分支主磁通從永磁體出發(fā)依次經(jīng)過(guò)單側(cè)初級(jí)鐵心、單側(cè)氣隙和次級(jí)兩個(gè)相鄰?fù)硅F，形成小循環(huán)磁通路徑。

圖3（b）虛線3所示為不考慮永磁體，僅有次級(jí)直流勵(lì)磁源作用時(shí)的直流勵(lì)磁磁路圖。直流勵(lì)磁磁通形成貫穿兩側(cè)初級(jí)鐵心和次級(jí)凸鐵的串聯(lián)磁路，該磁通不經(jīng)過(guò)永磁體本身，兩者僅在雙側(cè)氣隙中相互作用，永磁體無(wú)退磁風(fēng)險(xiǎn)。

圖3（c）為永磁體和直流勵(lì)磁共同作用時(shí)的磁路圖，此時(shí)，在上側(cè)氣隙中永磁磁場(chǎng)和直流勵(lì)磁磁場(chǎng)方向相同，上氣隙處于增磁狀態(tài)，下側(cè)氣隙中永磁磁場(chǎng)和直流勵(lì)磁磁場(chǎng)方向相反，下氣隙磁場(chǎng)處于去磁狀態(tài)，反之亦然。對(duì)于推力來(lái)說(shuō)，上初級(jí)的推力隨氣隙磁場(chǎng)增強(qiáng)而變大，下初級(jí)的推力隨氣隙磁場(chǎng)減弱而減小，二者作用方向相同，合力基本不變。

可見，次級(jí)直流勵(lì)磁對(duì)電機(jī)具有較好的磁場(chǎng)調(diào)節(jié)能力，能夠調(diào)節(jié)雙邊氣隙均衡而推力基本不變，為無(wú)接觸直驅(qū)無(wú)繩提升系統(tǒng)提供新的參考。

2 代理模型建模

關(guān)鍵參數(shù)的選取是高精度代理模型的前提，其中包括參數(shù)的遴選及敏感性分析；關(guān)鍵參數(shù)確定后，需要選擇合理的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)并結(jié)合有限元模型建立起訓(xùn)練樣本庫(kù)；最后依據(jù)GA-ELM建模流程構(gòu)建代理模型，引入MSE和R²來(lái)評(píng)價(jià)模型精度。

2.1 關(guān)鍵參數(shù)的選取及實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)的選擇

理論上，電機(jī)的任何一個(gè)尺寸參數(shù)都可以作為優(yōu)化設(shè)計(jì)的變量，但這顯然是不可能的，不僅消耗大量的人力、物力，而且優(yōu)化的計(jì)算成本是相當(dāng)巨大的，尤其是對(duì)于HES-LSM來(lái)說(shuō)，在優(yōu)化中不可能將眾多的設(shè)計(jì)參數(shù)都一一考慮。一般來(lái)說(shuō)，選取關(guān)鍵參數(shù)遵循以下原則：

1）所選關(guān)鍵參數(shù)對(duì)有優(yōu)化目標(biāo)和約束性能有較大的影響；

2）所選關(guān)鍵參數(shù)之間應(yīng)該互相獨(dú)立，且能夠確定其他參數(shù)；

3）所選關(guān)鍵參數(shù)不宜過(guò)多，否則影響優(yōu)化效率，延長(zhǎng)優(yōu)化周期。

為了保證優(yōu)化結(jié)果的有效性，保持初級(jí)齒距、次級(jí)極距、永磁體用量以及導(dǎo)線材料不變，該約束條件可表示為：

τp=Wt+Wc；

τs=Wsc+Wpm；

C=WpmHpmLaxial。 （1）

基于上述理論，主要結(jié)構(gòu)參數(shù)的初步選取見表2，并以平均推力 Favg 、推力波動(dòng)Frip 和推力密度Td做為優(yōu)化目標(biāo)。

平均推力定義為

Favg=∑Ni=1FiN。（2）

式中：Favg為平均推力；Fi為極距下得到的推力值；N為推力值的個(gè)數(shù)。

推力波動(dòng)定義為

Frip=Fmax－Fmin。（3）

式中Fmax、Fmin分別為電機(jī)穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)的推力最大值與最小值。

推力密度定義為

Td=FavgV。（4）

式中：Td、V分別為電機(jī)推力密度，電磁耦合體積。

合理的關(guān)鍵參數(shù)選擇、科學(xué)的設(shè)計(jì)空間定義是參數(shù)敏感性分析以及多目標(biāo)優(yōu)化的前提。為了獲得各參數(shù)相應(yīng)的設(shè)計(jì)空間，分別對(duì)其進(jìn)行單變量掃描，依據(jù)掃描結(jié)果，選取各參數(shù)對(duì)3個(gè)目標(biāo)影響較大的區(qū)域作為設(shè)計(jì)空間。掃描結(jié)果如圖4所示，關(guān)鍵參數(shù)的初始值和設(shè)計(jì)空間如表2所示。

試驗(yàn)設(shè)計(jì)包括全因子設(shè)計(jì)和部分因子設(shè)計(jì)，一方面，全因子設(shè)計(jì)會(huì)帶來(lái)巨大的計(jì)算成本；另一方面，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的特點(diǎn)又不得不要求樣本庫(kù)應(yīng)當(dāng)具備較好的均勻性?；诳臻g填充技術(shù)的最優(yōu)拉丁超立方（OLHD）實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)滿足投影特性，能夠?qū)崿F(xiàn)樣本點(diǎn)在設(shè)計(jì)變量空間內(nèi)每一維上的投影都是均勻分布的，即可以在降低樣本容量的同時(shí)保障樣本點(diǎn)的質(zhì)量。因此本文采用OLHD進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)，其所需最少樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為

ns=（nv+1）（nv+2）2。（5）

式中nv為設(shè)計(jì)空間的維數(shù)。

2.2 參數(shù)敏感性分析及樣本庫(kù)的建立

關(guān)鍵參數(shù)的設(shè)計(jì)空間確定后，采用OLHD進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行敏感性分析并建立模型訓(xùn)練樣本庫(kù)。根據(jù)式（5）可知，選取的6維變量進(jìn)行抽樣所需的最少樣本點(diǎn)數(shù)為28個(gè)，選取的部分樣本點(diǎn)如表3所示，其對(duì)應(yīng)的有限元計(jì)算結(jié)果見表4。其中，為了保證樣本的可信度，有限元模型采用統(tǒng)一建模原則，包括：各有限元模型的網(wǎng)格采用相同剖分原則、相同的電流驅(qū)動(dòng)源以及相同的邊界條件等。

各響應(yīng)的主效應(yīng)圖如圖5所示，圖中通過(guò)斜率的大小和正負(fù)分別反映了各因子對(duì)各響應(yīng)的貢獻(xiàn)排序和正、反效應(yīng)之分，為便于直觀分辨各因子對(duì)每個(gè)響應(yīng)的影響程度，基于極差分析原理，以百分比的形式制于圖6。

結(jié)合圖5、圖6可知，盡管直流繞組的高、寬對(duì)三個(gè)目標(biāo)會(huì)產(chǎn)生一定程度的影響，但總體而言對(duì)模型貢獻(xiàn)度占比較小，因此，確定最終優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)為：初級(jí)齒高Ht、初級(jí)軛高Hy、永磁寬Wpm、初級(jí)齒寬Wt。隨后更新關(guān)鍵參數(shù)并建立訓(xùn)練樣本庫(kù)如表5所示。

2.3 GA-ELM代理模型的構(gòu)建

ELM隨機(jī)產(chǎn)生輸入層與隱含層間的連接權(quán)值（IW）及隱含層神經(jīng)元的閾值（B），且在訓(xùn)練過(guò)程中無(wú)需調(diào)整，只需設(shè)置隱含層神經(jīng)元的個(gè)數(shù)，便可獲得唯一的最優(yōu)解，相比傳統(tǒng)的BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，沒有負(fù)反饋多層迭代的大量數(shù)學(xué)計(jì)算，極大地減少了算法運(yùn)算時(shí)間的同時(shí)又滿足了隱藏層進(jìn)行非線性運(yùn)算的需求。由于IW和B是隨機(jī)產(chǎn)生的且取值直接決定了ELM模型的精確度，所以本文采用遺傳算法（GA）對(duì)IW和B進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化流程圖如圖7所示。

采用均方正則誤差（MSE）以及決定系數(shù)（R²）來(lái)描述模型預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間得差異，進(jìn)而間接驗(yàn)證模型得精度。MSE如下式所示，其值越小說(shuō)明預(yù)測(cè)模型擬合效果更好：

MSE=1n∑ni=1（yi－y^i）2，∈［0，+∞）。（6）

R²如下式所示，其值越接近于1則表明預(yù)測(cè)值越接近真實(shí)樣本值：

R2=1-∑ni=1（y^i－y-）2∑ni=1（yi－y-）2，∈［0，1］。（7）

式中：n表示測(cè)試樣本數(shù)量；yi表示第i個(gè)樣本的真實(shí)值；y^i表示第i個(gè)樣本的預(yù)測(cè)值；y-表示真實(shí)值的平均值。

圖8、圖9分別給出了GA-ELM模型優(yōu)化前后的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比以及GA-ELM與RBF、KG代理模型的對(duì)比，從圖中可以看出：

1）經(jīng)過(guò)GA優(yōu)化ELM權(quán)值和閾值后能夠極大改善網(wǎng)絡(luò)性能，提高網(wǎng)絡(luò)精度；

2）與GA-ELM相比，RBF和KG需調(diào)試參數(shù)眾多，訓(xùn)練難度較大；

3）GA-ELM自適應(yīng)能力強(qiáng)，具有比RBF和KG強(qiáng)的泛化能力，可以為后續(xù)多目標(biāo)優(yōu)化提供精確的快速計(jì)算模型。

3 基于代理模型的多目標(biāo)優(yōu)化

基于代理模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)利用代理模型擬合目標(biāo)值與輸入變量的數(shù)學(xué)關(guān)系，再借助適合的尋優(yōu)算法多次迭代，從而快速尋找到全局最優(yōu)值。

3.1 多目標(biāo)粒子群優(yōu)化算法

MOPSO是一種經(jīng)典的仿生算法，屬于啟發(fā)式算法的一種。該算法通過(guò)模擬鳥集群飛行覓食的行為，鳥之間通過(guò)集體的協(xié)作使群體達(dá)到最優(yōu)目的。它的核心思想是利用群體中的個(gè)體對(duì)信息的共享使整個(gè)群體的運(yùn)動(dòng)在問(wèn)題求解空間中產(chǎn)生從無(wú)序到有序的演化過(guò)程，從而獲得問(wèn)題的可行解。

MOPSO算法是在PSO算法的基礎(chǔ)上拓展而來(lái)，其具體過(guò)程如圖10所示。通過(guò)增加外部?jī)?chǔ)備集Archive保存算法迭代過(guò)程中出現(xiàn)的非劣解，依據(jù)Archive集中粒子的密度信息選擇Gi，在每一次迭代過(guò)程中都需要更新粒子的速度和位置，并計(jì)算適應(yīng)值更新Archive集。粒子速度和位置更新公式為：

V′id=WiVid+c1r1（Pid－Xid）+c2r2（Gid－Xid）；

X′id=Xid+V′id。（8）

式中：Vid、Xid分別代表第i個(gè)粒子在d維空間中的速度和位置；V′id、X′id分別代表粒子更新后的速度和位置；d為粒子飛行空間的維數(shù)；Wi為慣性權(quán)重；c1、c2為加速系數(shù)（學(xué)習(xí)因子）；r1、r2為[0，1]之間的隨機(jī)數(shù)；Pi、Gi分別為個(gè)體最優(yōu)解和全局最優(yōu)解。

此外，為了確保種群的多樣性，解決PSO易陷入局部最優(yōu)解的問(wèn)題，在MOPSO中加入變異，引入擾亂算子，其表達(dá)式為

p=（1－（gen－1）/（Max_gen－1））＾（1/m）。（9）

式中：p為擾亂算子；gen、Max_gen分別代表當(dāng)前迭代次數(shù)和最大迭代次數(shù)；m為突變率。

優(yōu)化后的解集如圖11所示。每個(gè)最優(yōu)解確保至少有一項(xiàng)結(jié)構(gòu)參數(shù)被優(yōu)化，確保了解集的多樣性。為進(jìn)一步驗(yàn)證解集的有效性，選擇一個(gè)最優(yōu)解作為最終優(yōu)化結(jié)果。初始方案和優(yōu)化方案的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表6。

3.2 優(yōu)化前后對(duì)比分析

優(yōu)化前后電機(jī)性能對(duì)比如圖12至圖15所示，其中空載反電動(dòng)勢(shì)以單側(cè)A相繞組為例，進(jìn)而對(duì)其進(jìn)行傅里葉分解，并計(jì)算其總諧波畸變率（total harmonic distortion，THD）。THD計(jì)算公式為

THD=E22+E23+…+E210E1×100%。（10）

空載反電動(dòng)勢(shì)、推力波形以及磁鏈波形如圖12所示，HES-LSM優(yōu)化前后的平均推力分別為1 370.36、1 523.69 N，提高11.19%；推力波動(dòng)分別為34.12、26.63 N，降低21.95%；推力密度分別為35.17、39.78 MN/m3，提高13.11%；空載反電勢(shì)分別為106.06、113.36 V，提高9.71%；磁鏈分別為0.68、0.75 Wb，提高10.29%。

分析上述效果產(chǎn)生的原因如下：

1）由式（10）計(jì)算可得優(yōu)化前后的THD分別為10.22%和8.66%，首先優(yōu)化后空載反電動(dòng)勢(shì)的諧波畸變率顯著降低，且基波幅值明顯增加，進(jìn)而提高了空載反電動(dòng)勢(shì)；其次，高次諧波中，3次和5次諧波是影響波形正弦度的主諧波，優(yōu)化后二者均有所降低，使得反電動(dòng)勢(shì)波形得到改善。

2）從結(jié)構(gòu)上看，優(yōu)化后初級(jí)齒與次級(jí)凸鐵的增大使得有效磁通路徑面積變大，電機(jī)初次級(jí)之間的電磁耦合面積隨之增大，這有助于電機(jī)推力的增加，且優(yōu)化后空載反電動(dòng)勢(shì)以及磁鏈均增大，進(jìn)而電機(jī)推力得到提升。

3）從幅值上來(lái)看，電機(jī)優(yōu)化前后的推力波動(dòng)峰峰值分別為34.12、26.63 N，相較于平均推力1 370.36、1523.69 N而言較小，當(dāng)推力波動(dòng)峰峰值略有降低且平均推力提高時(shí)，推力波動(dòng)在平均推力中的占比將顯著降低。其次，理想邊界條件下，推力波動(dòng)產(chǎn)生的原因包括齒槽力、初次級(jí)之間耦合作用對(duì)電機(jī)氣隙磁場(chǎng)的影響等等，隨著電機(jī)齒槽尺寸以及次級(jí)凸極尺寸的改變，均會(huì)對(duì)氣隙磁場(chǎng)產(chǎn)生一定作用，進(jìn)而對(duì)電機(jī)推力波動(dòng)產(chǎn)生影響。

電壓激勵(lì)下電機(jī)推力隨功角變化的曲線如圖13所示，優(yōu)化后電機(jī)的推力得到提升，以額定推力點(diǎn)為例，與優(yōu)化前結(jié)構(gòu)相比推力提升約10.8%，與電流激勵(lì)下提升11.19%相比誤差較小。優(yōu)化后電機(jī)在不同激勵(lì)下的初級(jí)繞組電流對(duì)比如圖14所示，不同激勵(lì)下電機(jī)的穩(wěn)態(tài)電流幅值基本相同，電壓激勵(lì)下的電流波形正弦度較差，對(duì)電壓激勵(lì)下的初級(jí)繞組電流進(jìn)行傅里葉分解，并計(jì)算諧波畸變率為11.5%，其中高次諧波中2次和3次諧波占比較大。

此外，為了驗(yàn)證優(yōu)化后的電機(jī)靜態(tài)性能的優(yōu)越性和合理性。對(duì)優(yōu)化前后電機(jī)的永磁磁場(chǎng)分布進(jìn)行分析，如圖15所示，圖15（a）給出了初始方案和優(yōu)化方案的磁場(chǎng)分布圖，從結(jié)構(gòu)上看，優(yōu)化后，次級(jí)永磁寬的減小使得次級(jí)凸鐵寬增大，同時(shí)初級(jí)齒變寬，二者綜合作用使得有效磁通路徑增大。從數(shù)值上看，初始方案局部位置的磁場(chǎng)發(fā)生畸變，磁場(chǎng)強(qiáng)度最高為2.01 T，而優(yōu)化后該現(xiàn)象得以改善，磁場(chǎng)強(qiáng)度最高區(qū)域?yàn)?.77 T，最大磁通密度減小。圖15（b）中，磁力線呈偶對(duì)稱邊界條件連續(xù)分布，即忽略端部效應(yīng)的影響，初級(jí)齒與次級(jí)凸鐵相對(duì)應(yīng)的位置磁力線分布很密，為磁場(chǎng)強(qiáng)度最高區(qū)域，最大磁通密度為1.77 T。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

4.1 樣機(jī)及測(cè)試平臺(tái)搭建

依據(jù)優(yōu)化結(jié)果制作樣機(jī)，電機(jī)的初級(jí)結(jié)構(gòu)和混合勵(lì)磁次級(jí)結(jié)構(gòu)分別如圖16（a）和圖16（b）所示。電機(jī)初級(jí)鐵心由硅鋼片疊壓而成，嵌入繞組后采用環(huán)氧樹脂封裝。電機(jī)次級(jí)凸鐵極由整塊電工鐵加工而成，槽內(nèi)嵌入直流勵(lì)磁繞組；永磁體雙面涂專用膠，用夾具將其壓入兩凸鐵極之間固定。

電機(jī)整體采用3段次級(jí)單元連續(xù)安裝在定子側(cè)，動(dòng)子為雙邊初級(jí)模塊結(jié)構(gòu)，在初級(jí)模塊與背板之間裝設(shè)輪輻式拉壓力傳感器，并在電機(jī)初級(jí)四個(gè)角沿法向安裝微動(dòng)滑塊，如圖17所示，保證動(dòng)子初級(jí)模塊在法向偏移的自由度。添加另外一套雙邊隱極式直線電機(jī)作為基準(zhǔn)電機(jī)，本文的混合勵(lì)磁凸極電機(jī)作為被測(cè)電機(jī)，基準(zhǔn)電機(jī)動(dòng)子和被測(cè)電機(jī)動(dòng)子之間設(shè)置拉/壓力傳感器，通過(guò)法蘭剛性連接成一體。利用磁柵位移傳感器高精度檢測(cè)兩臺(tái)電機(jī)的位置和速度，磁柵尺沿定子底板安裝，讀數(shù)頭及配套的數(shù)據(jù)處理單元分別裝在兩臺(tái)電機(jī)動(dòng)子上。整體測(cè)試平臺(tái)如圖18所示。

4.2 空載反電勢(shì)測(cè)試

HES-LSM被測(cè)電機(jī)的繞組開路，基準(zhǔn)電機(jī)通入23 Hz電源并帶動(dòng)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)初級(jí)以1.035 m/s的速度沿直線方向勻速運(yùn)動(dòng)，測(cè)得樣機(jī)單側(cè)反電勢(shì)波形如圖19所示，從波形上可以看出，三相反電勢(shì)波形正弦度較好，相位互差120°。從數(shù)值上看，三相反電勢(shì)幅值基本相等，反電勢(shì)幅值為106.79 V，略低于有限元仿真值113.36 V，誤差為5.8%。

4.3 靜推力及推力測(cè)試

為了更好地測(cè)試該電機(jī)的性能，對(duì)其進(jìn)行靜推力測(cè)試。將雙側(cè)A相繞組通入5A直流電，同時(shí)利用基準(zhǔn)電機(jī)帶動(dòng)絲桿拉動(dòng)樣機(jī)初級(jí)沿直線方向做勻速運(yùn)動(dòng)，圖20給出了拉力傳感器檢測(cè)該電機(jī)在不同位置時(shí)靜推力變化特性，靜推力實(shí)測(cè)波形與有限元仿真波形變化趨勢(shì)基本保持一致，并且以兩倍極距為周期。其中，靜推力實(shí)測(cè)值為990.75 N，略小于有限元仿真值1 055.87 N，誤差為6.17%。

圖21給出了電機(jī)推力、定位力的測(cè)試值與仿真值波形對(duì)比。從數(shù)值上看，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果的趨勢(shì)基本吻合，平均推力測(cè)試值與仿真值的最大誤差為3.2%，定位力實(shí)測(cè)值與仿真值的最大誤差為9.2%。

從波形上看，推力實(shí)測(cè)的波動(dòng)與電壓激勵(lì)下仿真的波動(dòng)相比較大，這是由于仿真是在初級(jí)鐵心無(wú)限長(zhǎng)的前提下進(jìn)行，即忽略了端部力的影響，分?jǐn)?shù)槽集中繞組又很好地削弱了齒槽力的大小，而為了清晰地展示樣機(jī)的混合勵(lì)磁結(jié)構(gòu)，實(shí)測(cè)樣機(jī)設(shè)置為短初級(jí)、長(zhǎng)次級(jí)結(jié)構(gòu)，受端部力的影響，導(dǎo)致推力實(shí)測(cè)波形中波動(dòng)較大，定位力的測(cè)試結(jié)果再次驗(yàn)證了定位力對(duì)推力波動(dòng)的影響。

5 結(jié) 論

本文提出一種適用于電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的優(yōu)化框架，該框架通過(guò)搭建電機(jī)的GA-ELM代理模型，進(jìn)而引入MOPSO算法獲得多目標(biāo)最優(yōu)解，最后成功地將該優(yōu)化框架應(yīng)用于一臺(tái)HES-LSM的結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并制作樣機(jī)，完成了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，得出如下結(jié)論：

1）GA優(yōu)化后的ELM網(wǎng)絡(luò)具有更高的擬合精度，且無(wú)需設(shè)置網(wǎng)絡(luò)權(quán)值、閾值等參數(shù)便可得到精確的代理模型，在一定程度上降低了建模難度。

2）所提出的優(yōu)化框架能夠同時(shí)利用ELM模型的計(jì)算速度、有限元模型的分析準(zhǔn)確度以及MOPSO算法的全局尋優(yōu)能力，在保證模型精度的前提下，顯著減少有限元樣本個(gè)數(shù)，縮短優(yōu)化周期。

3）優(yōu)化結(jié)果與初始方案對(duì)比，電機(jī)平均推力提高了11.19%、推力波動(dòng)降低了21.95%、推力密度提高了13.11%，電機(jī)性得到改善。通過(guò)修改約束條件和設(shè)計(jì)參數(shù)，該框架可應(yīng)用于其他電機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)。

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（編輯：劉素菊）